气体摩尔热容的计算
定容摩尔热容和定压摩尔热容的关系推导
定容摩尔热容和定压摩尔热容的关系推导定容摩尔热容（Cv）和定压摩尔热容（Cp）之间的关系可以通过热力学基本方程和定义来推导。
根据热力学第一定律，系统的内能变化可以表示为：
dU = dQ - PdV
其中，dU是系统的内能变化，dQ是系统吸收的热量，P是系统的压强，dV是系统的体积变化。
对于一个摩尔数为n的理想气体，可以根据物态方程PV = nRT，将上式改写为：
dU = dQ - nRdT
其中，R是气体常数，T是系统的温度。
对于定容过程，系统的体积保持不变（dV = 0），因此可以得到：dU = dQv
其中，dQv表示定容过程中系统吸收的热量。
对于定压过程，系统的压强保持不变（PdV = 0），可以得到：dU = dQp - PdV
其中，dQp表示定压过程中系统吸收的热量。
将上述两个式子相比较可以得到：
dQv = dQp - PdV
根据定义，定容摩尔热容Cv表示单位摩尔气体在定容过程中吸收的热量与温度变化的比值，即：
Cv = dQv/dT
同样地，定压摩尔热容Cp表示单位摩尔气体在定压过程中吸收的热量与温度变化的比值，即：
Cp = dQp/dT
将上述两个式子代入前面的等式中：
Cv = Cp - PdV/dT
根据理想气体状态方程PV = nRT，可以将压强P用温度T和体积V表示，即：
P = nRT/V
将上述表达式代入上式中：
dV/dT = -V/T
代入后可得到最终的关系式：
Cv = Cp - nR
这就是定容摩尔热容和定压摩尔热容之间的关系推导。
根据这个关系式，我们可以知道在理想气体条件下，定容摩尔热容比定压摩尔热容小一个气体常数R。
热力学第一定律 摩尔热容
0
V 不可能的。
循环过程： 如果系统经过一系 第一定律也可表述为：
列变化又回到初始状态，这样 的过程叫作循环过程。
“第一类永动机” 不可能制成
例：某一定量气体由状态a沿路径m P
m
变化到状态b，吸热800J，对外作
功500J，问气体内能改变了多少?
a
n
如果气体沿路径n由状态b回到状态 O Va
a，外界对气体作功300J，问气体
U 0 系统热力学能增加 U 0 系统热力学能减少
（2）对任意元过程有： d Q d U d A dQ，dA 是微小量，不是全微分，以示区别加横短线
（3）循环过程：
p
U= 0
Q
系统对外界所做的净功等于它从外 界吸收的净热量
第一类永动机：不用吸热就 可以对外做功的机械
A = Q 系统经过循环过程要做功而不吸热是
热力学第一定律的实质就是包含热现象在内的能量守恒定律。 具有普适性，适用于一切系统，对固、液、气都成立；适用 于一切过程，包括非平衡过程。
说明: （1）定律中的热量、功和热力学能增量都是代数量， 可正可负
规定：A > 0 表示系统对外正作功
A<0 系统对外界作负功（或外界对系统做正功）
Q > 0 系统吸热 Q <0 系统放热
热力学第一定律 摩尔热容
一、热力学第一定律
A
U1
Q
U2
系统从状态1变化到状态2，内 能从U1变为U2，对外作功A， 同时从外界吸收热量Q
则有：Q ( U 2 U 1 ) A U A — 热力学第一定律
热力学第一定律是1942年迈耶提出来的，表明：
系统从外界吸收的热量一部分用来增加自身的热力学能 （内能），一部分用来对外界做功。
以pvt关系和理想气体热容来计算的真实气体焓变的表达式
以pvt关系和理想气体热容来计算的真实气体焓变的表达式真实气体的焓变是指气体在定常过程中吸收或释放的热量与工作的差值。
在热力学中，焓是热力学函数之一，表示系统的热能和对外界做功的能量之和。
焓变可以用pVT关系和理想气体热容来计算。
pVT关系是指在定常过程中，气体的热容与压力、体积和温度之间的关系。
理想气体热容则是指在恒定温度下，气体单位质量或摩尔量的热容。
我们将以理想气体热容来计算真实气体焓变的表达式。
在理想气体热容的计算中，最常用的是摩尔热容（Cp）和质量热容（cp）。
摩尔热容是一个摩尔物质在定常压力下吸收或释放的热量与温度变化之间的关系，而质量热容是单位质量气体在定常压力下吸收或释放的热量与温度变化之间的关系。
