16版《导与练》高中同步各科同步亮点
高中物理《导与练》选修3-1(教科版)第一章本章总结
由几何关系得 x=y+Ltan θ
3qEL2 解得 x= . 2 2mv0 2L 3qEL2 答案:(1) (2) v0 2mv0 2
高中·物理
方法技巧
带电粒子的偏转分析
带电粒子在电场中偏转的处理方法类似平抛运动的处理方法.由于带电
粒子的质量较小,可以忽略重力对其运动的影响,所以飞出电场后做匀速 直线运动. 二、等分法确定等势点 1.在匀强电场中,沿任意一个方向,电势降落都是均匀的,故在同一直线
2L v0
.
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(2)设粒子射出电场时沿平行电场线方向的速度为 vy=
qEL qE t′= m mv0
粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为 tan θ=
2
vy v0
.
1 qE L qEL2 设粒子在电场中的偏转距离为 y= = 2 m v0 2mv0 2
上相同间距的两点间电势差相等.
2.在匀强电场中,相互平行且相等的线段两端点的电势差相等.
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【例 3】 如图所示,A,B,C 是匀强电场中等腰直角三角形的三个顶点,已知 A,B,C 三点的电 势分别为 A=15 V, B=3 V, C=-3 V,试确定场强的方向,并画出电场线.
解析:根据 A,B,C 三点电势的特点,在 AC 连线上取 M,N 两点,使 AM=MN=NC,如图所示,尽管 AC 不一定是场强方向,但可以肯定 AM,MN,NC 在场强方向上的投影长度相等,由 U=Ed 可知, UAM=UMN=UNC=
半(带电粒子就好像是从“中点”射出似的).
②静止的带电粒子经同一电场加速,再垂直射入同一偏转电场,射出粒子 的偏转角度和侧移与粒子的q,m无关.
高中英语 导与练 选修二人教版
高中英语导与练选修二人教版English:In the second elective module "Guidance and Practice" of senior high school English, students delve into a variety of topics that not only enhance their language skills but also broaden their understanding of different cultures and perspectives. The module covers various themes such as literature, history, society, and science, allowing students to explore diverse aspects of the English-speaking world. Through reading authentic texts, engaging in discussions, and participating in activities, students not only improve their language proficiency but also develop critical thinking and analytical skills. Furthermore, the module incorporates multimedia resources and interactive tasks to cater to different learning styles and interests, making the learning process dynamic and engaging. Through this module, students not only acquire language proficiency but also gain insights into global issues and develop a broader worldview, preparing them to thrive in an increasingly interconnected and multicultural world.中文翻译:高中英语的第二个选修模块《导与练》涵盖了各种主题，不仅提高了学生的语言技能，还拓宽了他们对不同文化和观念的理解。
导与练高二英语同步教学备课资源：Unit 4 Learning efficiently SectionⅠ(新人教选修10)
practise a lot D．to choose proper reading materials
3.If you are reading a newspaper before going on board the plane，you’d better____A____． A．taste it B．swallow it C．chew and digest it D．look up the unknown words
English words if you are an English learner. C ． The reading materials you choose to
practise with should be neither too difficult
nor too easy. D．It is a good idea to study the techniques
_d__ig_e_s_te_d_____．Last but not least，don’t 9. __c_o_n_s_u_lt_____each new word you meet while reading.Just guess its meaning according to the context.Study the techniques above and 10. ___a_d_o_p_t_____them in your reading，and you will develop reading skills.
Part 4
Summary of how to become a 10.___su__cc_e_s_s_fu__l reader.
