八下数学每日一练：等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年压轴题版
八下数学每日一练：等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年压轴题版答案答案答案
2020年八下数学：图形的性质_三角形_等边三角形的判定与性质练习题
~~第1题~~
(2019铜仁.八下期中) 如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠B=60°，点P 、Q 分别是边
BC 、CD 上的动点（不与端点重合），且BP=CQ.
（1） 图中除了△ABC 与△ADC 外，还有哪些三角形全等，请写出来；
（2） 点P 、Q 在运动过程中，四边形APCQ 的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3） 当点P 在什么位置时，△PCQ 的面积最大，并请说明理由.
考点： 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;菱形的性质;~~第2题~~
(2019长兴.八下期中) 如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=6，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段
AB 的中点，连结CE 并延长交线段AD 于点F.
（1） 求证：四边形BCFD 为平行四边形；
（2） 求平行四边形BCFD 的面积；
（3） 如图2，分别作射线CM ，CN ，图1中△ABD 的两个顶点A ，B 分别在射线CN ，CM 上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD 的最大长度。
考点： 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;平行四边形的判定与性质;~~第3题~~(2019
番禺.八下期末) 在▱ABCD 中，∠ADC 的平分线交直线BC 于点E ， 交直线AB 于点F ．
（1） 如图①，证明：BE ＝BF ．
（2） 如图②，若∠ADC ＝90°，O 为AC 的中点，G 为EF 的中点，试探究OG 与AC 的位置关系，并说明理由．（3） 如图③，若∠ADC ＝60°，过点E 作DC 的平行线，并在其上取一点K （与点F 位于直线BC 的同侧），使EK ＝BF ，连接CK ，H 为CK 的中点，试探究线段OH 与HA 之间的数量关系，并对结论给予证明．
考点： 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;解直角三角形;
答案答案~~第4题~~
(2019天河.八下期末) 如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝8，F 是AB 的中点，过点F 作FE ⊥AD ， 垂足为E ， 将△
AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A ′E ′F ′．
（1） 求EF 的长；
（2） 设P ，P ′分别是EF ，E ′F ′的中点，当点A ′与点B 重合时，求证四边形PP ′CD 是平行四边形，并求出四边形PP ′CD 的面积．
考点： 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;平行四边形的性质;菱形的性质;~~第5题~~
(2019江门.八下期末) 如图，菱形ABCD 中，AB=1，∠A=60°，
EFGH 是矩形，矩形的顶点都在菱形的边上．设AE=AH =x （0＜x ＜1），矩形的面积为S ．
（1） 求S 关于x 的函数解析式；
（2） 当EFGH 是正方形时，求S 的值．
考点： 等边三角形的判定与性质;菱形的性质;矩形的性质;正方形的判定;
2020
年八下数学：图形的性质
_三角形_等边三角形的判定与性质练习题答案
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等边三角形的判定和性质习题及答案
等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。
等边三角形性质与判定练习题
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）一•选择题（共8小题）1 •如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中 / a+ / B的度数是（）A •180 ° B .220 ° C •240 ° D .300 °2 .下列说法正确的是（）A .等腰三角形的两条高相等C.有一个角是60。
的锐角三角形是等边三角形B .等腰三角形一定是锐角三角形 D •三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3 .在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若/ A= / B= / 6则厶ABC为等边三角形；③有两个角都是60。
的三角形是等边三角形；④一个角为60。
的等腰三角形B D EC 是等边三角形•上述结论中正确的有（）A •1个B •2个C •3个D •4个4 .如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△ BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E 处，则/ A 等于（）A . 25 °B . 30 °C. 45 °D . 60 °5 .如图，已知D、E、F分别是等边△ ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE丄BC、EF丄AC、FD丄AB，则下列结论不成立的是（）A . △DEF 是等边三角形B . △ADF ◎△ BED ◎△ CFEC. DE=ABD. S △ABC=3S △DEF6 .如图，在厶ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC ,则/ BAC的度数是（）A . 30 °B. 45 °C . 120 ° D . 15 °7 .如图，在△ ABC中，AB=AC , / A=120 °BC=6cm , AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E , AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm第1题第4题第5题第7题8 .已知/ AOB=30 °点P在/ AOB内部，P1与P关于0B对称，P2与P关于OA对称，则P l, 0 , P2三点所构成的三角形是（）A.直角三角形 B . 钝角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形二.填空题（共10小题）9 .已知等腰△ABC 中，AB=AC , / B=60 °贝U / A= 度.10 . △ABC 中，/ A= / B=6 0 °且AB=10cm，贝U BC= __________________ cm .11 .在△ABC中，/ A= / B= /。
