气体摩尔热容的计算
定容摩尔热容和定压摩尔热容的关系推导
定容摩尔热容和定压摩尔热容的关系推导定容摩尔热容（Cv）和定压摩尔热容（Cp）之间的关系可以通过热力学基本方程和定义来推导。
根据热力学第一定律，系统的内能变化可以表示为：
dU = dQ - PdV
其中，dU是系统的内能变化，dQ是系统吸收的热量，P是系统的压强，dV是系统的体积变化。
对于一个摩尔数为n的理想气体，可以根据物态方程PV = nRT，将上式改写为：
dU = dQ - nRdT
其中，R是气体常数，T是系统的温度。
对于定容过程，系统的体积保持不变（dV = 0），因此可以得到：dU = dQv
其中，dQv表示定容过程中系统吸收的热量。
对于定压过程，系统的压强保持不变（PdV = 0），可以得到：dU = dQp - PdV
其中，dQp表示定压过程中系统吸收的热量。
将上述两个式子相比较可以得到：
dQv = dQp - PdV
根据定义，定容摩尔热容Cv表示单位摩尔气体在定容过程中吸收的热量与温度变化的比值，即：
Cv = dQv/dT
同样地，定压摩尔热容Cp表示单位摩尔气体在定压过程中吸收的热量与温度变化的比值，即：
Cp = dQp/dT
将上述两个式子代入前面的等式中：
Cv = Cp - PdV/dT
根据理想气体状态方程PV = nRT，可以将压强P用温度T和体积V表示，即：
P = nRT/V
将上述表达式代入上式中：
dV/dT = -V/T
代入后可得到最终的关系式：
Cv = Cp - nR
这就是定容摩尔热容和定压摩尔热容之间的关系推导。
根据这个关系式，我们可以知道在理想气体条件下，定容摩尔热容比定压摩尔热容小一个气体常数R。
3-2 理想气体的热容,热力学能,焓和殇
t2
)](t2
t1 )
平均比热容：
c
|
t2 t1
a
b 2
(
t1
t
2
)
c
c a0 a1t a2t 2 a3t 3
c a bt
δq
c
|
t2 t1
0
t1 dt t2 t
4. 定值比热容 不考虑温度对比热容的影响，而将比热容看作定值。
原则： 气体分子运动论和能量按自由度均分
（Kinetic theory of gases and principle of equipartition of energy）
同温度下cp > cv ，why?
（2）比热容比
cp
cv
cp
1
Rg
cv
1
1
Rg
思考 题
cp，cv，cp-cv，cp/cv 与物质的种类是否有关，与状态是否有关。
利用比热容，如何求解热量
c q q
dT dt
q cdT cdt
q T2 cdT t2 cdt
T1
t1
3-2-3 利用理想气体的比热容计算热量
kJ /(m3 K)
C mc nCm V0CV
3. 影响热容的因素： （1）气体的性质； （2）气体的加热过程； （3）气体的温度。
3-2-2 比定容热容和比定压热容
（The specific heat capacities at constant volume and at constant pressure）
t2 t1
热量：
几何意 义
c
c a0 a1T a2T 2 a3T 3
q
c
以pvt关系和理想气体热容来计算的真实气体焓变的表达式
以pvt关系和理想气体热容来计算的真实气体焓变的表达式真实气体的焓变是指气体在定常过程中吸收或释放的热量与工作的差值。
