辽宁省部分重点中学协作体2020届高三下学期高考模拟考试数学(理)试题及其答案
D．（2，+∞）
A． i
B． 1
C．1
3．已知
a
log 0.3
2，b
1
23
,
c
20.3
，则
a、b、c
的大小关系是（
A． a<b<c
B，a<c<b
C． c<a<b
D． i
） D． b<c<a
4．已知某企业 2020 年 4 月之前的过去 5 个月产品广告投入与利润额依次统计如下：
由此所得回归方程为 yˆ 12x a ，若 2020 年 4 月广告投入 9 万元，可估计所获利润约为（ ）
“优美”矩形的个数为
.
15．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1， 2Sn an1 1 则 Sn =
.
16．已知椭圆 C1 与双曲线 C2 有相同的焦点 F1，F2 ，点 P 是 C1 与 C2 的一个公共点， PF1F2 是一个以 PF2
为底的等腰三角形，
PF2
4
，
C1
的离心率为
x
x
A．
(，1
]
e
4 6
B． (, 1] 6
C．
[0，1
]
e
4 6
D． (, 1 ] 4
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x y 1 0
13．己知 x， y 满足约束条件 x y 2 ，则 2x y 的最小值是
.
y 0
14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单
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如果强度为
x
的声音对应的等级为
f
( x)dB
，则有
f
(x)
10
lg
x 110
12
，则 90dB 的声音与 50dB 的声音
强度之比为（ ）
A．10
B．100
C．1000
D．10000
7．函数 y tan 2x 图象的对称中心坐标为（ ）
A．100 万元
B．101 万元
C．102 万元
5．设等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，且 a3 a6 4 a4 ，则 S9 =（ ）
A．18
B． 24
C．48
D．103 万元． D．36
6．人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，30~40 分贝是较理想的安静环境，超过 50 分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90 分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力 和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达 150 分贝的噪声环境中，听觉器官会发生 急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过 90 分贝，一般地，
A． (2k ,0), k Z
B． (k ,0), k Z
C． ( k ,0), k Z 2
D． ( k ,0), k Z 4
1
8．已知二项式 (2x 2
1)n
的展开式中，二项式系数之和等于
64，则展开式中常数项等于（
）
x
A．240
B．120
C．48
D．36
9．已知函数
f
(x)
x
2
2ax
8,
x
1
x
4 x
a,
x
1
，若
f
(x)
的最小值为
f
(1) ，则实数
a
的值不可能是（
）
A． 1
B．2
C．3
D．4
10．已知三棱锥 A—BCD 中，侧面 ABC⊥底面 BCD，△ABC 是边长为 3 的正三角形，△BCD 是直角三角形，
且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）
A． 4 3
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1．已知集合 A x x2 x 2 0 ， B x ．（1，2]
C．（0，2]
2．已知复数 z 满足 z(1 i) 1 i ， i 为虚数单位，则 z 的虚部为（ ）
（1）求 f (x) 在[0, ]上的值域；
2 （2）已知 a，b，c 分别为△ABC 的三个内角 A，B，C 对应的边长，若 f ( A) 3 ，且 a=2， b+c=4，求△ABC
2
的面积.
18．（本小题满分 12 分）
已知正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AA1 2 ， D 是 BC 的中点． （1）求证： A1B ∥平面 ADC1 ； （2）求锐二面角 D AC1 C 的余弦值．
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19．（本小题满分 12 分）
某工厂计划建设至少 3 个，至多 5 个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品 A 的未来需求．经 过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品 A 的月需求量均在 50 万件及以上，其中需求量在 50~ 100 万件的频率为 0.5，需求量在 100~200 万件的频率为 0.3，不低于 200 万件的频率为 0.2．用调查样本来 估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品 A 的需求相互独立． （1）求在未来某连续 4 个月中，本地区至少有 2 个月对商品 A 的月需求量低于 100 万件的概率． （2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商 品 A 的需求量 x 的限制，并有如下关系：
3 7
，则
C2
的离心率是
.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答，
（一）必考题：共 60 分
17．（本小题满分 12 分）
已知 m=（2cosx，sinx），n=（cosx， 2 3 cosx）， 且 f (x) =m·n．
32
B．
3
C．12
64
D．
3
11．已知过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的延长线交抛物线的
准线 l 于点 C，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（ ）
A．3
B．4
C．6
D．6
12．已知 f (x) ex 2t(ln x x 2 ) 恰有一个极值点为 1，则 t 的取值范围是（ ）
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檐建筑中较多存在 2 :1 的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天， A4 纸之所以流行的重
要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近 2 :1 ，我们称这种满足了 2 :1 的矩形为“优美”矩形。现有
一长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AD1 2 6 ， AC 2 5 ， AC1 2 7 ，则此长方体的表面六个矩形中，
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辽宁省部分重点中学协作体 2020 年高考模拟考试
数学（理科）试卷
试卷说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12 题， 共 60 分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23 题，共 90 分）。答卷前，
考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。
2020届辽宁省辽南协作校高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省辽南协作校高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20M x =，，{}1,2N =，若{}2M N =I，则=M N U ( )A ．{}20,,1,2x B ．{}2,0,1,2C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2【答案】C【解析】由{}2M N =I 可知2M ∈，进而可求得集合M ，即可求得M N ⋃. 【详解】 集合{}20M x=，，{}1,2N =，{}2M N =I，则2M ∈，所以{}02M =，， 则{}0,2=,1M N U ， 故选：C. 【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属于基础题.2．已知复数z 满足(1)|2|i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A【解析】根据复数z 满足(1)|2|i z i +=，利用复数的除法求解. 【详解】∵(1)|2|2i z i +==， ∴211z i i==-+. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．设,a b rr 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】试题分析：由a b =r r无法得到a b a b +=-r r r r ，充分性不成立；由a b a b +=-r r r r ，得0a b ⋅=r r ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.【考点】充要条件,向量运算 【名师点睛】由向量数量积的定义cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r (为a r ，b r的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.4．若空间中三条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．13l l ⊥ B ．1l 与3l 既不垂直又不平行 C ．1//l 3l D ．1l 与3l 的位置关系不确定【答案】D【解析】根据12l l ⊥，23l l ⊥，将三条线段置于正方体中，即可判断各选项. 【详解】空间中三条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥， 位置关系可如下图所示：根据图示可知，当1l 取两个不同位置时，满足12l l ⊥，23l l ⊥，可排除ABC 选项， 即1l 与3l 的位置关系不确定， 故选：D. 【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的判断，属于基础题.5．已知正三棱锥P ABC -，点P 、A 、B 、C 都在直径为3的球面上，若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．12C ．13D ．112【答案】A【解析】将正三棱锥补形成正方体，根据几何体外接球的直径，计算出,,PA PB PC 的长，由此求得正三棱锥的体积. 【详解】将正三棱锥补形成正方体，如下图所示.设PA PB PC x ===， 由于正三棱锥的外接球和正方体的外接球相同， 正方体的体对角线即为外接球的直径， 即33,1x x ==，所以正三棱锥的体积为111111326⨯⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.6．点()5,3M 到抛物线2y ax =的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（ ） A ．212y x = B ．236y x =- C ．212y x =或236y x =-D ．2112y x =或2136y x =- 【答案】D【解析】根据点M 到准线的距离为1|3|64a+=，分0a >和0a <两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程． 【详解】当0a >时，开口向上，准线方程为14y a =-，则点M 到准线的距离为1364a+=，求得112a =，抛物线方程为2112y x =， 当0a <时，开口向下，准线方程为14y a =-，点M 到准线的距离为1|3|64a+=解得136a =-，抛物线方程为2136y x =-． 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对抛物线开口方向的讨论. 7．函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ） A ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1 2,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]2,0-【答案】C【解析】2211sin sin sin 24y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，由于[]sin 1,1x ∈-，故当1sin 2x =时，函数取得最大值为14，当sin 1x =-时，函数取得最小值为2-，故函数的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，考查了二次函数最大值的求解方法，同时考查了化归与转化的数学思想方法.第一步首先用同角三角函数关系将cos x 化为sin x ，转化为同一个角的式子，为后续配方法做好准备.第第二步配方之后利用三角函数的值域，即可求得函数的值域.8．函数1()||(1)x xe f x x e +=-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解． 【详解】函数1()||(1)x xe f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ， 又11()()(1)(1)x xx x e e f x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法． 9．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，为了得到sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】B【解析】试题分析：由图象知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，为了得到()sin 2g x x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，故选D ． 【考点】三角函数图象.10．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60︒方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（ ）A ．6海里B ．406C ．(2013海里D ．40海里【答案】A【解析】在ACD V 中，1590105,30ADC ACD ∠=+=∠=o o o o，所以45CAD ∠=o ， 由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD=∠∠，解得140sin 2202sin 2CD ACD AD CAD ⨯∠===∠ 在Rt DCB ∆中，45BDC ∠=o ，所以2402BD CD ==，在ABD ∆中，由余弦定理可得：22212cos 8003200220240224002AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=+-⨯=，解得206AB =11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为111=224⨯，所以甲应分得112(1)94⨯-=张牌，乙应分得11234⨯=张牌，故选A ． 【考点】排列组合问题．12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点分别为1A ，2A ，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222A P A A P A π∠=∠=，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是( )A ．11,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．32⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，先求得直线BF 的方程，由在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222A P A A P A π∠=∠=可得线段BF 与以12A A 为直径的圆相交，即可求得22102b a <<；再根据a b <即可得双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，不妨设()(),0,0,F c B b ，则直线BF 的方程为0bx cy bc +-=，因为在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222A P A A P A π∠=∠=，所以线段BF 与以12A A a <，化简可得()22222b c a b c <+，双曲线中满足222b c a =-，代入上述不等式可得42240a a b b +->，则220b a <<， 由在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222AP A A P A π∠=∠=可知a b <，所以22112b a<<，即双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围为⎛ ⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，渐近线斜率取值范围的应用，直线与圆位置关系的判断及应用，属于中档题.