高考数学一轮复习第七章不等式基本不等式的综合应用课件
合集下载
届高考数学一轮复习讲义第七章基本不等式及其应用-PPT精品
(1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少 总费用．
(1)首先明确总费用 y＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出 y 与
(2)∵a>0，b>0，c>0，∴ab2＋b≥2a，
①
同理bc2＋c≥2b，
②
ca2＋a≥2c，
③
①＋②＋③得ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，
即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
利用基本不等式求最值
例 2 (1)已知 x<0，求 f(x)＝2＋4x＋x 的最大值； (2)已知 x>1，求 f(x)＝x＋x－1 1的最小值； (3)已知 0<x<25，求 y＝2x－5x2 的最大值．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数 ．
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最
变式训练 1
若 a>0，b>0，c>0，试证： (1)bac＋abc＋acb≥a＋b＋c； (2)ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明 (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴bac＋abc≥2 bac·abc＝2c，
同理abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b， ∴2bac＋abc＋acb≥2(a＋b＋c)， 即bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时，等号成立．
(1)首先明确总费用 y＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出 y 与
(2)∵a>0，b>0，c>0，∴ab2＋b≥2a，
①
同理bc2＋c≥2b，
②
ca2＋a≥2c，
③
①＋②＋③得ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，
即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
利用基本不等式求最值
例 2 (1)已知 x<0，求 f(x)＝2＋4x＋x 的最大值； (2)已知 x>1，求 f(x)＝x＋x－1 1的最小值； (3)已知 0<x<25，求 y＝2x－5x2 的最大值．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数 ．
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最
变式训练 1
若 a>0，b>0，c>0，试证： (1)bac＋abc＋acb≥a＋b＋c； (2)ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明 (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴bac＋abc≥2 bac·abc＝2c，
同理abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b， ∴2bac＋abc＋acb≥2(a＋b＋c)， 即bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时，等号成立．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其
a＋b
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 2
，几何平均数为 ab ，基
本不等式可叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 .
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最 小 值
2 p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最 大 值 p2 4 .(简记：和定积最大)
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知 x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(12)y，若1x＋my (m>0)的最小值为 3，则 m＝ ________.
解析答案
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
解析答案
题型二 基本不等式与学科知识的综合 命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题
12345
解析答案
x2＋y2 2.若实数 x，y 满足 x>y>0，且 log2x＋log2y＝1，则 x－y 的最小值为 ___4_____.
解析 由log2x＋log2y＝1得xy＝2，又x>y>0，
x2＋y2 x－y2＋2xy 所以 x－y>0， x－y ＝ x－y
＝x－y＋x－4 y≥2 x－y·x－4 y＝4， x2＋y2
当且仅当 x－y＝2，即 x＝1＋ 3，y＝ 3－1 时取等号，所以 x－y 的
最小值为 4.
12345
解析答案
3.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝___3_____.
高考数学一轮专项复习ppt课件-基本不等式的综合应用(北师大版)
2.若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面
积的最大值为
A.4π
√B.8π
C.12π
D.16π
设底面圆半径为 r，则圆柱的高为 2 4－r2， 圆柱侧面积为 S＝2πr·2 4－r2＝4πr 4－r2≤4π·r2＋24－r2＝8π， 当且仅当 r＝ 4－r2，即 r＝ 2时等号成立.
并求出此时商品的每件定价.
依题意知，当x>25时， 不等式 ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋5x有解， 等价于当 x>25 时，a≥15x0＋6x＋15有解， ∵15x0＋6x≥2 15x0·6x＝10(当且仅当 x＝30 时，等号成立)， ∴a≥10.2.
∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的
所以a2＋b e＝a2＋3aac＝
a＋ 3
23a≥2
a3·
2 ＝2 3a
3 6，当且仅当
a＝ 3
2， 3a
即 a＝ 2时等号成立.
返回
课时精练
知识过关
一、单项选择题 1.已知F1，F2是椭圆C：x92＋y42 ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|
的最大值为
A.13
B.12
√C.9
√A.(－∞，－1)∪(9，＋∞)
B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9,1]
因为 x>0，y>0，且2x＋1y＝1， 所以 2x＋y＝(2x＋y)2x＋1y＝5＋2yx＋2xy≥5＋2 2yx·2xy＝9， 当且仅当2yx＝2xy，且2x＋1y＝1，即 x＝y＝3 时取等号，此时 2x＋y 取得 最小值 9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用课件(理)
又当 m→＋∞或 m→0 时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞)．故 填[9，＋∞)．
(2)(2015·四川)如果函数 f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区
间12，2上单调递减，那么 mn 的最大值为( )
A．16
B．18
C．25
81 D. 2
解：当 m＝2 时，易得 n－8＜0，n＜8，此时 mn＜16.
