相似三角形判定综合练习题

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相似三角形综合题精选

九年级数学提升练习--相似三角形的综合题1．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数经过点，且与一次函数的图象交于点.（1）求一次函数与二次函数的解析式.（2）在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.2．将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A 分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图（1）（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=.（2）（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.（3）（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.4．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC=，分别求出线设BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；．（3）尝试应用：在图③中，延长线设BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC5．如图，在Rt ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CF.（1）如图1所示，求证ABE∼CBF，并直接写出的值；（2）在正方形BDEF绕点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，求CF的长；（3）如图2所示，在正方形BDEF旋转过程中，设AE的中点为M，连接FM，请直接写出FM 长度的最大值.6．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）△ABC中，BC=9，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD 的长.（3）如图3，△ABC是的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交于点D.①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.②若的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出的值.7．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．8．如图，已知AC为⊙O的直径，连接AB，BC，OB，过点O作OE⊥AB于点E，点F是半径OC 的中点，连接EF，BF.（1）如图1，设⊙O的半径为2，若∠BAC＝30°，求线段EF的长.（2）如图2，设BO交EF于点P，延长BO交⊙O于点D，连接DF.①求证：PE＝PF；②若DF＝EF，求∠BAC的度数.9．如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值.10．综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.提出问题：如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，，，，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上.探究展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1）点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点B，D在点A，C，E所确定的上（依据2）点A，B，C，E四点在同一个圆上（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：；依据2：.（2）图3，在四边形中，，，则的度数为.（3）展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接.作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，.①求证：A，D，B，E四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.11．如图，和均为等腰直角三角形，.现将绕点C旋转.（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值.12．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC 于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．13．抛物线经过点和，与x轴交于另一点B.（1）则抛物线的解析式为；（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接，，，设点P的横坐标为.①如图1，当时，求的值；②如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，过点C作的垂线，与射线交于点E，与x轴交于点F.连接，当时，求m的值.14．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y 轴交与点C.（1）求抛物线的函数表达式;（2）若点D是y轴上的点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标;（3）如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y 轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F，G，试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积.15．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB 于点F.