高二数学排列组合综合应用问题
（三）排列组合混合问题： 例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同 学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。 一共有多少种分配方案。
12 7 3
④C124.C84.C44
⑤
C124.C84.C44 A33
5.C 5 C 10 5 ⑥C122. A22
小结：练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平
均分配问题。 1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出 组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名 而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名 （或给出组名但不指明各组多少个）种数的 基础上乘以组数的全排列数。 2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的， 一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。
练 习
3. 15 人按照下列要求分配，求不同的 分法种数。 5 5 5 3 C C C / A (1)分为三组，每组5人,共有______________ 15 10 5 3 种不同的分法。 （2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各 7 4 4 3 2 4人，共有___________________ C15C8 C4 A3 / A2 种不同的分法。 （3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组 6 5 4 3 4人，共有___________________ C15C9 C4 A3 种不同的分法。 4. 8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都 4 4 1 3 1 3 2 2 2 C A C C A A C 不站中间两位的排法有______________________ 6 4 2 7 2 3 6 A2 A2 种。 5. 某班有27名男生13女生，要各选3人组成 班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有 4 2 2 1 2 C C C _____________________ 种不同的选法。 27 13 4 C2 A2
③4男4女排成一列，同性者相邻，把4男、4女 捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所 在地共有A22.A44.A44种。“捆绑法”
④ 同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位， 女偶数位，或者对调。 ∴总排列数为A22.A44.A44种。
A C A A A A (种）
6 8 1 2 1 4 5 8 2 4 4 8
排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思 考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为 具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。 “具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗 漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方 法是“ 想透，排够不重不漏” 是很有道理的。
解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计 合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接 法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到 广泛运用。
例1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的 分法种数。
①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； ②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人， 丙组3人； ③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； ④分为甲、乙、丙三组，每组4人； ⑤分为三组，每组4人。
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。 答案 ①C 5.C 4.C 3 ② C125.C74.C33 ③ C125.C74.C33.A33
例4.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2(A2 + C 8 2 C7C7 ) 种方法； 1 2 ②若不取6，则有 C7 A 7 种方法，
1 2 2 1 1 1 2(A + C C C ) 根据分类计数原理，一共有 8 2 7 7 + C7 A 7 ＝602 种方法
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列， 有A77.A22种 “捆绑法” ②把6男2女8人全排列，扣去 2 女“ 相邻”就是 2女“ 不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法” 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列， 再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会
上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的 安排方法有多少种？
（二）有条件限制的组合问题：
例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9} 求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子 集的个数。
解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数，3个奇数；②3个偶数，2个奇数；③4个偶数， 1个奇数。所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105
典型例题
1. 4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少 得1名，则不同的保送方案总数为（ A ）。 2 3 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 C A
4 3
2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能 出现的错误的种数是（ B ） 3 2 （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 C5 A2 1 3.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数 有（ B ）个。 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 （A) A4 (B) (C) (D) A4 A8 C4C4 A8 C4C4 C8 C4C8 A4
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。
结论：给出组名(非平均中未指明
各组个数）的要在未不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选 2名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).
例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同 学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。 一共有多少种分配方案。 解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种 工作中任选3种（组合问题）分给6个男同学中的3人 （排列问题）有C53.A63种,第二步,将余下的2个工作分给 4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63. A42=14400(种). 亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配 方案有C52 . A42.A63=14400(种).