二、填空题13．已知函数()()291log 1,02,0x x x f x x +⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则()0f f +=______．【答案】3【解析】利用分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】依题意，()()0190log 1012123ff ++=-+=+=.故答案为：3.14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒.估计这批米内所夹的谷有______石. 【答案】170【解析】根据等古典概型概率公式求法即可得解. 【详解】由等可能事件概率公式可知，这批米内所夹的谷有281530=170252⨯石 故答案为：170. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题.15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为______.【答案】573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】根据题意，建立函数模型，由经过大约5730年后会变为原来的一半可求得解析式. 【详解】由题意可设12axy ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当5730x =时，12y =，即57301122a⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得15730a =， 所以573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数模型的选择，函数解析式的求法，属于基础题. 16．已知()()ln f x x e x =+，()31332g x x x m =++，对于1,2x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭时都有()()f x g x ≤恒成立，则m 的取值范围为______.【答案】23m ≥【解析】构造函数()()()1,2F x g x f x x =-≥，利用导数研究()F x 的最小值，由此列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】构造函数()()()3131ln ,322F x g x f x x e x x x m x ⎛⎫=-=+--+≥ ⎪⎝⎭，依题意()0F x ≥在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立.()21ln 2F x x x e =+'--， ())2111212x F x x x xx+--=''=-=，所以()F x '在区间12⎛⎝⎭上递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 所以()F x '在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为11ln 202F e =+-<⎭'⎝， 11113ln ln 2024224F e e ⎛⎫=-+-=+-< '⎪⎝⎭，()21ln 02F e e e e =-+->'，102F e e '=--=，所以在区间12⎛⎝，()0F x '<，在区间)+∞，()0F x '>，所以当x =()F x有最小值313ln 32Fe m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭23m =+. 依题意()0F x ≥在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，0m ≥，解得23m ≥故答案为：23m ≥【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和n S ，满足13122n n S a a =-，且13a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log 1n n na b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =；（2）113n nn T +=-. 【解析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合条件式即可判断数列{}n a 为等比数列，即可由首项与公比求得数列{}n a 的通项公式.（2）将数列{}n a 的通项公式代入，结合对数式的化简即可知数列{}n b 为等差乘等比形式，结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）∵13122n n S a a =-， ∴当2n ≥时，1113122n n S a a --=-.∴113322n n n n n a S S a a --=-=-，∵13a =，∴13nn a a -=，故{}n a 为等比数列，公比为3，首项为3. ∴1333n nn a -=⨯=.（2）∵3nn a =，可得()1213nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ∴()2341111113572133333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()23451111111135721333333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2345121111111222222133333333n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212233n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得113n nn T +=-. 【点睛】本题考查了递推公式证明数列为等比数列的方法，错位相减法的综合应用，属于中档题. 18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录. 2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数. ②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望． 【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①根据频率分布直方图估计平均数的方法，计算出平均数； ②根据频率分布直方图估计中位数的方法，计算出中位数；（2）根据超几何分布的分布列和数学期望的计算方法，计算出X 的分布列和期望. 【详解】 （1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-= 解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ==== ()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ==== X0 1 2P371021 221所以()31022012721213E X =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数和中位数，考查超几何分布的分布列和期望的计算，属于基础题.19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点（1）证明：11B C CE ⊥；（2）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为26，求线段AM 的长.【答案】（1）证明见解析；（22.【解析】（1）通过勾股定理计算证明证得111B C EC ⊥，再证得111CC B C ⊥，由此证得11B C ⊥平面1CC E ，从而证得11B C CE ⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用1EM EC λ=u u u u r u u u u r得出M 点的坐标，根据直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为26列方程，解方程求得λ的值，进而求得线段AM 的长.（1）在11B C E △中2211115EB EA A B =+=，22111111()22A B B C A D =+=， 2211113EC ED D C =+=，∴2221111B C EC EB +=，111B C EC ⊥∵1AA ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面1111D C B A ，∴1AA ⊥平面1111D C B A ，又1AA ∥1CC ，所以1CC ⊥平面1111D C B A ， 所以111CC B C ⊥且111CC EC C =I ∴11B C ⊥平面1CC E ，∴11B C CE ⊥（2）由题可知，DA ，1AA ，AB 两两垂直，以A 为原点，分别以AD ，1AA ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,2B ，()1,0,1C ，()10,2,2B ，()11,2,1C ，()0,1,0E()0,1,0AE =u u u v ，()11,1,1EC =u u u u v ，设1EM EC λ=u u u u r u u u u r ，则()(),,,01EM λλλλ=≤≤u u u u v则(),1,AM AE EM λλλ=+=+u u u u v u u u v u u u u v易知()0,0,2AB =u u u v为平面11ADD A 的一个法向量.设θ为直线AM 与平面11ADD A 所成角，则22sin cos ,321AM AB AM AB AM AB θλλ⋅====⋅++u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v 解得13λ=，15λ=-（舍去） 所以141,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u v ，2AM =u u u u v，故线段AM 的长为2.本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面角求线段的长，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知椭圆C 的标准方程是22162x y +=，设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q . （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（2）当TFPQ最小时，求点T 的坐标.【答案】（1）证明见解析；（2）()3,1-或()3,1--.【解析】（1）由椭圆的标准方程可得F 的坐标，设T 点坐标为()3,m -，可得直线TF 的斜率，讨论0m ≠与0m =两种情况，设直线PQ 的方程是2x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y ；联立直线与椭圆方程，即可用m 表示点M 的坐标，即可证明结论.（2）由（1）结合弦长公式，表示出,TF PQ ，即可得TFPQ，结合基本不等式即可求得最小值及最小值时m 的值，进而得点T 的坐标. 【详解】（1）证明：椭圆C 的标准方程是22162x y +=，设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点， 所以F 得坐标为()2,0-，设T 点坐标为()3,m -， 则直线TF 的斜率TF k m =-， 当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=， 直线PQ 的方程是2x my =-， 当0m =时，直线PQ 的方程2x =-， 也符合方程2x my =-的形式，设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立得：222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()223420m y my +--=， 有()22122122168304323m m m y y m y y m ⎧∆=++>⎪⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，设PQ 的中点M 的坐标为1200022(,),23y y mx y y m +==+， 002623x my m -=-=+， 2262,33m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭， 所以直线OM 的斜率3OM m k =-，又因为直线OT 的斜率3OT mk =-， 所以点M 在直线OT 上，因此线段OT 平分线段PQ .（2）由（1）知TF =，)212213m PQ y y m+=-=+，所以3TF PQ ==， 当且仅当22411m m +=+， 即1m =±时等号成立，此时TFPQ取得最小值， T 点的坐标为()3,1-或()3,1--【点睛】本题考查了椭圆的几何性质的应用，由韦达定理分析弦的中点坐标问题，线段比值最值的求法，基本不等式的应用，属于中档题. 21．已知函数()cos sin xf x x x x e ax =++-（1）若函数()f x 在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （2）在（1）的条件下，若12x x ≠，()()12f x f x =，求证：'1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭.（()f x '【答案】（1）1a =，函数()f x 的递增区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【解析】（1）利用()00f '=求得a 的值.再结合()f x '求得()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.（2）将要证明的不等式1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭'转化为证明12x x <-，进一步转化为证明()()0,(0,]2f x f x x π-->∈.利用构造函数法，结合导数证得()()0f x f x -->在区间(0,]2π上成立，由此证得不等式1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭'成立. 【详解】（1）()cos xf x x x e a =+'-()000k f e a ='=-=∴1a =所以()cos 1xf x x x e =+-'当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 递减，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 递增所以函数()f x 的递增区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1x 与2x 异号，不妨设12022x x ππ-≤<<≤，则12424x x ππ+-<< 因为()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减， 要证1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭'，需要证明12[,0)22x x π+∈-，需要证明12x x <- 因为12,x x -∈,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∴需证()()12f x f x >-，即需要证明()()22f x f x >-，即()()220f x f x --> 即()()0,f x f x x -->∈(0,]2π 令()()(),0,2h x f x f x x π⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦()()()h x f x f x '='+'-()cos 1cos 1x x x x e x x e -=+---+-1220x x e e =+->-= 所以()h x 在(0,]2π上递增()()00h x h >=综上1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭' 【点睛】本小题主要考查根据切线的斜率求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=. （1）若4πα=可，试判断曲线1C 和2C 的位置关系； （2）若曲线1C 与2C 交于点M ，N 两点，且()3,0P，满足5PM PNMN +=.求sin α的值.【答案】（1）相离；（2. 【解析】（1）将4πα=代入，可将1C 和2C 转化为直角坐标方程，结合点到直线距离即可判断1C 和2C 的位置关系；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由参数方程的几何意义即可确定12,t t 的关系，进而求得sin α的值. 【详解】（1）曲线1C的参数方程为32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为普通方程为30x y --=，曲线2C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=，∴2C 的直角坐标方程2220x y x ++=，是以()1,0-为圆心，1为半径的圆， 因为圆心到直线30x y --=的距离1d ==>， 所以曲线1C 和2C 相离.（2）将3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2220x y x ++=.整理得28cos 150t t α++=， 由>0∆得215cos 16α>， 设交点M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ， 则12128cos 15t t t t α+=-⎧⎨=⎩，因此5PM PN MN +=所以12125t t t t +=-， 又120t t >，所以12125t t t t +=-，即()()()222121212122525100t t t t t t t t +=-=+-， 所以()2248cos 10015α-=⨯， 解得212515cos 12816α=>，故sin α=【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()|2||24|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式：()34f x x ≥-+；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值. 【答案】（Ⅰ）1{|}2x x ≥-；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值()24f -=，则4m n +=，0m >，0n >，根据()111114m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式求最值即可. 【详解】（Ⅰ）()224f x x x =-++ 32,26,2232,2x x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可得当2x <-时，3234x x --≥-+，即24-≥，所以无解； 当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得12x ≥-，可得122x -≤≤； 当2x >时，3234x x +≥-+，得13x ≥，可得2x >. ∴不等式的解集为1{|}2x x ≥-.（Ⅱ）根据函数()32,26,2232,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =， ∵4m n +=，0m >，0n >， ∴()111114m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()111122144n m m n ⎛⎫=+++≥+= ⎪⎝⎭.当且仅当n mm n=，即2m n ==时，取“=”. ∴11m n+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。