（1）尝试探究：如图1，当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸：如图2，当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移：如图3，当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系.16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“好点”.（1）如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）边上的“好点”；（2）中，，，，点是边上的“好点”，求线段的长；（3）如图3，是⊙O的内接三角形，点在上，连结并延长交⊙O于点.若点是中边上的“好点”.①求证：；②若，⊙O的半径为，且，求的值.答案解析部分1．【答案】（1）∵一次函数的图象与轴交于点，∴当x=0时，y=-2，B（0，-2），∵一次函数的图象过点，∴，∴，∴一次函数解析式为，∵经过点，点，代入得，解方程组得，∴二次函数解析式为：；（2）存在，理由如下，∵已知一次函数的图象与轴交于点，∴y=0，x=2，∴A(2,0),B(0,-2),∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理AB=，由勾股定理BC=，①当点M为直角顶点时，CM⊥y轴，CM∥OA，∴∠MCB=∠OAB，∠MBC=∠OBA，∴△CMB∽△AOB，∴即，∴，∴OM=MB-OB=6-2=4，∴M（0，4），②当点C为直角顶点时，∴CM⊥BC，∴∠MCB=∠AOB=90°，∠MBC=∠ABO，∴△MCB∽△AOB，∴即，∴，∴OM=MB-OB=12-2=10，∴M（0，10），∴以点，，为顶点的三角形与相似点的坐标为M（0，4）或（0，10）. 2．【答案】（1）解：如图，∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （0，6），∴c=6．∵抛物线的图象又经过点（﹣3，0）和（6，0），∴，解之得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+6．（2）解：设点P 的坐标为（m ，0），则PC=6﹣m ，S △ABC =BC•AO=×9×6=27；∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB ；∴，即=（）2，∴S △CEP =（6﹣m ）2，∵S △APC =PC•AO=（6﹣m ）×6=3（6﹣m ），∴S △APE =S △APC ﹣S △CEP =3（6﹣m ）﹣（6﹣m ）2=﹣（m ﹣）2+；当m=时，S △APE 有最大面积为；此时，点P 的坐标为（，0）．（3）解：如图，过G 作GH ⊥BC 于点H ，设点G 的坐标为G （a ，b ），连接AG 、GC ，∵S 梯形AOHG =a （b+6），S △CHG =（6﹣a ）b ，∴S 四边形AOCG =a （b+6）+（6﹣a ）b=3（a+b ）．∵S △AGC =S四边形AOCG ﹣S △AOC ，∴=3（a+b ）﹣18，∵点G （a ，b ）在抛物线y=﹣x 2+x+6的图象上，∴b=﹣a 2+a+6，∴=3（a ﹣a 2+a+6）﹣18，化简，得4a 2﹣24a+27=0，解之得a 1=，a 2=；故点G 的坐标为（，）或（，）．3．【答案】（1）证明：∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD ，∴Rt △AED ∽Rt △EBC ，∴；（2）证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG.4．【答案】（1）解：∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB==45°，∵l∥BC，∴∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45°，∴BD⊥AE，CE⊥DE，即∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∠ACE=90°-45°=45°，∴∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°，∴AD=BD=ABsin∠DAB==1，∴AE=CE=ACsin∠EAC==1，∴DE=AD+AE=2；（2）解：（Ⅰ）DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∴∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∴AB=AC，∴△ABD≌△CAE，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；（Ⅱ）BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE.（3）解：由(2)可知，AD=CE=3，∴AE=AD+DE=3+1=4，在Rt△AEC中，AC==5，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴DF∥CE，∴，即，解得：AF=，∴CF=AC-AF=5-=，∵AB=AC=5，=CF×AB=××5=.∴S△BFC5．【答案】（1）解：=，Rt△ABC中，AC=BC，∴AB=CB，∠ABC=45°，∵四边形BDEF是正方形，∴BE=BF，∠EBF=45°，∴＝，∠ABC=∠EBF=45°，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴＝；（2）解：①如图2-1，当点F在A、E之间时，∵AC=BC=6，∠ACB=90°，∴AB=6，又∵∠AFB=90°，∴AF==8，∴AE=8+2，由（1）知，AE＝CF，∴CF=4+2；②如图2-2，当点E在A、F之间时，同理可得AF=8，AE=8−2，∴CF=4−2；综上所述：CF=4+2或4-2；（3）3+26．【答案】（1）解：如图所示：D点及为AB边上的“好点”（2）解：作AE⊥BC于点E，由，可设AE=4x，则BE=3x，CE=6x，∴BC=9x=9，∴，∴BE=3，CE=6，AE=4，设DE=a，①若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，，∴，即，解得，（舍去），∴.②若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，，∴，即，解得，（舍去）∴.∴或5.（3）解：①∵∠CHA=∠BHD，∠ACH=∠DBH∴△AHC∽△DHB∴，即∵OH⊥AB∴AH=BH∴∴点H是△BCD中CD边上的“好点”.