24中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试卷
2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题理_4
2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为A.45°B.60°C.120°D.135°2.下列命题正确的是A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面3.已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为A. B. 1 C. D.4.已知，，且，则向量与的夹角为A. B. C. D.5.在中，已知，，，则A.4B.2C.3D.6.设是等比数列的前项和，若，则为A. B. C. D.7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则8.已知向量，则与平行的单位向量的坐标为A. B.或C. D.或9.在中, = 分别为角的对应边),则的形状为A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为11.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于A. B. C. D.12.已知函数，则关于的不等式的解集是A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.不等式的解集为__________.14..若，，则的最小值为____________15.已知直三棱柱所有的棱长都相等，D，E分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______________16.在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的面积为____________三、解答题：共70分。
学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题(实验班)
学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题（实验班）（考试时间：120分钟分值：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（60分）1．已知向量，，若，则实数（）A．-1 B．1 C．2 D．-22．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形3．若，，则值为（）A．B．C．D．4．已知数列且满足：，且，则为数列的前项和，则（）A．2019 B．2021 C．2022 D．20235．已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，则角的值为（）A．B．C．D．6．已知数列的通项公式为，若是递减数列，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．等比数列中各项均为正数，是其前n项和，满足，则（）A．9 B．15 C．18 D．308．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则（）A．B．C．D．9．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．10．设点是线段的中点，点在直线外，若，，则（）A．B．C．D．11．已知船在灯塔北偏东85°且到的距离为，船在灯塔西偏北55°且到的距离为，则两船的距离为（）A．B．C．D．12．已知奇函数对任意都有，现将图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断错误的是（）A．函数在区间上单调递增B．图象关于直线对称C．函数在区间上单调递减D．图象关于点对称第II卷（非选择题）二、填空题（20分）13．若角的终边经过点，则______________．14．若数列中的最大项是第项，则________________.15．若等差数列的首项，是其前项和，，，则使成立的最大正整数是_____________________.16．△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则cosA+cosC=_____________．三、解答题（70分）17．（10分）在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设的前项和为，若，求．18．在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.19．已知数列前n项和=.为等比数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.20．已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若成等差数列，的面积为，求．21．记数列的前n项和为，已知，.（I）求p，的值；（II）若，求证：数列是等比数列.22．锐角三角形ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，且（1）求角B的大小；（2）若，求的取值范围．学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题（实验班）（考试时间：120分钟分值：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（60分）1．已知向量，，若，则实数（）A．-1 B．1 C．2 D．-22．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形3．若，，则值为（）A．B．C．D．4．已知数列且满足：，且，则为数列的前项和，则（）A．2019 B．2021 C．2022 D．20235．已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，则角的值为（）A．B．C．D．6．已知数列的通项公式为，若是递减数列，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．等比数列中各项均为正数，是其前n项和，满足，则（）A．9 B．15 C．18 D．308．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则（）A．B．C．D．9．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．10．设点是线段的中点，点在直线外，若，，则（）A．B．C．D．11．已知船在灯塔北偏东85°且到的距离为，船在灯塔西偏北55°且到的距离为，则两船的距离为（）A．B．C．D．12．已知奇函数对任意都有，现将图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断错误的是（）A．函数在区间上单调递增B．图象关于直线对称C．函数在区间上单调递减D．图象关于点对称第II卷（非选择题）二、填空题（20分）13．若角的终边经过点，则______________．14．若数列中的最大项是第项，则________________.15．若等差数列的首项，是其前项和，，，则使成立的最大正整数是_____________________.16．△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则cosA+cosC=_____________．三、解答题（70分）17．（10分）在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设的前项和为，若，求．18．在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.19．已知数列前n项和=.为等比数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.20．已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若成等差数列，的面积为，求．21．记数列的前n项和为，已知，.（I）求p，的值；（II）若，求证：数列是等比数列.22．锐角三角形ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，且（1）求角B的大小；（2）若，求的取值范围．。