高二数学组合与组合的运用试题答案及解析
高二数学组合与组合的运用试题答案及解析1.某班有4个空位，安排从外校转来的3个学生坐到这4个空位上，每人一个座位，则不同的坐法有（）A．24种B．43种C．34种D．4种【答案】A【解析】由题意得，每人一个座位，也就是从从4个座位选3个，然后分配到3个学生，则不同的坐法 =24种．故选：A．【考点】排列组合.2. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】至少有两件一等品包括三种情况,第一种是恰有两件一等品,有种方法;第二种是恰有三件一等品,有种方法; 第三种是恰有四件一等品,有种方法;所以共有种方法,答案选D.【考点】排列组合3. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分为三类，第一类，2件一等品2件非一等品有不同取法，第二类，3件一等品1件非一等品有不同取法，第三类，4件一等品0件非一等品有不同取法，根据分类计数原理知，至少有两件一等品的不同抽取方法有++种，故选D.【考点】计数原理；组合知识4.已知，则= 。
【答案】4或9【解析】由组合数性质知：或解得：或【考点】组合数性质5.将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k的值为()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】正面向上的次数满足二项分布，且有，由题意知，可得，那么，所以.【考点】二项分布，组合数的性质.6.某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有种选法（用数字作答）．【答案】310【解析】此题用间接法比较简单，从11人任选4人的方法有,其中只有内科医生的方法,只有外科医生的方法,所以按要求的方法种数为.【考点】组合及组合数的计算7.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和复数，则可以组成________个不同的对数值．【答案】52【解析】C85＝56，又log24＝log39，又log39＝log24，log23＝log49，log49＝log23所以可以组成52个对数值．8. 7名志愿者安排6人在周六、周日参加上海世博会宣传活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种(用数字作答)．【答案】140【解析】分两步：第一步，安排周六，有C种方案；第二步，安排周日，有C43种方案，故共有C73C43＝140(种)不同的安排方案．9.某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)．则从A点走到B点最短的走法有________种．【答案】210【解析】每条东西向街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段是走南北方向的)，共有C106＝C104＝210(种)走法．10.某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．【答案】16【解析】分两类：①含有甲C21C42，②不含有甲C43，共有C21C42＋C43＝16种．11.电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则是:一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷.图乙是张三玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，上方第一行左起七个方块中（方块上标有字母），能够确定下面一定没有雷的方块有，下面一定有雷的方块有 .（请填入所有选定方块上的字母）图甲图乙【答案】BDEF(3分)；AC（2分）【解析】图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断：由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷，最右边1的右边是雷，所以，E,F下均无雷。
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的xx,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx ，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同的排法乙甲丁丙练习题1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.1524位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
排列组合综合应用3,4(其他问题)
宜春中学数学学科2-3册笫一章排列组合的综合应用3、4导学案 编号：59-60编写：丁红平 审核：高二数学理科备课组学习目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力 ；3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
.学习重点：排列组合在其他一些方面的应用 学习难点：排列组合在其他一些方面的应用 学习过程：一、（约3分钟）引例1：交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.1.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形下各有多少种选派方法?(1)队长至少有1人参加；(2)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)设A ＝{选派5人有男队长参加的}，B ＝{选派5人有女队长参加的},则原题即求n(A ∪B), 而n(A ∪B)=n(A)+n(B)-n(A ∩B). n(A)=49C =n(B), n(A ∩B)=38C , 故n(A ∩B)=19623849=-C C .另解：设A ＝{选派5人有1个队长参加的}，B ＝{选派5人有2个队长参加的}，则原题即求n(A ∪B),n(A)=4812C C , n(B)=3822C C , n(A ∩B)=n()=0. 因此n(A ∪B)=n(A)+n(B)=4812C C +3822C C ＝196．说明：A ∩B 即选派5人既要有1个队长参加又要有2个队长参加这件事，这是不可能事件．(2)设A ＝{选派5人有队长参加的}，B ＝{选派5人有女运动员参加的}，则原题即求n(A ∩B)， 又)()()(B A n I n B A n ⋂-=⋂)()(B A n I n ⋃-=)()()()(B A n B n A n I n ⋂+--=191555658510=+--=C C C C即有191种选派方法． 说明：即选派5人，既无队长又无女运动员参加．从以上例题我们可以看出，用集合与对应思想分析处理排列组合问题，实质上就是将同一问题中满足不同限制条件的元素的排列或组合的全体与不同的集合之间建立相应的对应关系，而将各限制条件之间的关系转化为集合与集合之间的运算关系，通过计算集合的元素个数来计算排列或组合的个数，这有助于将带有多个附加条件的排列或组合问题分解为只有1个或简单几个附加条件的排列或组合问题来处理，这可大大简化复杂的分类过程，从而降低了问题的难度． 例2、（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A 、70种B 、64种C 、58种D 、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C -=个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A 、150种B 、147种C 、144种D 、141种 解析：10个点中任取4个点共有410C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C ，四个面共有464C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44106436141C C ---=种.（3）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有481258C -=个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.（约10分钟）例1、小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
河北省抚宁县第六中学人教A版高中数学选修2-3课件：1.2排列组合综合应用问题
说明:对不相邻元素的排列问题,一般采用“插空 法”对反面明了的,可用“排除法”
第二十一页，编辑于星期日：十四点 三十七分。
② Ab-------------Ba
③ Bb-------------Aa
④ Ba-------------Ab
显然： ①与③； ②与④在搭配
上是一样的。所以只有2种方法，
所以总的搭配方法有2 C82.C72种。
第十四页，编辑于星期日：十四点 三十七分。
排列组合综合问题
练习3 高二某班要从7名运动员出4名组成
第十二页，编辑于星期日：十四点 三十七分。
排列组合综合问题
例2 求不同的排法种数.
