[小初高学习]七年级数学上册 第一章《有理数》1.1 正数和负数能力培优讲义 (新版)新人教版
1.1正数和负数
知识要点：
1.大于0的数叫正数.小于0的数叫负数.一个数前面的“+”“－”号叫做它们的符号.“+”号通常省略不写.
2.0既不是正数也不是负数.
3.如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们.
温馨提示：
1.判断一个数是正是负，不能仅仅看其前面的符号.
2.0既不是正数也不是负数.
方法技巧：
1.用正负数表示相反意义的量时，应先找到基准量，再规定相反意义的量中的一个为正，则另一个为负.
2.寻找一列数的规律时，通常从符号、与去掉符号后的数字两个方面入手分别寻找规律.
1、在 -1，+7， 0， 23-
， 516中，负数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
专题一 用正负数表示相反意义的量
2、“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“500±30mL”字样，其中500表示标准容量是500mL ，＋30表示最多不
超过30mL ，那么－30表示
3、近期，某市“曼菲庄园”生产的蓝莓包装纸箱上标明蓝莓的质量为千克，如果这箱蓝莓重4．98千克，那么这箱蓝莓质量 标准．（填“符合”或“不符合”）
4、“佳佳”超市2017年下半年的营业额与2016年同月营业额相比的增长率如下：
月份 7 8 9 10 11 12
比上年同 －1.8 0 0.2 －1.5 0.3 0.4
月增长（%）
请问：（1）“佳佳”超市2017年下半年的营业额与2016年同月营业额相比，哪几个月是增长的？
（2）2017年7月和2016年10月比上年同月增长率是负数，表示什么意思？
（3）2017年下半年与2016年下半年同月份相比营业额没有增长的是哪几个月？
03
.003.05+-
5、一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想．
（1）±10%的含义是什么？
（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；
（3）如果以标准价格为基准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？
6、王老师是七年级（1）班数学老师，王老师先拿出一支新买的2B铅笔，请5位同学估计这只铅笔的长度，并把
它们的估计的值写在了黑板上，如图所示：
下图是王老师让学生用刻度尺测量这支铅笔的图片：（单位：厘米）：
（1）请读出这支铅笔的长度，再以它为基准，大于这个值的规定为正，小于这个值的为负，用正、负数表示五位同学对这支铅笔的估计出的五个数。
（2）试问哪一位同学的估计值最接近新买的2B铅笔的长度。
7、某数学俱乐部有一种“秘密”的记账方式，当他们收入300元时，记为—240元，当他们用去300元时，记为
360元，猜一猜，当他们用去100元时，可能记为多少？当他们收入100元时，可能记为多少？他们的基准是什么？
专题二探索数字的规律
8、找出一列数2，3，5，8，13，□，34的规律，在□里填上（）
A．20 B．21 C．22 D．24 9．观察下面排列的每一列数，研究它的排列有什么规律?并填出空格上的数.
（1）1，－2，1，－2，1，－2，，，，…
（2）－2，4，－6，8，－10，，，，…
（3）1，0，－1，1，0，－1，，，，…
（4）1357
,,,
261220
--，
____,
______________,
__________
10、观察下面一组数：－1，2－5，6，－7，…．，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第10行中从左边数第9个数是（）
A、－90
B、90
C、－91
D、91
11、图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……，则第2018个图案中由个基础图形组成。
1.1答案：
1、 B
2、最少不低于30mL.
3、符合
4、解析：（1）增长的月份是：9、11、12.
（2）－1.8%表示2017年7月的营业额比2016年7月的营业额减少了1.8%；－1.5%表示2017年10月的营业额比2016年10月的营业额减少了1.5%.
（3）2017年下半年与2016年下半年同月份相比营业额没有增长的是月份是：7、8、10.
5、解析：（1）+10%表示比标准价格高10%，－10%表示比标准价格低10%；
（2）最高价格200（1+10%）=220（元），最低价格200（1－10%）=180（元）；
（3）－20～＋20元．
6、解析：（1）新买的2B 铅笔长度为17.7厘米，这5个数分别可记作：－2.7厘米，+0.3厘米，－0.7厘米，+2.3
厘米，－1.7厘米.
（2）估计值为18厘米的这位同学的估计值最接近新买的2B 铅笔的长度.
7、解析：当他们用去100元时，可能记为+160元. 当他们收入100元时，可能记为－40元. 他们的基准是收入60元时记为0元.
8、B
9、解析：（1）第一列数1，－2交替出现，第奇数个数为1，第偶数个数为－2，所以空格上的数依次为1 －2 1
（2）第二列数负数、正数交替出现，且数字依次比前面的数字大2，所以空格上的数依次为12 －14 16
（3）第三列数1，0，－1交替出现，所以空格上的数依次为1 0 －1
（4）42
11309 ，
10、B ．
【解析】 奇数为负，行的最后一个数的绝对值是这个行的行数n 的平方，所以第9行最后一个数字的绝对值是81，第10行从左边第9个数是81+9=90．
由题意可得：9×9=81，81+9=90，故第10行从左边第9个数是90．故选B．
11、由规律可知第n个图形由（3n+1）个基础图形组成，所以第2018个是由3×2018+1=6055个基础图形组成。
七年级上册数学培优讲义(有理数的概念)第一讲
模块一 正负数的概念正数：像3．1．0.33+等的数.叫做正数.在小学学过的数.除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-． 3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数.叫做负数..负数都小于0. 0既不是正数.也不是负数.一个数字前面的“＋”.“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略.注意3与3+表示是同一个正数.用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义.那么负数表示它的相反的意义.反之亦然. 譬如：用正数表示向南.那么向北3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.【经典例题1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（ ）A ．150B ．-150C ．150米D ．-150米 【题目难度】★【解题思路】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【解题过程】“正”和“负”相对.所以高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题2】飞机上升了-80米.实际上是（）A．上升80米B．下降-80米C．先上升80米.再下降80米D．下降80米【题目难度】★【解题思路】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．负号表示与上升意义相反.即下降．【解题过程】负号表示与上升意义相反.即下降.则飞机上升了-80米.实际上是下降80米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【经典例题3】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①0不带“-”号.但是它不是正数．②-0带负号.但是它不是负数．③0既不是正数也不是负数．④0℃表示有温度.温度为0度.温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确正数和负数的定义.并且注意0这个特殊的数字.既不是正数也不是负数．【经典例题4】生活中常有用正负数表示范围的情形.例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃.由此可知在___18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【题目难度】★【解题思路】这是一道给出中心值根据误差判断药品的保存温度范围的问题．【解题过程】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃表示20℃以上记作“正”.低于20℃记作负.由此可知在18℃～22℃范围内保存该药品才合适．故答案为18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响.一突击队乘汽车抢修供电线路.南记为正.则北记为负．某天自A地出发.所走路程（单位：千米）为：+8.-6.-2.+4.-5.+2问：①最后他们是否回到出发点？若没有.则在A地的什么位置？答：他们____（填：有或没有）回到出发点.在A地的正______南方向.距A地____千米．②若每千米耗油1.5升.则今天共耗油_______40.5升.【题目难度】★★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①根据题意可得：南记为正.北记为负.则距A的距离为（+8）+（-6）+（-2）+（+4）+（-5）+（+2）=+1．最后他们没有回到出发点.在A地的正南方向.距A地1千米．②从A地出发.汽车共走了|+8|+|-6|+|-2|+|+4|+|-5|+|+2|=27km；故从A地出发到收工时耗油量为27×1.5=40.5（升）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．模块二有理数的分类有理数:整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.【经典例题6】下列各数中：+3．-2.1．．9．．-（-8）．0．-|+3|.负有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题目难度】★【解题思路】把各式化简得：3.-2.1.- .9.1.4.8.0.-3．【解题过程】-2.1为负数有限小数.- 为负数无限循环小数.- 是负整数.所以是负有理数．共3个．【重点考点】判断一个数是有理数还是无理数.要把它化简成最后形式再判断．概念：无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数【经典例题7】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题目难度】★【解题思路】根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案.注意：2002年国际数学协会规定.零为偶数；我国2004年也规定零为偶数．【解题过程】①0是整数.故本选项正确；②0是自然数.故本选项正确；③能被2整除的数是偶数.0可以.故本选项正确；④非负数包括正数和0.故本选项正确．所以①②③④都正确.共4个．故选A．【重点考点】本题主要对0的特殊性的考查.熟练掌握是解题的关键．【经典例题8】下列说法正确的是（）A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有.是有理数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【题目难度】★【解题思路】根据有理数的分类.采用排除法判断． 【解题过程】0是非负有理数.但不是正有理数.A 错误；零不是没有.它是整数.也是有理数.B 错误； 0也是整数.C 错误；整数和分数统称为有理数.这是定义.D 正确． 故选D ．【重点考点】本题主要考查有理数学习中概念的理解.必须熟练掌握．【经典例题9】既是正数.又是分数的数是（ ）A ．+2B ．0C ．3.5D ．312- 【题目难度】★【解题思路】按照有理数的分类进行选择即可．【解题过程】A ．+2虽然是正数.但不是分数.不合题意.故A 错误；B ．0既不是正数.也不是分数.故B 错误；C ．符合题意.故C 正确；D ．312-虽然是分数.但不是正数.故D 错误． 故选C ．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数．分数的定义与特点．注意整数和正数的区别.注意0是整数.但不是正数．【经典例题10】最小的正整数是 _____1.最大的负整数是 _______. 【题目难度】★【解题思路】根据有理数的相关知识进行解答． 【解题过程】最小的正整数是1.最大的负整数是-1．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：0是整数.