辽宁省大连市2020届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题(含答案解析)
辽宁省大连市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习辽宁省大连市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题（含答案解析）1 已知集合，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】计算，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案. 【详解】,，，则，，AB错误；，C错误；，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2 设，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】由指数函数的性质和对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得，，由对数函数的性质，可得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3 已知平面，，直线，直线，则下列命题正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】根据空间线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断得出答案.【详解】选项A. 由直线，直线，，则与可能异面，可能平行.则选项A错误.选项B. 由直线，直线,,则与可能平行，可能相交，可能异面，则选项B错误.选项C. 由直线,，则选项C正确.选项D. 由直线，直线,则与可能平行，可能相交,则选项D错误. 故选：C【点睛】本题考查空间线面、面面的位置关系的综合应用，属于基础题.4 已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A. 0.6B. 0.2C. 0.4D. 0.35【答案解析】 B【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．【详解】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∵，∴.故选：B．【点睛】本题考查的知识点是正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5 为了普及垃圾分类的知识，某宣传小组到小区内进行宣传.该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张.为了检验宣传成果，该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有个结果，而这20张中恰有10张可回收垃圾的共有个结果，由古典概率公式计算即可得结果.【详解】由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有个结果，而这20张中恰有10张可回收垃圾的共有个结果，由古典概率公式得这20张中恰有10张可回收垃圾的概率为.故选：B【点睛】本题主要考查古典概率，属于基础题.6 与双曲线有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案解析】 A【分析】设双曲线的方程，根据题意，求得，再结合离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得其渐近线方程为，又由与双曲线有共同的渐近线，且焦点在轴上，设双曲线的方程，则，所以离心率为.故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7 在展开式中，含的项的系数是（）A. －39B. －9C. 15D. 51【答案解析】 A【分析】首先将利用二项式定理展开，再求含的项的系数即可.【详解】因为所以含的项的系数为.故选：A【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，属于简单题.8 已知数阵中，每行的三个数依次成等比数列，每列的三个数也依次成等比数列，若，则该数阵中九个数的积为（）A. 36B. 256C. 512D. 1024【答案解析】 C【分析】根据等比中项的性质计算可得；【详解】解：依题意可得，，，，因为所以故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题；9 已知一个正四面体和一个正四棱锥，它们的各条棱长均相等，则下列说法：①它们的高相等；②它们的内切球半径相等；③它们的侧棱与底面所成的线面角的大小相等；④若正四面体的体积为，正四棱锥的体积为，则；⑤它们能拼成一个斜三棱柱.其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案解析】 B【分析】①正四面体的高，正四棱锥的高，所以该命题错误；②设正四面体的内切球半径为.设正四棱锥的内切球半径为则.所以该命题不正确；③在正四面体中，就是侧棱和底面所成的角，.在正四棱锥中，就是侧棱和底面所成的角，，所以该命题不正确；④计算得.所以该命题正确；⑤把一个斜三棱柱分解成一个正四面体和正四棱锥，所以该命题正确.【详解】设正四面体和正四棱锥的棱长都为2，①，如图1，,所以正四面体的高.如图2，正四棱锥的棱长都为2，它的高,所以该命题不正确；②设正四面体的内切球半径为则，所以.设正四棱锥的内切球半径为则,所以.所以该命题不正确；③如图1，在正四面体中，就是侧棱和底面所成的角，.如图2，在正四棱锥中，就是侧棱和底面所成的角，，所以该命题不正确；④若正四面体的体积为，，正四棱锥的体积为，，则.所以该命题正确；⑤如图3，是一个斜三棱柱，其中四棱锥是一个棱长都为2的正四棱锥，四面体是棱长都为2的正四面体，所以它们能拼成一个斜三棱柱.所以该命题正确.故选：B.【点睛】本题主要考查几何体的体积的计算，考查几何体的内切球问题，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象计算能力.10 设，则是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 A分析：根据条件分别做出和，以及的图象，利用数形结合进行判断，即可得到结论.详解：由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知当时，，当时，，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.11 在直线：上有两个点A、B，且A、B的中点坐标为(4,3)，线段AB的长度，则过A、B两点且与y轴相切的圆的方程为（）A. 或B. 或C或D. 或【答案解析】 C【分析】首先求出线段的垂直平分线方程，设出圆心坐标和半径，再利用圆的弦长性质得到圆心坐标和半径，即可得到圆的标准方程.【详解】由题知：线段的垂直平分线方程为：，即.设圆心，因为圆与轴相切，所以，如图所示：因为，所以，整理得：，解得或.当时，圆心，，圆.当时，圆心为，，圆.故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.12 函数f(x)是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数b的取值集合是（）A. ， B. ，C. ，D. ，【答案解析】 C【分析】由条件可推得函数是以4为周期的周期函数，且图象关于直线对称，关于原点对称，作出函数与函数的图象，结合图象即可得实数的范围.【详解】由已知得，，则，所以函数的图象关于直线对称，关于原点对称，又，进而有，所以得函数是以4为周期的周期函数，由有三个零点可知函数与函数的图象有三个交点，当直线与函数图象在上相切时，即有两个相等的实数根，即，由得，，当时，，作出函数与函数的图象如图：由图知当直线与函数图象在上相切时，，数形结合可得在有三个零点时，实数满足，再根据函数的周期为4，可得所求的实数的范围.故选：C【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化与化归的思想和数形结合的思想.13 设x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案解析】 2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合平面区域确定目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点时，此时在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.故答案为：2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．14 已知i是虚数单位，则______．【答案解析】【分析】根据虚数的计算规律，合理利用数列的求和，即可求解.【详解】由题意，故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的运算性质的应用，其中解答中合理利用复数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15 对数是简化繁杂运算的产物.16世纪时，为了简化数值计算，数学家希望将乘除法归结为简单的加减法.当时已经有数学家发现这在某些情况下是可以实现的.比如，利用以下2的次幂的对应表可以方便地算出16×256的值.456789101112163264128256512102420484096首先，在第二行找到16与256；然后找出它们在第一行对应的数，即4与8，并求它们的和，即12；最后在第一行中找到12，读出其对应的第二行中的数4096，这就是16×256的值.用类似的方法可以算出的值，首先，在第二行找到4096与128；然后找出它们在第一行对应的数，即12与7，并求它们的______；最后在第一行中找到______，读出其对应的第二行中的数______，这就是值.【答案解析】差 ; 5 ; 32【分析】题设中给出的是第一行数的加法与第二行数的乘法的对应关系，类比到所求的问题中就是第一行数的减法与第二行数的除法之间的对应关系，从而可求规定的值.【详解】题设中给出的计算方法是：第一行数中两数的和与与第二行数的对应的两数的乘积是匹配的，因此，若在在第二行找到4096与128，要求它们的商，可以找出它们在第一行对应的数，即12与7，它们的差（5）在第二行中对应的数（32）即为.故答案为：差，5，32.【点睛】本题考查类比推理，一般地，类比推理有结论的类比、公式定理的类比，也有解题方法的类比，解题中注意寻找两类问题的相似之处.16 在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于E，F.若，，，则的最小值为______.【答案解析】 4【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，再利用基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，在中，，点满足，所以，即，可得，因为，，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与向量的共线定理，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算和共线定理，得到的关系式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17 已知函数且当时，最小值为.（1）求函数f(x)的单调减区间；（2）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.且满足，，，求△ABC的面积.【答案解析】（1），；（2）.【分析】（1）先将函数化简得，由时，的最小值为，得函数的周期，从而求出，再求函数的单调减区间.（2）由可得，又，所以，根据正弦定理可得边长，再由面积公式求三角形面积.【详解】解：（1），∵时，的最小值为，∴周期，∴，∴，∴.令，，得，，单调递减区间为，.（2），得，∵，∴，∴，∴，∴，由得，，.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的图像性质，考查正弦定理和三角形的面积，属于中档题.18 多面体ABC﹣DEF中，△DEF为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，平面，平面.（1）求证：；（2）若，，求平面ABC与平面DEF所成的较小的二面角的余弦值.【答案解析】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面平行的性质定理，分别证得和，即可证；（2）分别证得两两垂直，建立空间直角坐标系即可求解.【详解】解：（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以，同理可证，，所以.（2）因为△为等腰直角三角形，，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，因为△为等边三角形，所以，取的中点，连结、，因为，则，又，且，所以四边形为平行四边形，所以，在中，，所以，即，进而，同理可证，进而，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以，易知平面的一个法向量为，，所以平面与平面所成的较小的二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线线、线面平行的判定与证明，以及计算二面角大小.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.19 已知圆锥曲线过点，且过抛物线的焦点B．（1）求该圆锥曲线的标准方程；（2）设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为，点E的坐标为，直线PD 与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：为定值．【答案解析】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，再代入解析式中求出方程即可得解；（2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且，，设椭圆上一点，表示出直线，直线，得到，；所以计算可得；【详解】解：（1）抛物线的焦点，将点，代入方程得，解得，所以圆锥曲线的标准方程为．（2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且，，设椭圆上一点，则直线：，令，得．∴，直线：，令，得．∴．所以因为点在椭圆上，所以，即，代入上式得．故为定值．【点睛】本题考查待定系数法求曲线方程，直线与圆锥曲线中的定值问题，属于中档题.20 盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）若每个盲盒装有A、B、C三种样式玩偶的概率相同.某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？（2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并分析是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关？女生男生总计购买未购买总计参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：周数123456盒数16______23252630由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1、3周数据进行检验.①请用4、5、6周的数据求出关于的线性回归方程；（注：，）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？