2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题 (IV)
2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题 (IV)一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则UA =（ ）A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5} 2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ）A ．x xy e e -=+ B ．()ln 1y x =+ C ．sin x y x =D ．1y x x=- 3．若3412a ⎛⎫=⎪⎝⎭，1234b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a4．已知α为第二象限的角，且3tan 4α=-，则sinα+cosα=（ ） A ．75- B ．34- C ．15- D ．155．已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ ） A ．23AD AB AC=-+ B ．3144AD AB AC =+ C ．1344AD AB AC =+ D ．2133AD AB AC =+ 6．一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ） A ．()433π+ B ．()836π+ C ．()833π+D ．()43π+7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知a 1=S 3=3，则S 4的值为（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．6 8．设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，则b 的取值范围为（ ）A ．()2,3 B ．()1,3 C ．()2,2 D ．()0,29．已知变量x ，y 满足约束条件206010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2x ﹣y 的最小值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣1 10．若直线220mx ny --=（m ＞0，n ＞0）过点（1，﹣2），则12m n+最小值（ ） A ．2 B ．6C ．12D ．3+211．已知函数()11x x f x e e +-=+，则满足()221f x e -<+的x 的取值范围是（ ）A ．x ＜3B ．0＜x ＜3C ．1＜x ＜eD ．1＜x ＜312．设等差数列{}n a 满足22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当n =11时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量()1,0a =，()1,b m =-．若()a mab ⊥-，则m = ． 14．已知1cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ． 15．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （xx ）的值为 ．16．已知直线l ：330mx y m ++-=与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若23AB =，则|CD |= ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADB =90°，CB =CD ，点E 为棱PB 的中点． （Ⅰ）若PB =PD ，求证：PC ⊥BD ； （Ⅱ）求证：CE ∥平面PAD ．18．（12分）已知{}n a 的前n 项和24n S n n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列72n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．19．在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GK 、AH ．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．21．已知方程x 2+y 2﹣2x ﹣4y +m =0．（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x +2y ﹣4=0相交于M ，N 两点，且坐标原点O 在以MN 为直径的圆的外部，求实数m 的取值范围．22．已知函数()•,xxf x e a e x R -=+∈.（Ⅰ）当1a =时，证明： ()f x 为偶函数；（Ⅱ）若()f x 在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若1a =，求实数m 的取值范围，使()()221m f x f x ⎡⎤+≥+⎣⎦在R 上恒成立.参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号123456789101112答案C D A C C B B A C D D D 8．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得：=b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选：A．11．【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，令t=e x，可得y=e（t+），内函数t=e x为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．故选：D．12．【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴===sin（a2﹣a7）=sin（﹣5d）=1，∴sin（5d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴5d∈（﹣5，0），∴5d=﹣，d=﹣．由S n=na1+d=na1﹣=﹣π+（a1+）n．对称轴方程为n=（a1+），由题意当且仅当n=11时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜（a1+）＜，解得：π＜a1＜．∴首项a1的取值范围是（π，）．故选：D．二．填空题（共4小题）13．﹣1． 14. 1315. 2 16. 415．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，=11﹣2=9，解得T=12，ω==；又f（0）=Asinφ=1，∴sinφ=；f（2）=Asin（×2+φ）=A，∴φ=，∴=sin=，∴A=2，∴f（xx）=f（168×12+2）=f（2）=A=2．故答案为：2．16．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．三．解答题（共6小题，满分22分）17．