对于理想气体，其摩尔热容和质量热容可以通过以下公式计算：Cp = (dH/dT)p (1)cp = (dQ/dT)p/m (2)其中，dH表示焓的微分变化，dQ表示吸收或释放的热量，dT表示温度变化，p表示压力，m表示质量。
根据热力学第一定律，焓变可以表示为：ΔH = Qp + W (3)其中，ΔH表示焓变，Qp表示在定常压下吸收或释放的热量，W表示对外界做功。
将公式（3）代入公式（2）可得：cp = ((dH/dT)p + W/m)/(dT/dT)p/m= ((dH/dT)p + W/m)/(dT/dT)p= ((dH/dT)p + pV/m) / (dT/dT)p (4)公式（4）表示了真实气体焓变的表达式，其中，dH/dT代表焓关于温度的导数，pV代表对外界做功。
从这个表达式可以看出，真实气体的焓变受到热力学过程中吸收或释放的热量以及对外界做的功的影响。
对于定压过程，对外界做的功只考虑了压力对容器体积的影响；对于定容过程，对外界做的功为零。
在实际应用中，我们可以使用这个表达式来计算真实气体焓变，其中我们需要知道气体的热容以及温度和压力的变化。
需要注意的是，这个表达式适用于理想气体和部分真实气体，不适用于液体或固体的相变过程。
大学物理第章气体的摩尔热容量
pV M RT Mmol
M pdVV dp R dT
M mol
( 1) ( 2) ( 3)
(4)
( 3) (4) pdV CV pdVVdp R
CVRdVdp
( 5)
CV V p
(5 )C p C V R, Cp C V dp dV0
pV
lnplnV恒量
pV 恒量1
pV (MM mo ) lRTVp11TT 恒恒量量2 3
( 1 ) ( 2 )
Cp
dE dT
pdV dT
( 1 ()2, ) CpCVR
i
2 2
R
当温度升高 1K 时, 1mol 的理想气体在
等压过程吸收的热量要比在等体过程中吸
收的热量多8.31J.
3. 比热容比
比热容比或绝热系数 ( ): 定压摩尔热
容量与定体摩尔热容量之比.
C p C pC V R,CV i R2i2
CV
i
5 31.67(单原子分子)
7 51.40(双原子分子)
8 61.33(多原子分子)
P.243 表9-1 单原子分子和双原子分子的实验数据 与理论值符合得比较好; 而多原子分子的实 验值与理论值有明显的偏差. 这是由经典物理学在理论上的缺陷造 成的, 它没有考虑分子的量子效应. 如果用 量子理论来处理, 则理论值与实验数据就会 符合得比较好.
三. 绝热过程 1. 绝热过程 绝热过程: 系统经历一个过程时, 系统
与外界没有热交换. 用绝热材料包裹的系统经历的过程与
进行得很快的过程近似地看成是绝热过程.
绝热方程
pV 恒量1 pV MRTM molV1T 恒量2
p T 1 恒量3
Cp CV : 绝热系数 (比热容比)
气体的摩尔热容
1mol的气体在没有化学反应的相变的条件下，温度改变1K所吸收或放出的热量，成为摩尔热容，用C m来表示，即
由于吸收或放出热量的条件不同，又可分为定容摩尔热容和定压摩尔热容等。
1、定容摩尔热容
在定容过程中，(dQ)V=dU=，所以定容摩尔热容C V,m=
单原子气体分子，i=3，C V,m=R
双原子气体分子，i=5，C V,m=R
多原子气体分子，i=6，C V,m=R
2、定压摩尔热容
在定压过程中，1mol理想气体的热力学定律可写成
(dQ)P=dU+dW=+RdT=()RdT，所以定压摩尔热容C P,m=
单原子气体分子，i=3，C P,m=R
双原子气体分子，i=5，C P,m=R
多原子气体分子，i=6，C P,m=R
3、C V,m与C P,m的关系
C P,m -C V,m = R
= 称为比热容比。
单原子气体分子，=R=1.67
双原子气体分子，=R=1.40
多原子气体分子，=R=1.33。
8-3理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
Cp,m 5 R 2 7 R 2
γ
5 = 1.67 3 7 = 1.40 5 4 = 1.33 3
5
多原子分子
6
3R
4R
P217表 P217表8-2列出了部分理想气体的有关理论值. 列出了部分理想气体的有关理论值.
