专题01 数列(知识梳理)(学生版)

专题01 数 列（知识梳理）一、数列的概念及表示 （一）数列的概念1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每个数都叫这个数列的项.数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，…n a ，…，或简记为}{n a .其中1a 是数列的第1项(又称首项)，n a 是数列的第n 项(又称通项). 例1-1．判断下列各组元素能否构成数列： (1)a ，3-，1-，1，b ，5，7，9； (2)2020年各省参加高考的考生人数.2、通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.3、数列的特性：(对比集合的特性)→数列是特殊的数集、点集.(1)有序性：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.(2)可异性：定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列. (3)从函数角度看数列：数列可以看作是一个定义域为正整数集+N (或它的有限子集}321{n ，，，，⋅⋅⋅)的函数. 4、数列的分类：(1)根据数列项数的多少分：①有穷数列：项数有限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6.是有穷数列. ②无穷数列：项数无限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列. (2)根据数列项的大小分：①递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. ②递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. ③常数数列：各项相等的数列.④摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. (3)根据任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：①有界数列；②无界数列. （二）数列的表示方法 1、列表法(又称列举法).2、图像法：图像过一四象限或x 轴正半轴，横坐标为正整数.是一系列孤立的点，不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性.3、解析法：用数列的通项公式也就是相应函数的解析式来表示数列.例2-1．下列公式可作为数列}{n a ：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ).B 、21)1(+-=n n aC 、23)1(1+-=+n n aD 、|2sin|2π-=n a n （三）根据数列的前n 项写出这个数列的通项公式1、编号：把序号1、2、3、…、n 标在相应项上，便于突出第n 项n a 与项数n 的关系，即n a 如何用n 表示. 2、变形：(1)出现正负间隔用n )1(-或1)1(+-n 进行调整.(2)出现分数首先考虑分子、分母是否存在规律，然后考虑通分成同分母分数. (3)找不到规律可以考虑1±后再观察.(4)当一个数列间隔几项才具有相同规律(特别是奇数项与偶数项)时，不妨用分段函数来表示其通项公式.3、常见数列：如等差、等比数列及常见的特殊数列的通项公式：例3-1(1)3，5，9，17，33，…… (2)32，154，356，638，9910，……(3)0，1，0，1，0，1，……(5)1，0，31-，0，51，0，71-，0，……(6)1，3，3，5，5，7，7，9，9，……（四）根据图像写出这个数列的通项公式1、如果给出图像，求通项公式，一般不要把图像转换为数字，而是要通过图像的变化规律来推出数列的通项公式.例4-1．已知，则第n 个图中有 个点.例4-2．已知，则第n 个图中有 个点.例4-3．已知，则第n 个图中有 个点.2、如果给出图像变化的规律，求某一点的变化规律，可寻找一定的规律或周期，从而简化试题，然后推出所求的某一点.例4-4．如图，n 个连续自然数按规律排成下表，则从2018到2020的箭头方向依次为( ).A 、↑→B 、→↑C 、↓→D 、→↓（五）根据周期性求数列的某一项1、周期数列的定义及主要性质：对于数列}{n a ，如果存在一个常数T (+∈N T )，恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是最小正周期为T 的周期数列.2、周期数列的表示方式：周期数列的通项公式通常都可以用分段的方式表示出来，一般只需要求出它的一个最小正周期即可.例5-1．已知数列}{n a 满足21=a ，nn a a 111-=+，求n a .3、对于求数字比较大的某一项或分段表示的数列一般考虑周期性.例5-2．已知数列}{n a 中，31=a ，52=a ，且21---=n n n a a a (2>n )，则2021a 的值为( ).A 、5-B 、2-C 、2D 、3例5-3．在数列}{n a 中，01=a ，nn n a a a 3131-+=+，则=2021a ( ).A 、3-B 、0C 、3D 、32（六）数列单调性的判定及其应用 1、根据定义判定：2(1)b kn a n +=为一次函数形式：①0>k 时为递增数列；②0<k 时为递减数列. (2)c tn kn a n ++=2为二次函数形式：只有对称轴232<-k t 才时有增减性：①0>k 时为递增数列；②0<k 时为递减数列. (3)nka n =为反比例函数形式：①0>k 时为递减数列；②0<k 时为递增数列. (4)n n k a =为指数函数形式：只有0>k 且1≠时才有增减性：①1>k 时为递增数列；②10<<k 时为递减数列. 例6-1．数列}{n a 满足222+-=pn n a n ，+∈N n ，且数列}{n a 是递增数列，则实数p 的取值范围是 .变式6-1．数列}{n a 满足222+-=pn n a n ，+∈N n ，且数列}{n a 满足从且只从第三项开始为递增数列，则实数p 的取值范围是 .3、分段数列单调性的判定：分段数列的单调性可根据各段内单调性进行判断，但要注意如果整体具有单调性则需注意临界点应符合要求.例6-2．设函数⎩⎨⎧>-≤--=767)3)(3()(x mx x x m x f ，，，数列}{n a 满足)(n f a n =，+∈N n ，且数列}{n a 是递增数列，则实数m的取值范围是 .4、数列中的项的最值的求法：根据数列与函数之间的对应关系，构造相应函数)(n f a n =，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值.5、前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0≥m a ，且01<+m a ，则m S 最大；若0≤m a ，且01>+m a ，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.例6-3．