概率论与数理统计习题 三解析【哈工大版】

习 题 三

1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1

1()(1)(1),2,3,

.k k P X k p p p p k --==-+-=

2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个

数X 的分布列。

解 从a b +个球中任取r 个球共有r

a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k

r k

b a

C C -，所以X 的分布列为

()k r k

b a

r

a b

C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1

(1,2,3)1

i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则

1231111

(0)()23424

P X P A A A ===

⋅⋅=

， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++

123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++

1111211136

23423423424

=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++

123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++

12111312311

23423423424

=

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=

， 1231236

(3)()23424

P X P A A A ===⋅⋅=.

即X 的分布列为

0123

1611624242424

X

P

. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为1

2

，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

解 (0)P X P ==(第一个路口即为红灯)12

=

, (1)P X P ==(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)111224

=⋅=， 依此类推，得X 的分布列为

0123

11112488

X

P

. 5．将一枚硬币连掷n 次，以X 表示这n 次中出现正面的次数，求X 的分布列。

解 X 为n 重贝努里试验中成功出现的次数，故1

~(,)2

X B n ，X 的分布列为

1()2n

k n P X k C ⎛⎫== ⎪⎝⎭

0,1,,k n =

6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。 解 设X 为每分钟接到的呼叫次数，则~(4)X P

（1）84448444(8)0.29778!!!

k k k k q P X e e e k k ∞∞---=====-=∑∑

（2）4

114(10)0.00284.!

k k P X e k ∞

-=>==∑ 7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。 解 设X 为该商品的销售量，N 为库存量，由题意

5

11

50.99977()1()1()1!k K N K N P X N P X N P X K e k ∞

∞

-=+=+≤≤=->=-==-∑∑ 即

5

1

50.00023!K K N e k ∞

-=+≤∑ 查泊松分布表知115N +=，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。

8．已知离散型随机变量X 的分布列为：(1)0.2,(2)0.3P X P X ====，

(3)0.5P X ==，试写出X 的分布函数。

解 X 的分布列为

123

0.20.30.5

X P

所以X 的分布函数为

0,

1,0.2,12,()0.5,23,1,

3.

x x F x x x <⎧⎪≤<⎪

=⎨

≤<⎪⎪≥⎩

9．设随机变量X 的概率密度为 sin ,0,

()0,c x x f x π<<⎧=⎨

⎩其他.

求：（1）常数C ；（2）使()()P X a P X a >=<成立的a . 解 （1）00

1()sin cos 2f x dx c xdx c x c π

π

+∞-∞

=

==-=⎰

⎰，1

2

c =

； （2）1111()sin cos cos 2222

a

a P X a xdx x a π

π>=

=-=+⎰， 001111()sin cos cos ,2222

a a

P X a xdx x a <==-=-⎰

可见 cos 0a =， 2

a π

∴=

。

10．设随机变量X 的分布函数为

()arctan F x A B x =+，x -∞<+∞，

求：（1）系数A 与B ；（2）(11)P X -<≤；（3）X 的概率密度。 解 （1）由分布函数的性质