解析几何运算
提高解析几何数学运算能力的策略——以20_23年高考全国乙卷理数第20题为例
提高解析几何数学运算能力的策略——以2023年高考全国乙卷理数第20题为例ʏ河南省郑州市第一〇一中学 冯连福解析几何数学运算能力是指在明晰运算对象(直线㊁圆㊁圆锥曲线等)的基础上,依据运算法则解决数学问题的能力㊂同学们在解析几何数学运算中存在的诸多问题,要通过数学运算专项训练,培养良好的数学运算习惯,增强数学运算的信心,提高数学运算的正确率,达到 敢计算 愿计算 会计算 的效果㊂下面以2023年高考全国乙卷理数第20题为例,说明提高解析几何数学运算能力的策略㊂题目:已知椭圆C :y2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率为53,点A (-2,0)在椭圆C 上㊂(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(-2,3)的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,直线A P ,A Q 与y 轴的交点分别为M ,N ,证明:线段MN 的中点为定点㊂解析:(1)由题意得b =2,c a =53㊂又a 2=b 2+c 2,解得a =3,b =2㊂椭圆C 的标准方程为y 29+x 24=1㊂(2)求解定点问题的常用方法是先猜后证㊂若直线P Q 的斜率趋于零,则点M ㊁N 趋于点(0,3),故MN 中点过定点(0,3),下面证明这个结论㊂策略一 点斜式正设㊂先用点斜式设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立㊂设直线P Q 的方程为y =k (x +2)+3,即y =k x +2k +3,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂联立y =k x +2k +3,9x 2+4y 2-36=0,得(9+4k 2)x 2+(16k 2+24k )x +(16k 2+48k )=0㊂因此,x 1+x 2=-16k 2+24k4k 2+9,x 1x 2=16k 2+48k9+4k2㊂易知直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),令x =0,则M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,N 0,2y2x 2+2 ㊂设MN 的中点为0,y M+yN2 ㊂所以y M +y N 2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=(k x 1+2k +3)(x 2+2)+(k x 2+2k +3)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2k x 1x 2+(4k +3)(x 1+x 2)+8k +12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=3㊂MN 的中点是定点(0,3)㊂策略二 点斜式反设㊂先用点斜式反设直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立,此策略计算量较策略一少一些㊂设直线P Q 的方程为x +2=k (y -3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂联立x +2=k (y -3),y 29+x 24=1,得(9k 2+4)y 2-18(3k +2)k y +81k 2+108k =0㊂因此,y 1+y 2=18k (3k +2)9k 2+4,y 1㊃y 2=81k 2+108k9k 2+4㊂因为直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),所以y M =2y 1x 1+2㊂同理,y N =2y 2x 2+2㊂故y M +y N2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1k (y 1-3)+y 2k (y 2-3)=1k ㊃y 1y 1-3+y 2y 2-3=1k ㊃2y 1y 2-3(y 1+y 2)y 1y 2-3(y 1+y 2)+9=1k ㊃54㊃(3k 2+4k )-3㊃18k ㊃(3k +2)27(3k 2+4k )-3㊃18k ㊃(3k +2)+9(9k 2+4)=1k ㊃108k36=3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略三 斜截式正设㊂先用斜截式设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理写出表达式,最后代入m =2k +3化简㊂此策略数学运算量较前两种少㊂设直线P Q 的方程为y =k x +m ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂因为P Q 过(-2,3),所以m =2k +3㊂联立y =k x +m ,4y 2+9x 2-36=0,得(4k 2+9)x 2+8k m x +4m 2-36=0㊂故x 1+x 2=-8k m 4k 2+9,x 1x 2=4m 2-364k 2+9㊂则y M +y N2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+4mx 1x 2+2(x 1+x 2)+4㊂(思路一)直接代入韦达定理因此,y M +y N2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+8k +12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k (4m 2-36)+(2k +m )(-8k m )+4m (4k 2+9)4m 2-36+2(-8k m )+4(4k 2+9)=8k m 2-72k -16k 2m -8k m 2+16m k 2+36m4m 2-16k m +16k2=36(m -2k )4(m -2k )2=9m -2k =3㊂所以MN 的中点是定点(0,3)㊂(思路二)先分离常数再代入韦达定理,计算量会少一些㊂因此,y M +y N2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+4mx 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k +3(x 1+x 2)+12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=3㊂所以MN 的中点是定点(0,3)㊂策略四 斜截式反设㊂先用斜截式仅设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立㊂设P Q :x =m y +n ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂因P Q 过(-2,3),故3m +n =-2,即b +2=-3m ㊂联立x =m y +n ,4y 2+9x 2-36=0,得4y 2+9(m y +n )2-36=0㊂则(4+9m 2)y 2+18m n y +9(n 2-4)=0㊂因此,y 1+y 2=-18m n 9m 2+4,y 1y 2=9(n 2-4)9m 2+4㊂其中Δ=(18m n )2-4(4+9m 2)㊃9(n 2-4)>0,则9m 2-n 2+4>0㊂由于A P :y =y 1x 1+2(x +2),故可得点M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,点N 0,2y 2x 2+2㊂故MN 中点的纵坐标为:y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1m y 1+n +2+y 2m y 2+n +2=y 1m (y 1-3)+y 2m (y 2-3)=2y 1y 2-3(y 1+y 2)m [y 1+y 2-3(y 1+y 2)+9]=1m ㊃2㊃9(n 2-4)+3㊃18m n9(n 2-4)+3㊃18m n +9(9m 2+4)=1m ㊃2(n 2-4)+6m n(3m +n )2=n 2-4+3m n2m=n (n +3m )-42m =3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略五 点斜式正设+斜率同构㊂先对直线A P ㊁A Q 方程的点斜式正设,再与椭圆方程联立,求点P ,Q 坐标,最后斜率同构㊂设A P :y =k 1(x +2),A Q :y =k 2(x +2),设P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q )㊂设P Q :y -3=k (x +2)㊂联立y =k 1(x +2),y 29+x 24=1,得4k 21(x +2)2+9x 2=36㊂即(4k 21+9)x 2+16k 21x +16k 21-36=0㊂所以x A x P =16k 21-364k 21+9㊂由于x A =-2,故x P =18-8k 214k 21+9,y P =k 1(x P +2)=36k 14k 21+9㊂因为点P 在直线y -3=k (x +2)上,所以36k 14k 21+9-3=k ㊃364k 21+9㊂整理得12k 21-36k 1+36k +27=0㊂同理,12k 22-36k 2+36k +27=0㊂故k 1㊁k 2是12x 2-36x +36k +27=0的解,则k 1+k 2=3㊂因为M (0,2k 1),N (0,2k 2),所以MN 的中点是(0,k 1+k 2)㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略六 斜截式反设+斜率同构㊂先对直线A P ㊁A Q 方程的斜截式反设,再求点P ,Q 坐标㊂设B (-2,3),由B ,P ,Q 三点共线,得到1m 1+1m 2=3㊂设A P :x =m 1y -2,A Q :x =m 2y -2,P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q )㊂联立x =m 1y -2,y 29+x 24=1,得(4+9m 21)y 2-36m 1y =0㊂所以y A +y P =36m 14+9m21,解得y P =36m 14+9m 21,x P =m 1y P -2=18m 21-84+9m 21㊂P 点坐标为18m 21-84+9m 21,36m 14+9m 21㊂同理,Q 点坐标为18m 22-84+9m 22,36m 24+9m 22㊂因为B ,P ,Q 三点共线,所以y P -3x P +2=y Q -3x Q +2,代入化简得1m 1+1m 2=3㊂因为M 0,2m 1 ,N 0,2m 2,所以MN 的中点为定点(0,3)㊂策略七 点斜式正设+齐次化法㊂先用点斜式正设直线A P ㊁A Q 的方程,求出MN 中点坐标,联想齐次化㊂齐次化解题的要点是消常数项㊂设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂则直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),故M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,N 0,2y 2x 2+2㊂则MN 的中点为0,y 1x 1+2+y 2x 2+2㊂下面求y 1x 1+2+y 2x 2+2,联想齐次化㊂设直线P Q 的方程为m (x +2)+n y =1㊂因P Q 过(-2,3),故3n =1㊂联立m (x +2)+n y =1,9x 2+4y 2=36,得:9[(x +2)-2]2+4y 2=36㊂即(9-36m )(x +2)2-36n (x +2)y +4y 2=0,4y x +22-36n yx +2+9-36m =0㊂所以y 1x 1+2+y 2x 2+2=9n =3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略八 坐标轴平移+齐次化法+一般式㊂由于MN 中点的纵坐标与斜率有关,为简化计算,自然联想到以点A 为坐标系原点建立坐标系㊂将椭圆向右平移2个单位,即以A 为原点建立平面直角坐标系,则平移后椭圆C 方程为y 29+(x -2)24=1,即9x 2+4y 2-36x =0㊂设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂则直线A P 的方程为y =y 1x 1㊃x ,可得M 2,2y 1x 1㊂同理可得,N 2,2y 2x 2㊂故y M +y N 2=y 1x 1+y 2x 2㊂所以MN 的中点是2,y 1x 1+y 2x 2㊂下面求y 1x 1+y 2x 2㊂设P Q :m x +n y =1㊂因为直线P Q 过点(0,3),所以3n =1㊂联立m x +n y =1,9x 2-36x +4y 2=0,得9x 2-36x (m x +n y )+4y 2=0㊂整理得(9-36m )x 2-36n x y +4y 2=0㊂则4yx2-36n y x+(9-36m )=0㊂故y 1x 1+y 2x 2=9n =3,即平移后MN 的中点为(2,3)㊂故平移前MN 的中点为定点(0,3)㊂策略九 二次曲线系㊂此题是定点定值问题,背景是极点极线问题,故可用二次曲线系㊂设直线A P 的方程为x =m y -2,即x -m y +2=0㊂直线A Q 的方程为x =n y -2,即x -n y +2=0㊂直线P Q 的方程为y -3=k (x +2),即k x -y +2k +3=0㊂点A 处切线方程为x =-2,即x +2=0㊂设M (0,y M ),N (0,y N )㊂令x =0,则y M =2m ,y N =2n㊂M N 的中点为0,1m +1n ,即0,m +n m n㊂下面求m +nm n㊂过A ,B ,C 三点的二次曲线系方程为:(x -m y +2)(x -n y +2)+λ(x +2)㊃(k x -y +3+2k )=μy 29+x 24-1㊂对比两边展开式系数得:x 2项系数,1+λk =14μ;①y 2项系数,m n =19μ;②x y 项系数,-m -n -λ=0;③常数项,4+2λ(3+2k )=-μ㊂④由④得1+λk =-32λ-14μ㊂代入①式得μ=-3λ㊂由③得m +n =-λ㊂则m +n m n =-λ19μ=-λ19(-3λ)=3㊂故MN 的中点为定点(0,3)㊂策略十 斜率同构㊂先由点斜式正设A P ㊁A Q ㊁P Q 的方程,再联立求点P ㊁Q 坐标,最后将两点坐标代入椭圆方程,利用同构求出k 1+k 2值,即求出中点坐标㊂设直线A P 的方程为y =k 1(x +2),则点M 的坐标为(0,2k 1)㊂设直线A Q 的方程为y =k 2(x +2),则点N 的坐标为(0,2k 2)㊂则MN 的中点为(0,k 1+k 2)㊂下面求k 1+k 2的值㊂设直线P Q 的方程为y =k (x +2)+3㊂将直线A P 与直线P Q 联立,求点P 坐标㊂由y =k (x +2)+3,y =k 1(x +2),得:P3k 1-k -2,3k 1k 1-k㊂同理可得,点Q的坐标为3k 2-k -2,3k 2k 2-k㊂因为点P 在椭圆9x 2+4y 2=36上,所以93k 1-k -22+43k 1k 1-k2=36㊂即99(k 1-k )2-12k 1-k +4+36k 21(k 1-k )2=36,也即4k 21-12k 1+12k +9=0㊂同理,点Q 在椭圆9x 2+4y 2=36上,可得4k 22-12k 2+12k +9=0㊂所以k 1㊁k 2是方程4x 2-12x +12k +9=0的解㊂故k 1+k 2=124=3㊂所以MN 的中点为定点(0,3)㊂以上为常用解题策略,请同学们仔细领会㊁认真钻研,对于不同的情景选择合适的策略,提高自己的解析几何数学运算能力㊂注:本文系2023年度河南省基础教育教学研究项目 基于核心素养的高中生解析几何数学运算能力测评与对策研究 (立项编号J C J Y C 2303010018)研究成果㊂(责任编辑 徐利杰)。
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。
解析几何的基本概念与计算
解析几何的基本概念与计算解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标平面上的性质和关系。
通过坐标系的建立，我们可以用数学的方法来描述和计算几何问题，从而使得几何问题更加直观和具体。
本文将介绍解析几何的基本概念和计算方法。
一、平面直角坐标系解析几何的基础是平面直角坐标系，它由两个相互垂直的直线构成。
我们通常用x轴和y轴表示这两条直线，它们的交点为坐标原点O。
在平面直角坐标系中，每一个点都可以用它在x轴和y轴上的坐标来表示。
设某点为P，它在x轴上的坐标为x，y轴上的坐标为y，则P 的坐标可以表示为(x, y)。
二、点的坐标表示在解析几何中，任意一个点都可以用它在平面直角坐标系中的坐标表示。
例如，设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B的坐标之间的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
三、直线的表示与计算直线也可以用解析几何的方法进行表示和计算。
一条直线可以用它上面的两个点来确定。
例如，已知直线L过点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，则直线L的方程可以表示为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