人民教育出版社 导与练物理 必修1.docx
第一章运动的描述研究一种物理问题总是先从现象的描述入手.作为研究物体机械运动规律的第一章，讲述 的是有关描述物体运动的基本概念：质点、时间、位移、速度、加速度.这些概念是研究物体 机械运动规律所必须具备的基础知识，也是机械运动所研究的主要内容，同时又是物理学语 言中的常用述语.其中质点、位移、速度、加速度既是本章的重点，也是本章的难点.就本章的地位而言，它是高中物理力学内容的重要基础.有了本章的基础，就能进一步研 究匀变速直线运动的规律，也是以后学习力学的基础和前提.实际的运动大多比较复杂，从简单到复杂是人们认识事物的基本规律.本章从最简单的问 题入手，逐步学习关于运动的几个基本概念和描述运动的几个物理量.教材中特别注意联系生 活实际引出概念，并说明它们的应用.第1节 质点参考系和坐标系导学天地抓住主要因素，忽略次要因素，从复杂的实际问题中抽象出理想模型，是物理学中常用 的研究方法，通过质点这一概念的学习，可以初步掌握这种研究方法；体验不同参考系中运 动的相对性从而形成勤于思考、自主获取知识的良好习惯；在学习坐标系时，可用不同的方 法设计实验并体会比较，增强解决问题的意识和能力. 学习中要注意结合实例，准确领会和理解各物理量的物理含义，在此基础上加深理解和 深化.理解升华重点、难点、疑点解析1.质点一理想化模型用来代替物体的有质量的点，叫质点.它是一种理想化模型，实际并不存在.但是它是实际物体的一种近似，是为了研究问题方便而进行的科学抽象，它突出了事物的主要特征，抓住了主要因素，忽略了次要因素，使所研究的复杂问题得到了简化.在研究的问题中，若物体的大小和形状是次要因素可以忽略不计时才可以把物体看作质点，与物体的大小无关.例如，在研究地球绕太阳公转时，由于地球的直径（约1.3xl04km）比地球和太阳之间的距离（约1.5xlO8 km）小得多，地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的，即地球的形状、大小可忽略不计，在这种情况下，就可以把地球当作一个“质点”来处理.但研究“坐地日行八万里”时，就必须考虑地球的大小和形状，即不能把地球当作“质点”来处理.2.参考系描述物体运动时，另选来作为标准的物体，称为参考系.物体的运动都是相对参考系而言的，这是运动的相对性.一个物体是否运动，怎样运动，决定于它相对所选参考系的位置是否变化、怎样变化.同一个物体选取不同的参考系，其运动情况往往不同，如路边的树木，若以地面为参考系是静止的，若以向前行驶的汽车为参考系，树木是往后倒退的，这就是我们坐在车里前进时看到树木往后倒退的原因.参考系的选取是任意的，但应以观测方便和使运动的描述尽可能简单为原则，通常选地面为参考系.为了定量的描述物体的位置及其变化，需要在参考系上建立适当的坐标系，即坐标系是定量化了的参考系，使物体位置及其变化能用更精确的数据描述了.例题剖析应用点一：物体能否被看作质点的条件例1：下列说法正确的是（）A.运转中的地球不能看作质点，而原子核可'以看作质点B.研究火车通过路旁一根电线杆的时间时，火车可看作质点C.研究奥运会乒乓球男单冠军孔令辉打出的乒乓球时，不能把乒乓球看作质点D.研究在平直的高速公路上飞驰的汽车的速度时，可将汽车看作质点试解：.（做后再看答案，效果更好.）解析：当研究地球公转时，由于地球的直径比地球与太阳间的距离要小得多，可以忽略不计，可以把地球当作质点；当研究地球的自转引起的昼夜交替等现象时，就不能够忽略地球的大小和形状，当然不能把地球看作质点了.研究电子绕原子核的运动情况，因为原子核的半径只相当原子半径的万分之一，所以可以把原子核看作质点；但若研究有关原子核结构的问题，就不能把原子核看成质点，故A错.研究火车通过路旁的一根电线杆的时间时，因电线杆的粗细比火车的长度小得多，故电线杆可看作质点，而火车不能看作质点，故B错.奥运会冠军孔令辉打出的乒乓球虽小，但飞旋多变，不能看作质点，C正确.在水平的高速公路上飞驰的汽车，尽管车轮在转动，但我们研究的是汽车的速度，对整个汽车的运动来说，车轮的转动不是研究的主要问题，可将汽车看作质点，D正确.故选CD.点评：只要是物体的大小和形状对所研究的问题来讲是次要因素，可以被忽略，物体就可以看成质点.拓展练习1 — 1：以下关于质点的说法正确的是（）A.质量小的物体可视为质点B.体积小的物体可视为质点C.各部分运动状态完全一致的物体可视为质点D.在某些情况下地球也可以看作质点应用点二：参考系例2：第一次世界大战期间，一名法国飞行员在2 000 m的高空飞行时，发现脸旁有一个小东西，他以为是一只小昆虫，便敏捷的把它一把抓了过来，令他吃惊的是，抓到的竟是一颗子弹.飞行员能抓到子弹，是因为（）A.飞行员的反应快B.子弹的速度很小C.子弹相对于飞行员是静止的D.飞行员有手劲试解：.（做后再看答案，效果更好.）解析：在日常生活中，我们经常去拾起掉在地上的物品，或者去拿放在桌子上的物品，其实，地面上静止的物体（包括人）都在永不停息的随地球自转而运动，在地球的赤道处，其速度大约为465 m/s.正因为相对于地面静止的物体都具有相同的速度，相互保持相对静止状态，才使人们没有觉察到这一速度的存在.当飞行员的飞行速度与子弹的飞行速度相同时，子弹相对于飞行员是静止的，因此飞行员去抓子弹，就和我们去拿放在桌上的物品的感觉和道理-样.故选C.点评：静止是相对的，运动是绝对的.其实地面上静止的物体（包括人）都在永不停息地随地球自转而运动.拓展练习2—1：两辆汽车在平直的公路上行驶，甲车内的人看见窗外树木向东移动，乙车内的人发现甲车没有运动，如果以大地为参考系，上述事实说明（）2页空白没用的，请掠过阅读吧哈，这2页空白没用的，请掠过阅读吧哈，请掠过阅读吧，哈哈哈空白没用的，请掠过阅读吧哈这1页空白没用的，请掠过阅读吧哈空白没用的，请掠过阅读吧，这1页空白没用的，请掠过阅读吧，空白没用的，请掠过阅读吧哈这1页空白没用的，请掠过阅读吧哈空白没用的，请掠过阅读吧，这1页空白没用的，请掠过阅读吧，A.甲车向西运动，乙车不动B.乙车向西运动，甲车不动C.甲车向西运动，乙车向东运动D.甲、乙两车都以相同的速度向西运动应用点三提坐标系例3：如图1 —1 — 2 (a)所示，质点由西向东运动，从A点出发到达。
高中数学选修2-1同步培优作业 解析版教师用书(含答案)第一章 导数及其应用 总的课时 精选改好196页
