条件概率习题课
思考： 思考：求解条件概率的一般步骤
用字母表示有关事件 用字母表示有关事件 表示有关 求相关量 代入公式求P(B|A) 代入公式求
1. 掷两颗均匀骰子 问: 掷两颗均匀骰子,问 第一颗掷出6点 的概率是多少？ ⑴ “ 第一颗掷出 点”的概率是多少？ 掷出点数之和不小于10”的概率又是多少 的概率又是多少? ⑵ “掷出点数之和不小于 的概率又是多少 已知第一颗掷出6点 则掷出点数之和不小于10”的概率呢？ 的概率呢？ ⑶ “已知第一颗掷出 点，则掷出点数之和不小于 已知第一颗掷出 的概率呢
Ω
已知A发生 已知 发生
Ω
B
AB
A
n( A) P( A) = n(Ω) n(AB) P(AB) = n(Ω)
对于刚才的问题，回顾并思考： 对于刚才的问题，回顾并思考： 1.求概率时均用了什么概率公式？ 求概率时均用了什么概率公式？
P(B| A) = ?
古典概型概率公式
样本空间缩减 2.A的发生使得样本空间前后有何变化？ 的发生使得样本空间前后有何变化 的发生使得样本空间前后有何变化？ 的发生使得事件B有何变化 3. A的发生使得事件 有何变化？ 的发生使得事件 有何变化？ 由事件B 事件AB n(AB) AB，那么用事件 4.既然前面计算 P( B A) = ,涉及事件A和AB，那么用事件A 和 n(A)
书山勤为径，学海乐做舟， 书山勤为径，学海乐做舟， 乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海! 乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海
QΩ={ XYX2, X2YX1, X1X2Y, X2 X1Y,YX1X2,YX2 X1} B = { X 1 X 2Y , X 2 X 1Y } 1
第一名同学没有中奖”为事件A 可设”第一名同学没有中奖”为事件= { X1YX2 , X2YX1 , X1 X2Y , X2 X1Y } 由古典概型概率公式，所求概率为 古典概型概率公式， 概率公式
B
A∩B ∩
A
思考：P(A|B）怎么读？怎么理解？怎么求解？ 怎么读？怎么理解？怎么求解？ 思考：
2.条件概率的性质： 2.条件概率的性质： 条件概率
（1）有界性： 0 ≤ P B A ≤ 1 有界性：
(
)
问题1：什么情况下，值为 ？ 问题 ：什么情况下，值为0？ 问题2：什么情况下，值为 ？ 问题 ：什么情况下，值为1？
(1)第1次抽到理科题的概率；第2次抽到理科题的概率 第 次抽到理科题的概率 次抽到理科题的概率； 次抽到理科题的概率 (2)第1次和第 次都抽到理科题的概率； 次和第2次都抽到理科题的概率 第 次和第 次都抽到理科题的概率； (3)在第 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。 在第1次抽到理科题的条件下 次抽到理科题的概率。 在第 次抽到理科题的条件下， 次抽到理科题的概率
是两个互斥事件， （2）可加性：如果B和C是两个互斥事件，则 可加性：如果 和 是两个互斥事件
P ( B U C A) = P ( B A) + P ( C A)
例1 道题中有3道理科题和2道文科题。 在5道题中有3道理科题和2道文科题。 如果不放回地依次抽取2道题， 如果不放回地依次抽取2道题，求：
Ω
Ω
B
已知A发生 已知 发生
AB B
A
包含的基本事件个数. 记 n( AB) 和 n( A) 为事件 AB 和事件 A 包含的基本事件个数. n( B ) 2 1 P( B P ) = n ( A B ) = 2 = 1 A ∴ P(B) = = = n(Ω ) 6 3 n( A ) 4 2
引申： 引申：
AB 的概率 P(A) 和P(AB)可以表P(B|A）吗？ P(B|A）
n(AB) n(AB)/ n(Ω) P(AB) P( B A) = = = n(A) n(A)/ n(Ω) P(A)
条件概率（ 条件概率（conditional probability ） 1.定义 定义
一般地， 为两个事件， 一般地，设A，B为两个事件，且 P( A) > 0 ，称 ， 为两个事件
Ω = { X 1YX 2 , X 2YX 1 , X 1 X 2Y , X 2 X 1Y , YX 1 X 2 , YX 2 X 1 } B = { X 1 X 2Y , X 2 X 1Y }
由 概 概率 ， 三张奖券 X , X , Y ， 中Y 最后一名同学中奖” 的 ，“最后一名同学中奖”
1 2
分析： 分析：
Байду номын сангаас
∵已知A发生导致可能出现的基本事件必然在事件A中，∴B ⊆A
而在事件A发生的情况下，事件 发生 而在事件 发生的情况下，事件B发生 发生的情况下 即事件A 发生。 即事件 ∩B发生。而此时 ∩B=B 发生 而此时A∩ 事件A和 同时发生， 同时发生 ⇔ 事件 和B同时发生，
2 1 1 = > 4 2 3
中奖奖券 B，
有 的
1 3
Ω
P ( B) =
B
如果已经知道第一名同学没有中奖， 如果已经知道第一名同学没有中奖， 已经知道第一名同学没有中奖 那么最后一名同学中奖的概率是多少？ 那么最后一名同学中奖的概率是多少？ 知道第一名同学 的结果会影响最 后一名同学中奖 的概率吗？ 的概率吗？
探究: 探究:
练一练
一张储蓄卡的密码共有6位数字， 一张储蓄卡的密码共有 位数字，每位数字 位数字 都可以从0~9中任选一个。某人在银行自动提款机上 中任选一个。 都可以从 中任选一个 取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求： 取钱时，忘记了密码的最后一位数字。
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率。 任意按最后一位数字，不超过 次就按对的概率 次就按对的概率。 任意按最后一位数字 (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过 次就按对的概率。 如果他记得密码的最后一位是偶数， 次就按对的概率。 如果他记得密码的最后一位是偶数 不超过2次就按对的概率 ： 次按对密码
P( AB) 为事件 发生的条件下，事件 为事件A发生的条件下 事件B 发生的条件下， P ( B A) = 发生的条件概率 条件概率. P( A) 发生的条件概率.
P(B|A）读作A发生的条件下B发生的概率， 发生的概率，
n(AB) P(AB) P( B A) = K K = K K n(A) P(A)
例2
Ai
A=
(
A1 U A1 A2
)
不超过 次就按对密码 。