②连接AD.∵∠ABD=90°∴AD为直径，∵OH⊥AB，OH=6∴，BD=2OH=12∴BH=AH=∴由①得：即∴CH=∴.7．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌△CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt △ABD 中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴，∴∠BEP=∠EDB ，∴△BPE ∽△BED ，∴，∴BP=，∴DP=BD-BP=，∴S △DPE ：S △BPE =DP ：BP=13：32，∵S △BCD =××3=15，S △BDE ：S △BCD =BE ：BC=4：5，∴S △BDE =12，∴S △DPE =．8．【答案】（1）解：∵OE ⊥AB ，∠BAC ＝30°，OA ＝2，∴∠AOE ＝60°，OE ＝OA ＝1，AE ＝EB ＝OE ＝，∵AC 是直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠C ＝60°，∵OC ＝OB ，∴△OCB 是等边三角形，∵OF ＝FC ，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝.（2）解：①证明：如图2中，过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH.∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB.FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF.②解：∵OE∥FG∥BC，∴＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.解法二：可以过E点作EG∥OB交AC于点G，连接DG.∵EG∥OB，AE＝EB，∴AG＝OG∵OF＝FC，∴OG＝OF，∴OD﹣FG，∵AE⊥OE，AG＝OG，∴EG＝AO＝OG，∵∠DOG＝∠FGE，∴DOG≌△FGE（SAS），∴DG＝EF，∵DF＝EF，∴DG＝DF，∴DO⊥FG，∴EG⊥AO，∴EA＝EO，∴∠BAC＝45°9．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴FC＝4，设DE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5，∴CE＝8﹣x＝3，∵点B的坐标为（m，0），∴点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）（2）解：分三种情形讨论：若AO＝AF，∵AB⊥OF，BF＝6，∴OB＝BF＝6，∴m＝﹣6；若OF＝AF，则m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4；若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64，∴（m﹣6）2＝m2+64，得m＝﹣；由上可得，m＝﹣6或﹣4或﹣（3）解：由（1）知A（m，8），E（m﹣10，3），∵抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，∴，解得，，∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣m+6）2﹣1，∴点M的坐标为（m﹣6，﹣1），设对称轴交AD于G，∴G（m﹣6，8），∴AG＝6，GM＝8﹣（﹣1）＝9，∵∠OAB+∠BAM＝90°，∠BAM+∠MAG＝90°，∴∠OAB＝∠MAG，又∵∠ABO＝∠MGA＝90°，∴△AOB∽△AMG，∴，即，解得，m＝﹣12，由上可得，a＝，h＝﹣1，m＝﹣12.10．【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等（2）45°（3）解：①，，点与点关于对称，，，四点共圆；②，理由如下，如图，四点共圆，，关于对称，，，，，，，，又，，，，，.11．【答案】（1）解：∵，，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，，∴，∵若三点共线，∴，如图，过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H，∴，∴，即：点B到直线的距离为；（2）解：延长CF到N，使FN=CF，连接BN，∵FD=FB，，∴（SAS）∴，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴（SAS ），∴，又∵，∴，∴，即，（3）解：的最小值为；过程如下：如解图3，过点G 作，且，过点G 作，且，连接OC 、、，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，仅当C 、O 、、在同一条直线上等号成立；如解图4，过点作，垂足为H，过点作，垂足为P，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为. 12．【答案】（1）解：证明：如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．13．【答案】（1）（2）解：①∵，，，∴，，，∵，∴，∴，化简得：，解得或，∵，∴，∴，作轴于点如图1，在中，；②∵，∴，∴.∴，轴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，设直线为，解得直线的解析式为，，∴，∴，解得，12，，经检验知，，12，都是原方程的解，∵，∴，.14．【答案】（1）解：把A(-1，0)，B(5，0)代入y=ax2+bx-5可得，解得二次函数的解析式为y=x2-4x-5.（2）解：如图1,令x=0，则y=−5，∴C(0,−5)，∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6,BC=5，要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或，当时，CD=AB=6，∴D(0,1)，当时，∴，∴CD=，∴D(0,)，即：D的坐标为(0,1)或(0,)；（3）解：设H(t，t2-4t-5)∥x轴，，又因为点E在抛物线上，即，解得（舍去）∴BC所在直线解析式为y=x-5,∴则，而CE是定值，∴当HF的值最大时，四边形CHEF有最大面积。