但0既不是正数也不是负数．【巩固练习】请写出三个既是负数.又是分数的有理数：__________【题目难度】★【解题思路】：按照有理数的分类填写【解题过程】- ．-0.5．．-0.25．等都符合题意．【重点考点】本题主要考查了有理数的分类．在解答时.认真掌握正数．负数．整数．分数．正有理数．负有理数．非负数的定义与特点．【巩固练习】有理数中.是整数而不是正数的数是_______0和负整数.是负数而不是分数的是________. 【题目难度】★【解题思路】①按照有理数的分类填写②有理数分成正数．0．负数．正数又分成正整数和正分数.负数分成负整数和负分数．【解题过程】零既不是正数也不是负数．故在有理数中.是整数而不是正数的数是0和负整数；是负数而不是分数的是负整数．故答案为：0和负整数；负整数．【重点考点】本题主要考查的是有理数的定义．本题容易在0的分类上出错.注意：零既不是正数也不是负数．模块三数轴数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点．正方向．单位长度称为数轴的三要素.三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念.前者指所取度量单位的长度.后者指所取度量单位的名称.即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段.这条线段可长可短.按实际情况来规定.同一数轴上的单位长度一旦确定.则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向.用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度.用细短线画出.并对应标注各数.同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上.右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0.负数都小于0.正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数.如 .利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此.正数总大于零.负数总小于零.正数大于负数.【经典例题11】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位.再向右移动5个长度单位后.它所表示的有理数是（）A．3 B．5 C．-3 D．2【题目难度】★【解题思路】根据数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则进行计算．【解题过程】数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则可知.此点所表示的数为：0-3+5=2．故选D．【重点考点】本题考查的是数轴上点的坐标特点.解答此题的关键是熟知数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则．【经典例题12】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（）A．-1 B．5 C．3或-3 D．-1或5【经典例题13】有理数a．b在数轴上的位置如图所示.则下列各式正确的是（）aA．a＞b B．a＞-b C．a＜b D．-a＜b【题目难度】★★【解题思路】数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数.原点右边的数为正数．从图中可以看出0＜b＜1.a＜-1.|b|＜|a|．【解题过程】根据数轴上a.b两点的位置可知.a＜-1＜0＜b＜1.|a|＞|b|.∴a＜b.-a＞b.-b＞a；故选C．【重点考点】本题主要考查了利用数轴来比较有理数大小的题目．此类题目比较简单.可根据数轴上各点的坐标特点利用取特殊值的方法进行比较.以简化计算．【经典例题14】在数轴上.-2与-5之间的有理数有（）个．A．无数个B．4个C．3个D．2个【题目难度】★★【解题思路】数轴上的点和实数是一一对应的.两个数之间有无数个点.则对应的有理数或无理数有无数个．【解题过程】在数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．故选A．【重点考点】本题主要考查了数轴与实数之间的关系：数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．【经典例题15】老师在黑板上画数轴.取了原点O后.用一个铁丝做的圆环作为工具.以圆环的直径在数轴上画出单位长1.再将圆环拉直成一线段.在数轴的正方向上以此线段长自原点O起截得A点.则A点表示的数是__________.【重点考点】考查了数轴的几何意义．【经典例题16】已知在纸面上有一数轴（如图）.折叠纸面．（1）若折叠后.数1表示的点与数-1表示的点重合.则此时数-2表示的点与数_____表示的点重合；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则此时数5表示的点与数_____表示的点重合；若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则A点表示的数为______.B点表示的数为______【题目难度】★★★【解题思路】（1）数1表示的点与数-1表示的点重合.则这两点关于原点对称.求出-2关于原点的对称点即可；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则这两点一定关于1对称.即两个数的平均数是1.若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则这两点到1的距离是4.5.即可求解．【解题过程】（1）2．（2）-3；A表示-3.5.B表示5.5．【重点考点】本题借助数轴理解比较直观.形象．由于引进了数轴.我们把数和点对应起来.也就是把“数”和“形”结合起来.二者互相补充.相辅相成.把很多复杂的问题转化为简单的问题.在学习中要注意培养数形结合的数学思想．模块四 相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地.0的相反数是0. 相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别地.0的相反数是0． 相反数必须成对出现.不能单独存在．例如5+和5-互为相反数.或者说5+是5-的相反数.5-是5+ 的相反数. 而单独的一个数不能说是相反数．另外.定义中的“只有”指除符号以外.两个数完全相同.注意应与“只要符号不同”区分开． 例如3+与3-互为相反数.而3+与2-虽然符号不同.但它们不是相反数．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧.并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数.只要在这个数的前面添上“—”号即可． 一般地.数a 的相反数是a -；这里以a 表示任意一个数.可以为正数．0．负数.也可以是任意一个代数式．注意a -不一定是负数．当0a >时.0a -<；当0a =时.0a -=；当0a <时.0a ->. ⑷互为相反数的两个数的和为零.即若a 与b 互为相反数.则0a b +=.反之.若0a b +=.则a 与b 互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号.都可以全部去掉； 一个正数前面有偶数个“－”号.也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号.则化简后只保留一个“－”号.既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数.“负正”是指化简的最后结果的符号）.【经典例题17】12-的相反数是（ ）A ．2B ．12 C ．-2 D ．12- 【题目难度】★【解题思路】根据相反数的定义.只有符号不同的两个数是互为相反数.- 的相反数为 ． 【解题过程】与- 符号相反的数是 .所以- 的相反数是 ； 故选B ．【重点考点】本题主要相反数的意义.只有符号不同的两个数互为相反数.a 的相反数是-a ．【经典例题18】如果a表示有理数.那么下列说法中正确的是（）A．+a和-（-a）互为相反数B．+a和-a一定不相等C．-a一定是负数D．-（+a）和+（-a）一定相等【题目难度】★★【解题思路】根据相反数的定义去判断各选项．【解题过程】A．+a和-（-a）互为相反数；错误.二者相等；B．+a和-a一定不相等；错误.当a=0时二者相等；C．-a一定是负数；错误.当a=0时不符合；D．-（+a）和+（-a）一定相等；正确．故选D．【重点考点】本题考查了相反数的定义及性质.在判定时需注意0的界限．【经典例题19】若a.b互为相反数.则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．-2a和-2b B．a+1和b+1 C．a+1和b-1 D．2a和2b【题目难度】★★★【解题思路】若a.b互为相反数.则a+b=0.根据这个性质.四个选项中.两个数的和只要不是0的.一定不是互为相反数．【解题过程】∵a.b互为相反数.∴a+b=0．A中.-2a+（-2b）=-2（a+b）=0.它们互为相反数；B中.a+1+b+1=2≠0.即a+1和b+1不是互为相反数；C中.a+1+b-1=a+b=0.它们互为相反数；D中.2a+2b=2（a+b）=0.它们互为相反数．故选B．【重点考点】本题考查了互为相反数的意义和性质：只有符号不同的两个数互为相反数.0的相反数是0；一对相反数的和是0．【经典例题20】相反数不大于它本身的数是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【题目难度】★★【解题思路】设这数是a.得到a的不等式.求解即可；也可采用特殊值法进行筛选．【解题过程】设这个数为a.根据题意.有-a≤a.所以a≥0．故选D．【重点考点】理解相反数的定义．实数a的相反数为-a；同时要理解不大于．不小于．非负数．非正数的含义．【巩固练习】的相反数是它本身．【题目难度】１星【解题思路】只有符号不同的两个数.绝对值相等叫做互为相反数．【解题过程】∵在数轴上.绝对值相等的两个互为相反数的实数是0.故答案是：0．【重点考点】本题主要考查了相反数的定义．①在数轴上.互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁.并且关于原点对称；②正数的相反数是负数.负数的相反数是正数；③0的相反数是0．【经典例题21】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数.则x=_________【题目难度】★★★【解题思路】根据相数的定义列出关于x的方程.3x+1+5-2x=0.解方程即可．【解题过程】根据题意.有3x+1+5-2x=0.解之得x=-6．故答案为-6．【重点考点】熟练掌握相反数的概念和一元一次方程的解法．若两个数互为相反数.则它们的和为零.反之也成立．模块五 绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算.运算符号是“”.求一个数的绝对值.就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性.取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.如：5-符号是负号.绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【重点考点】本题主要考查的是正数和负数.及绝对值．去括号的法则是：①括号前面有“+“号.把括号和它前面的“+”号去掉.括号里各项的符号不改变；③括号前面是“-“号.把括号和它前面的“-”号去掉.括号里各项的符号都要改变为相反的符号．【经典例题23】下列说法.不正确的是（）A．数轴上的数.右边的数总比左边的数大B．绝对值最小的有理数是0C．在数轴上.右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大D．离原点越远的点.表示的数的绝对值越大【题目难度】★★【解题思路】：根据实数与数轴的对应关系以及实数的意义即可判定选项A．C．D是否正确.0的上绝对值是0．【解题过程】：A：一般来说.当数轴方向朝右时.右边的数比左边的数大.故此选项正确；B：绝对值最小的有理数是0.故此选项正确；C：-3在-2的左边.-3的绝对值大于-2的绝对值.故此选项错误；D：离原点越远的点.表示的数的绝对值越大.故此窜项正确．故选C．【重点考点】本题主要考查了数轴和有理数之间的关系.0的绝对值是0．【经典例题24】如图.下列各数中.数轴上点A表示的可能是（）A．2的平方B．-3.4的绝对值C．-4.2的相反数D．的倒数【题目难度】★★★【解题思路】先根据数轴上A点的位置确定A的取值范围.再根据每个选项中的数值进行判断即可．【解题过程】由数轴上A 点所表示的位置可知.3＜A ＜4.A ．22=4.