练习. 如图所示的正方形被平均分成9个部分， 练习 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向 大正方形区域随机的投掷一个点（ 大正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投 ），设投中最左侧 设投中最左侧3 中），设投中最左侧3个小正方形的事件记为A， 投中最上面3个小正方形或中间的1 投中最上面3个小正方形或中间的1个小正方形的 事件记为B，求 P(A|B), P(B|A),
选修2-3 高二数学 选修
2.2.1条件概率 条件概率
课题引入
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回 地抽取一张，奖品是“周杰伦武汉演唱会门票一张” 地抽取一张，奖品是“周杰伦武汉演唱会门票一张”，那 么问最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？ 最后一名同学中奖的概率是否比前两位小 么问最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？
补充练习
1.设 P(A|B)=P(B|A) ,P(A)= 设
1 ,求P(B)的值 的值. 求 的值 3
1 解：P(B)= P(A)= 3
2.甲乙两地一年中下雨天数的比例，甲为 甲乙两地一年中下雨天数的比例，甲为20%，乙为 甲乙两地一年中下雨天数的比例 ， 18%，两地同时下雨的天数占 ，两地同时下雨的天数占12%， ， 求：（1）乙市下雨时甲地也下雨的概率 ：（ ） （2）甲乙两市至少一市下雨的概率 ）
高中数学苏教版 8.1 条件概率 课后练习、课时练习
一、单选题1. 学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.652. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A．B．C．D．3. 从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（）A．B．C．D．4. 将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，表示事件“志愿者甲派往①社区”；表示事件“志愿者乙派往①社区”；表示事件“志愿者乙派往②社区”，则（）A．事件与相互独立B．事件与为互斥事件C．D．5. 在5道题中有3道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是（）A．B．C．D．6. 某种疾病可分为两种类型：第一类占70%，可由药物治疗，其每一次疗程的成功率为70%，且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物治疗方式完全无效.在不知道患者所患此疾病的类型，且用药物第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率最接近下列哪一个选项（）A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.4二、多选题7. 某大学文学院有两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室的概率为；他第二天去自习室的概率为；如果他第一天去自习室，则第二天去自习室的概率为.下列说法正确的是（）A．小王两天都去自习室的概率为B．小王两天都去自习室的概率为C．小王两天去不同自习室的概率为D．如果他第二天去自习室，则第一天去自习室的概率为8. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为B．第二次抽到3号球的概率为C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种三、填空题9. 为迎接党的二十大召开，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则___________.10. 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%，20%，50%，且三家工厂的次品率分别为3%，3%，1%，则市场上该品牌产品的次品率为________.11. 设随机事件、，已知，，，则_____________．12. 人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有10%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是________.（用分数表示）四、解答题13. 甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.(1)求p，q的值；(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.14. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4而他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是0.25，0.3，0.1，0，实际上他是迟到了，推测他坐哪种交通工具来的可能性大.（结果保留小数点后两位）15. 某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率．16. 某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；(3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．。
人教B版高中数学选择性必修第二册课后习题 第四章 概率与统计 4.1.1 条件概率