【答案解析】（1）；（2）填表见解析，有把握认为“购买该款盲盒与性别有关”；（3）①；②可靠.【分析】（1）列举出基本事件的总数和事件“他恰好能收集齐这三种样式”所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（2）根据题意，得出的列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到结论；（3）①求得的值，根据公式求得的值，求得回归直线方程；②当和时，比较即可得到结论.【详解】（1）由题意，基本事件空间为，其中基本事件的个数为9个，设事件为：“他恰好能收集齐这三种样式”，则，其中基本事件的个数为2，所以他恰好能收集齐这三种样式的概率.（2）女生男生总计购买402060未购买7070140总计11090200则.又因为，故有把握认为“购买该款盲盒与性别有关”.（3）①由数据，求得，.由公式求得，.所以关于的线性回归方程为.②当时，，；同样，当时，，.所以，所得到的线性回归方程是可靠的.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，独立性检验的应用，以及回归直线方程的求解及应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21 已知函数.（1）若使成立，求a的取值范围；（2）若，证明不等式.【答案解析】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）当时，可由知命题成立，当时，利用导数可求，由可得，故可求实数的取值范围.（2）成立等价于成立，令，，利用导数可证，，从而可知原不等式成立.【详解】解：定义域，（1）①时，，∴使成立.②时，，由得，由得，∴函数在区间单调递增，函数在区间单调递减，故，得，∴，∴由①②得.（2）时，由得需证，令，，,令得，令得∴函数在区间单调递增，在区间单调递减，，，，令得，令得.函数在区间单调递减，在区间单调递增，，∴时，成立，∴成立.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及函数不等式的恒成立，前者依据导数的符号，注意合理的分类讨论，后者需变形后构建新函数，通过导数求出新函数的最值，通过最值的关系来证明不等式.22 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴建极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）直线，的极坐标方程分别为，，直线与曲线C的交点为O、M，直线与曲线C的交点为O、N，求线段MN的长度．【答案解析】（1）；（2）1．【分析】（1）先根据三角函数平方关系消元得普通方程，再根据化为极坐标方程；（2）根据直线与曲线极坐标方程可得极坐标，再根据余弦定理求的长度．【详解】解：（1）由曲线的参数方程为得曲线的直角坐标方程为：，所以极坐标方程为即．（2）将代入中有，即，将代入中有，即，，余弦定理得，．【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析求解能力，属基础题.23 设函数．（1）解不等式；（2）若f(x)最小值为m，实数a、b满足，求的最小值．【答案解析】（1）或；（2）．【分析】（1）分类讨论，，三种情况，解不等式得到答案.（2）计算，所求可看作点到直线的距离的平方，计算得到答案.【详解】（1），由得或或，得或或，∴不等式解集或．（2）根据图象知：，∴，所求可看做点到直线的距离的平方，．∴的最小值为．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为点到直线的距离是解题的关键.。
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A B =I （ ） A ．[1-，2] B ．（1，2] C ．（0，2]D ．（2，+∞）【答案】C【解析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题.2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1D ．1-【答案】D【解析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b -<=<=，0.30221c =>=， 所以01a b c <<<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题.4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元C ．102万元D ．103万元．【答案】C【解析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】 由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126y x =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C. 【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ） A ．18 B ．24C ．48D ．36【答案】D【解析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100C ．1000D ．10000【答案】D【解析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D. 【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7．函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ）A ．(2,0),k k Z π∈B ．(,0),k k Z π∈C ．(,0),2k k Z π∈ D ．(,0),4k k Z π∈ 【答案】D【解析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解. 【详解】 令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用，属于基础题.8．已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A ．240 B ．120 C ．48 D ．36【答案】A【解析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x+的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r =，则6426622240r r C C -⋅=⋅=. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解. 【详解】由题意当1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+， 当且仅当2x =时，等号成立；当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意； 当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-， 由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC V 是边长为3的正三角形，BCD V 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A． B ．323πC ．12πD ．643π【答案】B【解析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、22331OA m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得32m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD V 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，Q ABC V 是边长为3，2CD =，∴332AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则33HA m =， ∴222211134OD DO OO m =+=+，22223312OA OH HA m ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得221333142m m ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．6【答案】B【解析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AHAC=即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12．已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A ．1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B ．1(,]6-∞ C ．1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭， D ．1(,]4-∞【答案】D【解析】由题意结合导数转化条件得()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21x x x e x e f x t x x x t x x ⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，Q 2()2(ln )xe f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1， ∴()220xe x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.二、填空题13．己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2-【解析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，4A 纸之所以流行的重要原因之一，2，2的矩形为“优美”矩形．现有一长方体1111ABCD A B C D -，126AD =，25AC =127AC =，则此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为___________． 【答案】4【解析】由题意求出该长方体的长、宽、高后，根据新概念验证即可得解. 【详解】由题意，该长方体如图所示：Q 126AD =，25AC =127AC =∴211222CC C AC A =-=222211114AD AD AD DD CC =-==-，222CD AC AD =-=，∴2AB CD ==，1122CC AA == ∴12AA AB =12AD AA =2AD AB=， ∴此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4. 【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解，属于基础题.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______． 【答案】()11312n -+ 【解析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】Q 121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______． 【答案】3【解析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =， 由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知(2cos ,sin ),(cos ,)m x x n x x ==u r r ，且()f x m n =⋅u r r．（1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32A f =，且2a =，4b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）[0,3]（2【解析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解；（2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】 （1）由题意可得2()2cos cos f x m n x x x=⋅=+u r r1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 2ABC S bc A ∴==△【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求锐二面角1D AC C --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）155【解析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =I ，由平面几何知识可得1//A B MD ，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出点的坐标后，求得平面1DAC 的一个法向量m u r、平面1ACC 的一个法向量n r，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅u r ru r r u r r 即可得解. 【详解】（1）证明：连结1A C ，设11AC AC M =I ，则M 是1A C 的中点，再连结DM ，因为D 是BC 的中点，所以DM 是1A BC V 的中位线，所以1//A B MD ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，DM ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）取AB 的中点O ，过点O 作1//Oz AA ，连结OC ，易知OB 、OC 、Oz 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有(1,0,0)A -，13,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0)C ，13,2)C ， 所以33,22AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()13,2AC =u u u ur ，()3,0AC =u u u r ，设平面1DAC 的一个法向量(,,)m x y z =u r，则133022320m AD x y mAC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩u u u v v u u u u v v ，令1x =，则有(1,3,1)m =u r ， 设平面1ACC 的一个法向量(,,)n a b c =r，则130320m AC a b n AC a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令1b =-则)3,1,0n =-r ， 所以13(3)(1)1015cos ,52m n m n m n⋅⨯+-⨯-+⨯===⨯⋅u r ru r r u r r ，所以二面角1D AC C --的余弦值为155． 【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19．某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A的需求量x的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A的月利润为最大．【答案】（1）1116（2）4个【解析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解.【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率22314 2344441111111112222216P C C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）（i）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y的分布列为：则()450014500E Y =⨯=（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()40000.560000.55000E Y =⨯+⨯=（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=； 需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()35000.554000.375000.24870E Y =⨯+⨯+⨯=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间． 【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.20．己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =u u u r u u u r，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【解析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r =l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =由圆的性质可得||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ， 由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k +==-+，所以||H G ==点M 到直线l 的距离d =，则||AB =， 因为AG BH =u u u r u u u r，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r 的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21．