故本选项错误；B ．|-3.4|=3.4.3＜3.4＜4.故本选项正确；C ．4.2的相反数是4.2＞4.故本选项错误；D ．的倒数是=2.4.2.4＜3.故本选项错误．故选B ．【重点考点】本题考查的是数轴的特点及相反数．倒数的定义.能根据数轴的特点确定出A 的取值范围是解答此题的关键．板块六．科学计数法．有效数字科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<.n 是整数）.此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起.到末位数字止.所有数字都是这个数的有效数字． 如：0.00027有两个有效数字：2.7 ；1.2027有5个有效数字：1.2.0.2.7． 注意：万410=.亿810=常考点及易错点：科学计数法中的单位转换.精确到什么位与保留有效数字的差别．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法.实际就是小数点向左移动到1和8之间.移动了6位.故记为61.810⨯．【经典例题25】我国第六欢人口普查的结果表明.目前肇庆市的人口约为4050000人.这个数用科学记教法表示为（ ）A ．410405⨯ B ．51005.4⨯C ．61005.4⨯D ．71005.4⨯【题目难度】★【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值时.要看把原数变成a 时.小数点移动了多少位.n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时.n 是正数；当原数的绝对值＜1时.n 是负数．【解题过程】61005.44050000⨯= 故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数.表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【经典例题26】某种鲸的体重约为1.36×105kg ．关于这个近似数.下列说法正确的是（ ）A ．精确到百分位.有3个有效数字B ．精确到个位.有6个有效数字C ．精确到千位.有6个有效数字D ．精确到千位.有3个有效数字 【题目难度】★★【解题思路】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1.36×105kg 最后一位的6表示6千.共有1．3．6三个有效数字．故选D ．【重点考点】此题考查了科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.要注意10的n 次方限定的乘号前面的最后一位数表示的数位．【经典例题27】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值.其中错误的是（ ）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0.05（精确到千分位）D ．0.050（精确到0.001）【题目难度】★★【解题思路】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可．【解题过程】A ．0.05049精确到0.1应保留一个有效数字.故是0.1.故本选项正确；B ．0.05049精确到百分位应保留一个有效数字.故是0.05.故本选项正确；C ．0.05049精确到千分位应是0.050.故本选项错误；D ．0.05049精确到0.001应是0．050.故本选项正确． 故选C ．【重点考点】本题考查的是近似数与有效数字.即从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止.所有的数字都是这个数的有效数字．【经典例题28】据国家统计局2011年4月28日发布的《2011年第六次全国人口普查主要数据公报（第一号）》.总人口为1370536875人.这一数字用科学记数法表示为（ ）（保留四个有效数字）A ．91037.1⨯ B ．81037.1⨯ C ．910371.1⨯ D ．810371.1⨯ 【题目难度】★★【解题思路】科学记数法的表示形式为na 10⨯的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值是易错点.由于1370536875有10位.所以可以确定n=10-1=9．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字． 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1370536875=9910371.110370536875.1⨯≈⨯故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法.以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．练习1. 在下列选项中.具有相反意义的量是（ ）A ．胜二局与负三局B ．盈利3万元与支出3万元课堂检测C．气温升高3℃与气温为-3℃D．向东行20米和向南行20米【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义.再分析选项.选择正确答案．【解题过程】A．胜二局与负三局.符合相反意义的量.故选项正确；B．盈利与亏损才符合相反意义的量.而盈利与支出不是相反意义.应为盈利3万元与亏损3万元.故选项错误；C．升高与下降才符合相反意义的量.而升高3℃与气温本身为-3℃不是相反意义的量.应为气温升高3℃与气温下降-3℃.故选项错误；D．东行和西行才符合相反意义的量.而东行和南行则不是相反意义量.应为向东行20米和向西行20米.故选项错误．故选A．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．练习2. 在有理数中.不存在这样的一个数a.它（）A．既是自然数又是整数B．既是分数又是负数C．既是非正的数又是非负的数D．既是正数又是负数【题目难度】★★【解题思路】本题需要根据有理数的分类．自然数．整数．分数．负数．正数的特点及定义对各个选项逐个分析.找出正确选项即可．【解题过程】因为自然数是整数.所以A错因为负分数即是分数由是负数.所以B错因为0既是非正的数又是非负的数.所以C错故选D．。
2020七年级数学上册 第1章 有理数 1.1 正数和负数备课素材 (新版)新人教版
第一章有理数1.1正数和负数置疑导入归纳导入类比导入悬念激趣细心观察图片中的数字，你有什么发现呢？这些数相信有的同学见过，甚至有的同学还能读出来．为什么会出现这些数呢？它们对我们的生活有用吗？要想解决上述问题，就需要搞清楚它们所代表的具体含义，下面我们一起来学习本节课的内容．[说明与建议] 说明：利用生活中的实际问题设置一系列的问题串，紧紧抓住了学生的好奇心，使学生带着疑惑来学习内容，能极大地保证学生学习注意力的集中，且可使其自然而然地紧跟老师的节奏展开新课．建议：引导学生发现生活中的负数时，给其适当时间来发表自己的观点，然后教师在学生意见的基础上做总结，使其在学习中有参与感、成就感．问题1：小学里已经学过哪些类型的数呢？学生回答后，教师总结展示小学里学过的三类数：整数、分数和零(小数包括在分数之中)，它们的出现对我们的生活有什么影响吗？借助图片提示它们都是由于实际需要而产生的．图1－1－2问题2：你会表示下列数吗？图1－1－3[说明与建议] 说明：通过展示实际生活情景引导学生认识到数字的发展源于生活的需要，进而认识负数的出现亦源于生活的需要．建议：让学生认识负数后，建议其思考为什么要引入负数，“－”的出现有哪些优点呢？进而系统地讲授具有相反意义的量．3页例题(1)一个月内，小明体重增加2 kg，小华体重减少1 kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增加7.5%.写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率．【模型建立】用正负数表示具有相反意义的量的基本步骤：(1)找“基准”——表示正、负的相对基准；(2)明确哪一个表示正，那么另一个就表示负．相反意义的量必须满足以下两个条件：(1)它们属于同一属性；(2)它们的意义相反．【变式变形】1．节约4吨水与__浪费__4吨水是一对具有相反意义的量．2．[南宁中考] 如果水位升高3 m时水位变化记作＋3 m，那么水位下降3 m时水位变化记作(A)A．－3 m B．3 m C．6 m D．－6 m3．[济宁中考] 一运动员某次跳水的最高点离跳台2 m，记作＋2 m，则水面离跳台10 m可以记作(A) A．－10 m B．－12 m C．＋10 m D．＋12 m4．如果以每月生产180个零件为准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数，那么1月生产160个零件记作__－20__个，2月生产200个零件记作__20__个．5．一种零件的长度在图纸上是(10±0.05)毫米，表示这种零件的标准尺寸是10毫米，加工要求最大不超过__10.05__毫米，最小不小于__9.95__毫米．6．一批螺帽产品的内径要求可以有±0.02 mm的误差，现抽查5个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足毫米数记为负数，检查结果如表，则合乎要求的产品有(B)0.015A.1个B．2个．3个．5个7．潜水艇上浮为正，下潜为负．若潜水艇原先在距水面80米深处，后来两次活动记录的情况是－10米，＋20米，则现在潜水艇在距水面__70__米的深处．[命题角度1] 正、负数的识别熟记正、负数的概念是关键，正确理解“一个数，如果不是正数，必定是负数或零”“零既不是正数，也不是负数”．如教材P4练习第1题．[命题角度2] 用正负数表示相反意义的量用正负数表示相反意义的量的基本步骤：(1)找“基准”——表示正、负的相对基准；(2)明确哪一个表示正，那么另一个就表示负．相反意义的量必须满足以下两个条件：(1)它们属于同一属性；(2)它们的意义相反．例1 [达州中考] 向东行驶3 km，记作＋3 km，向西行驶2 km，记作(B)A．＋2 km B．－2 km C．＋3 km D．－3 km例2 (1)如果节约20度电记作＋20度，那么浪费10度电记作什么？(2)如果－20.50元表示亏本20.50元，那么＋100.57元表示什么？ (3)如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示什么？ 解：(1)浪费10度电记作－10度． (2)＋100.57元表示盈利100.57元． (3)－6%表示减少6%.[命题角度3] 正、负的规定，零界的选取利用正数和负数表示具有相反意义的量时其零界状态是可以根据实际情况人为规定的．如素材二变式变形第4题．[命题角度4] 利用正负数探究规律寻找数的规律的方法：寻找数的规律时，可以从符号和数字两个方面进行观察，若是分数，还要从分子、分母的变化形式进行观察，从变化中发现一般性的规律．例 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第101个数、第2016个数分别是什么吗？(1)－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，________，________，________，……(2)－1，12，－3，14，－5，16，－7，18，________，________，________，……解：(1)＋9 －10 －11这列数中的第10个数为－10，第101个数为－101，第2016个数为2016. (2)－9110－11 这列数中的第10个数为110，第101个数为－101，第2016个数为12016.说明：探索规律时，应充分考查题中所给的所有数据，这样才能准确得到反映一列数的特征．P3练习1．2010年我国全年平均降水量比上年增加108.7 mm ，2009年比上年减少81.5 mm ，2008年比上年增加53.5 mm.用正数和负数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量．[答案] 2010年为＋108.7 mm ；2009年为－81.5 mm ；2008年为＋53.5 mm.2．如果把一个物体向右移动1 m 记作移动＋1 m ，那么这个物体又移动了－1 m 是什么意思？如何描述这时物体的位置？[答案] 物体向左移动了1 m ，物体回到了原来的位置． P4练习1．读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数．－1，2.5，＋43，0，－3.14，120，－1.732，－27.[答案] 正数：2.5，＋43，120；负数：－1，－3.14，－1.732，－27.2．如果80 m 表示向东走80 m ，那么－60 m 表示________．[答案] 向西走60 m3．如果水位升高3 m 时水位变化记作＋3 m ，那么水位下降3 m 时水位变化记作____m ，水位不升不降时水位变化记作____m.[答案] －3 04．