通过直线的方程，我们可以计算出直线与坐标轴的交点、两直线之间的夹角等相关信息。
四、图形的表示与计算在解析几何中，我们可以用数学的方法来表示和计算各种几何图形。
例如，矩形的四个顶点可以用它们的坐标表示，圆的方程可以用圆心坐标和半径表示。
通过解析几何的方法，我们可以计算出图形的面积、周长，判断两个图形是否相交等。
五、向量的表示与计算解析几何中还有一个重要的概念就是向量，它用来表示和计算物体的位移、速度等。
向量有大小和方向两个属性，它可以表示为AB，其中A和B是向量的起点和终点。
向量可以进行加法、减法和数乘等运算。
例如，设向量A的坐标表示为(x1, y1)，向量B的坐标表示为(x2, y2)，则向量A和向量B的和可以表示为(x1+x2, y1+y2)。
平面解析几何与向量平面解析几何基本概念和向量运算
平面解析几何与向量平面解析几何基本概念和向量运算平面解析几何是数学中的一个重要分支，研究平面上点、线、圆等几何图形的性质和运算。
与此同时，向量也是解析几何中一个重要的概念，用于解决平面上的运动和力学问题。
本文将介绍平面解析几何的基本概念，以及向量的运算。
一、平面解析几何基本概念1. 平面坐标系平面上的点可以通过坐标系来定位。
平面坐标系由两条垂直的坐标轴，即x轴和y轴组成。
点在平面坐标系中的位置可以用有序数对(x, y)表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2. 平面方程平面方程是指用数学表达式表示平面的方程。
平面的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为常数，x、y、z为平面上的变量。
3. 直线的表示与判断直线可以用两点的坐标表示。
已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线的方程可以表示为(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
利用该方程可以判断某一点是否在直线上。
4. 圆的方程圆的方程可以用数学表达式表示。
圆的标准方程形式为(x - a)² + (y -b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
二、向量运算1. 向量的定义与表示向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，比如AB→表示从点A指向点B的向量。
向量可以用有序数组表示，比如[x, y]表示一个平面向量。
2. 向量的加法与减法向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量，其中新向量的大小等于两个向量之和，方向与两个向量之间的夹角相同。
向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，其中新向量的大小等于两个向量之差，方向与两个向量之间的夹角相同。
3. 向量的数量积与向量积向量的数量积（又称点积）是指两个向量的乘积再乘以夹角的余弦值，表示两个向量之间的夹角关系。
向量的数量积的计算公式为A·B = |A| |B| cosθ，其中A和B分别为两个向量，|A|和|B|分别为它们的长度，θ为它们之间的夹角。
高考数学中的解析几何中的运算法则
高考数学中的解析几何中的运算法则解析几何是数学的一个分支，它涉及了空间中的点、直线和平面等几何图形，并且通过坐标系将这些几何图形与代数方程联系起来。
在高考数学考试中，解析几何是一个非常重要的主题，通常会涉及到一些基本的运算法则。
本文将探讨高考数学中的解析几何中的运算法则。
一、向量的加减法解析几何中，向量通常用箭头表示，箭头代表了向量的大小和方向。
向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
向量的加法和减法可以用尾部对齐的方法进行，即让向量的起点重合，然后将向量的终点连成一个新的向量。
例如，向量a和向量b的加法可以用如下公式表示：a +b = (a1+b1,a2+b2,a3+b3)其中，a1、a2和a3分别代表了向量a的x、y和z分量，b1、b2和b3分别代表了向量b的x、y和z分量。
向量的减法也可以采用类似的方法，只需要让b变成-b即可。
二、向量的数量积向量的数量积是指两个向量的乘积，通常用符号“·”表示。
向量的数量积的大小等于两个向量长度的乘积再乘以它们之间的夹角的余弦值。
向量的数量积也可以用向量的分量表示：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3例如，如果向量a和向量b的夹角为θ，则它们的数量积可以表示为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别代表向量a和向量b的长度。
另外，如果两个向量垂直，则它们的数量积为0，因为它们之间的夹角是90度，cos90度等于0。
三、向量的叉积向量的叉积是指两个向量的乘积，通常用符号“×”表示。
向量的叉积得到的是一个新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量，并且大小等于原来两个向量的大小之积再乘以它们之间的夹角的正弦值。
向量的叉积也可以用向量的分量表示：a×b = (a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)例如，如果向量a和向量b的夹角为θ，则它们的叉积可以表示为：|a×b| = |a||b|sinθ其中，|a×b|表示向量a和向量b的叉积的大小。
解析几何中的向量运算
解析几何中的向量运算向量是解析几何中重要的概念之一，它具有大小和方向两个属性。
在解析几何中，通过进行向量运算可以实现向量之间的加法、减法以及数量乘法等操作，从而在几何问题中得到简洁而准确的表达。