高中数学选修2-1同步培优作业（含答案）第一章导数及其应用第一章导数及其应用变化率问题导数的概念目标重点1．导数概念的实际背景．2．函数在某一点附近的平均变化率．3．导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[情境导学]某市2018年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 平均变化率的概念 思考1 气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝ 33V4π， (1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了 r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.思考2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系 h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？答 ①在0≤t ≤0.5这段时间里， v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t ≤2这段时间里， v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么思考中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h 的平均增长率．思考4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？ΔyΔx 有什么几何意义？答 Δx 表示x2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1)．Δx 、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零． 观察图象可看出，ΔyΔx表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率． 小结 平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其几何意义是：函数y ＝f (x )的图象上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2(Δx )2＋19Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋19Δx Δx＝2Δx ＋19. (1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝2＋19＝21，Δy＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 1(5,60)连线的斜率． 在(2)题中，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 探究点二 函数在某点处的导数思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h (6549)－h (0)6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 观察跟踪训练1，当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？ 答ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度．思考3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，平均速度v 趋近于lim Δt→h (2＋Δt )－h (2)Δt ，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度． 小结 1.函数的瞬时变化率： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 ΔyΔx.2．函数在某点处的导数：我们称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 ΔyΔx.例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝lim Δx →0(－Δx －1)＝－1.反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.跟踪训练2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4.例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解 在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝4Δx ＋(Δx )2－7Δx Δx ＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx→0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升． 反思与感悟 (1)本题中，f ′(x 0)反映了原油温度在时刻x 0附近的变化情况． (2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况． 解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝⎛⎭⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5Δt Δt ＝－4.9⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0 h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0[－4.9⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5]＝0，即运动员在t 0＝6598s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )． A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1 ＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4.4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.[呈重点、现规律]利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx .简记为一差，二比，三趋近．特别提醒 ①取极限前，要注意化简Δy，保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为( ) A ．－6 B ．Δx －6 C ．－2 D ．Δx －2答案 B解析 设y ＝f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，Δy ＝f (－2＋Δx )－f (－2)＝(－2＋Δx －1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx )2－9＝(Δx )2－6Δx ， 所以ΔyΔx＝Δx －6，所以函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为Δx －6. 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A 解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0. 3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )． A ．