相似三角形判定练习题

相似三角形判定练习题### 相似三角形判定练习题一、选择题1. 下列各组三角形中，一定相似的是（）A. 等腰三角形与直角三角形B. 等边三角形与等腰三角形C. 等腰直角三角形与直角三角形D. 等腰三角形与等边三角形2. 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形（）A. 一定全等B. 一定相似C. 不一定相似D. 以上都不对3. 三角形ABC与三角形DEF相似，若AB:DE=2:3，那么AC:DF的比值为（）A. 2:3B. 3:2C. 1:1D. 无法确定二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，则∠C=______。

5. 三角形ABC与三角形DEF相似，若AB=6cm，DE=9cm，则BC:EF的比值为______。

6. 如果三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=4cm，AC=6cm，DE=6cm，那么DF的长度为______。

三、判断题7. 如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形一定相似。

（）8. 三角形ABC与三角形DEF相似，如果∠A=∠D，∠B=∠E，那么∠C=∠F。

（）9. 三角形ABC的周长是三角形DEF的2倍，那么三角形ABC与三角形DEF相似。

（）四、简答题10. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:4，BC:EF=2:3，求AC:DF的比值。

11. 根据相似三角形的性质，如果一个三角形的三个内角的度数分别是40°，50°，90°，那么与它相似的另一个三角形的三个内角的度数分别是多少？12. 如果三角形ABC的面积是三角形DEF的9倍，且AB=6cm，DE=4cm，求三角形ABC的面积与三角形DEF的面积的具体数值。

五、解答题13. 在三角形ABC中，已知∠A=70°，∠B=40°，求∠C的度数，并判断三角形ABC是否为直角三角形。

14. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=5cm，BC=7cm，DE=10cm，求三角形ABC的周长。

相似三角形的判定(一)-配套练习(含答案

相似三角形的判定（一）-练习一、选择题1如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 如图，AB∥CD，AE∥FD，则图中的相似三角形共有（）A. 2对B. 4对C. 6对D. 8对3. 已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′中的第三边长应该是（）A. 2B.C. 4D. 2二、填空题4. 如图，添上条件_____________ (填一个即可)，则△ABC∽△ADE．三、解答题5.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4，求△CEF的周长.相似三角形的判定（一）-练习参考答案一、选择题1.C. 解：∵BC∥FG∥ED∴△ABC∽△AFG△AFG∽△ADE△ABC∽△ADE∴图中相似的三角形的组数是3组故选C2. C解：AB∥CD，AE∥FD∴图中4个三角形均相似，从4个中任选2个均相似，故有C42对相似三角形，故有6对，故选C．3.A 解：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，可以看出，△A′B′C′的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△A′B′C′需各边对应比例相等，则第三边长就为4的一半即2．故选A．二、填空题4.BC∥DE或∠ABC=∠ADE或=解：∵∠A=∠A∴当BC∥DE或∠ABC=∠ADE或=时，△ABC∽△ADE．三、解答题5. 解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，∴∠BAF=∠F，∴∠DAF=∠F，∴AD=FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=BE=6，∴CF=3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，可得：AG=2，又BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．。

《相似三角形的判定》练习题

第 1 页《相似三角形的判定》练习题相似三角形的判定1、定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似2、引理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：两对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似5、判定定理3：三边对应成比例，则两三角形相似6、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似一、选择题１、下列各组图形必相似的是（）A 、任意两个等腰三角形B 、两条边之比为2：3的两个直角三角形C 、两条边成比例的两个直角三角形D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形２、如图，CD BC OB OA AOD ,900，那么下列结论成立的是（）A 、OAB ∽OCA B 、OAB ∽ODA C 、BAC ∽BDA D 、以上结论都不对３、点P 是ABC 中AB 边上一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截ABC ，使得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A 、2条B 、3条C 、4条D 、5条４、在直角三角形中，两直角边分别为3、4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（）A 、1225B 、125C 、45D 、35５、ABC 中，D 是AB 上的一点，在AC 上取一点E ，使得以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则这样的点的个数最多是（）A 、0 B 、1 C 、2D 、无数６、如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，FC=BC 41，下面得出的六个结论：（1）ABF ∽AEF ；（2）ABF ∽ECF ；（3）ABF ∽ADE ；（4）AEF ∽ECF ；（5）AEF ∽ADE ；（6）ECF ∽ADE ，其中正确的个数是（）A 、1个B 、3个C 、4个D 、5个。

相似三角形的判定测试题(含详细解析)