＋2n＝18，得 m＝9＞2，故应舍去．要使 mn 取得最大值，应有 m＋2n＝18(8
＜n＜9)．
此时 mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.
综合①②可得最大值为 18.故选 B.
【点拨】(1)基本不等式的应用在于“定和 求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆 补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”， 使之为定值．(2)本题要讨论抛物线的开口方向 和对称轴，根据所给单调区间找到 m、n 满足 的条件，再利用基本不等式求解．
C．2
D．4
解：依题意得 2a＝2－b，即 2a＋b＝2(a＞0，b＞0)， ∴2＝2a＋b≥2 2ab，∴ab≤12，当且仅当 2a＝b＝1 时取等号，∴ab 的最大值是12.故选 A.
设 f(x)＝lnx，0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝fa＋2 b，
r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
C．2 2
D．2 6
解：因为 2a＞0，2b＞0，由基本不等式得 2a＋2b≥2 2a·2b ＝2 2a＋b＝4 2，当且仅当 a＝b＝32时取等号，故选 B.
(2015·贵阳模拟)已知向量 m＝(2，1)，n＝(2－b，
a)(a＞0，b＞0)．若 m∥n，则 ab 的最大值为( )
(2)(2015·四川)如果函数 f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区
间12，2上单调递减，那么 mn 的最大值为( )
A．16
B．18
C．25
81 D. 2
解：当 m＝2 时，易得 n－8＜0，n＜8，此时 mn＜16.
＋2n＝18，得 m＝9＞2，故应舍去．要使 mn 取得最大值，应有 m＋2n＝18(8
＜n＜9)．
此时 mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.
综合①②可得最大值为 18.故选 B.
【点拨】(1)基本不等式的应用在于“定和 求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆 补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”， 使之为定值．(2)本题要讨论抛物线的开口方向 和对称轴，根据所给单调区间找到 m、n 满足 的条件，再利用基本不等式求解．
C．2
D．4
解：依题意得 2a＝2－b，即 2a＋b＝2(a＞0，b＞0)， ∴2＝2a＋b≥2 2ab，∴ab≤12，当且仅当 2a＝b＝1 时取等号，∴ab 的最大值是12.故选 A.
设 f(x)＝lnx，0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝fa＋2 b，
r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
C．2 2
D．2 6
解：因为 2a＞0，2b＞0，由基本不等式得 2a＋2b≥2 2a·2b ＝2 2a＋b＝4 2，当且仅当 a＝b＝32时取等号，故选 B.
(2015·贵阳模拟)已知向量 m＝(2，1)，n＝(2－b，
a)(a＞0，b＞0)．若 m∥n，则 ab 的最大值为( )
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式及
3
2
4
3
(2)已知a>0,b>0,a+b=1,则 1 + 1 的最小值为
.
ab
(3)(2017北京通州期末)已知y=x+ 1 (x>1),那么y的最小值是
.
x 1
答案 (1)B (2)4 (3)3
解析 (1)∵0<x<1,
∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3
x
(1 2
x)
2
=
3 4
.
当且仅当x=1-x,
(4)
b a
+
a b
≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是
⑦ 2 p .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
x
x
x
即x= 1 时,“=”成立.
2
(2)∵a>b,b>0,a+b=1,
∴ 1 + 1 = a b + a b =2+ b + a ≥2+2 b a =4,
ab a b
ab
ab
即 1 + 1 的最小值为4,
ab
当且仅当a=b= 1 时等号成立.
2
(3)∵x>1,∴y=x-1+ 1 +1≥2 (x 1) 1 +1=3,当且仅当x=2时取等号,
30
元(试剂的总产量为x单位,50≤x≤200).设P(x)(元)是生产每单位试剂的
2020高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.5 不等式的综合应用课件 理
8m 6n 8 0, 2m n 0,
所以m,n满足2m n 0,
或4m 8 0,
n 6
n 6,
可行域如图1或图2,
图1
图1
由图1可知
n <2,由图2可知当且仅当m=2,n=6时,
m
n m
max=3.