月球表面的白天平均温度零上126 ℃，记作________℃，夜间平均温度零下150 ℃，记作________℃. [答案] ＋126 －150 P5习题1.1 复习巩固1．下面各数哪些是正数，哪些是负数？5，－57，0，0.56，－3，－25.8，125，－0.0001，＋2，－600.[答案] 正数：5，0.56，125，＋2；负数：－57，－3，－25.8，－0.0001，－600.2．某蓄水池的标准水位记为0 m ，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么(1)0.08 m 和－0.2 m 各表示什么？(2)水面低于标准水位0.1 m 和高于标准水位0.23 m 各怎样表示？[答案] (1)水面高于标准水位0.08 m ，水面低于标准水位0.2 m ．(2)－0.1 m ，0.23 m. 3．“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ [答案] 错.0既不是正数也不是负数． 综合运用4．如果把一个物体向后移动5 m 记作移动－5 m ，那么这个物体又移动＋5 m 是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？[答案] 向前移动5 m ，在原来位置上．5．测量一幢楼的高度，七次测得的数据分别是：79.4 m ，80.6 m ，80.8 m ，79.1 m ，80 m ，79.6 m ，80.5 m ．这七次测量的平均值是多少？以平均值为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，它们对应的数分别是什么？[解析] (79.4＋80.6＋80.8＋79.1＋80＋79.6＋80.5)÷7＝80 (m)．以平均值为标准，这七次测得的数据分别记作：－0.6 m ，0.6 m ，0.8 m ，－0.9 m ，0 m ，－0.4 m ，0.5 m.[答案] 这七次测量的平均值是80 m ，以平均值为标准，这七次测得的数据分别记作：－0.6 m ，0.6 m ，0.8 m ，－0.9 m ，0 m ，－0.4 m ，0.5 m.6．科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．物理学规定，原子核所带电荷为正电荷. 氢原子中的原子核与电子各带1个电荷，把它们所带电荷用正数和负数表示出来．[答案] ＋1，－1. 拓广探索7．某地一天中午 12时的气温是7 ℃，过5 h 气温下降了4 ℃，又过7 h 气温又下降了4 ℃.第二天0时的气温是多少？[答案] －1 ℃.8．某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下：这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪国增长率最低？[答案] 中国、意大利增长了；美国、德国、英国、日本减少了；意大利最高；日本最低．[当堂检测]1. 下列说法：（1）正数前加上负号就是负数，（2）不是正数的数就是负数，（3）只有带“+”的数才是正数，（4）0既不是正数也不是负数，其中正确的有（）A.一个B.二个C.三个D.四个2. 【2012•河北】下列各数中，为负数的是（）A．0 B．－2 C．1 D．213.【2012•陕西】如果零上5 ℃记作+5 ℃，那么零下7 ℃可记作（）A．－7 ℃ B．+7 ℃C．+12 ℃ D．－12 ℃4. 2012年6月24日，我国自行研制的“蛟龙”号载人潜水器在马里亚纳海域成功突破7000米深度，再创中正数：｛…｝；负数：｛…｝.参考答案：1. B2. B3. Ａ4. 1005. 解：正数：｛3.14，+72，227, …｝；负数：｛-2.5，-2，-0.6, …｝.[能力培优]专题一用正负数表示相反意义的量1.“佳佳”超市2012年下半年的营业额与2011年同月营业额相比的增长率如下：月份 7 8 9 10 11 12比上年同 -1.8 0 0.2 -1.5 0.3 0.4月增长（%）请问：（1）“佳佳”超市2012年下半年的营业额与2011年同月营业额相比，哪几个月是增长的？（2）2012年7月和2012年10月比上年同月增长率是负数，表示什么意思？（3）2012年下半年与2011年下半年同月份相比营业额没有增长的是哪几个月？2.一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想．(1)±10%的含义是什么？(2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格；(3)如果以标准价格为基准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，•该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？3.王老师是七年级（1）班数学老师，王老师先拿出一支新买的2B铅笔，请5位同学估计这只铅笔的长度，并把它们的估计的值写在了黑板上，如图所示：下图是王老师让学生用刻度尺测量这支铅笔的图片：（单位：厘米）：(1)请读出这支铅笔的长度，再以它为基准，大于这个值的规定为正，小于这个值的为负，用正、负数表示五位同学对这支铅笔的估计出的五个数.(2)试问哪一位同学的估计值最接近新买的2B铅笔的长度.4.某数学俱乐部有一种“秘密”的记账方式.当他们收入300元时，记为—240元.当他们用去300元时，记为360元.猜一猜，当他们用去100元时，可能记为多少？当他们收入100元时，可能记为多少？他们的基准是什么？专题二探索数字的规律5．观察下面排列的每一列数,研究它的排列有什么规律?并填出空格上的数.（1）1，-2，1，-2，1，-2，，，，…（2）-2，4，-6，8，-10，，，，…（3）1，0，-1，1，0，-1，，，，…知识要点：1.大于0的数叫正数.小于0的数叫负数.一个数前面的“+”“-”号叫做它们的符号.“+”号通常省略不写.2.0既不是正数也不是负数.3.如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们.温馨提示：1.判断一个数是正是负，不能仅仅看其前面的符号.2.0既不是正数也不是负数.方法技巧：1.用正负数表示相反意义的量时，应先找到基准量,再规定相反意义的量中的一个为正，则另一个为负.2.寻找一列数的规律时，通常从符号、与去掉符号后的数字两个方面入手分别寻找规律.答案：1.解析：（1）增长的月份是：9、11、12.（2）-1.8%表示2012年7月的营业额比2011年7月的营业额减少了1.8%；-1.5%表示2012年10月的营业额比2011年10月的营业额减少了1.5%.（3）2012年下半年与2011年下半年同月份相比营业额没有增长的是月份是：7、8、10.2.解析：（1）+10%表示比标准价格高10%，-10%表示比标准价格低10%；（2）最高价格200（1+10%）=220（元），最低价格200（1-10%）=180（元）；（3）－20～＋20元．3.解析：（1）新买的2B铅笔长度为17.7厘米,这5个数分别可记作：－2.7厘米，+0.3厘米，－0.7厘米，+2.3厘米，－1.7厘米.（2）估计值为18厘米的这位同学的估计值最接近新买的2B铅笔的长度.4.解析：当他们用去100元时，可能记为+160元. 当他们收入100元时，可能记为－40元. 他们的基准是收入60元时记为0元.5.解析：（1）第一列数1，-2交替出现，第奇数个数为1，第偶数个数为-2，所以空格上的数依次为1 -2 1 （2）第二列数负数、正数交替出现，且数字依次比前面的数字大2，所以空格上的数依次为12 -14 16 （3）第三列数1，0，-1交替出现，所以空格上的数依次为1 0 -1。
2024新人编版七年级数学上册《第一章1.2.有理数的概念》教学课件
有理数 零
正分数
负整数 负有理数
负分数
探究新知
注意 ：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
探究新知
填一填
（1）既是分数又是负数的数是__负_分__数__； （2）非负数包括___正__数___和____0___； （3）非正数包括___负__数___和____0___；
-3, + 1 ，0, 4，,+2.12，-0.65，+300%，-0.6，22 .
2
7
正数集合：{
}；
负数集合：{
}；
分数集合：{
}；
整数集合：{
}；
探究新知
素养考点 2 把有理数按要求分类
例2 把下列各数填在相应的集合中：
易错提醒
-3,
+
1 ，0, 2
4，,+2.12，-0.65，+300%，1先-0.像.化6， +简3270成20.%整数这的种数可是以
探究新知
问题2：目前我们所学的小数有哪几类？
有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.
问题3： 0.1, -0.5, 5.32, -15，0. 2，0.3ሶ 又是什么数？
小学：小数 初中：统归为分数
它们都可以化为分数：
0.1＝ 1 10
0.5＝ 1 2
150.25＝ 150 1 601
4
4
5.32＝5 8 133 25 25
-15 ＋6 -2 -0.9
1
3 0 3 1 0.63 -4.95
5
4
（1）正整数集合：{ ＋6 ， 1 }
（2）负整数集合：{ （3）正分数集合：{ （4）负分数集合：{
人教版七年级上数学第一章有理数1.1正数和负数知识点1.2有理数知识点
第一章有理数1.1 正数和负数一、正数和负数1.正数：像3，1.8% ，3.5这样大于0的数叫做正数.2.负数：像-3，-2.7.%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“一” （负）的数叫做负数.3.数的符号：一个数前面的“+”“一”号叫做它的符号。
其中“+”号可以省略不写，而“一”号不能省略不写。
有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“+” （正）号.例如，+3， +2， +0.5，+，…就是3，2，0.5.4.0的意义：（1）0既不是正数，也不是负数。
（2）0是正数与负数的分界。
（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0 ℃可表示为实际温度为冰点时的计量结果。
二、用正数和负数表示具有相反意义的量具有相反意义的量包括两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量。
●注意：（1）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量。
（2）具有相反意义的量必须是同类量，如向东走20米与出口200箱就不是具有相反意义的量。
（3）具有相反意义的量，只要求1具有相反意义和数量，不要求数量一定相等，所以与一个量成相反意义的量不止一个。
例如，盈利300元，与它具有相反意义的量有很多，如亏损400元，亏损100元等。
1.2 有理数1.2.1 有理数一、有理数的有关概念1.整数：正整数0、负整数统称为整数，如-3， -2，2，0，1，2，3等。
2.分数：正分数负分数统称为分数，如2，0.2，-1.25等。
3.有理数：整数和分数统称为有理数。
任何一个有理数都可以写成（m，n是整数，m≠0）的形式。
●注意（1）分数都可以化为有限小数或无限循环小数。
（2）小数可分为有限小数和无限小数，其中无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，如0.5=，0.3333…=。
无限不循环小数不能化为分数，所以无限不循环小数不是有理数，如3.212 212 2..1每两个1之间2的个数逐次增加1），π.4.部分常用的数的名称（1）正整数：如1，2，3，...负整数：如-1，-2，-3，..（2）正分数：形如（m，n是正整数）的数，例如…负分数：形如- （m，n是正整数）的数，例如-0.5，-（3）非负数：正数和0；非正数：负数和0.●注意：引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数，如-6，-4，-2都是偶数，也可以写成2n（n为整数）的形式；-5，-3，-1都是奇数，可以写成2n-1（n为整数）或2n+1（n为整数）的形式。
人教版七年级上册数学 第一章 有理数全章讲义
A.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数 B.一个有理数不是整数就是负数
C.一个有理数不是整数就是分数 7、 44 , ,0, 0.3。四个数中，有理数的个数为（ ）
7 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
D.以上说法都正确
8.有理数中，是整数而不是正数的是（ ），是分数而不是正分数的是（
）。
9、有理数中，最小的自然数是（ ）,最小的正整数是（ ）。
10、整数与分数统称为（ ），整数包括（
），分数包括（
）。
11、通常把（
）和（
）统称为非负整数，把（ ）和（ ）统称为非正整数；
把（
）和（
）统称为非负数，把（
）和（
）统称为非正数。
12、将下列各数按要求分别填入相应的集合中。
9.3,6,3 3 ,7 1 ,0,100, 3 ,2.25,0.01,65, 2 , 3 , 0.21。.
