北京市101中学2020学年高二数学上学期期中试题理
2021-2022学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知直线l 过点A （0，3），且与直线x +y +1＝0平行，则l 的方程是（ ） A ．x +y ﹣2＝0 B ．x ﹣y +2＝0 C ．x +y ﹣3＝0 D ．x ﹣y +3＝02．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β3．已知点A （1，﹣1），B （﹣1，1），则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ） A ．x 2+y 2＝2 B ．x 2+y 2=√2C ．x 2+y 2＝1D ．x 2+y 2＝44．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →⋅BC →=0，AD →⋅AC →=0，AB →•AD →=0，M 为BC 中点，则△AMD 是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定5．已知直线l ：x +ay ﹣1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝（ ） A ．2 B ．4√2 C ．2√10 D ．66．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →=xOA →+yOB →+zOC →（x ，y ，z ∈R ），则“x ＝2，y ＝﹣2，z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件7．如图，在平面四边形ABCD 中，设AB ＝AD ＝CD ＝1，BD =√2，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ．使A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ） A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为60° D ．四面体A ′﹣BCD 的体积为138．在直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以线段AB 为直径的圆C 与直线x +y ﹣4＝0相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．12π9．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝AC ＝PB ＝PC ＝5，P A ＝4，BC ＝6，点M 在平面PBC 内，且AM =√15，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）A ．√25B ．√35C ．25D ．√5510．在平面斜坐标系xoy 中∠xoy ＝45°，点P 的斜坐标定义为：“若OP →=x 0e 1→+y 0e 2→（其中e 1→，e 2→分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的坐标为（x 0，y 0）”．若F 1（﹣1，0），F 2（1，0），且动点M （x ，y ）满足|MF →1|=|MF →2|，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ） A ．x −√2y =0 B ．x +√2y =0 C ．√2x −y =0 D ．√2x +y =0二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．过点P （2，1）且倾斜角比直线y ＝x ﹣101的倾斜角小π4的直线的方程是 ．12．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →=（2，﹣1，﹣4），AD →=（4，2，0），AP →=（﹣1，2，﹣1）．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （﹣3，3），B （9，﹣4），现沿x 轴将坐标平面折成90°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为 ．14．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2，BB 1＝3，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝ 时，CF ⊥平面B 1DF ．15．已知点P 为圆O ：x 2+y 2＝4上任意一点，过点P 作两直线分别交圆OA ，B 两点， 且∠APB ＝60°，则|P A |2+|PB |2的取值范围是 ．三、解答题（本大题共4小题，共45分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
2023-2024学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在等差数列{a n}中，a2＝1，a4＝5，则a8＝（）A．9B．11C．13D．152．若直线2x+y﹣1＝0与直线x﹣my＝0垂直，则m＝（）A．﹣2B．−12C．2D．123．已知{a n}为等比数列，公比q＞0，a2+a3＝12，a1•a5＝81，则a5＝（）A．81B．27C．32D．164．已知圆C的圆心在抛物线y2＝4x上，且此圆C过定点（1，0），则圆C与直线x+1＝0的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定5．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（）A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支6．在各项均不为零的等差数列{a n}中，若a n+1−a n2+a n﹣1＝0（n≥2），则S2n﹣1﹣4n＝（）A．﹣2B．0C．1D．27．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线右支上一点，连接AF1交y轴于点B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A．2√3B．32C．√3D．3√328．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2024＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．