8-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
第八章 热力学基础
i +2 i i 摩尔热容： 二 摩尔热容： CV ,m = R Cp,m = R + R γ = i 2 2
1 dE p dV 1.理想气体定压摩尔热容： Cp,m = 理想气体定压摩尔热容 理想气体定压摩尔热容： + ν dT ν dT p
由
i E = νRT 2
PV =νRT
得
i 理想气体定压摩尔热容。 定压摩尔热容 Cp,m = R + R －理想气体定压摩尔热容。 2
2.理想气体定体摩尔热容： 理想气体定体摩尔热容： 理想气体定体摩尔热容 ∵
第八章 热力学基础
理想气体等体过程： 四 理想气体等体过程：
dQV =νCV ,mdT = dE
m QV = CV ,m (T2 −T1) = E2 − E1 = ∆E M
等 体 升 压
p1
p
p2
2 ( p ,V , T ) 2 2 1 V
( p1 ,V , T1 )
等 体 降 压
p2
p1
p
1 ( p1 ,V , T1 )
第八章 热力学基础
理想气体等体过程： 二 理想气体等体过程：
dW = 0
dQV =νCV ,mdT = dE
m 或 Q = CV ,m (T2 −T1) = ∆E V M
物质的热容与温度变化的热量计算
物质的热容与温度变化的热量计算热容是物质在温度变化过程中吸收或释放热量的能力。
它是描述物质对热量变化的敏感程度的物理量。
热容的大小与物质的种类、质量以及物质的状态有关。
在热力学中，热容通常用符号C表示，单位是焦耳/开尔文（J/K）。
热容的计算是通过热量和温度变化之间的关系来实现的。
热量是一种能量的形式，它可以引起物质的温度变化。
根据热力学第一定律，热量的变化等于物质的热容乘以温度的变化。
这个关系可以用下面的公式表示：Q = C ΔT其中，Q表示热量的变化，C表示热容，ΔT表示温度的变化。
对于固体物质来说，热容可以通过质量和比热容来计算。
比热容是单位质量物质在单位温度变化下所吸收或释放的热量。
它是描述物质对温度变化的敏感程度的物理量。
比热容的大小与物质的种类有关，不同物质的比热容不同。
比热容通常用符号c表示，单位是焦耳/克开尔文（J/gK）。
固体物质的热容可以用下面的公式计算：C = mc其中，C表示热容，m表示物质的质量，c表示比热容。
对于液体和气体物质来说，热容通常通过质量和摩尔热容来计算。
摩尔热容是单位摩尔物质在单位温度变化下所吸收或释放的热量。
不同物质的摩尔热容也不同。
摩尔热容通常用符号Cm表示，单位是焦耳/摩尔开尔文（J/molK）。
液体和气体物质的热容可以用下面的公式计算：C = nCm其中，C表示热容，n表示物质的摩尔数，Cm表示摩尔热容。
通过热容的计算，我们可以了解物质在温度变化过程中所吸收或释放的热量。
这对于热力学研究和工程应用都具有重要意义。
以水为例，水的比热容是4.18焦耳/克开尔文（J/gK），摩尔热容是75.3焦耳/摩尔开尔文（J/molK）。
假设有100克的水在温度从20摄氏度升高到30摄氏度，我们可以通过热容的计算来确定所吸收的热量。
首先，计算水的热容：C = mc = 100g × 4.18J/gK = 418J/K然后，计算温度变化：ΔT = 30℃ - 20℃ = 10K最后，计算所吸收的热量：Q = C ΔT = 418J/K × 10K = 4180J所以，100克的水在温度从20摄氏度升高到30摄氏度时吸收了4180焦耳的热量。
气体摩尔热容的计算
气体摩尔热容的计算气体的摩尔热容是指单位摩尔物质在恒压下温度变化单位度时所吸收或释放的热量。
气体摩尔热容的计算可以通过理论推导和实验测定两种方法来进行。
一、理论计算方法：1.理想气体的摩尔热容：对于理想气体，摩尔热容可通过以下公式计算：Cp=(f/2+1)R（理论计算的公式1）Cv=(f/2)R（理论计算的公式2）其中，Cp为恒压摩尔热容，Cv为恒容摩尔热容，f为气体分子自由度的个数，R为气体常数。
对于双原子分子气体（如氧气、氮气等），分子自由度f=5，带入公式1和公式2可得相关的摩尔热容值。
2.实际气体的摩尔热容：对于实际气体，可以通过计算多原子分子振动、转动和电子能级的贡献来计算摩尔热容。
这个过程需要使用量子力学理论。
具体的计算公式比较复杂，这里不展开讨论。
二、实验测定方法：实验测定摩尔热容的方法有很多，下面介绍两种常用的方法。
1.等压热容法：等压热容方法是指在恒定的压力下测量气体温度的变化，从而计算出摩尔热容。
实验过程如下：a.将一定质量的气体加入到容器中，保持恒定的压力。
b.将测量温度的热电偶或温度计放入容器中，记录初始温度。
c.在恒压条件下加热或冷却气体，测量气体温度的变化。