已知数列}{n a 的通项公式为20212+-=n n a n . (1)n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的定义1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示). (1)公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；(2)对于数列}{n a ，若d a a n n =--1(与n 无关的数或字母)，2≥n ，+∈N n ，则此数列是等差数列，d 为公差. 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=. 有几种方法可以计算公差d ：①1--=n n a a d ；②11--=n a a d n ；③nm a a d nm --=.3、等差中项：数列a 、A 、b 成等差数列的充要条件是2ba A +=，其中A 叫做a 、b 的等差中项. 即有2ba A +=⇔a 、A 、b 成等差数列恒成立. 4、若数列}{n a 的通项公式为q pn a n +=(p 、q 为常数)，则这个数列一定是等差数列.有： (1)若0=p ，则}{n a 是公差为0的等差数列，即为常数列q 、q 、q 、….(2)若0≠p ，则}{n a 是关于n 的一次式，从图像上看，表示数列的各点均在一次函数q px y +=的图像上，一次项的系数是公差，直线在y 轴上的截距为q .(3)数列}{n a 为等差数列的充要条件是其通项q pn a n +=(p 、q 为常数)，又称第3通项公式. (4)判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个. 5、证明}{n a 为等差数列的方法：(1)定义法：d a a n n =--1(d 为常数，2≥n )⇔}{n a 为等差数列；用定义证明等差数列时，常采用的两个式子d a a n n =-+1和d a a n n =--1，但它们的意义不同，后者必须加上“2≥n ”，否则1=n 时，0a 无定义.(2)中项法：212+++=n n n a a a ⇔}{n a 为等差数列； (3)通项法：n a 为n 的一次函数⇔}{n a 为等差数列； (4)前n 项和法：Bn An S n +=2或2)(1n n a a n S +=. 例1-1．在数列}{n a 中，31-=a ，3221++=-n n n a a (2≥n ，且+∈N n ). (1)求2a 、3a 的值； (2)设n n n a b 23+=(+∈N n )，证明：数列}{n b 是等差数列； (3)求n a .（二）等差数列的性质1、在等差数列中，若k p n m +=+，则k p n m a a a a +=+(+∈N k p n m 、、、).注意：但通常由k p n m a a a a +=+推不出k p n m +=+，因为有常数列的存在. 例2-1．设等差数列}{n a 的前n 项和n S ，若84=S ，208=S ，则=+++14131211a a a a ( ).A 、15B 、16C 、17D 、182、在等差数列}{n a 中，k a 、k a 2、k a3、k a4、…仍为等差数列，公差为kd . 3、若}{n a 为等差数列，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、…仍为等差数列，公差为d k 2.kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 例2-2．在等差数列}{n a 中，已知3163=S S ，则=126S S( ). A 、51B 、103C 、21D 、158 4、等差数列的增减性：0>d 时为递增数列，且当01<a 时前n 项和n S 有最小值.0<d 时为递减数列，且当01>a 时前n 项和n S 有最大值.5、等差数列}{n a 的首项是1a ，公差为d .若其前n 项之和可以写成Bn An S n +=2，则2d A =，21da B -=，当0≠d 时它表示二次函数，数列}{n a 的前n 项和Bn An S n +=2是}{n a 成等差数列的充要条件. （三）等差数列前n 项和1、等差数列的前n 项和公式1：2)(2)()1(1na a n a a S m n m n n --+=+=. 例3-1．在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列前11项和=11S ( ).A 、58B 、88C 、1432、等差数列的前n 项和公式2：d n n n a S n 2)1(1-+=. 3、奇数项及偶数项等差数列的前n 项和 (1)若项数为奇数时：2ndS S =-奇偶；若项数为12-n ，则中偶奇a a S S n ==-，1-=n n S S 偶奇；(2)若项数为偶数时：nS S S n=-偶奇(即这个数列的中间项的值)；若项数为n 2，则nd S S =-奇偶，1+=n n a a S S 偶奇.例3-2．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 .4、已知n S ，求n 或者d .例3-3．将含有n 项的等差数列插入4和67之间，仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n 值为( ).A 、20B 、21C 、22D 、235、公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，则数列}{n S n 必是首项为1a ，公差为2d的等差数列. 例3-4．数列}{n a 的通项公式是12+=n a n ，前n 项和为n S ，则数列}{nS n的前10项和为 .例3-5．设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{nS n的前n 项和，求n T .6、等差数列中，mnd S S S n m m n ++=+.例3-6．已知等差数列}{n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 .（四）对等差数列前项和的最值问题有三种方法：1、利用n a ：①当01>a ，0<d ，前n 项和有最大值，可由0≥n a 且01≤+n a ，求得n 的值；②当01<a ，0>d ，前n 项和有最小值，可由0≤n a 且01≥+n a ，求得n 的值.注意：求n S 的最值时，当0=n a 时n 取两个值.例4-1．在等差数列}{n a 中，01>a ，129S S =，则前n 项的和最大时n 的值为 .2、利用n S ：由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 例4-2．已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =. (1)求n S ；(2)这个数列前多少项的和最大？求出这个最大值.3、利用函数的单调性例4-3．已知数列}{n a 的通项公式为9998--=n n a n (+∈N n )，则其前30项中最大项的项数与最小项的项数之和为 .