苏教版2-1排列组合与概率--9.10排列组合综合问题(第一课时)

④ Ba-------------Ab 先组后排
A A 2 2
1 2
1 2
分离排列问题:
引例（曾经作过的题）： 4名运动员出 组成4×100米接力队，参加校运会，其 中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排 4 2 2 方法有多少种？间接法方便：A4 A2 A2 20. 例4:高二某班要从7名运动员出4名组成4×100 米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人都不跑中 间两棒的安排方法有多少种？ 分析：从7人中选出4人分别安排在第一、二、三、四 棒这个事，与组合和排列都有关，这里对甲、乙又有特 殊的要求，这就有几种不同的情况，所以要分类考虑， 先考虑4人的选取有几类？再考虑谁跑哪棒。 直接法：先组： 分三类。第一类，没有甲、乙，有 C54种；第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种； 第三类，既有甲又有乙。有C52种。
结论：给出组名(非平均中未指明
各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
分离排列问题:
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列， 有A77.A22种 “捆绑法” ②把6男2女8人全排列，扣去 2 女“ 相邻”就是2女“ 不相 邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法” ② 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相 邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
3、在∠MON的边ON上有5个异于O点的点, OM上有4 个异于O点的点, 以这十个点(含O)为顶点,可以得到多 少个三角形?
C C C C C C 90
2 5 1 4 2 4 1 5 1 5 1 4
E
N
错解：
2 1 2 1 C6 C4 C5 C5 110O （为什么？）
解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
注意问题：
排列组合、不重不漏
解题方法：
互斥分类----------分类法 先后有序----------位置法 反面明了----------排除法 相邻排列----------捆绑法 分离排列----------插空法
一.排列组合综合问题
分配问题:
例1：有12 人。按照下列要求分配，求不同 的分法种数。 ①分为两组，一组7人，一组 5人； ②分为甲、乙两组，甲组 7人，乙组5人； ③分为甲、乙两组，一组 7人，一组5人； ④分为甲、乙两组，每组6人； ⑤分为两组，每组 6人； 要求：审清题意、仔细分析、周密考虑、防止重漏。
回
顾
引入：前面我们已经学习和掌握了排列组 合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩 固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、 组合的综合问题和应用问题。 问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？ 应注意什么问题？ 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法 原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原 理，可用位置法；上述两种称“直接法”,当问题的反面简单 明了时，可通过求差排除法,采用“间接法”；另外，排列 中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法等
④ 同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位， 女偶数位，或者对调。 ∴总排列数为A22.A44.A44种。 本题可否用排除法得排列总数为：A88- A22.A44.A44； 或用简单插空法得排列总数为：A44.A54? 错！∵用排除法时，反面要明了，而这里反面不明了， 还有2人或3人相邻的。用简单插空法可能出现两男或两 女相邻的情况。如“女男男女男女男女” 。
练 习
1. 某班有23男37女共60名学生，拟派出2个 辩论队，每队3人，各1男2女，共有多少种不 同的搭配方法。 C 2 C 4 A1 A2 (种）
23 37 2 4
2. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏 会上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位 的安排方法有多少种？
0 6 1 1 5 2 2 4 C2 C86 A6 C2C85 A4 A5 C2 C84 A4 A4 (种）
例5:f是集合M={a,b,c,d}到N={0,1,2}的映射， 且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多 少个？
解：根据题意，集合M中元素a、b、c、d对应 到集合N中元素的情形分别为1、1、1、1； 1、1、0、2；0、0、2、2三种类型． 则不同的映射个数共有：
1 C C C 19
① ②分析：把12 人分成两组，一组7人，一组5人与把12 人分成甲、乙两组，甲组7人，乙组5人，实质上是一样的， 都必须分成两步：第一步从12 人中选出7人组成一组（或甲 组）有C127种方法；第二步，剩余的5人组成一组（或乙组） 有C55种方法。所以总的分配种数为C127.C55种。 所以①、 ②分配种数都为C127.C55
由此可见，分离排列问题，不能简单地用插空法或 排除法要根据具体的情况具体分析。
搭配问题:
例3：某乒乓球队有8男7女共15名队员， 现进行混合双打训练，两边都必须要1男1女， 共有多少种不同的搭配方法。 分析：每一种搭配都需要2男2女，所以 先要选出2男2女，有C82.C72种；
然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？ 男女----------男女 显然： ①与③； ②与④在搭配 ① Aa-------------Bb 上是一样的。所以只有2种方法， ② Ab-------------Ba 所以总的搭配方法有2 C82.C72种。 ③ Bb-------------Aa
共有N= C53· 52· 55－ C53· 41· 44=11040 C A C A
课堂练习：
1、从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排， 含有“qu” (其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列有 3 4 多少？ C6 A4 480
0 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 C4 16 2、210的正约数有多少个？
思考:对于不相邻的分离排列能否都用“排除法”?若改5男3女 8 3 5 2 排成一列,3女不相邻,用排除法得 A8 A3 A5 A2 对吗 ?