第四章 概率与统计4.1 条件概率与事件的独立性4.1.1 条件概率必备知识基础练1.已知P(B|A)=12,P(A)=35,则P(AB)等于( )A.56B.910C.310D.1102.把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次,事件A={第一次出现正面},事件B={第二次出现正面},则P(B|A)等于( ) A.14B.12C.16D.183.同时抛掷一个红骰子和一个蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A,“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B,则P(B|A)=( ) A.12B.13C.14D.164.已知在10支铅笔中,有8支正品,2支次品,从中任取2支,则在第一次抽的是次品的条件下,第二次抽的是正品的概率是( ) A.15B.845C.89D.455.一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,则另一个是男孩的概率为.6.从1,2,…,15中,甲、乙两人依次任取一数(不放回),在已知甲取到的数是5的倍数的条件下,甲取的数大于乙取的数的概率是.7.将三枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A=“三个点数之和等于15”,B=“至少出现一个5点”,则概率P(A|B)等于.关键能力提升练8.(浙江宁波高二课时练习)中秋节吃月饼是我国的传统习俗,若一盘中共有两种月饼,其中4块五仁月饼,6块枣泥月饼,现从盘中任取3块,在取到的都是同种月饼的条件下,都是五仁月饼的概率为( )A.34B.130C.12D.169.将三枚骰子各掷一次,设事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“至少出现一个6点”,则P(A|B)等于( )A.6091B.12C.518D.9121610.(辽宁大连一模)我国中医药选出的“三药三方”对治疗某种疾病均有显著效果,“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液;“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出两种,事件A表示选出的两种中有一药,事件B 表示选出的两种中有一方,则P(B|A)= .11.将分别写有A,B,C,D,E的5张卡片排成一排,在第一张是A且第三张是C的条件下,第二张是E的概率为;第二张是E的条件下,第一张是A且第三张是C的概率为.12.由“0,1,2”组成的三位数密码中,若用A表示“第二位数字是2”的事件,用B表示“第一位数字是2”的事件,则P(A|B)= .学科素养创新练13.某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.(1)男生甲被选中的概率为;(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率为;(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,女生乙被选中的概率为.参考答案第四章概率与统计4.1 条件概率与事件的独立性4.1.1 条件概率1.C 由条件概率计算公式得P(B|A)=P(AB)P(A),所以12=P(AB)35,所以P(AB)=12×35=310.故选C.2.B 第一次出现正面的概率是P(A)=12,第一次出现正面且第二次也出现正面的概率P(A∩B)=14.所以P(B|A)=P(A⋂B)P(A)=12.3.A P(A)=12,若事件A,B同时发生,则蓝色骰子向上点数为奇数,故P(AB)=14,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=12.故选A.4.C 记事件A,B分别表示“第一次、第二次抽得正品”,则A B表示“第一次抽得次品,第二次抽得正品”.故P(B|A)=(ABP(A)=89.5.23一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,基本事件有(女,女),(女,男),(男,女),共3个,其中另一个是男孩包含的基本事件有2个,分别为(女,男),(男,女),则另一个是男孩的概率为23.6.914A={甲取的数是5的倍数},B={甲取的数大于乙取的数},P(B|A)=P (AB )P (A )=4+9+1415×143×1415×14=914.7.113至少出现一个5点的情况有63-53=91,至少出现一个5点的情况下,三个点数之和等于15有以下两类:①恰好一个5点,则另两个点数只能是4和6,共有C 31×C 21=6;②恰好出现两个5点,则另一个点数也只能是5点,共有1种情况. 所以P(A|B)=6+191=113.8.D 设“取到的都是同种月饼”为事件A,“都是五仁月饼”为事件B. 因为P(AB)=C 43C 103=4120=130,P(A)=C 43+C 63C 103=4+20120=24120=15.所以P(B|A)=P (AB )P (A )=13015=16.所以在取到的都是同种月饼的条件下,都是五仁月饼的概率为16.故选D. 9.A ∵P(A|B)=P (AB )P (B ),P(AB)=6063=60216,P(B)=1-P(B )=1-5363=1-125216=91216.∴P(A|B)=P (AB )P (B )=6021691216=6091.故选A.10.34某医生从“三药三方”中随机选出两种,事件A 表示选出的两种中有一药,事件B 表示选出的两种中有一方,则P(A)=C 32+C 31C 31C 62=45,P(AB)=C 31C 31C 62=35,所以P(B|A)=P (AB )P (A )=3545=34.11.13112A,B,C,D,E5张卡片排成一排,在第一张是A 且第三张是C 的条件下,第二张可以是B,D,E,所以第二张是E 的概率为13;第二张是E 的条件下,其余四张的可能结果有A 44=24(种),其中第一张是A 且第三张是C 的可能结果有A 22=2(种),所以所求的概率为224=112.12.13由“0,1,2”组成的三位数密码,共有3×3×3=27(个)基本事件,又由用A 表示“第二位数字是2”的事件,用B 表示“第一位数字是2”的事件,可得P(B)=3×327=13,P(A∩B)=327=19,所以P(A|B)=P (A⋂B )P (B )=1913=13.13.(1)13(2)15(3)12(1)从6名成员中挑选2名成员,共有C 62=15种情况,记“男生甲被选中”为事件A,事件A 所包含的基本事件数为C 51=5种,故P(A)=13.(2)记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则P(AB)=115,由(1)知P(A)=13,故P(B|A)=P (AB )P (A )=15.(3)记“挑选的2人一男一女”为事件C,则P(C)=815,“女生乙被选中”为事件B,P(BC)=415,故P(B|C)=P (BC )P (C )=12.。