已知函数()1ln f x ax x =++． （1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≤【解析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e x F x x+'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0x x xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解. 【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间； （iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2xh x x x e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110e h e e -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=， 在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减； 在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增； 所以()0()F x F x ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e ex x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔， 设()()0xx xex ϕ>=，则有()001lnx x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0xx x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=若将曲线1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，倍，得曲线2C ． （1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（10y --=，224x y +=（2【解析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解；（2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PA PB+=即可得解.【详解】 （1）Q 直线l的极坐标方程可化为12sin 2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭，∴直线l0y --=；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P xy 的对应点， 则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()2221162x '⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=， ∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<，∴11113A BA B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】 本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <-【解析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解； （2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>，所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-， 所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立， 又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-， 当且仅当1x ≥时，等号成立.所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.。
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学(理科)试题(解析版)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟 考试分数：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}220A x xx =--≤，{}0B x x =>，则A B =I （ ）A. [1-，2]B. （1，2]C. （0，2]D. （2，+∞）【答案】C 【分析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x xx x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i - B. iC. 1D.1-【答案】D 【分析】 根据复数z 满足()11zi i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11zi i +=-，所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ）A.a b c <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】A【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b -<=<=，0.30221c =>=，所以01a b c <<<<. 故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题. 4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A. 100万元 B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126yx =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ）A. 18B. 24C. 48D. 36【答案】D 【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ） A. 10 B. 100C. 1000D. 10000【答案】D 【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg 110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ） A.(2,0),k k Z π∈ B. (,0),k k Z π∈C. (,0),2k k Z π∈ D. (,0),4k k Z π∈ 【答案】D 【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解.【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用，属于基础题. 8.已知二项式121(2)nx x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A .240B. 120C. 48D. 36【答案】A 【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r =，则6426622240r r C C -⋅=⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+， 当且仅当2x =时，等号成立； 当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意； 当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-，由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC V 是边长为3的正三角形，BCD V 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A. B.323πC. 12πD.643π【答案】B 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OHAG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、221OA m ⎫=+-⎪⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得2m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD V 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OHAG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，Q ABC V 是边长为3，2CD =，∴33AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则332HA m =-，∴222211134OD DO OO m =+=+，2222331OA OH HA m ⎫=+=+-⎪⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得22133314m m ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球体积343233V R ππ==. 故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ）A. 3B. 4C. 6D. 6【答案】B 【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AH AC =即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A. 1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C. 1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，D. 1(,]4-∞【答案】D 【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+，对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21xx x e x e f x t x x x t x x⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，Q 2()2(ln )xe f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1， ∴()220x e x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt ex =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2- 【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.14.古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，4A 纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近2，我们称这种满足了2的矩形为“优美”矩形．现有一长方体1111ABCD A B C D -，126AD =25AC =127AC =“优美”矩形的个数为___________． 【答案】4 【分析】由题意求出该长方体长、宽、高后，根据新概念验证即可得解.【详解】由题意，该长方体如图所示：Q 126AD =，25AC =127AC =，∴211222CC C AC A =-=，222211114AD AD AD DD CC =-==-，222CD AC AD =-=，∴2AB CD ==，1122CC AA == ∴12AA AB =12AD AA =2AD AB=， ∴此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解，属于基础题. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______．【答案】()11312n -+ 【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】Q 121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211nn n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______．【答案】3 【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答， （一）必考题：共60分17.已知(2cos ,sin ),(cos ,)m x x n x x ==u r r ，且()f x m n =⋅u r r． （1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）[0,3]（2【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解； （2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由题意可得2()2cos cos f x m n x x x=⋅=+u r r1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 2ABC S bc A ∴==△【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求锐二面角1D AC C --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）155【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =I ，由平面几何知识可得1//A B MD ，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出点的坐标后，求得平面1DAC 的一个法向量m u r 、平面1ACC 的一个法向量n r ，利用cos ,m nm n m n⋅=⋅u r ru r r u r r 即可得解. 【详解】（1）证明：连结1A C ，设11AC AC M =I ，则M 是1A C 的中点，再连结DM ，因为D 是BC 的中点，所以DM 是1A BC V 的中位线，所以1//A B MD ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，DM ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）取AB 的中点O ，过点O 作1//Oz AA ，连结OC ，易知OB 、OC 、Oz 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有(1,0,0)A -，132D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0)C ，13,2)C ， 所以33,22AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()13,2AC =u u u ur ，()3,0AC =u u u r ，设平面1DAC 的一个法向量(,,)m x y z =u r，则133022320m AD x y mAC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩u u u v v u u u u v v ，令1x =，则有(1,3,1)m =-u r ， 设平面1ACC 的一个法向量(,,)n a b c =r，则130320m AC a b n AC a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u u vv ，令1b =-则()3,1,0n =-r ， 所以13(3)(1)1015cos ,52m n m n m n⋅⨯+-⨯-+⨯===⨯⋅u r ru r r u r r ，所以二面角1D AC C --15． 【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A 的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A 的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A 的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A 的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A 的需求量x 的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大． 【答案】（1）1116（2）4个 【分析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解. 