【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD=CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．因为PB=PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．又PO∩CO=O，所以BD⊥平面PCO．因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，所以EO∥平面PAD．由∠ADB=90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面PAD，所以CO∥平面PAD．又CO∩EO=O，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．18．【解答】（Ⅰ）解：已知{a n}的前n项和，则：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣n2﹣4（n﹣1）+（n﹣1）2=5﹣2n．当n=1时，a1=S1=3，适合上式∴a n=5﹣2n．（Ⅱ）解：令=，+…+①，所以：+…+②，①﹣②得：﹣，=，=．整理得：．19．【解答】解：如图所示，因为AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，所以=+=+（﹣）=﹣+（﹣+）=．因为A、H、G三点共线，所以存在实数m，使=m=m（+）=m+m；又D、H、F三点共线，所以存在实数n，使=n=n（﹣）=n﹣n．因为+=，所以+n=m+因为a、b不共线，∴解得m=，即=（+）=+．20．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．21．【解答】解：（1）∵程x 2+y 2﹣2x ﹣4y+m=0表示圆， ∴△=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m ＞0， 解得m ＜5，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，5）．（2）直线x+2y ﹣4=0代入圆的方程，消去x 可得：5y 2﹣16y+8+m=0 ∵△＞0，∴m＜，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=，y 1y 2=，∴x 1x 2=（4﹣2y 1）（4﹣2y 2）=16﹣8（y 1+y 2）+4y 1y 2=，∵坐标原点O 在以MN 为径的圆的外部， ∴＞0，∴x 1x 2+y 1y 2＞0， ∴+＞0解得m ＞． 22． 【解答】：（1）当1a =时， ()xxf x e e -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称，而()()xx f x ee f x --=+=，说明()f x 为偶函数；（2）在[)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <， 则()()()()()121211221212x x x x x x x x x x e e eaf x f x e aee aee +--+---=+-+=，因为12x x <，函数xy e =为增函数，得12x x e e <， 120x xe e -<，而()f x 在[)0,+∞上单调递增，得()()12f x f x <， ()()120f x f x -<， 于是必须120x x e a +->恒成立，即12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，1a ∴≤；- 11 - / 11 （3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减，在[)0,+∞上递增， 其最小值()02f =，且()()22222x x x x f x e e e e --=+=+-，设x x t e e -=+，则[)2,t ∈+∞， 110,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 于是不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+， 即21t m t+≥恒成立， 而22211111124t t t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，仅当112t =，即2t =时取最大值34， 故34m ≥【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题理(统招班)
2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题理（统招班）一、选择题：每小题只有一个正确答案．1．已知向量，则下列能使成立的一组向量、是（）．A．，B．，C．，D．，2．单位圆中，的圆心角所对的弧长为（）．A．B．C．D．3．已知点，，向量，则向量（）．A．B．C．D．4．已知角终边上一点，则（）．A．B．C．3 D．5．下列结论一定正确的是（）．A．若，则B．若；则的最大值为2C．若，则D．若，则的最小值为26．设，，分别为的三边，，的中点，则（）．A．B．C．D．7．圆与圆的公切线的条数为（）．A．1 B．2 C．3 D．48．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（）．A．B．C．D．9．设为锐角，若，则的值为（）．A．B．C．D．10．设、为单位向量，且、夹角为，若，，则向量在方向上的投影为（）．A．B．C．D．11．已知函数的最小正周期为，将的图像沿轴向右平移个单位，得到一个偶函数，则的值可以为（）．A．B．C．D．12．已知圆，是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值为（）．A．B．0 C．D．3二、填空题13．已知向量，，若向量与垂直，则______．14．已知直线与圆相切，则实数的值为______．15．在数列中，，，则______．16．已知正实数，满足，则的最小值为______．三、解答题17．已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设，求的单调递减区间．18．已知向量，，．（1）求向量与的夹角；（2）求和向量与的余弦值．19．已知圆与轴相切，圆心在射线，且被直线截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）若点在圆上，求点到直线的距离的最小值．20．已知函数（其中、、）的图像与轴相邻两个交点的距离为，且图像上一个最低点为．（1）求的解析式及对称轴方程；（2）当时，求的值域．21．已知正项等比数列满足，，数列满足．（1）求和；（2）求数列的前项和；（3）若，且对所有的正整数都有成立，求实数的取值范围．22．解关于的不等式．参考答案1．D 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C7．D 8．B 9．D 10．C11．B 12．D13．14．8或15．16．17．已知向量，（1）因为，所以，则．（2）由题可知：，由，得，所以的单调递减区间为，．18．（1）由得，所以向量与的夹角．（2），又，所以所以与的余弦值为．19．（1）（2）20．，，，，对称轴方程为：（写也可以）．（2）因为，所以，所以的值域为．21．解：（1）由题意可得，，，．（2）先判断的单调性，先增后减（时单减），求最大值为，当时取得，所以时有恒成立．22．①时，原不等式的解为②时，原不等式的解为③时，原不等式的解为④时，原不等式的解为⑤时，原不等式的解为2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题理（统招班）一、选择题：每小题只有一个正确答案．1．已知向量，则下列能使成立的一组向量、是（）．A．，B．，C．，D．，2．单位圆中，的圆心角所对的弧长为（）．A．B．C．D．3．已知点，，向量，则向量（）．A．B．C．D．4．已知角终边上一点，则（）．A．B．C．3 D．5．下列结论一定正确的是（）．