条件概率,分布列,期望,方差习题课hmw
善 于 1 1 6 1 1 6 C2C6A6 3 C2C5A6 5 把 P(X＝1)＝ ＝ ， P(X＝2)＝ ＝ ， 8 8 A8 14 A8 28 问 1 1 6 1 1 6 C2C4A6 1 C2C3A6 3 题 P(X＝3)＝ ＝ ， P(X＝4)＝ ＝ ， 8 8 A8 7 A8 28 转 1 1 6 1 1 6 C2C2A6 1 C2C1A6 1 化 P(X＝5)＝ ＝ ，P(X＝6)＝ ＝ . 8 8 A8 14 A8 28 为 故随机变量 X 的分布列为： 排 列 X＝i 0 1 2 3 4 5 6 问 1 3 5 1 3 1 1 题 P(X＝i)
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设 工程的人数，求ξ的分布列．
【思路点拨】
(1)3 名工人选择的项目所属类别互
不相同的情况有 A3 3种．在每种情况下，每名工人做 1 某一个基础设施工程项目的概率为 ，做某一个民生 2 1 工程项目的概率为 ，做某一个产业建设工程项目的 3 1 概率为 ，并且他们相互独立．(2)寻找 ξ 与选择民生 6 工程项目的人数 η 的关系，据 η 服从二项分布，可 求 ξ 的分布列．
习
题 课
例1：抛掷一颗骰子一次，A表示事件：出现偶数点，B表 示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系 B ( ) A:相互互斥事件 。 B相互独立事件。 C既相互互斥又相互独立事件。D既不互斥又不独立事件。
解析：A 2， 4， 6，B 3.6，A B 3 1 1 1 1 1 P ( A) , P ( B ) , P( AB) * 2 3 6 2 3
(完整版)条件概率独立事件习题
条件概率与独立事件习题课1.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（）A ．B ．C ．D ．2．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A ．B ．C ．D ．3．10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（）A ．B ．C ．D ．4．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（）A ．B ．C ．D ．5．若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是．二．解答题6．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．（删）7．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列8．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布．9．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．10．甲、乙两人独立破译一个密码，他们能独立译出密码的概率分别为和．（I）求甲、乙两人均不能译出密码的概率；（II）假设有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，求这4人中至少有3人同时译出密码的概率．条件概率与独立事件答案1.解：设x为掷白骰子得的点数，y为掷黑骰子得的点数，则所有可能的事件与（x，y）建立一一对应的关系，由题意作图，如图．其中事件A为“黑色骰子的点数为3或6”包括12件，P（A）==事件AB包括5件，P（AB）=，由条件概率公式P（B|A）==，2.解：P（A）==，P（AB）==．由条件概率公式得P（B|A）==．3. 解：根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，5件正品；则第二次抽到正品的概率为P=4.解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P（A）=，P （）=1﹣=，P（B）=P，P （）=1﹣P ，依题意得：×（1﹣p）+×p=，解可得，p=，故选C．5.解：设出甲，乙，丙，射击一次击中分别为事件A，B，C，∵甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中∴甲，乙，丙，射击一次击中的概率分别为：，，∵“三人各射击一次，则三人中只有一人命中”的事件为：，，∴三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率为：=6.解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为Y012P（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，重量不超过505克的概为1﹣=；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．7.解：（Ⅰ）根据频率=得各组的频率分别是：0.1；0.2；0.3；0.2；0.1；0.1．由组距为10，可得小矩形的高分别为0.01；0.02；0.03；0.02；0.01；0.01．由此得频率分布直方图如图：（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为：0，1，2，3．P（ξ=0）=•=；P（ξ=1）=•+•=；P（ξ=2）=•+•=；P（ξ=3）=•=．∴ξ的分布列是：ξ0123Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×==．8.解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X234P故X数学期望E（X）=9. 解：（Ⅰ）用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立．…（1分）===．…（4分）（Ⅱ）X的取值分别为2，3，4，5，…（5分）P（x=2）=，P（x=3）=，P（x=4）=，P（x=5）=，…（9分）所以X的分布列为X2345P…（11分）EX==．…（13分）10.解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，设“甲、乙两人均不能译出密码”为事件A，则P（A）=（1﹣）（1﹣）=即甲、乙两人均不能译出密码的概率是（II）有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，相当于发生四次独立重复试验，成功的概率是∴这4人中至少有3人同时译出密码的概率为=即这4人中至少有3人同时译出密码的概率为。