【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率223142344441111111112222216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（i ）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y 的分布列为：则()450014500E Y =⨯=（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=；则Y 的分布列为：则()40000.560000.55000E Y =⨯+⨯=（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=；需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=；则Y 的分布列为：则()35000.554000.375000.24870E Y =⨯+⨯+⨯=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间．【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =u u u r u u u r，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r=l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 由题意1c=，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k+==-+，所以||H G ==，点M 到直线l的距离d=，则||AB =，因为AG BH =u u u ru u u r，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭， 所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()1ln f x ax x =++． （1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≤ 【分析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x --≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x--=，则22ln ()x x e x F x x+'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00hx =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0x x xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解.【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；（iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2x h x xx e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110eh ee -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以01,1x e ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=， 在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减；在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增；所以()0()F x Fx ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔，设()()0xx xe x ϕ>=，则有()001lnx x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0xx x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的倍，得曲线2C ．（1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（1）0y -=，224x y +=（2【分析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),Px y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解； （2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PA PB+=即可得解.【详解】（1）Q 直线l的极坐标方程可化为12sin 22ρθθ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l的直角坐标方程为0y -=；设点(),Px y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P xy 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=，∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，21则直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<， ∴1111A B A B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <- 【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>， 所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-， 所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭； （2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立，又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-，当且仅当1x ≥时，等号成立.所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题。
辽宁省2020年部分重点中学协作体高考模拟数学(理科)试卷(含答案)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题， 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（ ）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞）2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（ ）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=x x f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．100007．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（ ）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(π D ．Z k k ∈),0,4(π 8．已知二项式nx x )12(21+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A ．240B ．120C ．48D ．36 9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A ．π34B ．332π C ．π12 D ．364π 11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（ ）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在1:2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天， A4纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近1:2，我们称这种满足了1:2的矩形为“优美”矩形。
2020年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷(理)含答案解析
2020 年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）、选择题1．设集合 A={x| x ≥﹣ 1} ，B= { x| y=}，则 A ∩?R B 等于（ ）3．命题 p ：若 a<b ，则 ac 2<bc 2；命题 q ：? x 0>0，使得 x 0﹣1﹣lnx 0=0，则下列命题为真 命题的是（ ）A ．p ∧qB ． p ∨（￢ q ）C ．（￢p ）∧q5．某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体 1200名学生中抽取 80 名学生做视力检查．现将 1200名学生从 1到 1200进行编号， 在 1～15中随机抽取一个数，如果抽到的是 6，则从 46～60这 15个数中应抽取的数是（ ） A ．47 B ．48 C ．51 D ． 54于（ ） A ．3B ．2C ．﹣ 2D ．﹣ 37．若（ x 2﹣a ）（x+ ） 10的展开式 x 6的系数为 30，则 a 等于（ ）2．若复数 z=A ．﹣B ．﹣ 1B ．｛x|﹣ ｝C ．｛x| ﹣1｝D ．｛x|a<0），其中 i 为虚数单位， |z| = ，则 a 的D ．（￢ p ）∧（￢ q ） ）则输出的结果是 6．设 x ， y 满足约束条件，若 z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m 等4．执行如图所示的程序框图，D ．A．B．C．1 D．25 ，则俯视图中线段的长度x的8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为值是（）A ．6B ．4C ．5D ．29．已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的 2 倍，若该三棱柱的各顶点都在球 O 的表面上，且球 O 的表面积为 36π，则此三棱锥 A ﹣A 1B 1C 1 的体积为（ ）、填空题13．已知函数 f （x ）=，若 f （x ）≤2，则x 的取值范围是的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为 ．15．在△ ABC 中， ∠C=90 °，AB=3 ，AC=1 ，若 =2 ﹣ ，则 ? 等于 ． 16．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、c ，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB ， 且 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，则 m 的值为 ． 三、解答题17．已知各项均为正数的等差数列 { a n }满足： a 4=2a 2，且 a 1， 4， a 4成等比数列．B．C ．D ． ．．．A ．10．若函数 f （ x ） =4sin （ 2x+φ）（ | φ| <）的图象关于直线 x= 对称， 且当 x 1，x2∈（﹣ ）， x 1≠x 2 时， f （x 1）=f x 2），则 f （ x 1+x 2）等于（ ）A ．11． 4 已知点 B ．2 C ．2 D ． 2 A 是抛物线 y 2=2px （ p> 0）B ，C 两点， 上一点， F 为其焦点，以 |FA| 为半径的圆交准线于△ FBC 为正三角形，且△ ABC 的面积是 ，则抛物线的方程是（A ． 12y 2=12x 设函数222 B ． y 2=14x C ． y 2=16x D ．y 2=18x 在 R 上存在导函数 f ′（ x ），对于任意的实数 x ，有 f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ）， f （x ）当 x ∈（﹣ ∞， 0） 时， f ′（ x ） <3x ，若 f （m+3）﹣ f （﹣ m ）≤ 值范围是（A ．［ ﹣ +∞）B ．［﹣，+∞） C ．［ ﹣1，+∞） D ．［ ﹣2，+∞） 14．已知直线 x ﹣ y+2=0 过双曲线=1（a>0，b>0） 的一个焦点，且与双曲线，则实数 m 的取（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）求同时满足下列条件的所有 a n的和：① 20≤n≤116；② n能够被 5 整除． 18．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100 人120 人y人社会人士500 人x人z人已知在全体样本中随机抽取 1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06．（Ⅰ ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的300 人进行问卷访谈，问应在持所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望．19．如图 1，已知四边形 ABFD 为直角梯形，为等边三角形，AD=DF=2AF=2 ，C为 DF的质点，如图 2，将平面 AED 、BCF 分别沿 AD 、BC折起，使得平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 BCF⊥平面 ABCD ，连接 EF、DF，设 G为 AE上任意一点．（1）证明： DG∥平面 BCF ；（2）求平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值．原点 O 向圆 M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P、Q，直线 OP， OQ 的斜率分别记为 k1， k2．（1）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的左焦点，求圆 M 的方程；（2）若 r= ，21．已知函数 f（x）=mlnx+2nx2+x（x>0，m∈R，n∈R）．（1）若曲线 y=f（ x）在（ 1，f（1））处的切线方程为 2x+y﹣1=0，求 f（x）的20．如图，在平面直角坐标系xOy，设点 M（x0， y0）是椭圆C：=1 上一点，从① 求证： k1k2 为定值；② 求 | OP| ?| OQ| 的最大值．递增区间；（2）若 m=1，是否存在 n ∈R ，使 f （x ）的极值大于零？若存在，求出 n 的取值范围；若不存在，请说明理由．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ] 22．如图，⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ． （1）若 BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ，求 CE 的长； ，求 的值．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲 ] 23．（选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程） 已知曲线 C 1的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ． （Ⅰ）把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1 与 C 2交点的极坐标（ ρ≥0，0≤θ<2π） [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]24．已知函数 f （x ）=| x ﹣a| ﹣|x+3| ，a ∈R ． （Ⅰ）当 a=﹣1 时，解不等式 f （x ）≤1；（Ⅱ）若当 x ∈[0，3]时，f （x ）≤4，求 a的取值范围．x 轴的正半轴为2020 年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题1．设集合 A={x| x ≥﹣ 1} ，B= { x| y= }，则 A ∩?R B 等于（ ）考点】 交、并、补集的混合运算．【分析】 根据题意，求出集合 B 以及 B 在 R 中的补集，再求 A ∩?R B 即可． 【解答】 解：∵集合 A={x|x ≥﹣ 1}， B={x|y= }={x|3x 2+5x ﹣2≥0}={x| x ≤﹣2，或 x ≥ }， ∴?R B={x| ﹣2<x< }，∴A∩?R B={x| ﹣1≤x< } ． 故选： A ． 考点】 复数求模．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的运算公式求得解：∵ z= = ， ∴| z|=∴|z|=又 a< 0 ， 解得 a=﹣ ． 故选： D ．3．命题 p ：若 a<b ，则 ac 2<bc 2；命题 q ：? x 0>0，使得 x 0﹣1﹣lnx 0=0，则下列命题为真 命题的是（ ）A ．p ∧qB ．p ∨（￢ q ）C ．（￢p ）∧qD ．（￢ p ）∧（￢ q ） 【考点】 复合命题的真假．【分析】 命题 p ：取 c=0 时是不成立， 因此是假命题； 命题 q ：取 x 0=1 ，满足 x 0﹣1﹣ lnx 0=0， 即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【解答】 解：命题 p ：若 a< b ，则 ac 2<bc 2，c=0 时是不成立，因此是假命题；2．若复数 z=A ．﹣B ．﹣ 1C ．a<0），其中 i 为虚数单位， |z| = ，则 a 的值为（a 值．分析】 A ．{x|B ．{x| ﹣} C ．