－4.8 m /s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m /s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48答案 B解析 ∵s ′(1)＝lim t →1s (t )－s (1)t －1＝lim t →1 2t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.答案 －12解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12.6.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0(－8－2Δx )＝－8.二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16.12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a ΔxΔx＝lim Δx →(a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.1.1.3导数的几何意义明目标、知重点1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．1．导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′， 即f ′(x )＝y ′＝lim Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx .[情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容． 探究点一 导数的几何意义思考1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？答当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，该切线的斜率为limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)．思考2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.思考3曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．小结曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f(x0))．思考4如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？答先确定切点P(x0，f(x0)) ，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程．例1已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．解(1)设切点为(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋(Δx)2－x20Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①，②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.小结(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．跟踪训练1已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0. (2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0和16x －y －39＝0.跟踪训练2 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a ΔxΔx＝lim Δx →[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322. 探究点二 导数与函数的单调性思考1 观察下边两个图形，在曲线的切点附近(Δx →0时)曲线与那一小段线段有何关系？答 能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．思考2 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答 在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．思考3 如上右图，当t 在(t 0，t 2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？ 答 会．当t 变化时h ′(t )便是t 的一个函数，我们称它为h (t )的导函数． 例2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．并讨论在(t 0，t 1)和(t 1，t 2)两个区间上函数的单调性．解用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．(4)从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．在(t0，t1)和(t1，t2)上各个切点处的斜率均为负，故函数在这两个区间上均为减函数，在(t1，t2)上函数下降的更快．反思与感悟 1.导数与函数图象升降的关系：(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．2．导数与函数单调性的关系：(1) 若函数y＝f(x)在区间[a，b]恒有f′(x) >0，则y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数；若恒有f′(x) <0，则y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]是增函数，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间[a，b]是减函数，则f′(x)≤0.跟踪训练3(1)根据例2图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．解函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快．(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()答案 A解析依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4 B．16 C．8 D．