高一数学幂函数测试题
微专题30幂函数15种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题
微专题30 幂函数15种常考题型总结题型1 幂函数的概念辨析题型2 求幂函数的解析式或值题型3 根据函数是幂函数求参数值题型4 幂函数的定义域问题题型5 幂函数的值域问题题型6 幂函数的图象及应用题型7 幂函数的图象过定点问题题型8 判断幂函数的单调性题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性题型10 由幂函数的单调性求参数题型11比较幂值的大小题型12 利用幂函数的单调性解不等式题型13 幂函数的奇偶性的应用题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用题型15 幂函数性质的综合应用1、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．幂函数的特征：（1）x α的系数是1；（2）x α的底数x 是自变量；（3）x α的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等的函数都不是幂函数．2、五个幂函数的图象与性质（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．（2）五个幂函数的性质y＝xy＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减3、一般幂函数的图象特征（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．（5）在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．4、幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．5、求幂函数的定义域和值域的方法幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．幂函数的定义域由幂指数a 确定：（1）当幂指数a 取正整数时，定义域为R ，当a 为正偶数时，值域为[0,)+¥；当a 为奇数时，值域为R ．（2）当幂指数a 取零或负整数时，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，当0a =时，值域为{}1；当a 为负偶数时，值域为(0,)+¥；当a 为负奇数时，值域为{}0y y ¹．（3）当幂指数a 取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域．6、幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．7、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．8、解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝12y x=或y ＝x 3)来判断．9、比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．10、利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型1 幂函数的概念辨析【例1】下列函数是幂函数的是（ ）A ．31y x =B ．2x y =C ．22y x =D ．1y x -=-【答案】A【解析】由幂函数的定义,形如y x a =，R a Î叫幂函数，对A ，331y x x-==，故A 正确；B ，C ，D 均不符合.故选：A ．【变式1】下列函数中幂函数的是（ ）A ．3y x =B ．22y x =+C ．()21y x =+D ．y =【答案】D【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.【详解】A ：函数3y x =为一次函数，故A 不符合题意；B ：函数22y x =+为二次函数，故B 不符合题意；C ：函数22(1)21y x x x =+=++为二次函数，故C 不符合题意；D ：函数12y x ==为幂函数，故D 符合题意.故选：D【变式2】现有下列函数：①3y x =；②24y x =；③51y x =+；④()21y x =-；⑤y x =，其中幂函数的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由幂函数的定义即可求解.【详解】由于幂函数的一般表达式为：(),0y x aa =¹；逐一对比可知题述中的幂函数有①3y x =；⑤y x =共两个.故选：C.题型2 求幂函数的解析式或值【例2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则14f æö=ç÷èø．【答案】8【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出()32f x x -=，再代入求值即可.【详解】令()f x x a=，由题意得2a =，即132222222a -==，解得32a =-，故()32f x x -=，则()323212284f --æö===ç÷èø．故答案为：8【变式1】函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（ ）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-【答案】C【解析】由幂函数的定义知2271k k --=，即2280k k --=，解得4k =或2k =-．故选：C【变式2】设函数()121,02,0xx x f x x ìï+>=íï£î，则()(4)f f -= ．【答案】54【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.【详解】()442f --=，()()()144225(4)221214f f f ----==+=+=.故答案为：54【变式3】已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则13f æöç÷èø的值为（ ）A ．2B ．14C ．14-D ．2-【答案】B【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【详解】依题意，设()f x x a=，则(6)634(2)2f f aa a ===，所以1111()()3334f a a ===.故选：B【变式4】若函数()log 238a y x =-+（0a >且1a ¹）的图象恒过点P ，且点P 在幂函数()f x 的图象上，则()4f = ．【答案】64【分析】先找到定点P 的坐标，通过P 点坐标求解幂函数()f x x a=的解析式，从而可求()4f ．【详解】对于函数log 238ay x =-+（），令231x -=，解得2x =，此时8y =，因此函数log 238ay x =-+（）的图象恒过定点()2,8P ，设幂函数()f x x a=，P 在幂函数()f x 的图象上，82a \=，解得3a =．()3f x x \=．则()34464==f .故答案为：64题型3 根据函数是幂函数求参数值【例3】已知幂函数()(2)n f x m x =+的图象经过点(4,2)，则m n -=（ ）A ．3-B ．52-C ．2-D ．