{x| ﹣1}命题 q ：取 x 0=1，满足 x 0﹣ 1﹣ lnx 0=0，因此是真命题． 则下列命题为真命题的是（￢ p ）∧ q ， 故选： C ．值，用裂项法即可计算得解．解答】解：模拟执行程序， 可得程序框图的作用是计算并输出5．某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体 1200名学生中抽取 80 名学生做视力检查．现将 1200名学生从 1到 1200进行编号， 在 1～15中随机抽取一个数， 如果抽到的是 6，则从 46～60这 15个数中应抽取的数是（ ） A ．47 B ．48 C ．51 D ． 54 【考点】 系统抽样方法．【分析】 根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】 解：因为采取系统抽样，每 15人随机抽取一个人，在 1～15 中随机抽取一个数， 如果抽到的是 6，所以在 k 组抽到的是 6+15（ k ﹣ 1），所以 46～60这 15个数中应抽取的数是 6+15× 3=51 故选： C ．，若 z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m等=1+⋯+=的值， 而故选： A ．4．执行如图所示的程序框图， 则输出的结果是（D ．分析】 模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出⋯⋯6．设 x ， y 满足约束条件 考程序框的于（）A．3 B．2 C．﹣ 2 D．﹣ 3【考点】 简单线性规划．【分析】 作出不等式对应的平面区域， 利用线性规划的知识， 通过平移即可求 z 的最大值和 最小值．建立方程关系进行求解即可． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域，距最大，此时 z 最大． z=1+4×4=17 ﹣3．∵z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5 ∴17﹣（ 5m ﹣3）=20﹣5m=5． 得 m=3 ． 故选： A ．7．若（ x 2﹣a ）（ x+ ） 10的展开式 x 6的系数为 30，则 a 等于（考点】 二项式系数的性质．分析】 根据题意求出（ x+ ） 10展开式中含 x 4项、 x 6项的系数，得出（ 的展开式中 x 6 的系数，再列出方程求出 a 的值．平移直线 y=﹣ ，由图象可知当直线 y = ﹣经过点 A 时，直线 y=的截当直线 y=﹣经过点 此时 z 最小．z=m ﹣3+4m=5mx 2﹣ a ）（x+ ） 10 由 z=x+4y ，得 y= ﹣B 时，直线y= ﹣的截距最小，【解答】 解：（x+ ）10 展开式的通项公式为： T r+1=?x 10﹣r ?=?x 10﹣2r； 令 10﹣2r=4，解得 r=3，所以 x 4 项的系数为 ； 令 10﹣2r=6，解得 r=2，所以 x 6项的系数为 ； 所以（ x 2﹣a ）（x+ ）10的展开式中 x 6的系数为：﹣a =30 ， 解得 a=2． 故选： D ．C ．5D ．2 由三视图求面积、体积． 由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为 h ，利用体积计算公式解得 利用勾股定理即可得出．【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为 ∴x= =6， 故选： A ．9．已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的 2 倍，若该三棱柱的各顶点都在球 O 的表面上，且球 O 的表面积为 36π，则此三棱锥 A ﹣A 1B 1C 1 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积．8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为5 ，则俯视图中线段的长度 x 的 h ，再则=× h ，解得 h= ．h ， 考点】【分析】 通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设 出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得 a ，然后由棱柱的体积公式得答案．【解答】 解：如图，10．若函数 f （ x ）=4sin （ 2x+φ）（ | φ| < ）的图象关于直线 x= 对称，且当 x 1，x2∈（﹣，﹣ ），x 1≠x 2时， f （x 1）=f （ x 2），则 f （x 1+x 2）等于（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ． 2 【考点】 正弦函数的图象．【分析】 由正弦函数的对称性可得 sin （ 2× +φ） =±1，结合范围 | φ| < ，即可解得 φ的值，得到函数 f （ x ）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得 解析式利用诱导公式即可计算求值． 【解答】 解：∵ sin （2× +φ）=± 1， ∴φ=k π+ ，k ∈ Z ， 又∵ | φ| < ，∵三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等， 6 个顶点都在球 O 的球面上， ∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为 O ，再设球的半径为 r ，由球 O 的表面积为 36π，得 4πr 2=36π，∴ r=3 ．a ，且球心 O 到上底面中心 设三棱柱的底面边长为 a ，则上底面所在圆的半径为 H 的距x 1+x 2=﹣，代入函数离OH=a ，．∴x 1+x 2=故选： B ．11．已知点 A 是抛物线 y 2=2px （p>0）上一点， F 为其焦点，以 |FA| 为半径的圆交准线于 B ， C 两点，△ FBC 为正三角形，且△ ABC 的面积是 ，则抛物线的方程是（ ） 2222A ．y =12xB ．y =14xC ． y =16xD ．y =18x 【考点】 抛物线的简单性质．计算即可得到 p=8，进而得到抛物线方程．解得 p=8，则抛物线的方程为 y 2=16x ． 故选： C ．+） =2 ．∴f (x 1+x 2) =4sin( =k， k ∈ Z ，可得其对称轴方程为：==， ﹣ ，﹣， ﹣ ，﹣0）关于点（﹣ ，0）对称，分析】 由等边三角形的性质可得 | BF| =| AF| ，由抛物线的定义和三角形的面积公式，解答】 解：由题意可得 =cos30°且| DF| =p ，由抛物线的定义可得 A 到准线的距离也为∴f(x)=4sin( 2x∴由，k ∈Z ，），x 1≠x 2时， f （x ） ∵x 1， x ∈(﹣ ），且（ x 1， 0），（ x ，∴x 1， x ∈(﹣ 可得 |BF|，从而 | AF|在 R 上存在导函数 f ′（ x ），对于任意的实数 x ，有 f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ），考点】 利用导数研究函数的单调性．x 2，推出 g （ x ）为奇函数，判断 g （x ）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】 解：∵ f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ），2设 g （ x ）=f （ x ）﹣ x 2，则 g （x ）+g （﹣ x ）=0， ∴函数 g （x ）为奇函数．∵x ∈（﹣ ∞， 0）时， f ′（x ）+ <3x ， g ′（x ）=f ′（ x ）﹣ 3x<﹣ ，故函数 g （x ）在（﹣ ∞， 0）上是减函数， 故函数 g （x ）在（ 0， +∞）上也是减函数，即 g （m+3）< g （﹣ m ）， ∴m+3≥﹣ m ，解得： m ≥﹣ ， 故选： B ． 、填空题当 x ∈（﹣ ∞， 0） 时，f ′（x ） <3x ，若 f （m+3）﹣ f （﹣ m ）≤ 值范围是（A ．［ ﹣ ，+∞） B ．[﹣ ，+∞） C ．［ ﹣1，+∞） D ．［ ﹣2，+∞） 分析】 利用构造法设 g （ x ）=f （x ） ∴f （x ）2+f （﹣x ）x 2=0，若 f （m+3） f （﹣ m ） ≤ 9m 12．设函数 f （ x ），则实数 m 的取则 f （m+3）m+3）2≤f （﹣m ）13．已知函数 f （x ）= ，若 f （x ）≤2，则 x 的取值范围是 （﹣∞，﹣2] ∪[ ﹣1，4] ．【考点】 函数单调性的判断与证明．【分析】 在每段上解不等式 f （x ）≤2，然后所得 x 的范围求并集即可得出 x 的取值范围．【解答】 解：（1）当 x ≥0 时，由 f （x ）≤2得， ； ∴0≤x ≤4；（2）当 x<0时，由 f （x ）≤ 2得，﹣ x 2﹣3x ≤2； 解得 x ≤﹣ 2，或﹣ 1≤x< 0；综上得， x 的取值范围是（﹣ ∞，﹣2]∪[ ﹣1，4] ． 故答案为：（﹣ ∞，﹣2]∪[ ﹣1，4]．14．已知直线 x ﹣ y+2=0 过双曲线 ﹣ =1（ a> 0，b>0） 的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为 2 考点】 双曲线的简单性质．【分析】 求得直线 x ﹣ y+2=0 在 x 轴上的交点，可得 c=2 ，再由两直线垂直的条件：斜率 之积为﹣ 1，可得 b= a ，解方程可得 a=1，进而得到实轴长 2a ． 【解答】 解：直线 x ﹣ y+2=0 过 x 轴上的交点为（﹣ 2， 0），由题意可得 c=2 ，即 a 2+b 2=4，可得双曲线的实轴长为 2． 故答案为： 2．15．在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=3 ，AC=1 ，若 =2 ﹣ ，则 ? 等于 12 ． 【考点】 平面向量数量积的运算．【分析】 由直角三角形的余弦函数可得 cosA ，再由向量的加减运算和向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】 解：在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=3 ， AC=1， 可得 cosA= = ， 由 =2 ﹣ ，可得 + =2 ，即 =2 ， 即为 = ，则 ? =（ ﹣ ） ?（ ﹣ ）的一个焦点，且与双曲线 由直线 x ﹣ y+2=0 与双曲线的一条渐近线垂直， 可得即为 b= a ， 解得 a=1， b= ，=（﹣） ?（﹣）22=2+2﹣ ? =故答案为： 12．16．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、c ，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB ， 2 2 2 2且 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，则 m 的值为 ±2 ． 【考点】 两角和与差的正切函数．a 2+b 2=3c 2．结合sin 2A+sin 2B=(m 2+1)sin 2C ，可得 m 的值．【解答】 解：在△ ABC 中，若 tanAtanC +tanBtanC=tanAtanB即 tanC( tanA +tanB ) =tanAtanB ，即22∴ sin 2C=cosC ?sinAsinB ，利用正弦定理可得 c 2=ab?cosC ， cosC=再根据 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，可得 a 2+b 2=（m 2+1）c 2． ∴m 2+1=3 ，∴ m= ± ， 故答案为：± ．三、解答题 17．已知各项均为正数的等差数列 { a n }满足： a 4=2a 2，且 a 1， 4， a 4成等比数列．（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）求同时满足下列条件的所有 a n 的和： ① 20≤n ≤116；② n 能够被 5 整除．【考点】 等差数列的前 n 项和；等差数列的性质．【分析】（1）根据题意，列出方程组，求出首项 a 1 和公差 d ，写出通项公式即可； （2）得出满足条件的 n 组成等差数列 { b n } ，求出 { b n }的所有项的和，即可求出满足条件的 所有 a n 的和．【解答】 解：（1）根据题意，等差数列 {a n } 中， a 4=2a 2，且 a 1，4，a 4成等比数列， 即，解得 a1=2， d=2； ∴数列 {a n } 的通项公式为 a n =a 1+（ n ﹣ 1）d=2 +2（ n ﹣ 1）× 3× 1× =12 分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 ==，再根据=+==，==再根据 cosC= ，可得 =∴ a 2+b 2=3c 2．× 9+1再利用正弦定求即=2n；（2）∵ a n=2n，且 n 同时满足：① 20≤n≤116；② n能够被 5 整除，∴满足条件的 n 组成等差数列 { b n}，且 b1=20，d=5， b n=115，∴项数为 +1=20 ；∴ { b n} 的所有项的和为S20=20×20+ × 20×19×5=1350，∴满足条件的所有 a n 的和为2S20=2×1350=2700．18．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100 人120 人y人社会人士500 人x人z人已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06．（Ⅰ ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300 人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？Ⅱ ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列．【分析】（ 1）由，先求出持“无所谓”态度的人数，由此能求出应在持“无所谓态度的人中抽取的人数．（2）由持“应该保留”态度的一共有 180 人，在所抽取的 6 人中，在校学生人数为 4，社会人士人数为 2，第一组在校学生人数 X 的可能取值为 1， 2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 EX ．【解答】解：（ 1）∵在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06，∴ ，解得 x=60 ，∴持“无所谓”态度的人数为： 3000﹣2100﹣500﹣120﹣60=220，∴应在持“无所谓”态度的人中抽取 220×=22 人．（2）由（ 1）知持“应该保留”态度的一共有 180 人，∴在所抽取的 6 人中，在校学生人数为，社会人士人数为，于是第一组在校学生人数 X 的可能取值为 1，2， 3，∴X 的分布列为：EX= =2 ．19．如图 1，已知四边形 ABFD 为直角梯形， 为等边三角形， AD=DF=2AF=2 ，C 为 DF 的质点，如图 2，将平面 AED 、BCF 分别沿 AD 、BC 折起，使得 平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 BCF ⊥平面 ABCD ，连接 EF 、DF ，设 G 为 AE 上任意一点． （1）证明： DG ∥平面 BCF ；（2）求平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值．【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ ）推导出 CD ⊥平面 AED ，CD ⊥平面 BCF ，从而平面 AED ∥平面 BCF ，由此 能证明 DG ∥平面 BCF ．（Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 OE ，则 OE ⊥AD ，以 OD 为 x 轴，以平面 AED 过O 的垂线 为 y 轴，以 OE 为 y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 BCF 所 成锐二面角的余弦值． 【解答】 证明：（Ⅰ）由题意知 BC ⊥DC ，∵平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 AED ∩平面 ABCD=AD ， 又 CD ⊥AD ，∴ CD ⊥平面 AED ， 同理， CD ⊥平面 BCF ， ∴平面 AED ∥平面 BCF ，又 DC? 平面 AED ，∴ DG ∥平面 BCF ． 解：（Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 OE ，则 OE ⊥AD ，∵平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 AED ∩平面 ABCD=AD ，===P（ X=3 ） P P2∴OE ⊥平面 ABCD ，以 OD 为 x 轴，以平面 AED 过 O 的垂线为 y 轴，以 OE 为 y 轴，建立 空间直角坐标系， ∵OE= ，CF=1 ，则 O （ 0， 0，0）， =（ 0， 1，1）， =（ 0，﹣ 设平面 DEF 的法向量 =（ x ， y ， z ）， 则 ，取 z=1 ，得 =（ ，又 = （0，﹣ 1，0）是平面 BCF 的一个法向量，∴平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为分析】（ 1）椭圆 C 的左焦点是（﹣ 2 ，0），x= ﹣2 ，代入 + =1，可得 y=±1， 求出圆的圆心，然后求圆 M 的方程；1，0）， ﹣ 1， 1），cos< >==20．如图，在平面直角坐标系 xOy ，设点 M （x 0，y 0）是椭圆 C ： 原点 O 向圆 M ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=r 2 作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P 、 Q ，直线 OP ， OQ 的斜率分别记为 k 1， k 2．（1）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的左焦点，求圆 （2）若 r= ，M 的方程；=1 上一点，从② 求 | OP| ?| OQ| 的最大值．