A．若，则B．若；则的最大值为2C．若，则D．若，则的最小值为26．设，，分别为的三边，，的中点，则（）．A．B．C．D．7．圆与圆的公切线的条数为（）．A．1 B．2 C．3 D．48．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（）．A．B．C．D．9．设为锐角，若，则的值为（）．A．B．C．D．10．设、为单位向量，且、夹角为，若，，则向量在方向上的投影为（）．A．B．C．D．11．已知函数的最小正周期为，将的图像沿轴向右平移个单位，得到一个偶函数，则的值可以为（）．A．B．C．D．12．已知圆，是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值为（）．A．B．0 C．D．3二、填空题13．已知向量，，若向量与垂直，则______．14．已知直线与圆相切，则实数的值为______．15．在数列中，，，则______．16．已知正实数，满足，则的最小值为______．三、解答题17．已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设，求的单调递减区间．18．已知向量，，．（1）求向量与的夹角；（2）求和向量与的余弦值．19．已知圆与轴相切，圆心在射线，且被直线截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）若点在圆上，求点到直线的距离的最小值．20．已知函数（其中、、）的图像与轴相邻两个交点的距离为，且图像上一个最低点为．（1）求的解析式及对称轴方程；（2）当时，求的值域．21．已知正项等比数列满足，，数列满足．（1）求和；（2）求数列的前项和；（3）若，且对所有的正整数都有成立，求实数的取值范围．22．解关于的不等式．参考答案1．D 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．D 10．C 11．B 12．D13．14．8或15．16．17．已知向量，（1）因为，所以，则．（2）由题可知：，由，得，所以的单调递减区间为，．18．（1）由得，所以向量与的夹角．（2），又，所以所以与的余弦值为．19．（1）（2）20．，，，，对称轴方程为：（写也可以）．（2）因为，所以，所以的值域为．21．解：（1）由题意可得，，，．（2）先判断的单调性，先增后减（时单减），求最大值为，当时取得，所以时有恒成立．22．①时，原不等式的解为②时，原不等式的解为③时，原不等式的解为④时，原不等式的解为⑤时，原不等式的解为。
2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
2020—2021学年第一学期开学考试高二数学试题测试范围:数学必修二（第二，三,四章）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列选项中能得到平面a 〃平面3的是（）A.存在一条直线a, a//a,B.存在一条直线a, aua, a///?C.存在两条平行直线”，b, aua, buR, a///?, b//aD.存在两条异面直线〃，b, aua, buR, a///?, b//a2.若两个平而互相垂直，第一个平面内的一条直线“垂直于第二个平面内的一条直线〃，那么（）A.直线〃垂直于第二个平面B.直线b垂直于第一个平面C.直线a不一定垂直于第二个平面D. “必定垂直于过b的平而3.以力（1,3）, 8（-5,1）为端点的线段的垂直平分线的方程是（）A. 3x-y-8 = 0B. 3x + y + 4 = 0C. 3x-y+ 6 = 0D. 3% + y + 2 = 04.已知直线丘— y + 2=0和以M（3,—2）, N（2,5）为端点的线段相交，则实数人的取值范围为（）A.yB.C. D. k<-^>\5.两平行直线5x + 12y + 3 = 0与10% + 24y + 5 = 0间的距离是（）A.三B.去C.2D.13 13 26 266.直线5% + 12y - 8 = 0与圆（X - l）2 + （y+ 3）2 = 8的位置关系是（）・.A.相交且直线经过圆心C.相切B.相交但直线不经过圆心D.相离7 .若直线(1 + a)x +y + 1 = 0与圆％2 + y2 - 2% = 0相切，则实数a 的值为()A. 1 或 7B. 2 或一2C. 1D. -18 .已知圆M ：/ + y2-4y =。
，则加(工一1)2 +。
-1)2= i,则圆M 与圆N 的公切线条数是()A. 1B. 2C. 3D.49 .如图，在正方体A8CD - 4BiGDi 中，点E, F, G 分别是棱&BJ, 8%的中点，给出下列四个推断：①FG 〃平面力4。
2024年新高二上学期开学考数学试卷与答案
2024年新高二上学期开学考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若()()1,2,1,1OA OB =-=-，则AB = （）A．()2,3-B．()2,3-2．复数2i 2i z =-在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x 的值为（）A．0.0020B．0.0025C．0.0015D．0.00304．已知四边形ABCD 中，AB DC =，并且AB AD = ，则四边形ABCD 是（）A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．长方形5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，事件C =“两枚硬币都正面朝上”，事件D =“至少一枚硬币反面朝上”则（）A．C 与D 独立B．A 与B 互斥C．()12P D =D．()34P A B ⋃=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos a b C =，则ABC 的形状一定为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形7．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A．α、β都垂直于一个平面γB．平面α内有无数条直线与平面β平行C．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β8．已知正三棱柱ABC A B C -₁₁₁的底面边长为2，侧棱长为D 为棱BC 上一点，则三棱锥A B DC -₁₁₁的体积为（）A．3B．32C．1D．29．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的等边三角形，PA ⊥平面ABC 且PA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点P ，则其爬过的路程最小值为（）10．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[]1,4-D．1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．复数1ii-=．12．已知向量(4,3)a =- ，(6,)b m = ，若a b ⊥，则m =，若a b∥，则m =．13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙解出这道题目的概率是45，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是.14．在ABC 中，30,A AC ∠== ，满足此条件ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为.15．如图，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是所在棱上的动点，且满足1DH BG AE CF +=+=，则以下四个结论正确有①．E ，G ，F ，H 四点一定共面②．若四边形EGFH 为矩形，则DH CF=③．若四边形EGFH 为菱形，则E ，F 一定为所在棱的中点④．