在热力学中，焓是热力学函数之一，表示系统的热能和对外界做功的能量之和。
焓变可以用pVT关系和理想气体热容来计算。
pVT关系是指在定常过程中，气体的热容与压力、体积和温度之间的关系。
理想气体热容则是指在恒定温度下，气体单位质量或摩尔量的热容。
我们将以理想气体热容来计算真实气体焓变的表达式。
在理想气体热容的计算中，最常用的是摩尔热容（Cp）和质量热容（cp）。
摩尔热容是一个摩尔物质在定常压力下吸收或释放的热量与温度变化之间的关系，而质量热容是单位质量气体在定常压力下吸收或释放的热量与温度变化之间的关系。
对于理想气体，其摩尔热容和质量热容可以通过以下公式计算：Cp = (dH/dT)p (1)cp = (dQ/dT)p/m (2)其中，dH表示焓的微分变化，dQ表示吸收或释放的热量，dT表示温度变化，p表示压力，m表示质量。
根据热力学第一定律，焓变可以表示为：ΔH = Qp + W (3)其中，ΔH表示焓变，Qp表示在定常压下吸收或释放的热量，W表示对外界做功。
将公式（3）代入公式（2）可得：cp = ((dH/dT)p + W/m)/(dT/dT)p/m= ((dH/dT)p + W/m)/(dT/dT)p= ((dH/dT)p + pV/m) / (dT/dT)p (4)公式（4）表示了真实气体焓变的表达式，其中，dH/dT代表焓关于温度的导数，pV代表对外界做功。
从这个表达式可以看出，真实气体的焓变受到热力学过程中吸收或释放的热量以及对外界做的功的影响。
对于定压过程，对外界做的功只考虑了压力对容器体积的影响；对于定容过程，对外界做的功为零。
在实际应用中，我们可以使用这个表达式来计算真实气体焓变，其中我们需要知道气体的热容以及温度和压力的变化。
需要注意的是，这个表达式适用于理想气体和部分真实气体，不适用于液体或固体的相变过程。
理想气体比热容比
定义：Cp 定压比热容：压强不变，温度随体积改变时的热容，Cp=dH/dT，H为焓。
Cv 定容比热容：体积不变，温度随压强改变时的热容，Cv=dU/dT，U为内能。
则当气体温度为T，压强为P时，提供热量dQ时气体的比热容：Cp*m*dT=Cv*m*dT+PdV；其中dT为温度改变量，dV 为体积改变量。
理想气体的比热容：对于有f 个自由度的气体的定容比热容和摩尔比热容是：Cv,m=R*f/2
Cv=Rs*f/2 R=8.314J/(mol·K) 迈耶公式：Cp=Cv+R 比热容比：γ=Cp/Cv 多方比热容：Cn=Cv-R/(n-1)=Cv*(γ
-n)/(1-n) 对于固体和液体，均可以用比定压热容Cp来测量其比热容，即：C=Cp （用定义的方法测量C=dQ/mdT) 。
Dulong-Petit 规律：金属比热容有一个简单的规律，即在一定温度范围内，所有金属都有一固定的摩尔热容：Cp≈25J/(mol·K) 所以cp=25/M，其中M为摩尔质量，比热容单位J/(kg·K)。
注：当温度远低于200K时关系不再成立，因为对于T趋于0，C也将趋于0。
8-3理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
Cp,m 5 R 2 7 R 2
γ
5 = 1.67 3 7 = 1.40 5 4 = 1.33 3
5
多原子分子
6
3R
4R
P217表 P217表8-2列出了部分理想气体的有关理论值. 列出了部分理想气体的有关理论值.