北师版高中数学选择性必修第一册课后习题 第6章 概率 1.1 条件概率的概念 (6)
第六章概率§1随机事件的条件概率1.1 条件概率的概念1.(多选题)下列说法正确的有( ).A.P(AB)≤P(B|A)B.P(B|A)=P(B)P(A)是可能的C.0<P(B|A)<1D.P(A|A)=12.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ).A.0.8B.0.75C.0.6D.0.453.甲、乙、丙3人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A表示“三个人去的景点不相同”,事件B表示“甲独自去一个景点”,则概率P(A|B)等于( ).A.49B.29C.12D.134.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为( ).A.0.45B.0.6C.0.65D.0.755.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶数”,事件B:“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于( ).A.18B.14C.25D.126.某人一周晚上值班2次,在已知他周日一定值班的条件下,他在周六晚上值班的概率为.7.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为310,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为12,则事件A发生的概率为.8.投掷两枚质地均匀的骰子,已知点数不同,设两枚骰子点数之和为ξ,求ξ≤6的概率.9.坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率;(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率;(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.1.某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34,用满8 000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件,已经用满3 000小时不坏,还能用满8 000小时的概率是( ).A.34B.23C.12D.132.一个口袋内装有大小、质地相同的2个白球和3个黑球,则第一次摸出一个白球后放回,第二次又摸出一个白球的概率是( ).A.23B.14C.25D.153.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞,则第2张也是假钞的概率为( ).A.119B.1738C.419D.2174.某校组织由A,B,C等5名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为( ).A.13B.15C.19D.3205.分别用集合M={2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数,已知取出的一个元素是12,则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是.6.从编号为1,2,…,10的10个大小、质地完全相同的球中任选4个,在选出4号球的条件下,选出的球的最大号码为6的概率为.7.甲、乙两个袋子中,各放有大小、质地和个数相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个,标号为1的小球有2个,标号为2的小球有n个.从一个袋子中任取2个球,取到的标号都是2的概率是110.(1)求n的值;(2)从甲袋中任取2个球,已知其中一个标号是1的条件下,求另一标号也是1的概率.8.一个口袋内装有2个白球和2个黑球,那么:(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少?(2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少?参考答案第六章概率§1随机事件的条件概率1.1 条件概率的概念1.ABD 由条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)及0<P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB),故A选项正确;当事件A包含事件B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)=P(B)P(A),故B选项正确;由于0≤P(B|A)≤1,故C选项错误;由于P(A|A)=1,故D选项正确.2.A 已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得P=0.60.75=0.8.3.C 由题意可知,n(B)=C3122=12,n(AB)=A33=6.所以P(A|B)=n(AB)n(B)=612=12.4.D 设“甲击中目标”为事件A,“目标被击中”为事件B,则所求概率为事件B发生的条件下A发生的条件概率.因为P(AB)=0.6,P(B)=0.6×0.5+0.6×0.5+0.4×0.5=0.8,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=0.60.8=0.75.5.B P(A)=C 32+C 22C 52=25,P(AB)=C 22C 52=110,由条件概率的计算公式得P(B|A)=P (AB )P (A )=11025=14.故选B.6.16设事件A 表示“周日值班”,事件B 表示“周六值班”,则P(A)=C 61C 72,P(AB)=1C 72,故P(B|A)=P (AB )P (A )=16.7.35由题意知P(AB)=310,P(B|A)=12, 故P(A)=P (AB )P (B |A )=31012=35.8.