若四边形EGFH 为菱形，则四边形EGFH 周长的取值范围为⎡⎣三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=．（1）求a b ⋅；（2）求a 与b夹角的大小；（3）求2a b - ．17．（13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点．(1)求证：1AC BD ⊥；(2)求证：1//AC 平面BDE ．18．（14分）在ABC 中，2sin2sin ,8,77b A a B ac =-==(1)求b 值；(2)求角C 和ABC 的面积.19．（15分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k 门科目的概率为(12345,6)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（结论不要求证明）20．（15分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，△ABC 的面积为S，且2224a b cS +-=．(1)求角C ；(2)若2cos c b b A -=，试判断△ABC 的形状，并说明理由．21．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，11AA AB ==，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求证：11AB AC ⊥；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线1AC 与平面ABC 所成角为30︒时，（ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11AAC C ；（ⅱ）求二面角1B A C A --的正弦值.条件①：11AC AC =；条件②：1A B =2024年新高二上学期开学考数学试卷答案1．C【分析】求出向量AB的坐标，根据模的计算公式求得答案.【详解】因为()()1,2,1,1OA OB =-=- ，所以()()11,122,3AB OB OA =-=+--=-,因此，AB == C .2．C【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.【详解】由题意得2i 2i 12i z =-=--，故z 在复平面内对应的点为()1,2--，该点位于第三象限，故C 正确.故选：C3．B【分析】根据题意结合频率和为1列式求解即可.【详解】由题意可得：()200.01750.02250.0051x x ++++=，解得0.0025x =.故选：B.4．A【分析】由AB DC =，得到四边形ABCD 为平行四边形，再由AB AD = ，得到BC AB =，得出四边形ABCD 为菱形.【详解】由题意，四边形ABCD 中，因为AB DC =，可得AB AD = 且AB CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为AB AD =，可得BC AB =，所以四边形ABCD 为菱形.故选：A.5．D【分析】写出样本空间及事件,,,A B C D ，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD.【详解】样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件A ={(正,正),(正,反)}，事件B ={(正,反),(反,反)}，事件C ={(正,正)}，事件D ={(正,反),(反,正),(反,反)}，对于A，13()()44P C P D ==，而CD =∅，()0P CD =，C 与D 不独立，A 错误；对于B，事件,A B 可以同时发生，A 与B 不互斥，B 错误；对于C，3()4P D =，C 错误；对于D，A B ⋃={(正,正),(正,反),(反,反)}，()34P A B ⋃=，D 正确.6．A【分析】利用余弦定理将cos a b C =化为2222a b c a b ab+-=⋅，然后化简可得答案.【详解】 cos a b C =，由余弦定理可得2222a b c a b ab+-=⋅，则22222a a b c =+-，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形.故选：A.7．D【分析】对于ABC，举例判断，对于D，由面面平行的判定理分析判断.【详解】对于A，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．8．C【分析】连接1A D ,通过已知条件证明AD ⊥平面11BCC B ,即AD 为三棱锥111A B DC -的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接1A D ,因为ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥,又因为1BB ⊥平面ABC ,且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥,因为1BC BB B = ,BC ⊂平面11BCC B ,1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ,所以AD 为三棱锥111A B DC -的高，且3AD =,所以111111112331332A B DC B DC V S AD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 9．B【分析】利用垂直条件证明得PA ⊥平面ABC ，即可得平面PAC ⊥平面ABC ，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.【详解】将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面PAC 与平面ABC 共面，如图，设ABC 的中心为O ，此时OP 为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则136d =，所以3OP =.10．D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图ABP 中，O 为AB 中点，22()()()()PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA =++=+-=-（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取AB 中点O ，则由极化恒等式知，2221·4PA PB PO OA PO =-=- ，要求PA PB 取值范围，只需要求2PO 最大，最小即可.由图，可知2PO 最大时，P 在D 点，即2222174PO DO AD AO ==+=，此时21·44PA PB PO =-= ，2PO 最小时，P 在O 点，即20PO =，此时211·44PA PB PO =-=- .综上所得，PA PB ⋅ 取值范围为:1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.11．【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】()()i 1i 1i 1i i i i ---==---，故答案为：1i--12．【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若a b ⊥，则46308m m -⨯+=⇒=；若a b ∥，则43962m m -=⇒=-故答案为:8;92-13．【分析】设这道题没被解出来为事件A ，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率()1P P A =-【详解】设数学题没被解出来为事件A ，则()142113515P A ⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：()1P P A =-13115152=-=.