d.测得的温度变化量与所加的热量之间的比值即为摩尔热容。
2.等容热容法：等容热容法是指在恒定的体积下测量气体压强的变化，从而计算出摩尔热容。
a.将一定质量的气体加入到容器中，保持恒定的体积。
b.将测量压强的压力计放入容器中，记录初始压强。
c.在恒容条件下加热或冷却气体，测量气体压强的变化。
d.测得的压强变化量与所加的热量之间的比值即为摩尔热容。
以上是关于气体摩尔热容的计算方法的介绍，包括理论计算和实验测定的方法。
根据需要选择合适的方法进行计算，可以更好地了解和研究气体的热力学性质。
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22．3 理想气体的热容
一． 一． 气体的摩尔热容
一个系统的温度升高dT 时，如果它所吸收的热量为dQ ，则系统的热容C 定义为
当系统的物质的量为1mol 时，它的热容叫摩尔热容，用C m 表示，单位是。
当系统的质量为单位质量时，它的热容叫比热容，用c 表示，单位是。
由于热量是和具体过程有关，同一种气体，经历的过程不相同，吸收的热量也不相同，因此相应于不同的过程，其热容有不同的值。
常用的有等容摩尔热容和等压摩尔热容。
等容摩尔热容是系统的体积保持不变的过程中的摩尔热容，记作C V , m 。
等压摩尔热容是系统的压强保持不变的过程中的摩尔热容，记作C p , m 。
二．理想气体的摩尔热容
下面讨论理想气体的摩尔热容。
设1mol 的理想气体，经历一微小的准静态过程后，温度的变化为dT 。
根据热力学第一定律，气体在这一过程中吸收的热量为
对于等容过程，理想气体在此过程中吸收的热量全部用来增加内能
已知1mol 理想气体的内能为
由此得
dT
dQ C =
)/(K mol J ⋅)/(K kg J ⋅m V m
V dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=m p m
p dT dQ C ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛=pdV dU dQ +=dU
dQ =RT
i U 2=
所以
如果理想气体经历的是一等压过程，则
根据理想气体的状态方程有
所以
比较等容摩尔热容C V , m 与等压摩尔热容C p , m ，不难看出
上式叫做迈耶公式。
它的意义是，1mol 理想气体温度升高1K 时，在等压过程中比等容过程中要多吸收8.31J 的热量，为的是转化为膨胀时对外所做的功。
等压摩尔热容C p , m 与等容摩尔热容C V , m 的比值，用表示，叫做比热比
RdT i
dU 2=
R i dT dQ C m V m
V 2=⎪
⎭⎫ ⎝⎛=,,pdV dU dQ +=RdT
i
dU 2=RdT
pdV =R i dT dQ C m
p m
p 22+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛=,,R
C C m V m p +=,,γi
i C C m
V m p 2+=
=
,,γR
C R C m p m V /,/,,γ
热容时是成功的。
但是，能量均分原理不能解释随着温度的变化而出现摩尔热容数值的变化。
因此，上述理论是个近似理论，只有用量子理论才能较好地解决热容的问题。
例1．某种气体（视为理想气体）在标准状态下的密度为
，求：
（1）该气体的摩尔质量，是何种气体； （2）该气体的定压摩尔热容C P ，m ； （3）定容摩尔热容C V ，m 。
3/0894.0m kg =ρ
解：（1）标准状态
由理想气体状态方程式，有
即
该气体为氢气。
（2）
（3）
例2．在压强保持恒定的条件下，4mol 的刚性双原子理想气体的温度升高60K 。
问
（1）它吸收了多少热量； （2）它的内能增加多少？ （3）它做了多少功。
解：（1）刚性双原子理想气体的定压摩尔热容为
（2）刚性双原子理想气体的定容摩尔热容为
（3）由热力学第一定律，有
K
T Pa atm P 273,10013.11050=⨯==mol
mol M RT M RT V M P 00
00ρ
==kg
P RT M mol 30
102-⨯==
ρk
mol J R R i C m
p ⋅==+=/1.2927
22,k mol J R R i C m
v ⋅===/8.2025
2,k mol J R R i C m p ⋅==+=
/1.2927
22,J
T C M M Q m p mol
3,1098.6601.294⨯=⨯⨯==∆k mol J R R i C m
v ⋅===/8.2025
2,J
T C M M
U m V mol
3,1099.4608.204⨯=⨯⨯==∆∆
.1⨯
=
-
=∆
99
10
U
Q
W3
J。