又
m4 n4 m3n
=
m n
-
n m
3
,∴
m4 n4 m3n
的最小值为 1
运用以上结论求最值要注意下列3个问题:
(i)要求各数均为正数; (ii)要求和或积为定值; (iii)要注意是否具备等号成立的条件. 3.解不等式的实际应用题的一般步骤
方法技巧
方法 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题方法
(1)恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上 恒成立⇔f(x)min>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max <B(x∈D). (2)能成立问题:若f(x)在区间D上存在最大值,则在区间D上存在实数x使 不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成 立⇔f(x)min<B(x∈D). (3)恰成立问题:不等式f(x)>A在区间D上恰成立⇔f(x)>A的解集为D; 不等式f(x)<B在区间D上恰成立⇔f(x)<B的解集为D.
3
-33=- 80
3
.
故答案为- 80 .
3
答案 - 80
3
知识清单
考点 不等式的综合应用
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
2
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
解析：选B.任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油
+
+
价为元/升，第一种方案的均价：
=
≥ ；第二种方案的
均价： =
≤ .所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故
+
+
��
选B.
2.设等差数列{ }的公差为,其前项和是 ,若 = =
+
− +
+
+
= + ，即 =
=
+
+
，
−
+
<<
，
+ − ≥ − = ，当
= 时，取等号，故 + 的最小值为2.
方法三：因为 + + = ，所以 + + = ，所以
+ 取得最小值
⑧_____.
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.
1.
+ ≥ （,同号）.
+
2. ≤
+
3.
4.
≥
+
, ∈ .
+
≥
+
≥
, ∈ .
> , > .
1.函数 =
+
+ + ，
+ + − ≥ ，即
+ + + − ≥ ，解得 + ≥ ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
2．把一段长 16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )
A．4
B．8
C．16
D．32
解析 设截成的两段铁丝的长分别为 x，16－x，16>x>0，则围成的两个正方形面积之和为 S＝4x2＋ 164－x2≥4x＋1264－x2＝8，当且仅当4x＝164－x，即 x＝8 时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为 8，故选 B.
9 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬法·命题法 解题法
10 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[考法综述] 问题的设置背景经常是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往 较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
解题时经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 y＝ax＋bx(a>0， b>0)等．解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质、基本不等式、函数的单调性或导数来解决．
11 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
8 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3．一段长为 40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是__1__0_0_m__2 ．
解析 设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 2(x＋y)＝40，即 x＋y＝20. ∴矩形的面积 S＝xy≤x＋2 y2＝100，当且仅当 x＝y＝10 时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面 积是 100 m2.
(2)由(1)知，当 40x＝90y 时，S 取最大值，
又 xy＝100，所以 x＝15，y＝230，
所以此时正面铁栅应设计为 15 米．
12 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
【解题法】 利用基本不等式解决实际问题的一般思路 (1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (2)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (3)还原为实际问题，写出正确答案．
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题 (1)恒成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立⇔ f(x)min>A(x∈ D)； 若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)<B 在区间 D 上恒成立⇔ f(x)max<B (x∈D)． (2)能成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)>A 成立⇔f(x)max>A (x∈D)； 若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)<B 成立⇔ f(x)min<B (x∈D)． (3)恰成立问题：不等式 f(x)>A 在区间 D 上恰成立⇔f(x)>A 的解集为 D； 不等式 f(x)<B 在区间 D 上恰成立⇔f(x)<B 的解集为 D.
命题法 基本不等式在实际问题中的应用
典例 某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用
铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米造价 45 元，屋顶每平方米造价 20 元，试计算：
(1)仓库面积 S 的最大允许值是多少；
(2)为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长． [解] (1)设正面的长度为 x 米，侧面长为 y 米．
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1．思维辨析 (1)函数 f(x)＝cosx＋co4sx，x∈0，π2的最小值等于 4.( × ) (2)“x>0 且 y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．( × ) (3)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a.( × ) (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( √ )
由题意，知 40x＋2y×45＋20xy＝3200.
因为 40x＋90y≥2 40x·90y＝120 xy(当且仅当 40x＝90y 时，取等号成立)，
所以 3200≥120 xy＋20xy，即( xy－10)( xy＋16)≤0.所以 0< xy≤10.
所以 S＝xy≤100，即仓库面积 S 的最大允许值是 100 平方米．
5 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理 2 解不等式的实际应用题的一般步骤
注意点 应用基本不等式解决实际问题的注意事项 (1)注意基本不等式成立的条件，尤其是取最值时等号成立的条件． (2)注意实际问题中建立的函数的定义域.
6 撬点·基础点 重难点
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第七章 不等式
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第4讲 基本不等式
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
考点二 基本不等式的综合应用
3 撬点·基础点 重难点
13 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( )
24 A. 5
28 B. 5
C．5
D．6
[错解]
14 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理