故答案为：131514．【分析】根据三角形有两解，应满足sin 30AC BC AC ︒<<，化简即可求解.【详解】ABC 有两解，sin 30AC BC AC ∴︒<<，BC <<故答案为：.15．【分析】对①：连接正方体体对角线以及,EF HG ，通过证明,EF HG 互相平分，即可判断四边形FGFH 为平行四边形，从而证明四点共面；对②：通过证明当DH AE =时，也有四边形EGFH 为矩形，即可判断；对③：通过证明,H G 分别为所在棱中点时，也有四边形EGFH 为菱形，即可判断；对④：根据正方体侧面展开图，结合四边形EGFH 的形状，求得周长的最值，即可判断.【详解】因为正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，且1DH BG AE CF +=+=，可得1D H BG =，1AE CF =，对于①：连接1,BD HG ，交于点O ，如下图所示：根据题意，可得1D H BG =，又1//D H BG /，1BGO D HO ≌，故点O 为直线1,HG D B 的中点，同理可得1AEO C FO ≌，故点O 也为直线1,EF AC 的中点，则四边形EGFH 的对角线互相平分，故四边形EGFH 为平行四边形，则,,,H G E F 四点共面，故①正确；对于②：因为AE //DH ，故当DH AE =时，四边形EADH 为平行四边形，则//EH AD ，又AD ⊥平面11,AA B B EG ⊂平面11AA B B ，故AD EG ⊥，则EH EG ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为矩形；同理，当DH CF =时，也有四边形EGFH 为矩形，综上所述，当DH AE =或DH CF =时，四边形EGFH 为矩形，故②错误；对于③：若,H G 为所在棱的中点时，易知//HG BD /，又111,,,,BD AC BD AA AC AA A AC AA ⊥⊥⋂=⊂平面11AAC C ，故BD ⊥平面11AAC C ，又EF ⊂平面11AAC C ，故BD EF ⊥；则HG EF ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为菱形，即当,H G 为所在棱中点时，四边形EGFH 为菱形；同理，当,E F 分别为所在棱的中点时，四边形EGFH 也为菱形，故③错误；对于④：根据选项C 中所证，不妨取,E F 分别为所在棱的中点，此时四边形EGFH 为菱形满足题意，取11,BB DD 的中点分别为,M N，画出正方体的部分侧面展开图如下所示由图可知，当,G H 分别与,M N 重合时，四边形EGFH 的周长最小，最小值为4；当,G H 分别与1,B D 重合时，四边形EGFH的周长最大，最大值为12BD =故四边形EGFH周长的取值范围为，故④正确；故选：①④16．【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出2a b -的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=，（2）设a 与b夹角为θ，则cos a b a b θ⋅== ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π，（3）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以25a b -== 17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面1ACA ，结合线面垂直的性质即可得解；（2）由中位线定理得出1//OE A C ，结合线面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，且注意到1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ，而1AC ⊂平面1ACA ，所以1BD AC ⊥；（2）如图所示，连接OE ，因为,O E 分别为1,AC AA 的中点，所以1//OE AC ，而1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，从而1//AC 平面BDE .18．【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得1cos 7=-A ，再利用余弦定理计算得出结果；（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得22sin sin2sin sin 2sin sin cos sin sin ,77B A A B B A A A B =-⇒=-因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 7=-A ，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入2264492,2150b b b b =+-∴--=，解得3b =或=5b -（舍）（2）由余弦定理推论得222649491cos 22832a b c C ab +-+-===⨯⨯，因为0πC <<，所以角π3C =；因此ABC 的面积为11sin 8322ab C =⨯⨯=19．【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．（3）解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．20．【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出2A B =，结合π4C =判断三角形形状即可.【详解】（1）在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.（2）由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.πππ,,,424C A B =∴== ABC 是等腰直角三角形.21．【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；（2）（i）若选①，可证四边形11ACC A 为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理可证1AA AB ⊥，进而可证面面垂直；（ii）过B 作BD AC ⊥于点D ，再过D 作1DE A C ⊥，可得二面角的平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.【详解】（1）因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -，所以四边形11ABB A 是平行四边形，因为1AA AB =，所以11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，因为11A B BC B = ，1A B ，BC 平面1A BC ，所以1AB 平面1A BC ，因为1AC 平面1ABC ，所以11AB AC ⊥；（2）若选择条件①：（ⅰ）因为11AC AC =，所以平行四边形11ACC A为矩形，所以1AA AC ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AC BC C = ，BC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，AC =BC =1A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以3BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以sin BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --若选择条件②：1A B =，因为11AA AB ==，所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，3AC =2BC =12A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以63BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以6sin 3BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --63。