(4)4男4女排成一排,同性者不能相邻.
解：（1）先把男生全排列,再选择必须插空的位 置∴总排列数为 A44.A43.A21
（2）同性不相邻必须男女都排好,即男奇数位, 女偶数位,或者对调.∴总排列数为A22.A44.A44种.
注意：若是3个元素按一定顺序,
则必须除以排列数 A33.
点评：排列应用题是实际问题的一种,其指导思想：
弄清题意,联系实际,合理设计,调动相关知识和方
法.本例是排列的典型问题,解题方法可借鉴.排列
问题思考比较抽象,“具体排”是一种把抽象转化具
体的好方法.
第二十二页，编辑于星期日：十四点 三十七分。
有条件限制的组合问题
排列数.
部分平均分组问题中，先考虑不平均分组，剩下的就是 平均分组。这样分组问题就解决了.
高二数学排列组合的应用(习题课)
排列组合的应用（习题课）教学目标：利用排列组合以及两个基本原理解决综合的计数应用题，逐步掌握解决计数问题的常用方法，提高应用意识和分析、解决问题的能力。
一．组合排列混合问题：例1.高二(1)班有30名男生,20名女生.从50名学生中选3名男生,2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？跟踪训练1：某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.跟踪训练2：对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？二、分组、分配问题例2.（1）3个小球分成两堆，有多少种分法？（2）4个小球分成两堆，有多少种分法？（3）6个小球分成3堆，有多少种分法？例3（1）3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？（2）4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？（3）三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？三、排队问题例4:8人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排队方法。
（1）甲乙丙必须相邻，丁戊两人不能相邻；（2）甲乙两人必须站中间，丙丁两人不能站两端;（3）8人中4男4女做到同性别不相邻；（4）8人中3个大人，5个小孩，要求每个大人右边相邻的必须是小孩；（5）甲在乙的左边，乙在丙的左边（甲乙丙不一定相邻）；（6）甲不在左端，乙不在右端。
跟踪训练：分别求下列问题的排法数（1）6名运动员选四人参加4 00接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（2）甲乙丙丁四名运动员参加4 00接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒，丙不跑第三棒，丁不跑第四棒。
高二数学排列与排列的运用试题
高二数学排列与排列的运用试题1.直线方程Ax＋By＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线的条数是________．【答案】26【解析】先不考虑重合的直线，分两步完成，共有6×5＝30(条)直线，其中当A＝1，B＝2和A＝3，B＝6，A＝2，B＝1和A＝6，B＝3，A＝1，B＝3和A＝2，B＝6，A＝3，B＝1和A＝6，B＝2时，两直线重合，故不重合的直线有30－4＝26(条)．2.求证：An+1m－Anm＝mAnm-1.【答案】见解析【解析】证明：∵An+1m－Anm＝－＝·＝·＝m·＝mAnm-1，∴An+1m－Anm＝mAnm-1.3.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务的不同选法有 ( )A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种【答案】C【解析】按分步计数原理考虑：第一步安排甲任务有种方法，第二步安排乙任务有种方法，第三步安排丙任务有种方法，所以总共有种【考点】分步计数原理点评：完成一件事需要n步，每步分别有种方法，则完成这件事的方法数共有种4.已知，则（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于从100，连续减小到95，共有6个自然数连续乘积，那么可知=，选C.【考点】排列数公式点评：主要是考查了排列数公式的计算，属于基础题。
5.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（Ⅰ）甲不在中间也不在两端；（Ⅱ）甲、乙两人必须排在两端；（Ⅲ）男、女生分别排在一起；（Ⅳ）男女相间；（Ⅴ）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．【答案】（Ⅰ）241920（Ⅱ）10080（Ⅲ）5760（Ⅳ）2880（Ⅴ）60480【解析】（Ⅰ） 2分（Ⅱ）． 4分（Ⅲ） 6分（Ⅳ） 8分（Ⅴ） 10分【考点】排列问题点评：排列问题中特殊元素特殊位置优先考虑，相邻元素采用捆绑法，不相邻问题采用插空法6.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A．324B．328C．360D．648【答案】B【解析】如果0在末位，则有个符合要求的数；如果0不在末位，则末位有2，4，6，8四种选择，首位有8种选择，所以有个符合要求的数，所以共有个符合要求的数.【考点】本小题主要考查两个计数原理和排列组合的应用.点评：本小题主要用到的方法是特殊位置优先法，要注意排列组合中特定方法的灵活应用.7.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（）A．60种B．48种C．36种D．24种【答案】D【解析】把A、B两人“捆绑”起来，然后与其余的三人排一下有种不同的方法，最后排A、B有1种方法，共有=24种不同的方法，选D【考点】本题考查了排列的综合运用点评：对于元素相邻的排列问题往往都是“捆绑”法处理，属基础题8.将4封信投入3个邮箱，则不同的投法为（）A．81种B．64种C．4种D．24种【答案】A【解析】将4封信投入3个邮箱，每一封信都有3种不同的投法，所以不同的投法共有.【考点】本小题主要考查分步乘法计数原理的应用.点评：两个原理是解决一切计数问题的基础，关键是搞清楚是分类还是分步还有既有分类又有分步.9.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A．72B．96C．108D．144【答案】C【解析】依题意可知个位的选择有2,4,6三种选法，第一种情况，5在十位上，此时有种排法；第二种情况，5在百位上，此时有种排法；第三种情况，5在千位上，此时有种排法；第四种情况，5在万位上，此时有种排法；第五种情况，5在十万位上，此时组合数有种排法；所以由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是36+12+12+12+36="108" 个。
高中数学排列组合习题及解析
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。
1。
排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素,并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.排列数公式：4。
组合数公式:5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。
所涉及问题是排列问题。
解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档，共有种选法。
根据乘法原理，共有的不同坐法为种。
结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。
即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此,女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。
解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列,有种排法，其中女生内部也有种排法,根据乘法原理，共有种不同的排法。
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。
即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。
专题研究排列组合的综合应用习题和答案详解