2答案 C解析f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→02(2＋Δx)2－8Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8，即k＝8.2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1答案 A解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→0(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．[呈重点、现规律]1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础过关1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →(2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝(12)2＝14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 ∵y ′＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →(2a ＋a Δx )＝2a ， ∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件li m x→f (1)－f (1－x )2x ＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________． 答案 －4解析 由li m x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝li m Δx →0 12(1＋Δx )＋2－12－2Δx ＝li m Δx →0 12Δx Δx ＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.二、能力提升7．设f (x )为可导函数，且满足lim x →f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－2答案 B解析 ∵lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝－1，∴lim x →0 f (1－x )－f (1)－x ＝－1， ∴f ′(1)＝－1.8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)＋f ′(5)等于( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)， ∴f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2. 由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0(Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.三、探究与拓展13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，∴a＋b＋c＝1.①∵y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0a(x＋Δx)2＋b(x＋Δx)＋c－(ax2＋bx＋c)Δx＝limΔx→0(2ax＋b)Δx＋a(Δx)2Δx＝limΔx→0(2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.②又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，③联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)明目标、知重点1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．[情境导学]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．探究点一 导数的运算法则思考1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？答 利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a ·g (x )]′＝a ·g ′(x )，运用公式时要注意a ′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10， 利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)f (x )＝2－2sin 2x 2.解 (1)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4， ∴y ′＝(x 2)′＋(x 3)′＋(x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.(2)∵f (x )＝2－2sin 2x 2＝1＋cos x ， ∴f ′(x )＝－sin x .例2 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝x －1x ＋1. 解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x)′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (2)∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 跟踪训练2 求f (x )＝sin x 1＋sin x 的导数． 解 ∵f (x )＝sin x 1＋sin x， ∴f ′(x )＝cos x (1＋sin x )－sin x ·cos x (1＋sin x )2 ＝cos x (1＋sin x )2. 探究点二 导数的应用例2 (1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0.(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)解析 设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知，y ′|x ＝x 0＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15)．(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0.跟踪训练2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2， 故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．解 由题意得，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝c ，y |x ＝0＝1，即c ＝1.