2020-2021学年辽宁省沈阳市第二十四中学高二数学理联考试卷含解析
2020-2021学年辽宁省沈阳市第二十四中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，且，则的最小值为( )．A．4 B．2 C．1 D．参考答案：A略2. 过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y 轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1 D．参考答案：D【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S==×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值．3. 若|，且，则与的夹角是( )A. B. C.D.参考答案：试题分析：根据, 有,得,所以,所以.考点：向量垂直,夹角.4. 设，则的大小关系是（）A． B．C． D．参考答案：B5. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）参考答案：A略6. 如果执行下边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结果是()A．9 B．3C． D．参考答案：C7. “”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A8. 数列1,3,7,15,…的通项公式等于（）A． B． C． D．参考答案：C9. 双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1C．m＞1 D．m＞2参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于建立不等式，解之可得 m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．【解答】解：双曲线，说明m＞0，∴a=1，b=，可得c=，∵离心率e＞等价于?m＞1，∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．故选C．10. 已知，则在方向上的投影是（）A．1 B．﹣1 C．D．参考答案：B【考点】向量的投影．【分析】由题意及相关的公式知可以先求出两向量的内积再求出，求出的模，再由公式求出投影即可【解答】解：由题意，∵∴在方向上的投影是==﹣1故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表那么，A= ，B= 参考答案： 47,9212. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为________.参考答案：【分析】几何体是一个圆柱，圆柱底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积. 【详解】由三视图知几何体是一个圆柱， 圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，故圆柱的全面积是：.【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.13. 函数的单调递增区间为参考答案：14. 在等差数列中，已知则.参考答案：15. 设，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .参考答案：略16. 给出下列四个命题： ①若； ②若a 、b 是满足的实数，则；③若，则；④若，则；其中正确命题的序号是____________。
学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题
学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题时长：120分分值：150分选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.在数列中，=1，，则的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 1012.中，若，则的面积为（）A．B． C.1 D.3.下列命题：①若两直线平行，则其斜率相等；②若两直线垂直，则其斜率之积为-1；③垂直于x轴的直线平行于y轴。
其中正确的命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.在△ABC中，已知b＝4 ，c＝2 ，∠A＝60°，则a等于 ( )A．2 B． C．2 或6 D．25.已知数列3,,，…,,那么9是数列的 ( )A．第5项 B．第6项 C.第7项 D.第8项6.若，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.7．已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y=1平行，则m的值为（）A.0B.-8C.2D.108.已知在△ABC中，sinA: sinB: sinC＝1::，那么这个三角形的最大角是 ( )A．135° B．90° C．120° D．150°9.在△ABC中，，则等于 ( )A.120º B．150º C．45º D．60º10.已知两条直线y=ax-2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）A.2B.1C.0D.-1已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，是的前n项和，则=（）A.-90B.-110C.110D.9012.若实数m、n满足2m-n=1，则直线mx-3y+n=0必过定点 ( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.等比数列中，若，则。
14.已知数列的通项公式为，是的前n项和，则= 。
15. 若正数x、y满足则的最小值是。
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二十四中学十月月考数学
一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）
A ．5，10，15，20，25，30
B ．3，13，23，33，43，53
C ．1，2，3，4，5，6
D ．2，4，8，16，32，48
2.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm )，所得数据用茎叶图表示如右，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是( )
A ．甲班同学身高的平均值较大
B ．甲班同学身高的方差较大
C ．甲班同学身高的中位数较大
D ．甲班同学身高在175cm 以上的人数较多 3.已知命题“x R ∃∈，使
212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞
D ．(3,1)- 4. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A ． 22,100x s +
B ．22100,100x s ++
C ．2,x s
D ．2100,x s +
5.从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为( )
A.