第一章第02讲 等边三角形的性质与判定 (4类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版8年级下册
知识点 01 等边三角形的性质
（1）等边三角形性质 1：等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形性质 2：等边三角形的每个内角等于 60 ；
（3）等边三角形性质 3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
知识点 02 等边三角形的判定
（1）等边三角形的判定方法 1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法 2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
性质可得 BAD
1 BAC 2
30 ,AD
BC
，再由 AE
AD ，可得 ADE
1 180 CAD 75 ，即可求解．
2
【详解】解：∵ ABC 是等边三角形，
∴ BAC 60 ，
∵ AD 是等边三角形 ABC 的中线，
∴ BAD 1 BAC 30 , AD BC， 2
∴ ADB 90 ，
(1)求 ADC 的度数； (2)判断 ABE 的形状并加以证明； (3)连接 DE ，若 DE BD，DE 4 ，求 BC 的长． 【答案】(1)150 (2) ABE 是等边三角形，证明见解析
(3) 2 3 【分析】（1）首先证明△DBC 是等边三角形，推出 BDC 60 ，再证明 ADB≌ADC ，推出 ADB ADC
BEF CFD ∵ EBF FCD ，
EF FD
∴BEF≌CFD AAS ，
故答案为：是．
题型 02 等边三角形的判定
【例题】（2023 上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在 ABC 中， A 40 ，点 E 在边 AC 上，连接 BE, C CBE ．若 ABE 20 ，求证： BCE 是等边三角形．
∵ AE AD ，
中考数学每日一练：等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年解答题版
中考数学每日一练：等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年解答题版答案答案答案答案2020年中考数学：图形的性质_三角形_等边三角形的判定与性质练习题~~第1题~~(2020武汉.中考模拟) 如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是弧AB 的中点，CE ⊥OA 交⊙O 于点E ，连接AE .求证：AE ＝AO.考点： 等边三角形的判定与性质;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;~~第2题~~(2020温州.中考模拟) 如图，等腰直角△ABC 中，CA=CB ，点E 为△ABC 外一点，CE=CA ，且CD 平分∠ACB 交AE 于D ，且∠CDE=60°．（1） 求证：△CBE 为等边三角形；（2） 若AD=5，DE=7，求CD 的长．考点： 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;~~第3题~~(2019无锡.中考模拟) 小明坐于堤边垂钓，如图，河堤的坡角为，长为 米，钓竿的倾斜角是，其长为 米，若 与钓鱼线 的夹角为 ，求浮漂 与河堤下端 之间的距离.考点： 等边三角形的判定与性质;解直角三角形的应用;~~第4题~~(2019丹阳.中考模拟) 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BCD ＝150°，∠BAD ＝60°，AB ＝4，BC ＝2 ，求CD的长.考点： 直角三角形的性质;等边三角形的判定与性质;~~第5题~~答案(2019鱼峰.中考模拟) 如图，已知△ABC 是正三角形，D ，E ，F 分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.请你说明△DEF是正三角形.考点： 等边三角形的判定与性质;2020年中考数学：图形的性质_三角形_等边三角形的判定与性质练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
中考数学每日一练：等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年压轴题版
问题2：当t为何值时，△APF是含有30°角的直角三角形，写出所有符合条件的t的值.
（3） 当点P在运动过程中，求出△ACE的面积y关于时间t的函数表达式.（请说明理由）
考点： 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;菱形的性质;旋转的性质;相似三角形的判定与性质;
答案
~~第2题~~ (2019海门.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（2，4），连结AB.若对于平面内一点P，线 段AB上只要存在点Q，使得PQ≤ AB，则称点P是线段AB的“卫星点”.
（3） 若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度.
考点： 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;圆周角定理;圆内接四边形的性质;弧长的计算;
答案
2020年 中 考 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 练 习 题 答 案
1.答
5.答案：
考点： 坐标与图形性质;一次函数与不等式（组）的综合应用;等边三角形的判定与性质;
答案
~~第3题~~ (2019丹阳.中考模拟) 问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、F D之间的数量关系.
（1） [发现证明] 小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论.