1．(2019·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案 C解析 分两步：先从8，9，10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1，2，3，4，5，6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．(2019·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种 D ．5 040种 答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．4．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种 答案 C解析 可先分组再排列，所以有12C 42A 33＝18(种)放法．5．(2019·西安五校)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 答案 D解析有二类情况：(1)其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C53A33＝60(种)；(2)其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C51×C422×A33＝90(种)．∴共有150种．故选D.6．(2019·山西大同一模)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C102A84B．C91A95C．C81A95D．C81A85答案 C解析先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C81种方法，再排剩余的瓶子，有A95种方法，故不同的放法共有C81A95种，故选C项．7．(2019·安徽毛坦厂中学阶段测试)6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有()A．40种B．48种C．60种D．68种答案 B解析4，2分法：A22(C64－1)＝14×2＝28，3，3分法：C63C33＝20，∴共有48种．8．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为()A．C62C52C82B．C62＋C52＋C82C．A62A52A82D．C192答案 B解析依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，高三比赛有C82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C62＋C52＋C82，选B.9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C42A33－A33＝30种分法．故选C.10．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( ) A ．144 B ．72 C ．36 D ．48答案 C解析 分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有C 42C 21C 11A 22种；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 42C 21C 11A 22×A 33＝36(种)．11．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( ) A ．24 B ．36 C ．40 D ．44答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24(种)；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 21C 42＝12(种)情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4(种)情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4(种)情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44(种)不同的情况．故选D.12．(2019·河南郑州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( ) A ．51个 B ．54个 C ．12个 D ．45个 答案 A解析 分三类：第一类，没有2，3，由其他3个数字组成三位数，有A 33＝6(个)； 第二类，只有2或3，需从1，4，5中选2个数字，可组成2C 32A 33＝36(个)；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选1个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 31A 33＝9(个)．故这样的三位数共有51个，故选A.13．(2019·安徽马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )A ．5 400B ．3 000C ．150D ．1 500答案 D解析 分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 53种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 53种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 52C 32A 22种情况．故选择情况数为C 53(C 53＋C 52C 32A 22)A 33＝1 500(种)． 14.(2019·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( ) A ．C 419 B ．C 389 C ．C 409 D ．C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台像排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399.15．(2019·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60种．16．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________． 答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋C 42C 22A 22)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.17．(2019·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案84解析方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C73种．故共有C71＋A72＋C73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C96＝84(种)抽调方法．。
高中数学选择性必修三 6 2 3 排列组合的综合运用(精练)(含答案)
6.2.3 排列组合的综合运用（精练）【题组一全排列】1．（2020·中山大学附属中学高二期中）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( )A．4 B．44C．24 D．48【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为44=432124A⨯⨯⨯=. 故选：C2．（2020·全国高二单元测试）3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【答案】64【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有4种选择，则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为：64.3．（2020·上海高二专题练习）若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，∴可能出现的错误的种数是60159-=，故答案为：59．4．（2021·浙江衢州市）将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.【答案】18【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有（1,2,6），（1,3,5），（2,3,4）三种情况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有336A=种情况，所以不同的分配方法共有1863=⨯种.故答案为：185．（2020·天津河西区·高二期中）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有44A=24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有336A=种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有222A=种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.6．（2020·河南）2020年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、B、C、D，前往四个国家E、F、G、H进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到H国家，那么此时B医疗队被派遣到E国的概率是______.【答案】241 3【解析】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为4424A=，由于A医疗队被派遣到H国家，则B医疗队可派遣到其它3个国家，因此，B医疗队被派遣到E国的概率是13.