已知F 1，F 2同时为椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2＞0，b 2＞0）的左、右焦点，设椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，O 为坐标原点，给出下列四个结论：①a 12−b 12=a 22+b 22；②若∠F 1MF 2=π3，则b 12=3b 22；③|F 1F 2|＝2|MO |的充要条件是1e 12+1e 22=2；④若|F 1F 2|＝3|MF 2|，则e 1e 2的取值范围是(35，3)．其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2022-2023北京101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣5）≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7}2．若实数a 、b 满足a ＞b ＞0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b ＞2√abB ．a +b ＜2√abC ．a2+2b ＞2√abD ．a2+2b ＜2√ab3．已知关于x 的方程x 2﹣6x +k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2=3，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数f （x ）＝x +2x ，x ∈[1，3]的值域为（ ） A ．[2√2，3]B ．[3，113] C ．[2√2，113] D ．[3，+∞）5．已知f （x ）＝|x |，g （x ）＝x 2，设h （x ）={f(x)，f(x)＞g(x)g(x)，f(x)≤g(x)，函数h （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]7．已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，则m 的范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣4，0]C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）10．设f （x ）是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数x 1，x 2∈R ，使得f(x 1+x 22)=f(x 1)+f(x 2)2，则称函数f （x ）在R 上具有性质P ，那么，下列函数：①f （x ）＝2x ；②f （x ）={1x，x ≠00，x =0；③f （x ）＝x 2；④f （x ）＝|x 2﹣1|．具有性质P 的函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市第三中学2024-2025学年高二上学期期中学业测试数学试卷
( ) ( ) uuuur
BM
=
1 2
uuur
=
1 2
uuur
-
uuur BA=
12DAuAu1uDur1
-
uuuur DA1BB1
，
( ) 所以
uuuur B1M
=
uuur B1B
试卷第21 页，共33 页
A． 2
B． 4
C． 6
D． 8
二、填空题
11．空间向量
ar
=
(1,
-2,
-1),
r b
=
(
x,
y,
-2)
，且
ar
/
r /b
，则
x
=
，y=
．
12．试给出一组使两条直线 l1 : 2x - y = 0 与 l2 : ax + by - 3 = 0 互相垂直的实数 a，b 的值，它
C2 (3, 4) ，则 C1C2 = 32 + 42 = 5 ，
又 r1 = 1, r2 = 25 - m ，且两圆外切，则 r1 + r2 = C1C2 ，得到1+ 25 - m = 5 ，解得 m = 9 ． 故选：C. 9．A 【分析】求出圆心 C 的轨迹方程后，根据圆心 M 到原点 O 的距离减去半径 1 可得答案.
r b
，
uuur A1 A
=
cr
，则下列向量中与
uuuur B1M
相等的向量是（
）．
试卷第11 页，共33 页
A．
北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。
2020-2021学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．30°B．150°C．60°D．120°3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（）A．1B．C．D．24．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．以上都不对5．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或06．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）设复数z满足，则|z|的最大值为（）A．B．2C．D．49．（5分）通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角．已知l1：2x﹣3y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2夹角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，点C（cosθ，sinθ），且＝，＝，则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）复数z＝，则|z|＝．12．（5分）已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为．13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为，若圆C关于直线l对称，则k＝．14．（5分）直线l：y＝kx+与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是．三、解答题共5小题，共45分。
2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
奇函数，
f (x) f (x) ， g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x f (x) x g(x) ， 对于任意的 x ， y R ，有 | f (x) f ( y) || x y | ，
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．已知 x1 ， x2 是方程 x2 2x 5 0 的两根，则 x12 2x1 x1x2 的值为
2．“ x 2 ”是“ x2 4 ”的 ( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，在区间 (1, ) 上为增函数的是 ( )
A． y 3x 1
B． y 2 x