中考数学每日一练：等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年压轴题版
2020年 中 考 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 练 习 题
等边三角形的性质与判定(3种题型)-2023年新八年级数学(苏科版)(解析版)
等边三角形的性质与判定（3种题型）了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．一．等边三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC 于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC 交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2022秋•姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．3．（2022秋•常州期中）如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由已知条件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，结合∠APD＝70°可得∠ADP的度数，从而得到∠P AD 的度数；根据等边三角形的性质，可以得到∠BAC＝60°，结合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此题．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．4．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．5．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（）A．60°B．105°C．75°D．15°【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°（三线合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．7．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝°．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案为：50．9．（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．二．等边三角形的判定（共6小题）10．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．11．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD ＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．12．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，又∵a，b，c是三角形的三边长，∴这个三角形是等边三角形．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋•常州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案为：30°．（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．15．（2022秋•江都区校级月考）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．【解答】解：△APQ证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等边三角形的判定与性质（共9小题）16．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【解答】解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．17．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．（2022秋•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．19．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为．【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．【解答】解：①当D在线段BC上，如图：∵等边△ABC的边长为5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝4；②当D在线段CB的延长线上，如图：同法可得：△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；综上：DE的长为：4或6；故答案为：4或6．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．21．（2022秋•泰州月考）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．22．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．23．（2022秋•启东市校级月考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A 满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A 是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．24．（2022秋•铜山区校级月考）已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证：（1）AE＝DB；（2）△CMN为等边三角形．【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•梁溪区期中）下列命题不正确的是（）A．等腰三角形的底角不能是钝角B．等腰三角形不能是直角三角形C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．即答案选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，要求学生在学习过程中要对所学过的知识进行总结和复习，以便灵活的运用所学的知识．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC ≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．3．（2022秋•射阳县校级月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），按此方法，若点C的坐标为（2，m，m﹣2），则m＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），得到经过该点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左，上，下，即可解答．【解答】解：由题意得：点C的坐标为（2，4，2），∴m＝4，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：数字的变化类，找出题中的规律是解题的关键．4．（2022秋•扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．5．（2022秋•邗江区月考）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）6．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，则BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD ＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
中考数学每日一练：等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年填空题版
9.答案： 10.答案：
答案
~~第3题~~ (2020玉林.中考模拟) 如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，点E、F分别是AB，BC的中点，AB=4，E F=2，∠B=60°，则CD的长为________．
考点： 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;
答案
~~第4题~~ (2020封开.中考模拟) 如图，在正方形 分的面积为________（结果保留 ）
考点： 线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性顺.中考真卷) 如图，直线 的解析式是
，直线 的解析式是
，点 在 上， 的横坐标
为 ，作
交 于点 ，点 在 上，以 ， 为邻边在直线 ， 间作菱形
，分别以点
， 为圆心，以 为半径画弧得扇形
和扇形
，记扇形
中考数学每日一练：等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年填空题版
2020年 中 考 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 练 习 题
~~第1题~~ (2020温岭.中考模拟) 如图，在直径为8的弓形ACB中，弦AB＝4 ，C是弧AB的中点，点M为弧上动点，CN⊥AM于 点N，当点M从点B出发逆时针运动到点C，点N所经过的路径长为________.
是直角三角形,则弦BC的长为________ .
考点： 等腰直角三角形;等边三角形的判定与性质;解直角三角形;
答案
2020年 中 考 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 练 习 题 答 案
1.答案：
2.答案： 3.答案： 4.答案：
5.答案： 6.答案： 7.答案： 8.答案：
等边三角形的性质和判定练习题
等边三角形的性质和判定【学习内容】三条边相等。
2.等边三角形的内角都相等，且等于60 °3.等边三角形各边上中线，等边三角形的性质：1 .三条边相等。
高和所对角的平分线都三线合一。
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
等边三角形的判定：1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）。
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【知识整合】【课堂练习】1.如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E。
使CE=CD,求DE长。
2. 如图，△ABC是等边三角形，DE ∥BC，交AB、AC于D , E。
求证：△。
求证：△ADE是等边三角形3.用不同的分割方法,将一个等边三角形分割成四个等腰三角形(注明角度) 【巩固练习】1．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重的长。
合，如果AP=3，求PP′的长。
2．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．的周长．求证：（1）DE=DF；（2）若∠A=60°，BD=1，求△ABC的周长．3．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．是等边三角形．求证：△ADE是等边三角形．4．如图所示，点D 为等边△ABC 的AC 边上的一点，∠1=∠2，BD=CE ．求证：△DAE 是等边三角形．是等边三角形．5．已知：如图，△DAC 、△EBC 均是等边三角形，点A 、C 、B 在同一条直线上，且AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．求证：（1）AE=DB ；（2）△CMN 为等边三角形．为等边三角形．1 2 A B C D E 。
北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 1.4 等边三角形的判定 同步练习含答案
第一章三角形的证明 1.4 等边三角形的判定1．下列说法不正确的是( )A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形D．有一个角为60°的三角形是等边三角形2．三角形的三边长分别为a、b、c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是( )A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是60°且是轴对称的三角形；③三个外角(每个顶点处各取1个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )A．①②③B．①②④C．①③ D．①②③④4. 如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的长方形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为( )A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm5. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM等于( )A．3 B．4 C．5 D．66. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝ .7．如图，一棵大树在一次强台风中从距离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为米．8. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．9. 在△ABC中，∠A＝60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 .10. 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的．11. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D、E，如果AB ＝8cm，则BE＝ cm.12．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为秒．13. 在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，则S△ABC＝ cm2.14. 如图AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于D，求AD的长。
北师大版八年级数学下册等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质同步练习题
1.1 等腰三角形第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质一．选择题1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A． 3.5 B． 4.2 C． 5.8 D．7第1题第3题第4题2．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）A．△DEF是等边三角形 B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF4．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A．30° B．45° C．120°D．15°5．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题6．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC= _________ cm．7．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________ 三角形．8．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________ ．第8题第9题第10题9．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= _________ ．10．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN= _________ ．三．解答题11.如图，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2=60°.求证：△ABC是等边三角形.12.如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是等边三角形吗？说明理由.13．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．14.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．15.如图，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE评分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE是等边三角形。