故答案为：24；13.【题组二相邻问题】1．（2020·沙坪坝区·重庆八中）小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A⋅=故选：B2．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末）将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A．112B．15C．115D．215【答案】C【解析】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C 3．（2020·陕西彬州市·高二月考）5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为 A ．480B ．720C ．960D ．1440【答案】C【解析】两个女生必须相邻，捆绑222A =，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，2520A =，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，4424A =，所以不同的排法种数为：22425422024960A A A ⋅⋅=⨯⨯=．4．（2020·广东广州市）2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（ ） A ．60 B ．120 C ．144 D ．240【答案】D【解析】由题意，因为1号与6号相邻降落，可1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排， 将则不同的安排方法有2525240A A =种.故选：D.5．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（ ） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【解析】根据题意男生一起有336A =排法，女生一起有336A =排法，一共有3333272A A =种排法，故选：C .．6．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ） A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，故选：B.【题组三 不相邻问题】1．（2020·全国）六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法， 此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C.2．（2020·全国）将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ） A ．42 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连， 故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有336A =种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有33636A =种.综上所述，不同的放法种数为64362+=种.故选：A.3．（2020·全国）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．72种B．48种C．36种D．24种【答案】C【解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有336A=种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有236A=种排法，则后六场开场诗词的排法有6636⨯=种，故选：C.4．（2020·防城港市防城中学高二期中）5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A．72B．48C．24D．60【答案】C【解析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为22222324A A A=种.故选：C.5.．（2020·北京丰台区·高二期末）某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为_________．（用数字作答）【答案】12【解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列：4424A=；再求出甲、乙两名同学相邻的排列：2 412A=然后，4244241212A A-=-=故答案为：126．（2020·上海）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A=种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A=种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种；故答案为：727．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A 与C 不相邻，则不同的排法共有__种. 【答案】36【解析】依题意，可分三步，先排D ，E ，有22A 种方法，产生3个空位，将,A B 捆绑有22A 种方法，将,A B 捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有13A 种方法，这时AB 、D 、E 产生四个空位，最后将C 插入与A 不相邻的三个空位之一，有13A 种方法，根据分步乘法计数原理得：共有2211223336A A A A ⨯⨯⨯=种，故答案为：36.8．（2020·博兴县第三中学高二月考）某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________ 【答案】24【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况， ②将这个整体与英语全排列，有222A =种顺序，排好后，有3个空位， ③数学与物理不相邻，有3个空位可选，有236A =种情况，则不同排课法的种数是22624⨯⨯=种；故答案为：24. 【题组四 分组分配】1．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法． 【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有16C 种选法；再从余下的5本中选2本，有25C 种选法；最后余下3本全选，有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.2．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答) 【答案】1560【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有31163213320lC C C C A = (种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有22116421222245C C C C A A ⋅= (种)． 所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有44651560A ⨯= (种)．故答案为：1560.3（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案) 【答案】90【解析】把5人按人数2,2,1分成三组，然后再安排到三个景点浏览，总方法为2235332290C C A A ⨯=． 故答案为：90．4．（2020·全国）把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________． 【答案】240．【解析】将这5张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有2111532133C C C C A 种分组办法，再分给4人的不同分法有211145321433240C C C C A A ⋅=种．故答案为：240． 5．（2020·全国）从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________. 【答案】180【解析】112654C C C 180=.故答案为：180.6．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种. 【答案】150【解析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式； 故答案为：150．7．（2020·全国）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）． 