C． y x2 4x 5 D． y | x 1| 2
f （1） g （1）的值等于 ．
13．若函数 f (x) x2 2x 1在区间 [a ，a 2] 上的最小值为 4，则实数 a 的取值集合为 ．
14．已知函数
f
(x)
x | x x, x
| 2x, x a a
（1）若 a 0 ，则函数 f (x) 的零点有
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
【解答】解：由函数 f (x 1) 的对称中心是 (1, 0) ，可得 f (x) 的图象关于 (0,0) 对称即 f (x) 为
北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期数学期中考试复习试卷一(含答案)
北理工附中2026届高二数学（上）期中复习一1的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线平分圆：的周长，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）A ．B ．C ．D ．5．已知直线：和直线：，下列说法错误的是（ ）A ．始终过定点B ．若，则或-3C ．若，则或2D ．当时，始终不过第三象限6．空间内有三点，则点P 到直线EF 的距离为（ ）AB ．CD ．7．已知圆直线，点P 在直线l 上运动，直线PA ，PB 分别与圆M 相切于点A ，B ．则下列说法正确的个数是（ ）（1）四边形PAMB（2）最短时，弦AB（3）最短时，弦AB 直线方程为 （4）直线AB 过定点8．在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面310y --=260x my -+=2C ()()22124x y -+-=m =2468OABC ,,OA a OB b OC c ===M OA 2OM MA =NBC MN121232a b c -+ 211322a b c -++ 111222a b c +- 221332a b c+- ()2,1,1a =- ()1,,1b x = ()1,2,1c =-- a b ⊥ bc ()1,2,1-()1,2,1()1,2,1--()1,2,1-1l 0x ay a +-=2l ()2310ax a y ---=2l 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭12l l //1a =12l l ⊥0a =0a >1l ()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2P E F -22:(4)4M x y ++=:20+-=l x y ||PA ||PA 3380x y +-=10,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ABCD AD a =AB b =b a >．ACD 三角形AC D上的投影恰好在直线AB 上，则此时二面角的余弦值为（ ）A．B ．CD ．9．在正三棱锥中，是的中心，，则 .10．已知直线：，：，若，则实数 .11．设，过定点A 的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值 ．12．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 .13．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.(1)求直线的方程；(2)若点满足，求动点的轨迹方程.14．已知四棱锥中，底面ABCD 是正方形，平面是PB 的中点.(1)求直线BD 与直线PC 所成角的大小；(2)求点B 到平面ADE 的距离．ABC E B AC D --22a ba b2a b b +P ABC -O ABC V 2PA AC ==PO PB ⋅=1l 310mx y +-=2l ()2110x m y +-+=12l l ∥m =m ∈R 10x my ++=B 230mx y m --+=(),P x y PA PB AB ++1111ABCD A B C D -12,,,AB AD AA 60o ,E F 11BB ,DD 112,2BE B E D F DF ==EF =1AC EFABC V (1,2)A AB CM 210x y +-=ABC ∠BH y x =BC P PBC ABC S S =△△P P ABCD -PD ⊥,1,ABCD PD AB E ==15．已知圆过点三个点．(1)求圆的标准方程；(2)已知，直线与圆相交于A ，B两点，求的最小值．16．已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.(1)证明：平面；(2)若是线段上一点，且平面，①求三棱锥的体积；②求平面与平面夹角的余弦值.M ()())1,0,2,1,2--M 2a c b +=0ax by c ++=M AB ABCD //AD BC BC CD ⊥2AD CD AB ===AD PAD PA AD =PAD △AD PAD ⊥ABCD AB ⊥PAC M PD //PB MAC M ABC -PBC ABM1的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A2．已知直线平分圆：的周长，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B3．如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B4．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）A ．B ．C ．D ．【答案】A5．已知直线：和直线：，下列说法错误的是（ ）A ．始终过定点B ．若，则或-3C ．若，则或2D ．当时，始终不过第三象限【答案】B310y --=260x my -+=2C ()()22124x y -+-=m =2468OABC ,,OA a OB b OC c ===M OA 2OM MA =NBC MN121232a b c-+ 211322a b c-++111222a b c+- 221332a b c+- ()2,1,1a =- ()1,,1b x = ()1,2,1c =-- a b ⊥ bc ()1,2,1-()1,2,1()1,2,1--()1,2,1-1l 0x ay a +-=2l ()2310ax a y ---=2l 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭12l l //1a =12l l ⊥0a =0a >1l6．空间内有三点，则点P 到直线EF 的距离为（ ）AB ．CD ．【答案】A7．已知圆直线，点P 在直线l 上运动，直线PA ，PB 分别与圆M 相切于点A ，B ．