综上所述，b ＝0，c ＝1.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x ) 答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( )． A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2 ＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 4．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．解 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.因为y ′＝2ax ＋b ，所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.[呈重点、现规律]求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．已知直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的切线，则b 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．e答案 A解析 设切点的坐标为(x 0，y 0)，y ＝f (x )＝ln x 在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝1x 0，所以1x 0＝1，所以x 0＝1，y 0＝0. 又因为(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋b 上，故0＝1＋b ，所以b ＝－1.3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．(－12，－18) 答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 ∵f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 答案 0.4 m/s解析 ∵s ＝t 2－2t ＋1，∴s ′＝2t －2，∴v ＝s ′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．二、能力提升8．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝____. 答案 6解析 ∵f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)·x ＋1，将x ＝－1代入上式得f ′(－1)＝1＋2f ′(－1)＋1， ∴f ′(－1)＝－2，再令x ＝1，得f ′(1)＝6.10．求曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为____． 答案 x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.三、探究与拓展13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①，②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率及其导数同步练习(含解析)新人教A版选修2-2(20
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1.1变化率及其导数1、曲线3123y x =-在点 （1，53） 处切线的斜率为（ )1 C 。
—1 D 。
答案：B解析：分析:函数在某一点的导数值是该点切线的斜率，这就是导数的几何意义. 2. 设()cos3()f x x x R =∈，则曲线y=f （x ）在4x π=处的切线的斜率为( ）B. 2-C.2D 。
2答案：B解析：解答：因为()3(sin 3)3sin 3f x x x '=-=-，根据导数的几何意义可知，曲线y=f （x)在4x π=处的切线的斜率为()3sin 44f ππ'=-=B ．分析:函数在某一点的导数值是该点切线的斜率，这就是导数的几何意义。
3. 若曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是2x-y=0，则实数a=( ） A ．1 B ． —1 C ．2 D ． —2答案：C解析：解答：根据题意，由于曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是2x —y=0，则根据导数公式可知，23y x a '=+，将x=0代入可知，y'=2,故可知a=2,因此答案为C. 分析：主要是考查由于导数求解曲线的切线方程的运用，属于基础题。
高中同步学习导与练区域地理(练习与答案)—第一部分第3讲.doc
第一部分基础地理部分第3讲地图学时：2学时【知识预览】一、地图三要素1、比例尺比例尺是________ 距离与_______ 距离Z比，其比例值愈大,比例尺愈大。
在图幅相同的情况下，比例尺大小可反映出实际面积的大小，比例尺大的所反映的实际面积小，图中表示的内容越详细。
在经纬网地图上，可利用纬度差來计算两点间实际距离，再求算比例尺。
一般说来，画一幅小范围、内容要求详细的地图，一般选用较大的比例尺比例尺的三种表示方式：__________ 、 ________ 、________ O比例尺大小的比较及影响(1)比例尺是个分式，比例尺的分母愈大，比例尺愈小；反Z比例尺愈大。
1： 100000000 _____ 1： 100000000000000(2)在地图上：如果图幅相同，比例尺越人，所画地区范围越小，表示的内容愈____________ ；比例尺越小，所画地区范用越人，表示的内容愈 __________ O如果表示的实际范围相同，比例尺越大，图幅面积 _________；反Z，图幅面积________ O(3)比例尺放大后的图幅面积=放大到的倍数的_____________ ；比例尺缩小后的图幅面积二缩小到的倍数的平方。
2、地图上的方向(1)通常“上—下—，左—右_________________ ”(2)有指向标的地图，指向标的箭头指向_________________(3)利用经纬网确定方向在用经纬网确定两点相互方位时，应注意的问题是：①位于同一经线上的两点为____________ 、___________ 的关系，位于同一纬线上的两点为 _________ 、 _________ 的关系。
②若两点既不在同一条经线上，又不在同一条纬线上，在判定两点间的方位时，既要判定两点间 ______ 方向，又要判定两点间的 __________ 方向。
③按经线确定南北方向是________ 的， __________ 是地球上最北的地点，它的四面八方都是南方，南极则相反；按纬线确定东西方则是 _________ 的，理论上讲地球上没有最东的地点,也没有最西的地点，判定东西方向，首先要选择劣弧段(两点间的差值小于180。
高中物理《导与练》选修3-1(教科版)第二章本章总结