解法一投掷两枚骰子,其点数不同的所有可能结果共30种,其中点数之和ξ≤6的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),共12种,所以所求概率P=1230=25.解法二设事件A=“投掷两枚骰子,其点数不同”,事件B=“ξ≤6”,则P(A)=3036=56,P(AB)=1236=13,所以P(B|A)=P (AB )P (A )=25.9.解设事件A 表示“第1次拿出绿皮鸭蛋”,事件B 表示“第2次拿出绿皮鸭蛋”,则事件AB 为第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋. (1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的样本点个数为n(Ω)=A 52=20.又n(A)=A 31×A 41=12,于是P(A)=n (A )n (Ω)=1220=35.(2)因为n(AB)=3×2=6, 所以P(AB)=n (AB )n (Ω)=620=310.(3)由(1)(2)可得,在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)=P (AB )P (A )=31035=12.1.B 记事件A 表示“用满3 000小时不坏”,P(A)=34;记事件B 表示“用满8 000小时不坏”,P(B)=12.因为B ⊆A,所以P(AB)=P(B)=12.故P(B|A)=P (AB )P (A )=P (B )P (A )=12÷34=23.2.C “第一次摸出一个白球”记为事件A,“第二次摸出一个白球”记为事件B,则n(A)=C 21×C 51=10,n(AB)=2×2=4.故P(B|A)=n (AB )n (A )=410=25.3.D 设事件A 表示“抽到2张都是假钞”,事件B 表示“2张中至少有1张假钞”,则所求概率为P(A|B). 而P(AB)=C 52C 202,P(B)=C 52+C 51C 151C 202,所以P(A|B)=P (AB )P (B )=217.4.A 记“学生A 和B 都不是第一个出场,B 不是最后一个出场”为事件M,记“学生C 第一个出场”为事件N,则P(M)=C 31C 31A 33A 55,P(MN)=C 31A 33A 55.那么在“学生A 和B 都不是第一个出场,B 不是最后一个出场”的前提下,学生C 第一个出场的概率为P(N|M)=P (MN )P (M )=13.选A.5.47设取出的两个元素中有一个是12为事件A,取出的两个元素构成可约分数为事件B,则n(A)=7,n(AB)=4,所以P(B|A)=n (AB )n (A )=47.6.114记“选出4号球”为事件A,“选出的球的最大号码为6”为事件B,则P(A)=C 93C 104=25,P(AB)=C 42C 104=135,所以P(B|A)=P (AB )P (A )=13525=114.7.解(1)由题意知C n2C n+32=n (n -1)(n+3)(n+2)=110,解得n=2.(2)记“一个标号是1”为事件A,“另一个标号是1”为事件B,则P(B|A)=n (AB )n (A )=C 22C 52-C 32=17.8.解(1)设事件A 表示“先摸出1个白球不放回”,事件B 表示“再摸出1个白球”,则“先后两次摸出白球”为事件AB,“先摸1球不放回,再摸1球”共有4×3种结果,所以P(A)=12,P(AB)=2×14×3=16,所以P(B|A)=1612=13.所以先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率为13.(2)设事件A 1表示“先摸出1个白球放回”,事件B 1表示“再摸出1个白球”,则“两次都摸出白球”为事件A 1B 1,P(A 1)=12,P(A 1B 1)=2×24×4=14,所以P(B1|A1)=P(A1B1)P(A1)=1412=12.所以先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率为12.第11页共11页。
条件概率习题课
反思：
直接利用条件概率 的计算公式求解，要注 意分清谁是条件。
例2. 某学校一年级共有 学生100人，其中男生60人， 女生40人，来自北京的有20 人，其中男生12人，若任选 一人是女生，问该女生来自 北京的概率是多少？
反思：
求条件概率问题要把握 在什么前提下，也就是分 清事件A、事件Ｂ以及事 件ＡＢ，再利用公式计算。
解决概率问题的一般步骤：
１.确定事件的性质，设事件。 （古典概型、互斥事件等）
２．运用公式计算概率。
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条件概率习题课
复习提问：
1.条件概率 2.条件概率的计算方法 3.性质
从集合角度理解条件概率：
已知事件A发生，在此条件下 事件Байду номын сангаас发生,相当于事件AB发生， 求P 相当于把 A看作了新 (B A) 的基本空间来计算。
例1.甲乙两地都位于长江中下游， 根据一百多年的气象记录，知道 甲乙两地一年中雨天所占的比例 分别为20%和18%，两地同时下雨 的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨 天的概率。 （2）甲地为雨天时乙地也为雨 天的概率。
例3. 掷两颗骰子，已 知两颗骰子点数之和 为7，求其中有一颗为 1点的概率。
反思： 在等可能事件的 问题中，求条件概率 可采用古典概型的方 法更容易理解。
例4. 一张储蓄卡的密码共有6 位数字，每位数字都可从0~9 中任选一个，某人在银行自动 提款机上取钱时，忘了密码的 最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不 超过两次就按对的概率。 （2）如果他记得密码的最后一 位是偶数，不超过两次就按对 的概率。
2.2.1条件概率课后练习题