则下列说法正确的个数是（ ）（1）四边形PAMB（2）最短时，弦AB（3）最短时，弦AB 直线方程为 （4）直线AB 过定点A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A8．在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线AB 上，则此时二面角的余弦值为（ ）A ．B ．CD ．【答案】A9．在正三棱锥中，是的中心，，则 .10．已知直线：，：，若，则实数 .【答案】311．设，过定点A 的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值 ．12．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 .()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2P E F -22:(4)4M x y ++=:20+-=l x y ||PA ||PA 3380x y +-=10,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ABCD AD a =AB b =b a >．ACD 三角形AC D ABC E B AC D --22a ba b2a b b+P ABC -O ABC V 2PA AC ==PO PB ⋅=1l 310mx y +-=2l ()2110x m y +-+=12l l ∥m =m ∈R 10x my ++=B 230mx y m --+=(),P x y PA PB AB ++1111ABCD A B C D -12,,,AB AD AA 60o ,E F 11BB ,DD 112,2BE B E D F DF ==EF =1AC EF13．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.(1)求直线的方程；(2)若点满足，求动点的轨迹方程.由点在，设则的中点所以设点关于直线ABC V (1,2)A AB CM 210x y +-=ABC ∠BH y x =BC P PBC ABC S S =△△P B y x =(,B m m AB 12,22m m ++⎛ ⎝1221022m m +++⨯-=(1,2)A y x =00211y x -⎧=-⎪-⎪14．已知四棱锥中，底面ABCD 是正方形，平面是PB 的中点.(1)求直线BD 与直线PC 所成角的大小；(2)求点B 到平面ADE 的距离．由题意，A (1,0,0)，设直线BD 与直线PC 所成的角为因为，P ABCD -PD ⊥,1,ABCD PD AB E ==()0,0,0D (1,1,0B (1,1,0)BD =-- (0,1,PC =15．已知圆过点三个点．(1)求圆的标准方程；(2)已知，直线与圆相交于A ，B 两点，求的最小值．M ()())1,0,2,1,2--M 2a c b +=0ax by c ++=M AB16．已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.(1)证明：平面；(2)若是线段上一点，且平面，①求三棱锥的体积；②求平面与平面夹角的余弦值.①如图，连接,设因平面，且则，故ABCD //AD BC BC CD ⊥2AD CD AB ===AD PAD PA AD =PAD △AD PAD ⊥ABCD AB ⊥PAC M PD //PB MAC M ABC -PBC ABM BD BD ⋂//PB MAC PB ⊂//OM PB DM DOMP BO=②如图，以点为坐标原点，分别以所以，,设平面的法向量为A (0,0,0),(22,0,0),(0,22,0),A B C (22,22,0)BC =- (0,PC =PBC (,m x y =。
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北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 三条直线l 1，l 2，l 3的位置如图所示，它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是（ ）A. k 1>k 2>k 3B. k 1> k 3> k 2C. k 3> k 2> k 1D. k 2> k 3> k 12. 如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点。
若AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A. c b a ++-2121 B. c b a ++2121 C. c b a +--2121 D. c b a +-2121 3. 过点（-l ，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ） A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=04. 已知球O 与正方体各棱均相切，若正方体棱长为2，则球O 的表面积为（ ） A.34πB. 2πC. 4πD. 6π5. 在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p=xa+yb+zc 。
正确命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D.36. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB=OC ，且∠AOB=∠AOC=3π，则cos （OA ，BC ）的值为（ ）A.33B. 0C.21D.22 7. 如图，点O 为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E 为面B'BCC'的中心，点F 为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A. B. C. D.8. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点。
那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（）A. B. C. D.二、填空题共6小题，共30分。
9. 若直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，则a的值为__________。
10. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截的弦长为__________。
11. 正四面体棱长为2，则它的体积是_________。
12. 若直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l与直线2x-3y=5平行，则m的值是_______。
13. 如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_________。
14. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_________；截得的平面图形中，面积最大的值是________。
三、解答题共4小题，共50分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. （12分）已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且圆心在x轴上。
（1）求直线PQ的方程；（2）圆C的方程；（3）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程。
16. （12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点。
（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积。
17. （12分）已知圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B 两点。
（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）求四边形QAMB面积的最小值；（3）若|AB|=324，求直线MQ的方程。
18. （14分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点。
（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-A的大小；（3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由。
参考答案1. D2. A3. B4. C5. A6. B7. D8. A9. 10. 10. 23 11.31 12. 89- 13. 217 14. 23；33 15. （1）直线PQ 的方程为x+y-2=0。
（2）圆C 的方程为（x-1）2+y 2=13。
（3）设直线l 的方程为y=-x+m ，A （x 1，m-x 1），B （x 2，m-x 2）， 由题意可知OA ⊥OB ，即OA ·OB =0， 所以x 1x 2+（m-x 1）（m-x 2）=0， 化简得2x 1x 2-m （x 1+x 2）+m 2=0。
（*）由⎩⎨⎧=+-+-=13)1(,22y x m x y 得2x 2-2（m+1）x+m 2-12=0， 所以x 1+x 2=m+1，x 1x 2=2122-m 。
代入（*）式，得m 2-12-m ·（m+1）+m 2=0， 所以m=4或m=-3，经检验都满足判别式∆>0， 所以直线l 的方程为x+y-4=0或x+y+3=0。
16. （1）因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC 。
又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BD 。
（2）因为AB=BC ，D 为AC 中点，所以BD ⊥AC 。
由（1）知，PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC 。
所以平面BDE ⊥平面PAC 。
（3）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE=DE ， 所以PA ∥DE 。
因为D 为AC 的中点，所以DE=21PA=l ，BD=DC=2。
由（1）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC 。
所以三棱锥E-BCD 的体积V=61BD ·DC ·DE=31。
17. （1）设过点Q 的圆M 的切线方程为x=my+1， 则圆心M 到切线的距离为1， 所以11|12|2=++m m ，所以m=34-或0， 所以QA ，QB 的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。
（2）因为MA ⊥AQ ，所以S 四边形MAQB =|MA|·|QA|=|QA|=3||||22≥-MA MQ 。
所以四边形QAMB 面积的最小值为3。
（3）设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， 所以|MP|=31)322(12=-。
在Rt △MBQ 中，|MB|2=|MP||MQ|， 即1=31|MQ|，所以|MQ|=3，所以x 2+（y-2）2=9。
设Q （x ，0），则x 2+22=9，所以x=±5，所以Q （±5，0）， 所以MQ 的方程为2x+5y+25=0或2x-5y-25=0。
18. （1）连结AB 1交A 1B 于M ，连结DM ，因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱， 所以四边形AA 1B 1B 是矩形， 所以M 为AB 1的中点。
因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形AB 1C 的中位线， 所以MD ∥B 1C 。
因为MD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ， 所以B 1C ∥平面A 1BD 。
（2）作CO ⊥AB 于O ，所以CO ⊥平面ABB 1A 1，所以在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中如图建立空间直角坐标系O-xyz 。
因为AB=2，AA 1=3，D 是AC 的中点。
所以A （1，0，0），B （-l ，0，0），C （0，0，3），A 1（1，3，0）， 所以D （21，0，23），=（23，0，23），1BA =（2，3，0）。
设n =（x ，y ，z ）是平面A 1BD 的法向量，所以⎪⎩⎪⎨⎧==，，0·0·1BA n BD n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,032,02323y x z x 令x=-3，则y=2，z=3，所以n =（-3，2，3）是平面A 1BD 的一个法向量。
由题意可知1AA =（0，3，0）是平面ABD 的一个法向量， 所以cos<n ，1AA >=3432=21。
由题知二面角A 1-BD-A 为锐角，所以它的大小为3π。
（3）设E （1，x ，0），则E C 1=（1，x-3，-3），11B C =（-1，0，-3）， 设平面B 1C 1E 的法向量m =（x 1，y 1，z 1），所以⎪⎩⎪⎨⎧==，，0·0·111B C m C m 即⎪⎩⎪⎨⎧=--=--+,03,03)3(11111z x z y x x令z 1=-3，则x 1=3，y 1=x-36，m=（3，x-36，-3），又m ·n=0，即-33+x-312-33=0，解得x=33， 所以存在点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD 且AE=33。