相似三角形的判定测试题（含详细解析）时间：100分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是A. B. C. D.2.下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与相似的是A. B. C. D.3.如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与相似的是A. B. C. D.4.如图，在中，，，点D在AC上，且，如果要在AB上找一点E，使与相似，则AE的长为A. B. C. 3 D. 或5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且，将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，则下列判断不正确的是A. 是等腰直角三角形B. AF垂直平分C. ∽D. 是等腰三角形6.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断∽的是A.B.C.D.7.如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：，，，，，使与一定相似的有A. B. C. D.8.如图，在钝角三角形ABC中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是A. 4或B. 3或C. 2或4D. 1或69.如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是A. B.C. D.10.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且于点F，则下列结论中错误的是A.B.C. 图中与相似的三角形共有4个D.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，已知中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，，，，当AP的长度为______ 时，和相似．12.如图，在中，、E分别为边AB、AC上的点，，点F为BC边上一点，添加一个条件：______，可以使得与相似只需写出一个13.在中，，，点D在边AB上，且，点E在边AC上，当______时，以A、D、E为顶点的三角形与相似．14.如图，，，，，，点p在BD上移动，当______时，和相似．15.如图，中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接请你添加一个条件，使∽，则你添加的这一个条件可以是______写出一个即可．16.如图所示，中，E，F分别是边AB，AC上的点，且满足，则与的面积比是______ ．17.已知在中，，，E是边AB上一点，且，若F是AC边上的点，且以A、E、F为顶点的三角形与相似，则AF的长为______．18.如图，在中，，，，点M在AB边上，且，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则______ ．19.如图，在正方形网格上有6个三角形：，，，，，．在中，与相似的三角形的个数是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）20.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．求证：≌；求证：∽．21.如图，在中，D、E分别是AB、AC上的点，，，AD：：3，的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．请你直接写出图中所有的相似三角形；求AG与GF的比．22.如图，已知，，垂足分别为B、D，AD与BC相交于点E，，垂足为F，试回答图中，∽______ ，∽______ ，∽______ ．23.在图中，的内部任取一点O，连接AO、BO、CO，并在AO、BO、CO这三条线段的延长线上分别取点D、E、F，使，画出你认为与相似吗？为什么？你认为它们也具有位似形的特征吗？四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）24.如图所示，，，，点P从点B出发，沿BC向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？25.如图，四边形ABCD中，AC平分，，，E为AB的中点．求证：∽；与AD有怎样的位置关系？试说明理由；若，，求的值．答案和解析【答案】1. D2. B3. B4. D5. D6. A7. A8. B9. C10. C11. 4或912. ，或13. 或14. 或12cm或2cm15.16.17. 1：918. 或19. 4或620. 321. 证明：正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，，，，，，在和中，，≌；延长BA到M，交ED于点M，≌，，即，，，，，，∽．22. 解：∽，∽，∽；，，，又，∽，，为角平分线，∽，，．23. DAB；BCD；DCE24. 解：相似如图，，，∽，，同理，∽，它们也具有位似形的特征．25. 解：设经过y秒后，∽，此时，．，，，．∽，，设经过y秒后，∽，此时，．．∽，所以，经过秒或者经过后两个三角形都相似26. 解：平分，，又，：：AB，∽；，理由：∽，，又为AB的中点，，，，，；，，，，，，∽，，．【解析】1. 解：当，，所以∽；当，，所以∽；当，即AC：：AC，所以∽；当，即PC：：AB，而，所以不能判断和相似．故选D．根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．2. 解：根据勾股定理，，，所以，夹直角的两边的比为，观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：B．可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．3. 解：小正方形的边长为1，在中，，，，A中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似故A错误；B中，一边，一边，一边，有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似故B正确；C中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似故C 错误；D中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似故D错误．故选：B．根据相似三角形的判定，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．本题考查了相似三角形的判定识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．4. 解：是公共角，当，即时，∽，解得：；当，即时，∽，解得：，的长为：或．故选D．由是公共角，分别从当，即时，∽与当，即时，∽，去分析求解即可求得答案．此题考查了相似三角形的判定注意分类讨论思想的应用．5. 解：将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，，，是等腰直角三角形，故A正确；将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，，四边形ABCD是正方形，，，，，，，垂直平分，故B正确；，，，，∽，故C正确；，但不一定等于，不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．