8-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
第八章 热力学基础
i +2 i i 摩尔热容： 二 摩尔热容： CV ,m = R Cp,m = R + R γ = i 2 2
1 dE p dV 1.理想气体定压摩尔热容： Cp,m = 理想气体定压摩尔热容 理想气体定压摩尔热容： + ν dT ν dT p
由
i E = νRT 2
PV =νRT
得
i 理想气体定压摩尔热容。 定压摩尔热容 Cp,m = R + R －理想气体定压摩尔热容。 2
2.理想气体定体摩尔热容： 理想气体定体摩尔热容： 理想气体定体摩尔热容 ∵
第八章 热力学基础
理想气体等体过程： 四 理想气体等体过程：
dQV =νCV ,mdT = dE
m QV = CV ,m (T2 −T1) = E2 − E1 = ∆E M
等 体 升 压
p1
p
p2
2 ( p ,V , T ) 2 2 1 V
( p1 ,V , T1 )
等 体 降 压
p2
p1
p
1 ( p1 ,V , T1 )
第八章 热力学基础
理想气体等体过程： 二 理想气体等体过程：
dW = 0
dQV =νCV ,mdT = dE
m 或 Q = CV ,m (T2 −T1) = ∆E V M
热力学中的热容和摩尔热容
热力学中的热容和摩尔热容热力学是研究能量转化和传递的一门学科，而热容和摩尔热容是热力学中重要的概念。
本文将介绍热容和摩尔热容的定义、计算方法以及在实际应用中的意义。
热容是指物体吸收（或释放）热量时，温度发生变化的能力。
在一个恒定体积条件下，热容可以用来描述物质的热力学特性。
根据热力学的基本定律，热容可以用以下公式表示：\[C = \frac{Q}{\Delta T}\]其中，C表示热容，Q表示吸收（或释放）的热量，ΔT表示温度变化。
热容的单位通常是焦耳每开尔文（J/K）。
它描述了物体在温度变化时所吸收或释放的热量。
摩尔热容则是指单位摩尔物质在吸收（或释放）热量时，温度变化的能力。
摩尔热容可以用以下公式表示：\[C_m = \frac{C}{n}\]其中，C_m表示摩尔热容，C表示热容，n表示物质的摩尔数。
摩尔热容的单位通常是焦耳每摩尔开尔文（J/(mol·K)）。
它描述了单位摩尔物质在温度变化时所吸收或释放的热量。
在实际应用中，热容和摩尔热容起着重要的作用。
首先，它们可以用来计算物质吸收或释放的热量。
在热力学实验中，通过测量物体的质量、温度变化和吸收（或释放）的热量，我们可以利用热容和摩尔热容的定义来计算物质的热量变化。
其次，热容和摩尔热容还可以用来推导物质的热力学性质。
例如，在理想气体的热力学中，我们可以通过测量气体的摩尔热容来推导气体的热力学性质，如气体的自由度和热力学函数。
此外，热容和摩尔热容还可以用来分析物质的相变过程。
在相变过程中，物质吸收或释放的热量可以通过热容和摩尔热容的计算来确定。
总结起来，热容和摩尔热容是热力学中重要的概念，它们描述了物质吸收或释放热量时的温度变化能力。
热容和摩尔热容的计算可以用来测量物质吸收或释放的热量，并且可以推导物质的热力学性质。
在实际应用中，热容和摩尔热容具有重要的意义，并且广泛应用于热力学实验和热力学分析中。
气体摩尔热容的计算
气体摩尔热容的计算气体的摩尔热容是指单位摩尔物质在恒压下温度变化单位度时所吸收或释放的热量。
气体摩尔热容的计算可以通过理论推导和实验测定两种方法来进行。
一、理论计算方法：1.理想气体的摩尔热容：对于理想气体，摩尔热容可通过以下公式计算：Cp=(f/2+1)R（理论计算的公式1）Cv=(f/2)R（理论计算的公式2）其中，Cp为恒压摩尔热容，Cv为恒容摩尔热容，f为气体分子自由度的个数，R为气体常数。
对于双原子分子气体（如氧气、氮气等），分子自由度f=5，带入公式1和公式2可得相关的摩尔热容值。
2.实际气体的摩尔热容：对于实际气体，可以通过计算多原子分子振动、转动和电子能级的贡献来计算摩尔热容。
这个过程需要使用量子力学理论。
具体的计算公式比较复杂，这里不展开讨论。
二、实验测定方法：实验测定摩尔热容的方法有很多，下面介绍两种常用的方法。
1.等压热容法：等压热容方法是指在恒定的压力下测量气体温度的变化，从而计算出摩尔热容。