( )一、选择题条件概率课后练习题1. 小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为 0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为 0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是 0.2. 某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.52. 甲乙两人从 1,2,3, ……15 这 15 个数中，依次任取一个数（不放回），则在已知甲取到的数是 5 的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是（ ）A.1 2B.15C.14 D.153. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A =“4 个人去的景P A B =点不相同”，事件 B = “小赵独自去一个景点”，则 （ ）A.29B.13 C.4 9 2D.5 94. 已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有 3 的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概 率 （ ） A. 1320B.9 20C. 1 5D.1 205. 将三枚骰子各掷一次，设事件 A 为“三个点数都不相同”，事件 B 为“至少出现一个 6 点”，则概率 P (A | B) 的值为（ ） A. 6091二、填空题B. 1 2C.5 18D.2166. 一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是 ．7. 某校高三年级要从 5 名男生和 2 名女生中任选 3 名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 ． 8.篮子里装有 2 个红球，3 个白球和 4 个黑球。
某人从篮子中随机取出两个球，记事件A =“取 出的两个球颜色不同”，事件B =“取出一个红球，一个白球”， P (B A )= ．三、解答题9.高考数学考试中有 12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得 5 分，不答或答错得 0 分”．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有 8 道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：（Ⅰ）得 60 分的概率；（Ⅱ）得多少分的概率最大？10.在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10 个，其中红球5 个，白球3 个，蓝球2 个。
条件概率练习题
条件概率练习题一、选择题1. 条件概率P(A|B)表示：A. 事件A发生的条件概率B. 事件B发生的条件概率C. 在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率D. 事件A和事件B同时发生的概率2. 如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A|B)等于：A. 0B. 1C. P(A)D. P(B)3. 已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(A∩B) = 0.2，那么P(A|B)等于：A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.64. 贝叶斯定理表明了：A. 事件的独立性B. 事件的互斥性C. 条件概率的计算方法D. 事件的必然性5. 如果两个事件A和B相互独立，那么P(A∩B)等于：A. P(A) + P(B)B. P(A) - P(B)C. P(A) × P(B)D. P(A) / P(B)二、计算题6. 已知事件A和事件B的概率分别为P(A) = 0.45，P(B) = 0.55。
如果事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = 0.25，求在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)。
7. 假设在一个班级中，有60%的学生通过了数学考试，40%的学生通过了物理考试，同时通过数学和物理考试的学生占30%。
求：(a) 一个学生通过了物理考试但没有通过数学考试的概率。
(b) 一个学生通过了数学考试的条件下，他通过了物理考试的条件概率。
8. 假设在一个城市中，有70%的居民拥有汽车，30%的居民拥有游艇。
同时拥有汽车和游艇的居民占20%。
求：(a) 一个居民拥有游艇但没有汽车的概率。
(b) 一个居民拥有汽车的条件下，他拥有游艇的条件概率。
三、应用题9. 在一个小镇上，有两家医院。
医院A的诊断准确率为90%，医院B的诊断准确率为80%。
小镇上患某种罕见病的居民占总人口的1%。
如果一个居民被医院A诊断为患病，求他实际上患病的概率。
10. 假设在一次抽奖活动中，有三类奖品：一等奖、二等奖和三等奖。
高二人数学选修练习课件条件概率
相互独立事件组
如果一组事件中的任意两 个事件都相互独立，则称
这组事件相互独立。
独立性在条件概率中作用
01
简化计算
在条件概率的计算中，如果事件之间相互独立，则可以大大简化计算过
程。
02
判断条件概率与无条件概率的关系
如果事件之间相互独立，则条件概率与无条件概率相等，即P(B|A) =
P(B)。
市场调查
根据受访者的年龄、性别、职业等条件， 分析受访者对某产品的购买意愿。
天气预报
根据气象观测数据，预测未来某时段内天 气状况的概率。
02
条件概率计算方法
直接计算法
定义法
根据条件概率的定义，直接计算 事件A在事件B发生的条件下的概 率，即P(A|B) = P(AB) / P(B)。
乘法公式法
当事件A和事件B相互独立时，可 以使用乘法公式计算条件概率， 即P(A|B) = P(A) * P(B)。
策略。
保费厘定
条件概率还可以用于保费的厘定。保险公司可以根据被保险人的年龄、性别、职业等因 素，以及历史赔付数据，计算不同条件下的赔付概率和期望赔付金额，从而合理确定保
费水平。
其他领域条件概率应用举例
天气预报
在天气预报中，条件概率可以帮助预测未来天气状况。气象学家可以根据历史气象数据、 气候模型和其他因素，计算在某些条件下出现特定天气现象的概率，为公众提供更准确的 天气预报服务。
03
解决实际问题
在实际问题中，很多情况下事件之间是相互独立的，因此可以利用独立
性来解决实际问题。例如，在遗传学、保险学等领域中，经常需要利用
独立性来计算相关概率。
04
典型问题解析与讨论
条件概率习题及答案