由旋转的性质得到，，于是得到是等腰直角三角形，故A正确；由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，推出，于是得到AF垂直平分，故B正确；根据余角的性质得到，于是得到∽，故C 正确；由于，但不一定等于，于是得到不一定是等腰三角形，故D错误．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键．6. 解：，当或时，∽；当即时，∽．故选：A．根据相似三角形的判定定理进行判定即可．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．7. 解：，，∽，正确；，，∽，正确；，，∽，正确；由，或不能证明与相似．故选：A．由两角相等的两个三角形相似得出正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出正确；即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．8. 解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒，若∽，则AD：：AC，即x：：12，解得：；若∽，则AD：：AB，即x：：6，解得：；所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒．故选B．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，∽和∽，可求运动的时间是3秒或秒．此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．9. 解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10. 解：A、，∽，，，，故A正确，不符合题意；B、过D作交AC于N，，，四边形BMDE是平行四边形，，，，于点F，，，，，故B正确，不符合题意；C、图中与相似的三角形有，，，，共有5个，故C错误．D、设，由∽，有．，故D正确，不符合题意．故选C．由，又，所以，故A正确，不符合题意；过D作交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由∽，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求的值，故D错误，符合题意．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．11. 解：当∽时，，，解得：，当∽时，，，解得：，当AP的长度为4或9时，和相似．故答案为：4或9．分别根据当∽时，当∽时，求出AP的长即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．12. 解：，或．理由：，，∽，当时，∽，∽．当时，，∽．故答案为，或．结论：，或根据相似三角形的判定方法一一证明即可．本题考查相似三角形的判定和性质平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13. 解：当时，，∽，此时；当时，，∽，此时；故答案为：或．若A，D，E为顶点的三角形与相似时，则或，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论．14. 解：由，，，设，则，若∽，则，即，变形得：，即，因式分解得：，解得：，，所以或12cm时，∽；若∽，则，即，解得：，，综上，或12cm或时，∽．故答案为：或12cm或2cm．设出，由表示出PD的长，若∽，根据相似三角形的对银边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，本题属于条件开放型探究题，其解法：类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．15. 解：当时，∽．故答案为．利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．16. 解：，当时，∽．故答案为．利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．17. 解：，，又，∽，与的面积比：9，故答案为：1：9．由已知条件易证∽，根据相似三角形的性质即可求出与的面积比．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键．18. 解：，以A、E、F为顶点的三角形与相似，有∽和∽两种情况：如图1：当时，∽时，即，解得：；如图2：当时，∽时，即，解得：．所以或．故答案为或．根据相似三角形的相似比求AF，注意分情况考虑．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理，分情况讨论是解决本题的关键．19. 解：如图1，当时，则∽，故，则，解得：，如图2所示：当时，又，∽，，即，解得：，故答案为：4或6．分别利用当时以及当时，得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．20. 解：，，，，，，，，，，，，，，，与不相似；，，，∽；，，，∽；，，，，，，与不相似．故答案为3．先利用勾股定理计算出，，，，，，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断，，，，与是否相似．本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似也考查了勾股定理．21. 由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．22. 可得到三组三角形相似；先利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明∽，则，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明∽，然后利用相似比和比例的性质求的值．本题考查了相似三角形的判断：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．23. 解：，，，，，，，，∽；，，，，∽，故答案为：DAB；BCD；DCE．由AB垂直于BD，CD垂直于BD，得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AB与CD 平行，同理EF与AB平行，且与CD平行，根据EF与AB平行，利用两直线平行同位角相等得到两对角相等，确定出三角形DEF与三角形DAB相似；同理得到三角形BEF与三角形BCD相似；由两直线平行得到两对内错角相等，得到三角形ABE与三角形DEC相似．此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．24. 由，可得∽，再由相似得出对应边成比例，即可得出与相似，由于它们有位似中心点O，所以它们也具有位似形的特征．本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的问题，应熟练掌握位似与相似之间的联系及区别．25. 设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：∽与∽本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型．26. 根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；根据，，即可得出，进而得到；先根据，，判定∽，即可得出，进而得到．本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．。