实验过程如下：a.将一定质量的气体加入到容器中，保持恒定的压力。
b.将测量温度的热电偶或温度计放入容器中，记录初始温度。
c.在恒压条件下加热或冷却气体，测量气体温度的变化。
d.测得的温度变化量与所加的热量之间的比值即为摩尔热容。
2.等容热容法：等容热容法是指在恒定的体积下测量气体压强的变化，从而计算出摩尔热容。
a.将一定质量的气体加入到容器中，保持恒定的体积。
b.将测量压强的压力计放入容器中，记录初始压强。
c.在恒容条件下加热或冷却气体，测量气体压强的变化。
d.测得的压强变化量与所加的热量之间的比值即为摩尔热容。
以上是关于气体摩尔热容的计算方法的介绍，包括理论计算和实验测定的方法。
根据需要选择合适的方法进行计算，可以更好地了解和研究气体的热力学性质。
气体摩尔热容的计算
22．3 理想气体的热容一． 一． 气体的摩尔热容一个系统的温度升高dT 时，如果它所吸收的热量为dQ ，则系统的热容C 定义为当系统的物质的量为1mol 时，它的热容叫摩尔热容，用C m 表示，单位是。
当系统的质量为单位质量时，它的热容叫比热容，用c 表示，单位是。
由于热量是和具体过程有关，同一种气体，经历的过程不相同，吸收的热量也不相同，因此相应于不同的过程，其热容有不同的值。
常用的有等容摩尔热容和等压摩尔热容。
等容摩尔热容是系统的体积保持不变的过程中的摩尔热容，记作C V , m 。
等压摩尔热容是系统的压强保持不变的过程中的摩尔热容，记作C p , m 。
二．理想气体的摩尔热容下面讨论理想气体的摩尔热容。
设1mol 的理想气体，经历一微小的准静态过程后，温度的变化为dT 。
根据热力学第一定律，气体在这一过程中吸收的热量为对于等容过程，理想气体在此过程中吸收的热量全部用来增加内能已知1mol 理想气体的内能为由此得dTdQ C =)/(K mol J ⋅)/(K kg J ⋅m V m V dT dQ C ,,⎪⎭⎫⎝⎛=m p mp dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=pdV dU dQ +=dUdQ =RTi U 2=所以如果理想气体经历的是一等压过程，则根据理想气体的状态方程有所以比较等容摩尔热容C V , m 与等压摩尔热容C p , m ，不难看出上式叫做迈耶公式。
它的意义是，1mol 理想气体温度升高1K 时，在等压过程中比等容过程中要多吸收8.31J 的热量，为的是转化为膨胀时对外所做的功。
等压摩尔热容C p , m 与等容摩尔热容C V , m 的比值，用表示，叫做比热比RdTidU 2=R i dT dQ C m V mV 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,pdV dU dQ +=RdTidU 2=RdTpdV =R i dT dQ C mp mp 22+=⎪⎭⎫⎝⎛=,,RC C m V m p +=,,γii C C mV m p 2+==,,γRC R C m p m V /,/,,γ是成功的。
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气体摩尔热容的计算
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：
ﻩ
22.３ 理想气体的热容
一． 一． 气体的摩尔热容
一个系统的温度升高dT 时,如果它所吸收的热量为dQ ,则系统的热容Ｃ定义为
当系统的物质的量为1m ｏｌ时，它的热容叫摩尔热容，用C m 表示,单位是。
当系统的质量为单位质量时,它的热容叫比热容，用ｃ表示,单位是。
由于热量是和具体过程有关,同一种气体,经历的过程不相同，吸收的热量也不相同，因此相应于不同的过程，其热容有不同的值。
常用的有等容摩尔热容和等压摩尔热容。
等容摩尔热容是系统的体积保持不变的过程中的摩尔热容，记作C V , ｍ。
等压摩尔热容是系统的压强保持不变的过程中的摩尔热容,记作C p , m 。
二．理想气体的摩尔热容
下面讨论理想气体的摩尔热容。
设1mol 的理想气体,经历一微小的准静态过程后，温度的变化为dT 。
根据热力学第一定律，气体在这一过程中吸收的热量为