3、下列说法错误的是（ ） A．-5 一定是负数 C．自然数一定是正数 4、下列说法正确的有（ ）
B．在正数前面加上“-”就成了负数 D．-a 不一定是负数
①不带负号的数都是正数 ②带负号的数不一定是负数 ③0℃表示没有温度 ④0 既不是正数，也不 是负数
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D3 个 5、在跳远测验中，合格标准是 4.00m，小明跳出了 4.18m，记作+0.18m，小华跳出了 3.96m，应
典型例题
1、 判断下列说法是否正确。
（1）-3 与 1 互为相反数。（ ） 3
（2）5 的相反数是 1 。（ ） 5
（3）0 的相反数是-0，所以 0 与-0 不是互为相反数。（ ）
2、下列叙述正确的是（ ）
七年级数学上册(人教版)课件-第一章 有理数
第一章有理数1．1正数和负数1．掌握正数和负数的概念；2．会区分两种不同意义的量，会用正、负数表示具有相反意义的量；3．通过正、负数学习，培养学生应用数学知识的意识；体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣．用正、负数表示具有相反意义的量．一、温故知新1．小学里学过哪些数请写出来：整数、分数、自然数．2．阅读课本P2三幅图(重点是三个例子，边阅读边思考)．3．回答下面提出的问题：在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？二、自主学习1．正数与负数的产生：(1)生活中具有相反意义的量：如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量．请你也举一个具有相反意义量的例子：收入1000元与支出800元；(2)负数的产生同样是生活和生产的需要．2．正数和负数的表示方法：(1)一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的．正的量就用小学里学过的数表示，有时也可以在它前面放上一个“＋”(读作正)号，如前面的5，7，50；负的量用小学学过的数前面放上“－”(读作负)号来表示，如上面的－3，－8，－47；(2)活动：两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示；(3)阅读P3例题前的内容．3．正数、负数的概念：(1)大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数；(2)正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数．一、师生合作(课本P3例题)先引导学生分析，再让学生独立完成．例(1)一个月内，小明体重增加2 kg，小华体重减少1 kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值．解：这个月小明体重增长2_kg，小华体重增长－1_kg，小强体重增长0_kg；二、跟踪练习(2)2001年，下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是：美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增长7.5%.写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率．解：六个国家这一年商品进出口总额的增长率是：美国__－6.4%__； 德国__1.3%____；法国__－2.4%__； 英国__－3.5%__；意大利__0.2%__； 中国__7.5%____．1．P4练习第1－4题．(直接做在课本上)2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作＋3万元，那么支取2万元应记作－2万元，－4万元表示支取4万元．3．已知下列各数：－15，－234，3.14，＋3065，0，－239.则正数有3.14，＋3065；负数有－15，－234，－239． 4．下列结论中正确的是( D )A ．0既是正数，又是负数B ．0是最小的正数C ．0是最大的负数D ．0既不是正数，也不是负数5．给出下列各数：－3，0，＋5，－312，＋3.1，－12，2004，＋2010.其中是负数的有( B ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个以问题的形式，要求学生思考交流：1．正数、负数的概念：(1)大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数；(2)数0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界．2．引人负数后，你是怎样认识数0的，数0的意义有哪些变化？0不仅可以表示没有，还可以表示正数、负数的分界．3．怎样用正负数表示具有相反意义的量？用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．1．2.1 有理数1．掌握有理数的概念，会对有理数按一定标准进行分类，培养分类能力；2．了解分类的标准与集合的含义；3．体验分类是数学上常用的处理的问题的方法．重点：正确理解有理数的概念；难点：正确理解分类的标准和按照一定标准分类．一、温故知新通过上节课的学习，那么你能写出3个不同类的数吗？(4名学生板书)二、自主学习问题1：观察黑板上的12个数，我们将这4位同学所写的数做一下分类．该分为几类，又该怎样分呢？先分组讨论交流，再写出来分为__五__类，分别是：正数，0，负数，正分数，负分数 问题2：我们是否可以把上述数分为两类？如果可以，应分为哪两类？师生共同交流、归纳．三、引导归纳1．正整数，0，负整数统称为整数，整数和分数统称为有理数．2．正数集合与负数集合 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合．1．P6练习．(做在课本上)2．把下列各数填入它所属于的集合的圈内：15，－19，－5，215，－138，0.1，－5.32，－80，123，2.333.正整数集合 负整数集合正分数集合 负分数集合有理数分类⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数零负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数 或者有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数零负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数到现在为止我们学过的大部分数都是有理数(圆周率除外)，有理数可以按不同的标准进行分类，标准不同，分类的结果也不同．下列说法中不正确的是( C )A ．－3.14既是负数、分数，也是有理数B ．0既不是正数，也不是负数，但是整数C ．－2000既是负数，也是整数，但不是有理数D．0是正数和负数的分界1.2.2 数轴1．掌握数轴概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；2．会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数；3．领会数形结合的重要思想方法．重点：数轴的概念与用数轴上的点表示有理数；难点：会在数轴上表示有理数，能根据数轴上的点写出有理数．一、温故知新1．观察下面的温度计，读出温度．分别是__5__℃；__－10__℃；__0__℃.2．在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3 m 和7.5 m 处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3 m 和4.8 m 处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境？__________________________________ 东汽车站请同学们分小组讨论，交流合作，动手操作．二、自主学习1．由上面的两个问题，你受到了什么启发？能用直线上的点来表示有理数吗？可以用直线上的点表示有理数．2．自己动手操作，看看可以表示有理数的直线必须满足什么条件？三、引导归纳(1)画数轴需要三个条件，即原点、正方向和单位长度；(2)数轴．1．请画一条数轴．__________________________________2．利用上面的数轴表示下列有理数：1．5，－2，2，－2.5，29，⎪⎪⎪⎪15，0. 3．写出数轴上的点A ，B ，C ，D ，E 所表示的数．小组讨论交流．1．观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？负数都在原点左边，正数都在原点右边．2．每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？ 数轴上的点到原点的距离都是非负数．3．进一步引导学生完成P9归纳．1．画数轴需要的三个条件是什么？2．一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的__右__边，与原点的距离是__a __个单位长度；表示数－a 的点在原点的__左__边，与原点的距离是__a __个单位长度．3．数轴的出现将图形(直线上的点)和数紧密联系起来，使很多数学问题都可以借助图直观地表示，是“数形结合”的重要工具．1．在数轴上，表示数－3，2.6，－35，0，413，－223，－1的点中，在原点左边的点有__4__个．2．在数轴上点A 表示－4，如果把原点O 向正方向移动1个单位，那么在新数轴上点A 表示的数是( A )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－23．你觉得数轴上的点表示的数的大小与点的位置有什么关系？原点的右边离原点越远的点表示的数越大；原点的左边离原点越远的点表示的数越小．1.2.3 相反数1．掌握相反数的意义；2．掌握求一个已知数的相反数；3．体验数形结合思想．重点：求一个已知数的相反数；难点：根据相反数的意义化简符号．一、温故知新1．数轴的三要素是什么？在下面画出一条数轴：2．在上面的数轴上描出表示5，－2，－5，＋2 这四个数的点．3．观察上图并填空： 数轴上与原点的距离是2的点有__2__个，这些点表示的数是＋2或－2；与原点的距离是5的点有__2__个，这些点表示的数是＋5或－5．从上面的问题可以看出，一般地，如果a 是一个正数，那么数轴上与原点的距离是a 的点有两个，即一个表示a ，另一个是 __－a __，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对称．二、自主学习自学课本P9，P10的内容并填空：1．相反数的概念像2和－2，5和－5，3和－3这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．练习(1)2.5的相反数是__－2.5__，－115和__115__互为相反数，－2010的相反数是2010； (2)a 和__－a __互为相反数，也就是说，－a 是__a __的相反数．小组讨论交流，发现规律．例如a ＝7时，－a ＝－7，即7的相反数是－7.a ＝－5时，－a ＝－(－5)，“－(－5)”读作“－5的相反数”，而－5的相反数是5，所以，－(－5)＝5.你发现了吗，在一个数的前面添上一个“－”号，这个数就成了原数的相反数．1．简化符号：－(＋0.75)＝－0.75，－(－68)＝__68__，－(－0.5)＝0.5，－(＋3.8)＝－3.8．2．0的相反数是__0__．3．数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等．P10第1，2，3，4题．1．一般地，如果a 是一个正数，那么数轴上与原点的距离是a 的点有两个，即一个是a ，另一个是－a ，它们分别在原点的右边和左边，我们说，这两点关于原点对称；2．要表示一个数或式子的相反数，只需要在这个数或式子前加“－”．1．在数轴上标出3，－1.5，0各数与它们的相反数：2．