考点】 椭圆的简单性（2）① 因为直线 OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，与圆 R 相切，推出 k 1，k 2 是方程（ 1+k 2）x 2﹣（ 2x 0+2ky 0） x+x 02+y 02﹣ =0 的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出 k 1k 2．结合点M （x 0， y 0）在椭圆 C 上，得出 k 1k 2=﹣ ．② （ i ）当直线 OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），通过 4k 1k 2+1=0， 推出 y 12y 22= x 12x 22，利用 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），在椭圆 C 上，推出 OP 2+OQ 2=20， 即可求出 |OP|?| OQ|的最大值．【解答】 解：（1）椭圆 C 的左焦点是（﹣ 2 ，0），x=﹣2 ，代入 + =1，可得 y= ±1，∴M （﹣ 2 ，±1）∴圆 M 的方程：（ x+2 ） 2+（y ± 1） 2=1；（2）①因为直线 OP ： y=k1x ， OQ ： y=k 2x ，与圆 R 相切，2 2 2 2所以直线 OP ：y=k 1x 与圆 M ：（x ﹣ x 0）2+（y ﹣y 0）2= 联立， 可得（1+k 12）x 2﹣（2x 0+2k 1y 0）因为点 M （x 0，y 0）在椭圆 C 上，所以 y 02=1﹣ ② （i ）当直线 OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设 P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2）， 因为 4k 1k 2+1=0，所以 y 12y 22= x 12x 22，因为 P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2）在椭圆 C 上，所以 y 12y 22=（ 4﹣ 整理得 x 12+x 22=16， 所以 y 12+y 22=4 所以 OP 2+OQ 2=20．（ii ）当直线落在坐标轴上时，显然有 OP 2+OQ 2=20，22x+x 0+y=0同理（ 1+k 22）x 2﹣由判别式为 =0 的两个不相等的实数根，22 x 1 x 2 ，222x 0+2k 2y 0) x+x 0 +y 00，可得 k 1，k 2 是方程 k 2﹣2x 0y 0k+y 02﹣k 1k 2所以 k1k 2=综上： OP2+OQ2=20所以 | OP| ?| OQ| ≤ （OP 2+OQ 2） =10， 所以 | OP| ?| OQ| 的最大值为 10． 21．已知函数 f （x ）=mlnx +2nx 2+x （x>0，m ∈R ，n ∈R ）．（1）若曲线 y=f （ x ）在（ 1，f （1））处的切线方程为 2x+y ﹣1=0，求 f （x ）的递增区间； （2）若 m=1，是否存在 n ∈ R ，使 f （ x ）的极值大于零？若存在，求出 n 的取值范围；若 不存在，请说明理由．【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于 m ，n 的方程组，求出 m ，n 的值，从而求出 f （x ） 的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；【解答】 解：（ 1）由题意得： f ′（x ）= +4nx+1，f ′（1） =1+m+4n ， 由 f （1） =﹣1，得： k=﹣ 2，，解得： m=1，n=﹣1，∴f （x ） =lnx ﹣2x 2+x ， ∴f ′（x ）=（x>0），令 f ′（x ）> 0，解得： 0<x< ， ∴f （x ）在（ 0， ）递增；（2）由题意得： f （ x ）=lnx +2nx 2+x ，f ′（x ）= （x>0），① n ≥0时， f ′（x ）> 0在（ 0，+∞）恒成立，故无极值，2② n< 0 时，令 f ′（ x ）=0，得： 4nx 2+x+1=0，则△ =1﹣ 16n>0， x 1x 2= <0， 不妨设 x 1<0，x 2>0，则 f ′（x ）= ，即求使 f （x 2）> 0的实数 m的 取值范围，∴g （x ） 在（ 0， +∞）递增，（2）求出 f （x ）的导数，通过讨论 n 的范围，得到 化为求使 f （ x 2）>0的实数 m 的取值范围，构造函数 调性，从而求出 n 的范围即n ≥0 时，不合题意，g （ x ）=lnxn<0 时，问题转求出 g （x ）的构造函数 g （ x ）=lnx lnx 2+> 0，g ′（x ） =+ >0，由 g （ 1）=0，由 g （x ）> 0，解得： x>1， 即 x 2=>1，解得：﹣ < n<0，由①② 得： n ∈（﹣ ， 0）．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ]22．如图，⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ． （1）若 BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ，求 CE 的长；【分析】（1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段 股定理的线段的关系可求得 CE 的长度即可． AE 的长，再根据勾，由△ ABD ∽△ AEC ，能求出 【解答】解：（1）∵⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ，BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ， ∴由割线定理得 AB ?AC=AD ?AE ， ∴ AE==2）由已知 AC=2AB ， AE=3AD ，从而 AD= 的值．=8，DE=AE ﹣ AD=8 ﹣ 3=5，又 BD ⊥ AE ，∴ BE 为直径，∴∠ C=90°， 在 Rt △ACE 中，由勾股定理得 CE 2=AE 2﹣ AC 2=28， ∴CE=2 ． （2）∵∠ AEC= ∠ABD ，∠A= ∠A ， ∵，的∴ AC=2AB ， AE=3AD ，∵AD ?AE=AB ?AC ，∴△ ABD ∽△ AEC ，=[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲 ] 23．（选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程） 已知曲线 C 1的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ． （Ⅰ）把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1 与 C 2交点的极坐标（ ρ≥0，0≤θ<2π）【考点】 参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ ）对于曲线 C 1利用三角函数的平方关系式 sin 2t+cos 2t=1 即可得到圆 C 1的普通 方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C 1 的极坐标方程； （Ⅱ ）先求出曲线 C 2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极 坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C 1 与 C 2 交点的极坐标． 【解答】 解：（Ⅰ）曲线 C 1的参数方程式（t 为参数），得（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=25 即为圆 C 1的普通方程，即 x 2+y 2﹣ 8x ﹣ 10y +16=0 ．将 x= ρcos θ，y=ρsin θ代入上式，得． ρ2﹣8ρcos θ﹣10ρsin θ+16=0，此即为 C 1 的极坐标方程； （Ⅱ）曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ化为直角坐标方程为：∴C 1与 C 2交点的极坐标分别为（ ， ），（2， ）．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] 24．已知函数 f （x ）=| x ﹣a| ﹣|x+3| ，a ∈R ． （Ⅰ）当 a=﹣1 时，解不等式 f （x ）≤1；（Ⅱ）若当 x ∈[0，3]时，f （x ）≤4，求 a 的取值范围． 【考点】 绝对值不等式的解法．【分析】（ Ⅰ ）当 a=﹣ 1时，不等式为 |x+1|﹣|x+3|≤1，对 x 的取值范围分类讨论，去掉上 式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ ）依题意知， | x ﹣a| ≤x+7，由此得 a ≥﹣7且 a ≤2x+7，当 x ∈[0，3]时，易求 2x+7 的 最小值，从而可得 a 的取值范围． 【解答】 解：（Ⅰ）当 a=﹣1时，不等式为 | x+1|﹣| x+3|≤1．当 x ≤﹣ 3 时，不等式化为﹣（ x+1）+（x+3）≤ 1，不等式不成立；当﹣ 3<x<﹣ 1时，不等式化为﹣（ x+1）﹣（ x+3）≤ 1，解得﹣ ≤x<﹣1； 当x 2+y 2﹣2y=0 ，x≥﹣ 1时，不等式化为（ x+1）﹣（ x+3）≤ 1，不等式必成立．综上，不等式的解集为 [ ﹣，+∞）．⋯（Ⅱ）当 x∈[0，3]时，f（x）≤4即| x﹣a|≤x+7，由此得 a≥﹣7且 a≤2x+7．当 x∈[ 0，3] 时， 2x+7的最小值为 7，所以 a的取值范围是 [ ﹣7，7] ．⋯2020 年 8 月 20 日。
【精准解析】辽宁省辽南协作校2020届高三第二次模拟数学(理)试题
B. R
C. (,1)
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合 A，再求并集即可.
【详解】 A x x(1 x) 0 x 0 x 1 ，故 A B (,1) .
故选：C. 【点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.
2.已知复数 z i i2020 .则| z | ( )
A. 2
故选：C． 【点睛】本题考查算法案例，解题时只要模拟程序运行，判断变量值变化，判断循环条件， 得出结论． 7.某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是( )
3
A.
4
B. 3 8
4
C.
7
D. 1 2
【答案】C 【解析】 【分析】 利用列举法确定基本事件的总数，再得出至少有两个孩子是女孩所包含的基本事件，最后利 用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，某家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩， 基本事件有：（男男女），（男女男），（女男男），（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）， 共有 7 个， 其中至少有两个孩子是女孩包含的基本事件有： （男女女），（女男女），（女女男），（女女女），共有 4 个，
10000 由图乙可知，高中生近视率为 50% ， ∴抽取的高中生近视人数为 40 50% 20 （人）. 故选：D..
【点睛】本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键
信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.
4.设 l 是直线， ， 是两个不同的平面( )
理利用圆的弦长公式列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9.已知周期为 的函数 f (x) 3 sin(x ) cos(x )( 0, 0 π) 是奇函数，把
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三下学期高考模拟考试数学(理)试题(带答案)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题， 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（ ）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞） 2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．1- C ．1 D ．i 3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（ ）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a 4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元． 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=xx f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．10000 7．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（ ）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(π D ．Z k k ∈),0,4(π8．已知二项式nxx )12(21+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A ．240 B ．120 C ．48 D ．369．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A ．π34 B ．332π C ．π12 D ．364π11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（ ）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在1:2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天， A4纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近1:2，我们称这种满足了1:2的矩形为“优美”矩形。
2020年辽宁省第三次高考模拟考试理科数学试题与答案
2020年辽宁省第三次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则AB =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 复数z 满足(1)|1|z +=+，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12D 12i -3. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A.B.C. D. 24. 在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（ ）A.B. C. D.5. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15B. 16C. 18D. 216. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种7. 若1x 是方程4xxe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18. 已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.11．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则( )A.)(a f <)(b f <)(c fB.)(b f <)(c f <)(a fC.)(a f <)(c f <)(b fD.)(c f <)(b f <)(a f12．已知函数1,)21(1,2542{)(≤>-+-=x x x x x x f ，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围为（ ）A．1,64⎡⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．][1,2ln2,64⎛-∞-⋃ ⎝ D ．][1,2ln2,64e ⎛-∞-⋃ ⎝ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年辽宁协作体-理数答案
步骤应有作图（到 1 分）、简证（到 3 分）、求解(到 6 分)
19.解：（I）由 n 次重复试验恰好发生 k 次的概率公式可知，在未来的 4 个月
中，至少有 2 个月的月需求量低于 100 万件的概率：
方法一：
p
C42
(
1 2
)2
(1
1)2 2
C43
(
1 2
)3
(1
1 )1 2
C44
(
1 2
)4
cos 2x 3 sin 2x 1 2sin(2x ) 1 ………………………3 分 6
Q
x
0,
2
,
2x 6
6
,
7 6
,
f
(x)的值域为0,3 …………6
分
（II）因为 f ( A) 3 ，所以 2sin( A ) 1 3 ， sin( A ) 1
2
6
6
因为 0 A ，所以 A ． 3
（ II ） 方 法 一 ： 取 AB 的 中 点 O , A1B1 的 中 点 O1 , 连 结 OO1 和 OC , 易 知
OB, OC, OO1 两两垂直，以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。则有
高三数学理科答案 共 6 页 (第 1 页)
A(1, 0, 0), D( 1 , 3 , 0), C(0, 22
20．解：（I）设椭圆的焦距为 2c ，
方法一：利用椭圆定义 2a | PF1 | PF2 | 2 2 , a2 2 ,
所以 b2 a2 c2 1,故 C ： y2 x2 1………………………………………4 分 2
方法二：由已知
1
a2
1 2b2