条件概率习题及答案一、选择题1．下列式子成立的是( )A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．0<P (B |A )<1C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A )D ．P (A ∩B |A )＝P (B ) [答案] C[解析] 由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB )＝P (B |A )·P (A )． 2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A.35B.25C.110D.59[答案] D[解析] 设第一次摸到的是红球(第二次无限制)为事件A ，则P (A )＝6×910×9＝35，第一次摸得红球，第二次也摸得红球为事件B ，则P (B )＝6×510×9＝13，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P ＝P (B )P (A )＝59，选D.3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56B.910C.215D.115[答案] C[解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故答案选C. 4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A.14B.13C.12D.35[答案] B[解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．所以其概率为4361236＝13.5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A.56B.34C.23D.13[答案] C6．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A.911B.811C.25D.89[答案] D[解析] 设事件A 表示“该地区四月份下雨”，B 表示“四月份吹东风”，则P (A )＝1130，P (B )＝930，P (AB )＝830，从而吹东风的条件下下雨的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝830930＝89.7．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( )A.23B.14C.25D.15[答案] C[解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)取到白球的事件，因为P (A 1)＝25，P (A 1A 2)＝25×25＝425，在放回取球的情况P (A 2|A 1)＝25×2525＝25.8．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A ．1B.12C.13D.14[答案] B[解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)抛出偶数点，则P (A 1)＝1836，P (A 1A 2)＝1836×918，故在第一次抛出偶数点的概率为P (A 2|A 1)＝P (A 1A 2)P (A 1)＝1836×9181836＝12，故选B.二、填空题9．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为________．[答案] 0.310．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．[答案]9599[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5100，P (AB )＝5100×9599，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝9599.准确区分事件B |A 与事件AB 的意义是关键．11．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．[答案] 12[解析] 一个家庭的两个小孩只有3种可能：{两个都是男孩}，{一个是女孩，另一个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这3个基本事件的发生是等可能的．12．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．[答案]3350[解析] 根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数共有33个，故所求概率为3350.三、解答题13．把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，求P (B |A )．[解析] P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.14．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率．[解析]解法一：设“取出的是白球”为事件A ，“取出的是黄球”为事件B ，“取出的是黑球”为事件C ，则P (C )＝1025＝25，∴P (C )＝1－25＝35，P (B C )＝P (B )＝525＝15∴P (B |C )＝P (B C )P (C )＝13. 解法二：已知取出的球不是黑球，则它是黄球的概率P ＝55＋10＝13.15．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球．P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－P (B )＝13. (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B －)＝38＋1＝13，∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B －)＝P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －)＝49×23＋13×13＝1127.16．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．[解析] 设事件A 表示“选到第一组学生”，事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝14.(2)要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B ) ＝415．。