－1.6的相反数是__1.6__，2x的相反数是__－2x__，a－b的相反数是__b－a__．3．相反数等于它本身的数是__0__，相反数大于它本身的数是__负数__．4．填空：(1)如果a＝－13，那么－a＝__13__；(2)如果－a＝－5.4，那么a＝__5.4__；(3)如果－x＝－6，那么x＝__6__；(4)如果－x＝9，那么x＝__－9__．5．数轴上表示互为相反数的两个数的点之间的距离为10，求这两个数．(±5)1．2.4绝对值(一)1．理解、掌握绝对值概念．体会绝对值的作用与意义；2．会求一个已知数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数；3．掌握绝对值的有关性质．重点：给出一个数，会求它的绝对值；难点：理解绝对值的作用和意义．一、温故知新1．什么叫相反数？相反数有什么特点？问题：如下图小红和小明从同一处O出发，分别向东、西方向行走10米，他们行走的路线不相同(填相同或不相同)，他们行走的距离(即路程远近)相同．2．如图，小黄狗，小白兔，小灰狗分别位于点A，B，C处，单位长度为1，小黄狗，小白兔，小灰狗分别距原点多远？小黄狗距原点3个单位长度，小白兔距原点1.5个单位长度，小灰狗距原点4.5个单位长度．二、自主学习1．绝对值的概念上面问题中，A，B，C三个点在数轴上分别表示什么数？离原点的距离是多少？归纳：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．如：2的绝对值等于2，记作：|2|＝2，－2的绝对值等于__2__，记作：|－2|＝2.跟踪练习1．把下列各数表示在数轴上，并求出它们的绝对值．－4，3.5，－2，0，－3.5，5.2．从上题寻找规律，正数、零、负数的绝对值有什么特点？ 一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值等于__零__．互为相反数的两个数绝对值相等．你能用式子表示上面的意思吗？①当a ＞0时，│a │＝__a __；②当a ＝0时，│a │＝__0__；③当a ＜0时，│a │＝__－a __．跟踪练习：(1)什么数的绝对值等于它本身？什么数的绝对值等于它的相反数？非负数，非正数．(2)有人说因为2的绝对值等于2，－2的绝对值等于2，所以a 的绝对值等于a ，－a 绝对值也等于a .你认为对吗？你的观点呢？不对，当a 为负数时，a 的绝对值为－a ，－a 的绝对值等于－a .三、拓展提高1．求一个数的绝对值：例1 求下列各数的绝对值：12，－35，－7.5，0. 例2绝对值等于7的有理数有哪些？跟踪练习：(1)|＋2|＝__2__，|15|＝__15__，|＋8.2|＝__8.2__； (2)|0|＝__0__； (3)|－3|＝__3__，|－0.2|＝__0.2__，|－8.2|＝__8.2__．2．与绝对值的意义有关的问题．例3 (1)如果|a |>a ，则a 是什么数？a 为负数．(2)如果a |a |＝1，那么__a ＞__0；如果a |a |＝－1，那么a __＜__0.P11第1，2，3大题．(直接做在课本上)1．2.4 绝对值(二)1．理解、掌握有理数大小比较法则；2．能熟练运用有理数大小比较法则，结合数轴比较有理数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列；3．体验运用直观知识解决数学问题．重点：运用有理数大小比较法则，借助数轴比较两个有理数的大小；难点：利用绝对值比较两个负数的大小．一、温故知新1．比较下列各组数的大小：①2__＜__3；②34__＞__23； ③12__＞__0；④0__＜__0.001. 2．引入负数后，对于任意有理数(如－2和－1，－3和0，－2和2)怎样比较大小呢？二、自主学习阅读思考，发现新知．阅读P12，你有什么发现吗？讨论交流在数轴上表示的两个数，右边的数总要大于左边的数．也就是：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；(2)两个负数，绝对值大的反而小．自学例题 P13 (教师指导)重点书写格式示范指导三、拓展提高例1 写出3个小于－1并且大于－2的数．如：－1.2，－1.5，－1.8.例2 已知|x |＝6，|y |＝5，且x ＜y ，求x ，y 的值．解：∵|x |＝6，|y |＝5，又∵x ＜y ，∴x ＝±6，y ＝±5.∴x ＝－6，y ＝±5.1．比较下列各对数的大小：－3和－5； －2.5和－∣－2.25∣.－3＞－5； －2.5＜－|－2.25|.1．比较有理数大小的方法有两种：方法一：利用数轴，把数用数轴上的点表示出来，然后根据“数轴上左边的点所表示的数比右边的点所表示的数小”来比较．方法二：利用比较有理数大小的法则“正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小”来进行．2．在比较有理数的大小前，要先化简，从而知道哪些是正数，哪些是负数．1．3.1 有理数的加法(一)1．理解有理数加法意义，掌握有理数加法法则，会正确进行有理数加法运算；2．会利用有理数加法运算解决简单的实际问题．重点：有理数加法法则；难点：异号两数相加．一、温故知新1．比较大小：2__＞__－3，－5__＞__－7，4__＜__|－5|.2．已知a＝－5，b＝＋3，则︱a︳＋︱b︱＝__8__．3．9＋12＝__21__，11＋0＝__11__，4＋(－2)＝______，(＋3)＋(－8)＝______，怎样计算4＋(－2)呢．下面我们一起借助数轴来讨论有理数的加法．二、自主学习1．借助数轴来讨论有理数的加法：(1)如果规定向东为正，向西为负，那么一个人向东走4米，再向东走2米，两次共向东走了__6__米，这个问题用算式表示就是：4＋2＝6；(2)如果规定向东为正，向西为负，那么一个人向西走2米，再向西走4米，两次共向西走多少米？很明显，两次共向西走了__6__米．这个问题用算式表示就是：－2＋(－4)＝－6．如图所示：(3)如果向西走2米，再向东走4米，那么两次运动后，这个人从起点向东走了__2__米，写成算式就是－2＋(＋4)＝2．用数轴表示如下图所示：(4)利用数轴，求以下情况时这个人两次运动的结果：①先向东走3米，再向西走5米，这个人从起点向(西)走了(2)米；②先向东走5米，再向西走5米，这个人从起点向(东)走了(0)米；③先向西走5米，再向东走5米，这个人从起点向(东)走了(0)米．写出这三种情况运动结果的算式：3＋(－5)＝－2；5＋(－5)＝0；(－5)＋5＝0．(5)如果这个人第一秒向东(或向西)走5米，第二秒原地不动，两秒后这个人从起点向东(或向西)运动了__5__米．写成算式就是5＋0＝5或(－5)＋0＝－5．2．师生归纳两个有理数相加的几种情况．3．你能从以上几个算式中发现有理数加法的运算法则吗？有理数加法法则：(1)同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得__0__；(3)一个数同0相加，仍得这个数．4．新知应用例1(老师演示，书写规范格式)计算：(1)(－3)＋(－9)；解：原式＝－(3＋9)＝－12；(2)(－4.7)＋3.9；解：原式＝－(4.7－3.9)＝－0.8；(3)(－25)＋(＋36)．解：原式＝＋(36－25)＝11.例2计算：(1)15＋(－22)；(2)(－13)＋(－8)；(3)(－0.9)＋1.51.1．填空：(口答)(1)(－4)＋(－6)＝__－10__；(2)3＋(－8)＝__－5__；(3)7＋(－7)＝__0__；(4)(－9)＋1＝__－8__；(5)(－6)＋0＝__－6__；(6)0＋(－3)＝__－3__．2．课本P19第1－4题．有理数加法法则简单理解：同号取同号，绝对值相加，异号取(绝对值)大号，绝对值(大－小)相减．计算一般步骤：先确定符号，再算绝对值．1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a__＜__b，︱a︱__＞__︱b︱.1．3.1有理数的加法(二)掌握加法运算律并能运用加法运算律简化运算．灵活运用加法运算律简化运算．一、温故知新1．想一想，小学里我们学过的加法运算律有哪些？先说说，再用字母表示写在下面：2．计算：(1)30＋(－20)＝10；(－20)＋30＝__10__；(2)[8＋(－5)]＋(－4)＝－1；8＋[(－5)＋(－4)]＝－1．思考：观察上面的式子与计算结果，你有什么发现？二、自主学习1．请说说你发现的规律．2．自己换几个数字验证一下，还有上面的规律吗？3．由上可以知道，小学学习的加法交换律、结合律，在有理数范围内同样适合，即：两个数相加，交换加数的位置，和不变．式子表示为a ＋b ＝b ＋a ；三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用式子表示为(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．想想看，式子中的字母可以是哪些数？可以是正数，负数或零．三、新知应用例1 (教师示范书写格式)计算：(1)16＋(－25)＋24＋(－35)；解：原式＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20；(2)(－2.48)＋(＋4.33)＋(－7.52)＋(－4.33)．解：原式＝[(－2.48)＋(－7.52)]＋[4.33＋(－4.33)]＝－10＋0＝－10.四、跟踪练习1．计算：(1)23＋(－17)＋6＋(－22)；解：原式＝－10；(2)(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4)；解：原式＝－3；(3)(－413)＋(－417)＋413＋(－1317)． 解：原式＝－1.例2 每袋小麦的标准质量为90千克，10袋小麦称重记录如下：91，91，91.5，89，91.2，91.3，88.7，88.8，91.8，91.1.10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦的总质量是多少千克？想一想，你会怎样计算，再把自己的想法与同伴交流一下．课本P20练习1，2.运用加法运算律简便运算的步骤：1.互为相反数的先加；2.能凑整的先加；3.同分母的先加；4.同号的放在一起加．1．计算：(1)(－7)＋11＋3＋(－2)；解：原式＝5；(2)14＋(－23)＋56＋(－14)＋(－13)．解：原式＝－16. 2．绝对值不大于10的整数有__21__个，它们的和是 __0__．3．填空：(1)若a ＞0，b ＞0，那么a ＋b __＞__0；(2)若a ＜0，b ＜0，那么a ＋b __＜__0；(3)若a ＞0，b ＜0，且│a │＞│b │，那么a ＋b __＞__0；(4)若a ＜0，b ＞0，且│a │＞│b │，那么a ＋b __＜__0.3．某储蓄所在某日内做了7件工作，取出950元，存入5000元，取出800元，存入12000元，取出10000元，取出2000元．问这个储蓄所这一天共增加多少元？解：把取出记为负，存入记为正，得－950＋5000－800＋12000－10000－2000＝3250(元) 答：共增加了3250元．4．课本P21实验与探究．1．3.2 有理数的减法(一)1．经历探索有理数减法法则的过程．理解并掌握有理数减法法则；2．会正确进行有理数减法运算；3．体验把减法转化为加法的转化思想．有理数减法法则和运算．一、温故知新1．世界上最高的山峰珠穆朗玛峰海拔高度约是8844米，吐鲁番盆地的海拔高度约为－154米，两处的高度相差多少呢？试试看，计算的算式应该是8844－(－154)．能算出来吗，画草图试试；2．长春某天的气温是－2°C ～3°C ，这一天的温差是多少呢？(温差是最高气温减最低气温，单位：℃) 显然，这天的温差是3－(－2)．想想看，温差到底是多少呢？那么，3－(－2)＝__5__．二、自主学习1．还记得吗，被减数、减数、差之间的关系是：被减数－减数＝__差__；差＋减数＝被减数．2．请你与同桌伙伴一起探究、交流：要计算3－(－2)＝？实际上也就是要求？＋(－2)＝3，所以这个数(差)应该是__5__，也就是3－(－2)＝5；再看看，3＋2＝__5__；所以3－(－2)_＝_3＋2； 由上你有什么发现？请写出来：减去一个数等于加上这个数的相反数．3．