13125 B.12518 C.16125 D.125
19
6. 已知 x 与 y 之间的一组数据：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
则 y 与 x 的线性回归方程为ˆˆ0.95y
x a =+，则ˆa 的值为（ ） A ．0.325 B ．0 C ．2.2 D ．2.6
7．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E ，F 分别是
BC ，DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )
A.
33 B.55 C.53 D.255
8. 宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率
为（ ）
A ．514
B ．314
C ．328
D ．528
9.下列命题中，真命题是( )
A.0R x ∃∈,使得00x e ≤
B.22sin 3(,)sin x x k k Z x
+≥≠π∈ C.2R,2x x x ∀∈>
D.“1,1a b >>”是“1ab >”的充分不必要条件
10．将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表
示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）
A ．A 与
B 是互斥而非对立事件
B ．A 与B 是对立事件
C ．B 与C 是互斥而非对立事件
D ．B 与C 是对立事件
11. 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为
A ．310
B ．25
C ．12
D ．35
12、已知在正三角形ABC 中，若D 是BC 边的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AG GD =.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若三角形
BCD 的重心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO
OM 等于（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 现有红球n 个白球350个，用分层抽样方法从中随机抽取120个小球，其中抽出的红球有50个．则n =__________．
14. 若在区间内随机取一个数，在区间内随机取一个数,则使得方程
有两个不相等的实数根的概率为
15. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为,x y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x y -的值为__________.
16. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11AA DD 内一动点，满足2PA PD =，设直线1B P 与平面11AA DD 所成角的为α，则tan α的最大值为________
三．解答题（17题为10分，其它试题为12分）
17. 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，a＜0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0.且﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18. 一微商店对某种产品每天的销售量（x件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图（一个月按30天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.
（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求日
销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的
中点值作代表）；
（3）若该商店为进一步调查销售情况，现从
日销售量为25件至35件的几天中，随机抽取
两天进行调研，则这两天的销售量均不小于30
件的概率为多少？
19、 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点.
（1）证明：BE ⊥平面PAD ；
（2）若2PA AB ==，求直线BC 与平面PHC 成角的正弦值。
.
20. 某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加、根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示：
年份序号x 1 2 3 4 5
维修费用y （万元） 1.1 1.6 2 2.5 2.8
（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y bx a =+.
（2）根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车.
参考公式：()()()1122211n n
i i i i
i i n n i
i i i x x y y x y nx y b x x x nx ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.
21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值
．
22．(本小题满分12分)如图，森林的边界是直线l，图中阴影部分是与l垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点A和点B处，其中AB＝BC＝1 km，现兔子随机的沿直线AD，以速度2v准备越过森林边界l逃入森林，同时，狼沿线段BM以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子，某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系xCy(如图)，并假设点M的坐标为(x，y)．
(1)求兔子的所有不幸点M(即可能被狼吃掉的地方)组成的区域的面积S；
(2)若兔子随机沿与AC成锐角θ(θ＝∠CAD)的路线越过l向森林逃跑，求兔子能够逃脱的概率．
二十四中学十月月考数学答题卡二十四中学十月月考数学答题卡。