(反面不明了:有3女相邻，两两相邻等几种情况。)
③4男4女排成一列，同性者相邻，把4男、4女 捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所 在地共有A22.A44.A44种。“捆绑法”
③分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； ③思考：把12 人分为甲、乙两组，一组7人， 一组5人,与① ②比较,有何相同和不同地方? 相同地方都是分成两组,一组7 人,一组5 人,有 C127.C55种；所不同的③是一组7人，一组5人，并没 有指明甲乙谁是7人，谁是5人，要考虑甲乙的顺序， 所以要再乘以P22 ，所以③总的种数为C127.C55.A22。 点评：上述问题是非平均分配问题， ① 没有指出组名 ②给出了组名，而且指明了谁是几个人。这在非平均分 配中是一样的。而 ③虽然给出了组名，却没有指明谁是 几个人，所以这时有顺序问题。 注意： 求给出了组名，却没有指明哪组多少人的种数， 可以先算未给出组名（或给出组名并指明哪组多少人） 的种数，然后乘以组数的阶乘。
1 4 1 3 2 4
例6:用0、1、2、3、…、9这十个数字组成五位数， 其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的 五位 数有多少个？ 解法一：分类：第一类，含有0的满足条件的五 位数，有C53· 41· 41· 44个 C A A
第二类，不含有0的五位数， 53· 42· 55个 有C C A 总共有C53· 41· 41· 44 + C53· 42· 55=11040 C A A C A 解法二：排除法：总的含有三个奇数数字和两 个偶数数字的五位数,有C53· 52· 55个 C A 排除掉以0为首位的那些五位数,C53· 41· 44 C A
课堂小结
本节课，对几个例子的分析讨论，总结了分配问 题，分离排列问题，以及排列组合综合题的解法。 解排列组合综合题一般应遵循：“先组后排”的 原则。解题时一定要注意 “不重、不漏” 。 解题方法：
互斥分类----------分类法 先后有序----------位置法 反面明了----------排除法 相邻排列----------捆绑法 分离排列----------插空法
④分为甲、乙两组，每组6人；
④ 分析：把12个人分为甲、乙两组，每组6人， 可分成两步，第一步，从12人中抽出6人给甲组， 有C126种，余下的6人给乙组有C66种，所以 共有C126.C66种. ⑤分为两组，每组6人；
⑤由于没有组名，与④比较，显然④分成甲、乙两组是有 顺序的，如123456分在甲组与123456分在乙组是不一样的，而 ⑤作为分成两组却是一样的。有顺序的多，无顺序的少，象非 平均分配一样，有组名的种数应该是无组名的种数的关于组数 的阶乘倍。所以在④的基础上除以组数的阶乘，即12个人分 为两组，每组 6人的种数为C126.C66 / A22种。
点评：上述④ ⑤属于平均分配问题，求没 有给出组名的种数，可以先求给出组名的种 数，再除以组数的阶乘！
练习：有12 人。按照下列要求分配， 求不同的分法种数。 ①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； ②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组 4人,丙组3人；
③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； ④分为甲、乙、丙三组，每组4人； ⑤分为三组，每组4人。 ⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
A·
B· ·
F G
C
D
·
H
· ·
I M
· · ·
4、如图，在以AB为直径的半圆周上有异于A、B的六 个点C1，C2，C3，C4，C5，C6， AB上有异于A、B的四 4 3 C10 C4 206 个点D1，D2，D3，D4，问： (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形? (2)以图中12个点(包括A、B)中的四个为顶点，可作多 C4 C3 少个四边形?