换两个式子计算一下，看看上面的结论还成立吗？－1－(－3)＝__2__，－1＋3＝__2__，所以－1－(－3)__＝__－1＋3；0－(－3)＝__3__，0＋3＝__3__，所以0－(－3)__＝__0＋3.4．师生归纳(1)法则：减去一个数等于加上这个数的相反数；(2)字母表示：__a －b ＝a ＋(－b )__．三、新知应用例1.例题(示范书写格式)计算：(1)(－3)－(－5)； (2)0－7；(3)7.2－(－4.8); (4)－312－514.1．下列运算中正确的是( D )A ．3.58－(－1.58)＝3.58＋(－1.58)＝2B ．(－2.6)－(－4)＝2.6＋4＝6.6C ．0－(＋25)－75＝(＋25)－75＝25＋(－75)＝－1 D.38－145＝38＋(－95)＝－57402．课本P23练习1—2题．1．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．；2．小学时学的减法都是大数－小数，够减，差的符号为正，现在引入了负数后，小数－大数不够减也能减了，差是负数．即：大数－小数＝正数，小数－大数＝负数．1．计算：(1)(－37)－(－47)；解：原式＝10(2)(－53)－16；解：原式＝－69(3)(－210)－87；解：原式＝－297(4)1.3－(－2.7)；解：原式＝4(5)(－214)－(－1)． 解：原式＝－1142．分别求出数轴上，下列两点间的距离：(1)表示数8的点与表示数3的点；(2)表示数－2的点与表示数－3的点．解：(1)8－3＝5(2)－2－(－3)＝13．若|m －n |＝n －m ，|m |＝4，|n |＝3，则m －n ＝－1或－7.1．3.2 有理数的减法(二)1．理解加减法统一成加法运算的意义；2．会将有理数的加减混合运算转化为有理数的加法运算．有理数加减法统一成加法运算．一、温故知新1．一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：__1__2．你是怎么算出来的，方法是4.5＋(－3.2)＋(＋1.1)＋(－1.4)＝1．二、自主学习1．现在我们来研究(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)，该怎么计算呢？还是先自己独立动动手吧！2．怎么样，计算出来了吗，是怎样计算的，与同伴交流交流，老师巡视指导．3．师生共同归纳：遇到一个式子既有加法，又有减法，第一步应该先把减法转化为加法．再把加号记在脑子里，省略不写．如：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)＝(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7)＝－20＋3＋5－7，可以读作：“负20、正3、正5、负7的__和__”或者“负20加3加5减7”．4．师生完整写出解题过程：5．计算：－4.4－(－415)－(＋212)＋(－2710)＋12.4. 解：原式＝－4.4＋415－212－2710＋12.4 ＝[(－4.4)＋12.4]＋(4210－2510－2710) ＝8－1＝7.1．下列各式可以写成a －b ＋c 的是( B ) A ．a －(＋b )－(＋c ) B ．a －(＋b )－(－c )C ．a ＋(－b )＋(－c )D ．a ＋(－b )－(＋c )2．算式(－7)－9－(－3)＋(－5)写成省略加号和括号的形式为－7－9＋3－5，读作负7、负9、正3、负5的和，或读作负7减9加3减5．3．计算：(课本P24练习)(1)1－4＋3－0.5；解：原式＝－0.5；(2)－2.4＋3.5－4.6＋3.5；解：原式＝0；(3)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；解：原式＝－6；(4)34－72＋(－16)－(－23)－1. 解：原式＝－3912. 4．数轴上A ，B 两点分别表示数a ，b ，若a ＝3，b ＝7，则A ，B 两点间的距离为__4__；若a ＝－1，b ＝－5，则A ，B 两点间的距离为__4__；若a ＝2，b ＝－6，则A ，B 两点间的距离为__8__；若a ＝－8，b ＝－4，则A ，B 两点间的距离为__4__；若a ＝m ，b ＝n ，则A ，B 两点间的距离为|m －n |．1．有理数加减混合运算，可以先运用减法法则把加减法统一成加法运算，再写成省略加号和括号形式，然后可运用加法运算律进行简便运算；2．数轴上A ，B 两点分别表示数a ，b ，则两点间的距离为|a －b |或|b －a |.1．4.1 有理数的乘法(一)1．理解有理数的运算法则，能根据有理数乘法运算法则进行有理数的简单运算；2．经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜想、验证能力．有理数乘法法则．一、温故知新1．有理数加法法则内容是什么？2．计算：(1)2＋2＋2＝__6__；(2)(－2)＋(－2)＋(－2)＝__－6__．3．你能将上面两个算式写成乘法算式吗？(1)2×3＝6；(2)(－2)×3＝－6.二、自主学习1．自学课本P28—P29，回答下列问题．观察：3×3＝9，3×2＝6，3×1＝3，3×0＝0.发现规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3，这一规律引入负数仍然成立，所以有：3×(－1)＝－3，3×(－2)＝－6，3×(－3)＝－9，3×(－4)＝－12.根据乘法的交换律又有：(－1)×3＝－3，(－2)×3＝－6，(－3)×3＝－9，(－4)×3＝－12.从符号和绝对值的角度观察发现：正数乘正数积为正数，正数乘负数积为负数，负数乘正数积为负数，积的绝对值等于各乘数的绝对值的积．利用这个规律计算：(－3)×3＝__－9__，(－3)×2＝__－6__，(－3)×1＝__－3__，(－3)×0＝__0____．发现规律：随着后一个数逐次递减1，积逐次增加3按照这个规律填空：(－3)×(－1)＝__3__，(－3)×(－2)＝__6__，(－3)×(－3)＝__9__．可归纳如下结论：负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积． 由上可知：(1)2×4＝__8__；(2)(－2)×4＝__－8__；(3)(＋2)×(－4)＝__－8__；(4)(－2)×(－4)＝__8__；(5)两个数相乘，一个数是0时，结果为__0__．观察上面的式子，你有什么发现？能说出有理数乘法法则吗？归纳有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与0相乘，都得__0__． 例题讲解(教师示范书写步骤，格式)例1 计算：(1)(－3)×9； (2)8×(－1)；解：原式＝－27； 解：原式＝－8；(3)(－12)×(－2)． 解：原式＝1.1．直接说出下列两数相乘所得积的符号．(1)5×(－3)；“－”(2)(－4)×6；“－”(3)(－7)×(－9)；“＋”(4)0.9×8.“＋”2．一个有理数与其相反数的积( C )A ．符号必定为正B ．符号必定为负C ．一定不大于零D ．一定不小于零3．书本P30第1题例2 计算：(1)6×16； (2)(－17)×(－7)； (3)(－34)×(－43)．在有理数中仍然有：乘积为1的两个数互为倒数．1．课本P30练习1，2，3.(直接做在课本上)2．填空：(1)－7的倒数是__－17__，它的相反数是__7__，它的绝对值是__7__； (2)－225的倒数是－512，－2.5的倒数是－25； (3)倒数等于它本身的有理数是__±1__．3．下列说法错误的是( A )A ．任何有理数都有倒数B ．互为倒数的两个数的积为1C ．互为倒数的两个数同号D ．1和－1互为负倒数有理数乘法法则．1．4.1 有理数的乘法(二)1．探索多个有理数相乘的符号确定法则；2．会进行有理数的乘法运算；3．通过对问题的探索，培养观察、分析和概括的能力．重点：多个有理数相乘运算符号的确定；难点：正确进行多个有理数的乘法运算．一、温故知新1．有理数乘法法则：2．下列运算结果为负值的是( B )A ．(－7)×(－6)B ．(－4)＋(－6)C ．0×(－2)D ．(－7)－(－10)3．计算： (1)(－114)×(－45)； 解：原式＝＋(54×45)＝1； (2)(－213)×(－6)； 解：原式＝73×6＝14； (3)－320×56. 解：原式＝－(320×56)＝－18. 二、自主学习1．观察：下列各式的积是正的还是负的？2×3×4×(－5)；2×3×(－4)×(－5)；2×(－3)×(－4)×(－5)；(－2)×(－3)×(－4)×(－5)．思考：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？分组讨论交流，再用自己的语言表达所发现的规律：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．2．新知应用例题3(P31)请你思考，多个不是0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？先确定符号，再算绝对值．你能看出下列式子的结果吗？如果能，理由几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.7．8×(－8.1)×0×(－19.6)．1．计算：(课本P32练习1，2)1．几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．2．几个数相乘，如果其中有一个因数为0，积等于0.一、选择题1．若干个不等于0的有理数相乘，积的符号( C )A ．由因数的个数决定B ．由正因数的个数决定C ．由负因数的个数决定D ．由负因数和正因数个数的差决定2．下列运算结果为负值的是( B )A ．(－7)×(－6)B ．(－6)＋(－4)C ．0×(－2)(－3)D ．(－7)－(－15)3．下列运算错误的是( B )A ．(－2)×(－3)＝6B ．(－12)×(＋6)＝3 C ．(－5)×(－2)×(－4)＝－40D ．(－3)×(－2)×(－4)＝－24二、计算：(1)(－2)×54×(－910)×(－23)； 解：原式＝－32；(2)(－6)×5×(－76)×27；解：原式＝10；(3)(－4)×7×(－1)×(－0.25)； 解：原式＝－7； (4)(－524)×815×(－32)×14； 解：原式＝124；(5)(－112)×(－113)×(－114)×(－115)×(－116)×(－117)．解：原式＝32×43×54×65×76×87＝4.1．4.1 有理数的乘法(三)1．熟练有理数的乘法运算律并能用乘法运算律简化运算； 2．学生通过观察、思考、探究、讨论，主动地进行学习．重点：正确运用运算律，使运算简化； 难点：运用运算律，使运算简化．一、温故知新1．请同学们计算，并比较它们的结果： (1)(－6)×5＝－30， 5×(－6)＝－30；(2)[3×(－4)]×(－5)＝60, 3×[(－4)×(－5)]＝60； (3)5×[3＋(－7)]＝－20，5×3＋5×(－7)＝－20. 请以小组为单位，相互检查，看计算对了吗？二、自主学习1．下面我们以小组为单位，仔细观察上面的式子与结果，把你的发现相互交流交流． 2．怎么样，在有理数运算律中，乘法的交换律，结合律以及分配律还成立吗？ 3．归纳、总结乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即：ab ＝ba .乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：(ab )c ＝a (bc )．分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a (b ＋c )＝ab ＋ac ． 三、新知应用 计算：(1)(－0.4)×(＋25)×(－5)； 解：原式＝50；(2)(－15)×(－8)×125； 解：原式＝15000；。
七年级数学上册第一章有理数1-1正数和负数课件新版新人教版
特别提醒 用正数和负数表示具有相反意义的量时，关键要明
确“基准”及具有相反意义的量的规定.还原用正数、 负数表示的数，关键就是依据“基准点”.