【答案】900【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有1135432210C C C A ⋅⋅=种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有2215312215C C C A ⋅⋅=种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有33(1015)150A +⨯=种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有336A =种不同情况.所以所有的不同分派方案有1506900⨯=种. 故答案为：900. 【题组五 几何问题】1．（2021·全国）直线x m =，y x =将圆面224x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（ ） A ．20 B ．60 C ．120 D ．240【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面224x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420⨯=种，当2m -<≤2m ≤<时，圆面224x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种，当m <时，圆面224x y +≤被分成4块，此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D2．（2021·安徽省）224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ） A ．286 B ．281 C ．256 D ．176【答案】C【解析】由题意可得224x y +≤表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为33313351022861020256C C C --=--=个．故选C ．3．（2020·全国高二单元测试）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( ) A ．70 B ．64 C ．58 D ．52【答案】C【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C 84=70个，不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个， ∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70−12=58个.故答案为C. 【题组六 方程不等式问题】1．（2021·太原市）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.2．（2021·湖北）若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为 A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】A【解析】方程12348x x x x +++=，其中22x =，则1346x x x ++=将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组， 第一组小球数目为1x 第二组小球数目为3x 第三组小球数目为4x共有2510C =种方法故方程的正整数解的个数为10 故选A【题组七 数字问题】1．已知集合{}A a b c d =，，，，从集合A 中任取2个元素组成集合B ，则集合B 中含有元素b 的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ，则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======，共6个，其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个，故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选：C 2．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ） A ．12 B ．44 C ．58 D ．76【答案】B【解析】分类讨论：尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共1222312C A ⋅⋅=,还可能为234,有336A =种；尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共122228C A ⋅⋅=,还可能为124,有336A =种；尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共122228C A ⋅⋅=；尾数为7：则前三位的数字可能为012,共12224C A ⋅=.综上所述,共有126868444+++++=种.故选：B3．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.【答案】34【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有3735C =，乘积为奇数只有1,3,5一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种.故答案为：34【点睛】本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.4．已知{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是_______ . 【答案】12【解析】因为{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，所以(),m n 的可能情况有：2520P =种， 又因为方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以m n >，所以满足要求的有：2510C =种， 所以概率为：101202P ==.故答案为：12. 5．（2021·宁波市）有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位数的个数为_________.【答案】204【解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2.当含有0对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为4424A =个；当含有1对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为221434144C C A =个；当含有2对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为224436C C =个.综上，可以组成不同的四位数的个数为2414436204++=个.故答案为：204.6．（2020·江西省信丰中学）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】1 6【解析】十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝．。
高中数学排列组合问题的几种基本方法
前 排
后 排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
练习题：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位， 现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且 这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是
346
A 2 17
2 20
4 C52 A 4
排列组合混合问题先选后排策略
5 5
4 6
练习2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个 节 目插入原节目单中，那么不同插法的种数为多 少？ 练习3：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两 个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相 邻，那么不同插法的种数为多少？
5 13 4 8 4 4 2 2
C C C /A
1540
C C A / A 90
2 2 4 2 2 6 2 2
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少 种不同的排法？
解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 问题时，可以先排“一 般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以 解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法. 故所求方法有15×9＝135种.
7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一 种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_________条. 解：所有这样的直线共有