1. 向量的表示在解析几何中，向量一般用有向线段来表示。
设两点A和B，若从A指向B的有向线段记作AB，则AB表示的向量与它们有着相同的大小和方向。
通常用字母a、b、c等小写字母表示向量。
2. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设向量a和b分别表示线段AB和BC，将它们首尾相连，则得到一个新的向量AC，记作c=a+b，表示向量c的大小和方向与线段AC相同。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量。
设向量a和b分别表示线段AB和BC，将它们首尾相连，则得到一个新的向量AC，记作c=a-b，表示向量c的大小和方向与线段AC相同。
4. 数量乘法数量乘法是指将一个向量的大小与一个实数相乘，得到一个新的向量。
设向量a表示线段AB，若k为实数，则ka表示一个与向量a有着相同方向但大小为ka的新向量。
5. 向量的数量积向量的数量积（又称点积或内积）是指将两个向量按一定的方式进行运算，得到一个实数。
设向量a和b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cosθ。
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小。
6. 向量的向量积向量的向量积（又称叉积或外积）是指将两个向量按一定的方式进行运算，得到一个新的向量。
设向量a和b的夹角为θ，则a×b=|a||b|sinθn。
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，n表示一个垂直于平面的单位向量。
通过向量运算，我们可以在解析几何中进行更加灵活的推导和计算，从而解决各种几何问题。
向量运算还与三角函数、微积分等领域关联紧密，是数学学科中重要的基础内容之一。
总结：解析几何中的向量运算包括向量的加法、减法和数量乘法，以及向量的数量积和向量积。
数学初中二年级上册第五章解析几何的认识与运算
数学初中二年级上册第五章解析几何的认识与运算解析几何的认识与运算数学是一门抽象而又具体的学科，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式。
在数学的学习过程中，解析几何是一门重要的学科，它既具有几何学的形象性，又有数学的抽象性，是数学与几何学的有机结合。
本文将对初中二年级上册的解析几何进行探讨与研究。
一、解析几何的概念解析几何是利用代数的方法研究几何问题的一门学科。
它是通过建立坐标系，并利用坐标系中的点、向量、直线等元素，来研究几何图形的性质和关系。
解析几何的基本概念包括点、直线、向量、坐标系等。
1.1 点点是解析几何的基本元素，它在坐标系中由一组有序的实数表示。
例如，点A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax和Ay分别表示点A在X 轴和Y轴上的坐标值。
点是解析几何中的基本单位，其他几何元素如直线、向量等都是由点组成的。
1.2 直线直线是解析几何中的一个重要概念，它可以通过两个点确定。
在坐标系中，直线可以用一元一次方程的形式表示，即y = kx + b。
其中k为直线的斜率，b为直线的截距。
直线的斜率表示了直线在坐标系中的倾斜程度，截距表示了直线与Y轴的交点。
1.3 向量向量是解析几何中的另一个重要概念，它表示了从一个点到另一个点的方向和大小。
在坐标系中，向量可以用两个点的坐标表示，例如向量AB可以表示为向量→AB = (Bx-Ax, By-Ay)。
向量的大小可以通过求模运算得到，即|→AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2)。
1.4 坐标系坐标系是解析几何的基本工具，它用于确定几何元素在平面上的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系是利用X轴和Y轴构成的，通过指定点的X轴和Y轴坐标值来表示点的位置。
极坐标系是利用极径和极角来表示点的位置，极径表示点到原点的距离，极角表示点到X轴的连线与X轴正方向的夹角。
二、解析几何的运算解析几何的运算是指对几何图形的代数处理和计算。
主要包括平移、旋转、缩放和镜像等运算。
解析几何十一种方法
解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。
以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。
3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。
4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。
通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。
5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。
6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。
7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。
8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。
10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。
11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。
以上就是解析几何的11种方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。