方 法 4 利用正数、负数表示指定位置的数(归纳法)
例 8 观察下面按次序排列的两组数，探究它们各自的变化规律 ，完成填空并分别在最后的横线上写出第2024个数． (1)1，2，－3，－4，5，6，－7，－8，______，______ ，…，______； (2)1，－12 ，3，－14 ，5，－16 ，7，－18 ，______，______ ，…，______．
知2－练
知2－练
解题秘方：利用0 的几种不同方面的意义，用排除法 •••
解题.
解：选项A 中“不大于0”表示的是“小于或等于0”， 也就是负数和0；选项B 中“海拔0 米”表示的是 “与• 海• 平• 面• 一• 样• 高• ”；选项D 中“不是正数的数” 就是负数或0 . 答案：C
2-1.下列关于“0”的叙述，正确的有( C ) ① 0 是正数与负数的分界； ② 0 是整数； ③ 0 只表示没有； ④ 0 常用来表示某些量的基准数. A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
：15记为－1，上午10：45记为1，那么上午7：45应记为
()
A. 3
B. －3
C. －2.15
D. －7.45
思路引导：
解：如图1.1－2，可知上午7:45应记为－3. 答案：B
特别提醒 1. 本例用直线上的点表示时间及与之对应的数，直观、
巧妙地将时间和与之对应的数联系起来，便于帮助理解问 题的内在联系.
易 错 点 对正数、负数的定义理解有误
例 9 下列说法正确的有(
)
七年级数学上册 第一章 有理数 1.1 正负数教学课件上册数学课件
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思考(sīkǎo)
（2）这是该存折中记录的支出、存入信息(xìnxī)，试着说说其中“支出或存入”
那一栏中数字的含义是什么？
12/9/2021
存折中的正数表示存入，反之，负数表示支出.
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说出你这节课的收获(shōuhuò)和体验，让大家与你一起分享！
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像3，2，0.5……这样(zhèyàng)大于0的数叫做正数．
问题2: 什么叫做负数?
像－3，－0.5，－2，－2.7%这样在正数前面(qián mian)加上负号“－” 的数叫做负数．
问题3: 0是正数么？是负数么？
0既不是正数，也不是负数．
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小试牛刀(xiǎo shì niú dāo)
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当堂 检测 (dānɡ tánɡ)
1.读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数。(口答)
5 ，-3，- 5 ，0，－28.5，0.001，－600，+ 12
7
5
2.在同一个问题中,用正数和负数可以表示
相的反量(xiā.ngfǎn)意义
3.如果80m表示向东走80m，那么－60m表示 向西走60m 。
例题 回顾 (lìtí)
1、一个月内，小明体重增加2kg，则他这个(zhè ge)月的体重增长2 kg 小 华体重减少1kg，则他这个月的体重增长 小-1强kg体重无变
化，则他这个月的体重增长 0 kg 。
2、某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况(qíngkuàng)是：
美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%,
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七年级数学上册第一章有理数《正数和负数：正数、负数以及0的意义》
新2024秋季七年级人教版数学上册第一章有理数《正数和负数：正数、负数以及0的意义》听课记录教学目标（核心素养）•数学素养：理解正数、负数和0的概念及其在实际情境中的应用，能够准确表示和区分它们。
•逻辑思维：通过实例分析，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，理解数轴上的正负数表示。
•问题解决：学会运用正负数解决实际问题，如温度、海拔、收支等具有相反意义的量的表示。
导入（教师行为、学生活动、过程点评）教师行为：“同学们，大家有没有注意过天气预报中的温度？有时候是零上几度，有时候是零下几度，这两种温度有什么不同呢？今天，我们就来学习如何用数学来表示这种具有相反意义的量——正数和负数，以及它们之间的特殊朋友0。
”学生活动：学生回忆起日常生活中的温度场景，有的点头表示理解，有的则露出好奇的表情，准备进入新课学习。
过程点评：教师以贴近学生生活的实例导入新课，有效激发了学生的学习兴趣和求知欲，为接下来的学习奠定了良好的基础。
教学过程（重点详细）1.1 正数和负数的概念教师行为：“首先，我们来看这个温度计。
当指针指向0度以上时，我们称之为正数，表示温度比0度高；当指针指向0度以下时，我们称之为负数，表示温度比0度低。
那么，0在这里起到了什么作用呢？”学生活动：学生观察温度计模型或图片，思考并回答：“0是正数和负数的分界点。
”过程点评：通过直观展示和提问引导，学生轻松理解了正数、负数和0的基本概念及其关系。
1.2 正负数在数轴上的表示教师行为：“现在，请大家想象一条直线，我们在上面标出0点，0点的右边表示正数，左边表示负数。
这就是我们的数轴。
请几位同学上来，在数轴上标出几个正数和负数。
”学生活动：学生积极参与，上台在数轴上标出如+3、-2、0等数，加深对数轴和正负数的理解。
过程点评：通过动手实践，学生不仅掌握了数轴上正负数的表示方法，还培养了空间想象能力和动手操作能力。
1.3 正负数在实际生活中的应用教师行为：“接下来，我们来看看正负数在实际生活中的应用。
【K12教育学习资料】[学习]七年级数学上册 第一章《有理数》1.1 正数和负数能力培优讲义 (新版
1.1正数和负数知识要点：1.大于0的数叫正数.小于0的数叫负数.一个数前面的“+”“－”号叫做它们的符号.“+”号通常省略不写.2.0既不是正数也不是负数.3.如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们.温馨提示：1.判断一个数是正是负，不能仅仅看其前面的符号.2.0既不是正数也不是负数.方法技巧：1.用正负数表示相反意义的量时，应先找到基准量，再规定相反意义的量中的一个为正，则另一个为负.2.寻找一列数的规律时，通常从符号、与去掉符号后的数字两个方面入手分别寻找规律.1、在 -1，+7， 0， 23-， 516中，负数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个专题一 用正负数表示相反意义的量2、“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“500±30mL”字样，其中500表示标准容量是500mL ，＋30表示最多不超过30mL ，那么－30表示3、近期，某市“曼菲庄园”生产的蓝莓包装纸箱上标明蓝莓的质量为千克，如果这箱蓝莓重4．98千克，那么这箱蓝莓质量 标准．（填“符合”或“不符合”）4、“佳佳”超市2017年下半年的营业额与2016年同月营业额相比的增长率如下：月份 7 8 9 10 11 12比上年同 －1.8 0 0.2 －1.5 0.3 0.4月增长（%）请问：（1）“佳佳”超市2017年下半年的营业额与2016年同月营业额相比，哪几个月是增长的？（2）2017年7月和2016年10月比上年同月增长率是负数，表示什么意思？（3）2017年下半年与2016年下半年同月份相比营业额没有增长的是哪几个月？03.003.05+-5、一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想．（1）±10%的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；（3）如果以标准价格为基准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？6、王老师是七年级（1）班数学老师，王老师先拿出一支新买的2B铅笔，请5位同学估计这只铅笔的长度，并把它们的估计的值写在了黑板上，如图所示：下图是王老师让学生用刻度尺测量这支铅笔的图片：（单位：厘米）：（1）请读出这支铅笔的长度，再以它为基准，大于这个值的规定为正，小于这个值的为负，用正、负数表示五位同学对这支铅笔的估计出的五个数。