对于等容过程，理想气体在此过程中吸收的热量全部用来增加内能
已知1ｍol 理想气体的内能为
由此得
dT
dQ C =
)/(K mol J ⋅)/(K kg J ⋅m V m
V dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=m p m
p dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=pdV dU dQ +=dU
dQ =RT
i U 2=
所以
ﻩ如果理想气体经历的是一等压过程，则
根据理想气体的状态方程有
所以
ﻩ比较等容摩尔热容C Ｖ ， m 与等压摩尔热容C ｐ , m ,不难看出
上式叫做迈耶公式。
它的意义是，1mol 理想气体温度升高1K 时，在等压过程中比等容过程中要多吸收8．３１J 的热量，为的是转化为膨胀时对外所做的功。
ﻩ等压摩尔热容C p , m 与等容摩尔热容ＣV , ｍ的比值，用表示,叫做比热比
表２２－1 理想气体的以及的理论值
C V ,m /R C p,m /R γ
单原子分子气体 1.5 2.5 1.67 刚性双原子分子气体 ２.５ 3.5 １.40 振动双原子分子气体 3.５ ４.5 １．２９ 刚性多原子分子气体
3
4
1.３3
RdT i
dU 2=
R i dT dQ C m V m
V 2=⎪
⎭⎫ ⎝⎛=,,pdV dU dQ +=RdT
i
dU 2=RdT
pdV =R i dT dQ C m
p m
p 22+=⎪
⎭⎫
⎝⎛=,,R
C C m V m p +=,,γi
i C C m
V m p 2+=
=
,,γR C R C m p m V /,/,,γ
表２2-２ 温度为30０K 时，气体摩尔热容的实验数据
C V ,ｍ/Ｒ C p,ｍ/Ｒ γ
单原子分子气体
He Ar N ｅ Kr
1. 1. 50 1. １. 5
０ 1. 1. 53 1．48
2. ２. 5０ 2.50 2.50 2.50 1. 1. 67 1.67 1.６4 1.６9
双原子分子气体
H ２ N 2 O ２ C Ｏ Ｃｌ
2
2.4５ 2．５0 ２．54 2．53 ３.0９
３.47 ３.50 3.54 3.53 4.18
１.４１ 1.4０ 1．３９ 1.40 1.3５
多原子分子气体
ＣO
２
SO 2 H 2Ｏ CH ４
3.43 3．7８ 3.25 3.26
4.45 4．８６ 4.26 4.2７
1.30 1.29 1.3１ 1.３１
ﻩ由上表可见,能量均分原理在解释某些有复杂分子结构的气体的热容时是成功的。
但是，能量均分原理不能解释随着温度的变化而出现摩尔热容数值的变化。
因此,上述理论是个近似理论,只有用量子理论才能较好地解决热容的问题。
例 1.某种气体(视为理想气体)在标准状态下的密度为
，求:
3/0894.0m kg =ρ
(1）该气体的摩尔质量,是何种气体; （2）该气体的定压摩尔热容C P ，ｍ； （３）定容摩尔热容C V ，m 。
解：(1)标准状态
由理想气体状态方程式,有
即
该气体为氢气。
（2)
(3)
例2.在压强保持恒定的条件下,4m ｏl 的刚性双原子理想气体的温度升高６0K 。
问
（1）它吸收了多少热量； （２)它的内能增加多少? （3）它做了多少功。
解：（1）刚性双原子理想气体的定压摩尔热容为
（２)刚性双原子理想气体的定容摩尔热容为
K
T Pa atm P 273,10013.11050=⨯==mol
mol M RT M RT V M P 00
00ρ
==kg
P RT M mol 30
102-⨯==
ρk
mol J R R i C m
p ⋅==+=/1.2927
22,k mol J R R i C m
v ⋅===/8.2025
2,k
mol J R R i C m
p ⋅==+=/1.292722,J
T C M M Q m p mol
3,1098.6601.294⨯=⨯⨯==∆k mol J R R i C m
v ⋅===/8.2025
2,
(3)由热力学第一定律,有
J
T C M M
U m V mol
3,1099.4608.204⨯=⨯⨯==∆∆J U Q W 31099.1⨯=-=∆。