高中·物理
【例3】(2017·济南模拟)用伏安法测定一个待测电阻Rx的阻值(阻值约为200 Ω), 实验室提供如下器材:
电池组E(电动势3 V,内阻不计)
电流表A1(量程0～15 mA,内阻约为100 Ω) 电流表A2(量程0～300 μA,内阻为2 000 Ω) 滑动变阻器R1(阻值范围0～20 Ω,额定电流2 A) 电阻箱R2(阻值范围0～9 999 Ω,额定电流1 A) 开关S、导线若干
高中·物理
二、电路故障问题 1.故障特点 (1)断路特点:电路中发生断路,表现为电源电压不为零而电流为零.若外电 路中无用电器的任意两点间电压不为零,则这两点间有断点,而这两点与电 源连接部分无断点. (2)短路特点:电路中发生短路,表现为有电流通过电路而电压为零. 2.故障的分析方法 (1)仪器检测法 ①断点故障的判断:用电压表与电源并联,若有电压,再逐段与电路并联,若 电压表指针偏转,则该段电路中有断点. ②短路故障的判断:用电压表与电源并联,若有电压,再逐段与电路并联,若 电压表示数为零,则该电路被短路;若电压表示数不为零,则该电路没有被短 路或不完全被短路.
高中·物理
【例2】 (2017·广州高二检测)如图所示电路中,由于某处出现了故障,导 致电路中的A,B两灯变亮,C,D两灯变暗,故障的原因可能是( D ) A.R1短路 B.R2断路 C.R2短路 D.R3短路
解析:A灯在干路上,A灯变亮,说明电路中总电流变大,由闭合电路欧姆 定律可知电路的外电阻减小,这就说明电路中只会出现短路而不会出现 断路,选项B被排除;因为短路部分的电阻变小,分压作用减小,与其并联 的用电器上的电压降低,C,D两灯变暗,A,B两灯变亮,这说明发生短路的 电阻与C,D两灯是并联的,而与A,B两灯是串联的.观察电路中电阻的连 接形式,只有R3短路符合条件.故应选D.
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16版《导与练》高中同步各科同步亮点
英语：
亮点1 课时教学一课三练
课前预习、课堂讲练和随堂训练课后练习的“一课三练”编写模式,
突出了“导练”理念,标示了新课标自主探究学习的特点。
既满足了一线教师的教学需求,又强化了学生的探究能力。
亮点2 随堂训练即时诊断
以主观性试题为主，考查学生动脑动手和掌握、消化课堂
所学知识的能力，强化学生输出能力培养，及时反馈课堂
教学效果,为进一步拓展知识、提高能力打好基础。
亮点3 课时训练巩固提升
强化巩固基础与提升能力并重；同时侧重语篇，旨在运用。
通过语篇类练习和高考对应题型的适应性限时训练，拓宽
学生视野,提高学生获取信息、处理信息和解决问题的能力。
亮点4 轻松作文过程指导
注重细节指导,强化写作过程。
既有整体的布局谋篇研读，
又有从要点到句子的连词成句，从经典的一句多译到连句
成篇，精心指导,环环相扣,真正达到化难为易，轻松作文。
另外：人教版（人教广东除外）、外研版增加亮点5，内容如
下：
亮点5 早读晚练提能首选
早读经典练语感，晚练能力求规范。
立足教材，适当拓展。
早读突出教材中精彩原句、经典句型和话题拓展阅读为主，帮助学生养成良好的阅读习惯；晚练旨在帮助学生巩固单元所学知识，提高写作能力。
地理：
一、教材变动：在每章前说明教材增加、删除或改变的具体位置和页码，引起一线老师注意，方便课堂教学。
二、体系构建——构建点睛：对主干知识的主要线索、关键点、重点精心整合，各主要知识点之间的逻辑关系科学、准确，实用性很强；同时通过名师整理，简便易记。
三、微课、微视频：投入巨大的人力、物力，精心录制了地理微课、微视频，使突破重点、难点变得异常轻松。
四、目标解读：按照新课标的整体要求，分别从知识与能力、过程与方法、情感、态度与价值观等方面指明本节课的具体要求，同时标注了重、难点。
五、自我评估（梳理）：5分钟自评，题型多样，难度适宜，可激发学习兴趣，体验到成功感。
六、同点异构：是同要点知识的另一种新型处理方式和思路，可启发探究意识，增强创新能力。
七、滚动训练--挑战题：必修、选修重要课时及章节、模块
设置滚动练A、B，加强复习，加强联系，稳扎稳打，循序提升，可大大提高学习效率。
训练设置的挑战题，可激励学生斗志，增强争先恐后意识。
八、页边文化：精心打造页眉页脚内容，形式多样，色彩纷呈，可调节学习情趣，受到情感激发。
数学：
1.情境导入
给教师提供温故知新、生活实例、数学趣味故事三种新课导入情境的素材，设置思考小问题，体现图像观察法或对比归纳法引出新知识，抓住知识的本质感悟知识的形成过程，激发学生的学习兴趣，培养学生发现问题的能力。
2.对点训练
在自主学习环节，对知识的重点、难点、疑点设置成对点训练的基础小题，以知识的小切口入手，正向或逆向运用知识，通过自我检测，找出学习中需要解决的问题，为课堂探究做好铺垫。
3.要点突破（教师备用）
对难以理解的知识、需要拓展的知识设置成几个思考性的小问题，并把该内容放在教师用书，给教师提供驾驭互动课堂的空间。
课堂上适时的把小问题抛出，对知识的理解和拓展能起到一石激起千层浪的效果。
4.思维激活
重点题型在设置例题、反思归纳、即时突破训练后增加思维激活栏目，设置拓展学生思维与高考对接的例题。
并在教用上分层设置基础例题和拔高例题，实现类题归纳突破的功能。
5.微视频
对知识的重点、难点讲解和重点题型设置微视频，可放置在光盘上和设置二维码，可利用零散时间利用电脑或手机反复的观看，达到对知识方法的掌握和融会贯通的目的。
6. 周练卷
每3—4课时设置一份周练卷，周练卷的题目考查3—4课时基础知识和基本技能的综合，达到周周清的目的
7. 网络点拨
章末总结对知识网络建构进行量化点拨，便于学生对本章知识的记忆和梳理。
8.模块复习
模块结束后按专题设置复习，对每个专题对考情进行概览，并在专题下按考点设置题目及方法上的温馨提示，给学生提供优质的期中、期末复习内容与环节，为期中、期末考试取得优异成绩做准备。
9.配备教参
2016版同步数学《导与练》除配备与学生用书同步的教用外，还配备教师参考用书，每模块教参按每课时设置名校优质学
案和题库，并有省级讲课比赛一、二等奖的新授课、习题课、复习课、试卷讲评课的教案，与国际接轨的知识对比和高考对接，方便教师教学及拓宽教师视野。
政治
1．单元概览思维导图
对单元地位及知识之间的逻辑关系让学生从宏观上有
个了解，并配以简洁的思维导图，直观形象。
2．情境探究问题导引
创设情境，激发学生的学习兴趣；结合情境，设置层层深入的问题，形成问题链，引发学生深入思考，整体上理解知识。
3．误区警示易错辨析
针对学生学习过程中的易错易混点，进行辩证评析，从而提高做选择题的速度和正确率。
4．滚动检测每课综合
每课设置一个小综合练习，进行滚动检测，进一步巩固知识，避免遗忘。
语文：
1．新增页脚文化
经典名言奥运会徽、吉祥物名校介绍车标文化年度语录等知识性、趣闻性
2.凸显语文阅读主题
专门设置【轻松晨读·练语感】【美文“悦”读·拓视野】阅读栏目材料丰富多元主题
3.作业检测中每课有创意微写作
并独家设置练字米字格，便于规范学生书写，后跟知识讲堂
4.光盘配古诗文当代朗诵名家音视频
5.光盘配与课文有关的影视资料
电视剧：林黛玉进贾府林教头风雪山神庙电影：祝福雷雨边城荆轲刺秦王等
6、赠送免费原创教学参考
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