人教九下数学第27章相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)

人教九下数学第27章相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ；（3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。

相似三角形的判定(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形的判定：①________________________________________；②________________________________________；③________________________________________；④_________________________________________________________．在证明两个三角形相似时，首先考虑角度信息，其次考虑对应边成比例．问题2：想一想相似三角形的判定与性质的区别是什么？问题3：如果两个图形___________，而且____________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________；位似图形上__________________________________________________．相似三角形的判定一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定2.如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质3.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，若，CD=3，则AF的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，交AC于点E，若，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是( )A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定6.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是( )A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3∠A=2∠FD.2∠A=3∠F答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：位似变换7.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大为原来的2倍，得到△．若点A的坐标是（1，2），则点的坐标是( )A.（2，4）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，-1）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定8.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )A.3B.3或C.3或D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定9.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，，D为BO的中点，若E是线段AB上的一动点，连接DE，当△BDE与△AOB相似时，点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定。

相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)

专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。

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相似三角形的判定
1．若2a=3b ，则
b a =,b a b a 3+-=;若b a b a +-=72，则b
a =. 2．在1：500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长4.28cm ，那么等地铁造好后实际长约千米. 3．已知△ABC △∽A 'B 'C '，AB=2cm ，BC=3cm ，A 'B '=3cm ，A 'C '=2cm ，则,AC=，B 'C '=.
4．一个三角形的三边之比为3：6：4，与它相似的三角形的周长为39cm ，则与它相似的三角形的最长边为.
5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ：DB=1：3，则△ADE 与△ABC 的相似比为.
6．如图，D 为△ABC 的边AC 上一点，请添加一个条件使△ABC ∽△BDC ，这个条件可以是.（只填一个即可）
7．如图，在□ABCD 中，G 为BC 延长线上的一点，连结AG 交对角线BD 于E ，交CD 于F 。

则图中与△ADE 相似的三
角形有，与△AFD 相似的三角形有. 8．如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=8cm ，BC=6cm ，动点P 从A 出发沿着AC 以每秒2cm 的速度向C 点运动，同时动点Q 从C 出发沿着CB 以每秒1cm 的速度向B 运动。

那么两点出发秒后，△PQC 与△ABC 能相似.
9.如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形是.
10.如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交干E ，∠CPD=∠A=∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有.
第9题第10题第11题第12题
11.如图，已知AB=AC ，∠A=36°，AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ．下列结论：①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ；④△AMD ≌△BCD ．正确的有.
12.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论中正确的是.（填序号）
①∠EAF=45°；②△ABE ∽△ACD ；③EA 平分∠CEF ；④BE 2+DC 2=DE 2
13.如右图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=
4
1
CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的为.（填序号）
14.在△ABC 中，∠C=90°，D 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），过点D 作直
线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有条. 第13题
15.在△ABC 中，AB=6，AC=4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为.
16．如图，已知AB ∥CD ，AD ，BC 交于点E ，F 为BC 上一点，且∠EAF ＝∠C ．
求证：AF 2
＝FE ·FB ．
17.如图，已知O 是△ABC 内一点，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，求证：△ABC ∽△DEF.
18. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，以AD 为直径的半圆与BC 相切于E 点．
求证：AB ·CD ＝BE ·EC ．
A D
C
B
B A C
A
B C E
D
F
B G
C D
E
A
第5题第6题第7题
第8题 F
D C
E
B
A
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19．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为点B ，点D 是⊙O 上的一点，且AD ∥OC ．求证：AD ·BC ＝OB ·BD ．
20．如图，在⊙O 中，CD 过圆心O ，且CD ⊥AB 于D ，弦CF 交AB 于E ．
求证：CB 2
＝CF ·CE ．
21．如图，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：(1)OD ∶OA ＝OE ∶OB ；(2)△ODE ∽△OAB ；(3)△ABC ∽△DEF ．
22.如图，△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求
证：FB
AF
ED AE 2
23.如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上一点，且AF=4
1
AD ，EG
垂直
于CF 于点G ，
（1）求证：CE 平分∠BCF ；（2）求证：4
1AB 2
=CG ·FG.
24.如图，△ABC 与△AFG 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC 分别与
AF ，AG 相交于点D ，E ．则图中的相似三角形有对，并选其中的一对予以证明. 25．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接
BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BFA=90°，求证：①△BEA ∽△ACD ；②△FED ∽△DEB ；③△CFD ∽△ABG.
26.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存
在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．（画出满足题意的图形）
27.已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点．（1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立，并证明；（3）在（2）的
条件
下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ．
E
F D
C B
A
E
F
C
G
B
A。