（五）与前n 项和有关的三类问题已知和未知是常用方法.1、知三求二：已知1a 、d 、n 、n a 、n S 中任意三个，可求得其余两个，一般用方程解. 例5-1．已知}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若211=a ，32a S =，则=2a . 2、A d Bn An n da n d S n 2)2(2212=⇒+=-+=. 3、利用二次函数的图像确定n S 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值.应取n 为正整数时的数值.三、等比数列及其前n 项和 （一）等比数列的定义1、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0≠q )，即：q a a n n=-1(2≥n ，+∈N n ，0≠q ).(1)从第二项起与前一项之比为常数q ：}{n a 成等比数列⇔q a a nn =+1(+∈N n ，0≠q ). (2)隐含：任一项0≠n a 且0≠q ；“0≠n a ”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件. (3)1=q 时，}{n a 为常数列.(4)由n n qa a =+1，0≠q 并不能立即断言}{n a 为等比数列，还要验证01≠a . 2、等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a (01≠⋅q a )或m n m n q a a -⋅=(m n >)； 3、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.4、等比数列与指数函数的关系：等比数列}{n a 的通项公式11-⋅=n n q a a (01≠⋅q a )，它的图像是分布在曲线xq qa y 1=(0>q )上的一些孤立的点. 当01>a ，1>q 时，等比数列}{n a 是递增数列； 当01<a ，10<<q 时，等比数列}{n a 是递增数列； 当01>a ，10<<q 时，等比数列}{n a 是递减数列； 当01<a ，1>q 时，等比数列}{n a 是递减数列； 当0<q 时，等比数列}{n a 是摆动数列； 当1=q 时，等比数列}{n a 是常数列.5、等比数列的判定与证明方法 (1)定义法：若q a a n n =+1(+∈N n ，0≠q )或q a an n =-1(2≥n ，+∈N n ，0≠q )，则}{n a 是等比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成n n q c a ⋅=(0≠c ，0≠q ，+∈N n )，则}{n a 是等比数列.例1-1．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S a n n =+.(1)设1-=n n a b ，求证：}{n b 是等比数列；(2)求数列}{n a 的通项公式.（二）等比数列的性质1、等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即ab G ±=(a 、b 同号).如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=⇒=⇒=2； 反之，若ab G =2，则Gb a G =，即a 、G 、b 成等比数列， ∴a 、G 、b 成等比数列⇔ab G =2b(0≠ab ).2、等比中项的性质：①112+-⋅=n n na a a (2≥n )；k n k n n a a a +-⋅=2(0>>k n )； ②若k p n m +=+，则k p n m a a a a ⋅=⋅.注意：但通常由k p n m a a a a ⋅=⋅推不出k p n m +=+，因为有非零常数列的存在.3、数列}{n a 首项是1a ，公比为1q ，数列}{n b 首项为1b ，公比为2q ，则数列}{n n b a ⋅是首项为11b a ⋅，公比为21q q ⋅的等比数列，同理数列}{n n b a 是首项为11b a ，公比为21q q 的等比数列. 4、在公比为q 的等比数列}{n a 中，数列m a 、k m a +、k m a 2+、k m a 3+…仍是等比数列，公比为k q .例2-1．各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2=n S ，143=n S ，则=n S 4( ).A 、16B 、26C 、30D 、80（三）等比数列的前n 项和n S 公式：1、当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1①或qq a a S n n --=11②；当1=q 时，1na S n =. 当已知1a ，q ，n 时用公式①；当已知1a ，q ，n a 时用公式②.2、等比数列的前n 项和n S 性质：(1)前n 项和公式的函数特性：①当1=q 时1na S n =是n 的正比例函数，②当1≠q 时，n n n q q a q a q q a S ⋅---=--=111)1(111，记qa A -=11，即A q A S n n +⋅-=，是一个指数式与一个常数的和； (2)数列k S 、k k S S -2、k k S S 23-、…仍是等比数列(此时1-≠q ).k kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ (3)在等比数列中，若项数为n 2(+∈N n )，偶S 与奇S 分别为偶数项和与奇数项和，则q S S =奇偶； (4)m n n m n S q S S ⋅+=+. 3、等比数列的前n 项和n S 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论，防止因忽略1=q 这一特殊情形导致解题失误.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量1a 、n 、q 、n a 、n S ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.例3-1．若数列}{n a 的前n 项和3132+=n n a S ，则}{n a 的通项公式是=n a .例2-2．已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，21=a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)求数列}3{n a 的前n 项和.例2-3．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，其中0≠n a ，1a 为常数，且1a -、n S 、1+n a 成等差数列.(1)当21=a 时，求}{n a 的通项公式；(2)设n n S b -=1，问：是否存在1a ，使数列}{n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值；若不存在，请说明理由.。