32-【答案】D【分析】根据幂函数的定义求解即可》【详解】依题意可得21m +=,所以1m =-,又()nf x x =的图象经过点()4,2,所以42n =,解得12n =,所以13122m n -=--=-.故选：D.【变式1】己知幂函数()(1)af x k x =-×的图象过点12æççè，则()f k = .【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案.【详解】因为函数()(1)a f x k x =-×是幂函数，所以11k -=，解得2k =，又幂函数()a f x x =的图象过点12æççè，所以12aæö=ç÷èø12a =，所以12()f x x =，所以()()2f k f ==【变式2】已知幂函数()f x k x a=×的图象过点()3,9，则k a +=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义，求得1k =，再由()39f =，求得2a =，即可求解.【详解】由幂函数的定义，可得1k =，又由()39f =，可得39a =，解得2a =，所以3k a +=．故选：C.【变式3】“4m =”是“()22()33m f x m m x +=--是幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.【详解】因为()()2233m f x m m x +=--是幂函数，所以2331m m --=，解得4m =或1m =-，故“4m =”是“()()2233m f x m m x +=--是幂函数”的充分不必要条件.故选：A.题型4 幂函数的定义域问题【例4】下列函数中定义域为R 的是（ ）A ．12y x =B ．54y x =C ．23y x =D ．13y x -=【答案】C【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.【详解】12y x ==[0,)+¥，故A 错误；54y x ==[0,)+¥，故B 错误；23y x ==R ，故C 正确；13y x-=={0}x x ¹∣，故D 错误，故选：C.【变式1】函数()0=f x x 的定义域是（ ）A ．(],2-¥B ．()0,2C ．()(),00,2-¥U D ．()(],00,2-¥È【答案】C【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解.【详解】要使函数()0=f x x 有意义，则有200x x ->ìí¹î，解得：2x <且0x ¹，所以函数的定义域为(,0)(0,2)-¥U ，故选：C .【变式2】函数()112f x x x -=+的定义域为（ ）A ．(),-¥+¥B ．()(),00,¥-+¥UC ．[)0,¥+D ．()0,¥+【答案】D【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】因为()1121f x x x x -=+=，则00x x ¹ìí³î，可得0x >，故函数()f x 的定义域为()0,¥+.故选：D.【变式3】已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2，则()112f x -的定义域为 ．【答案】1(,)2-¥【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.【详解】∵()y f x x a==的图象过点()4,2，∴()f x =()112f x =-x 应该满足：120x ->，即12x <，∴()112f x -的定义域为1,2æö-¥ç÷èø．故答案为：1,2æö-¥ç÷èø题型5 幂函数的值域问题【例5】下列函数中，值域为()0,¥+的是（ ）A ．()f xB ．()1(0)f x x x x=+>C ．()f x =D ．()11(1)f x x x=->【答案】C【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知()f x [)0,¥+，故A 错误；()1021x f x x x x >\=+³== ，，时，等号成立，所以()1(0)f x x x x =+>的值域是[)2,+¥，B 错误；()f x =因为定义域为()1,x ¥Î-+0> ，函数值域为(0,)+¥，故C 正确；1()1(1)f x x x =->，()10,1x Î，()11,0x -Î-，所以()()0,1f x Î，故D 错误.故选：C.【变式1】下列四个幂函数：①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④32y x =的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号）【答案】②③【解析】对于①，331y x x -==，则其值域为{}0y y ¹；对于②，221y x x-==，则其值域为{}0y y >；对于③，23y x-==，则其值域为{}0y y >，对于④，332y x ==，则其值域为{}0y y ³.综上符合题意的是②③.【变式2】在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）A ．13y x =B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D【解析】由13y x ==x R Î,R y Î，定义域、值域相同；由12y x ==[0,)x Î+¥，[0,)y Î+¥，定义域、值域相同；由53y x ==可知，x R Î,，定义域、值域相同R y Î；由23y x ==x R Î，[0,)y Î+¥，定义域、值域不相同.故选：D【变式3】函数213324y x x =++，其中8x -…，则其值域为.【答案】[)3,+¥/()3y y ³【分析】利用换元法将函数化为2224(1)3y t t t =++=++，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设13t x =，则2224(1)3y t t t =++=++.因为8x -…，所以2t -…. 当1t =-时，min 3y =.所以函数的值域为[3)+¥，.故答案为：[3)+¥，【变式4】已知函数())2()x a f x x x a ì³ï=í<ïî，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0]-C ．[1,0)-D ．[1,0]-【答案】D【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.【详解】函数y =[,)a +¥上单调递减，其函数值集合为(,-¥，当0a >时，2y x =的取值集合为[0,)+¥，()f x 的值域(,[0,)R -¥È+¥¹，不符合题意，当0a £时，函数2y x =在(,)a -¥上单调递减，其函数值集合为2(,)a +¥，因函数()f x 的值域为R ，则有2a ³，解得10a -££，所以实数a 的取值范围为[1,0]-.故选：D题型6 幂函数的图象及应用【例6】图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x a =在第一象限内的图象，则解析式中指数a 的值依次可以是（ ）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a 的值.【详解】在题给坐标系中，作直线12x =，分别交曲线321,,C C C 于A 、B 、C 三点则A B C y y y <<，又1312111122822-æöæöæö=<=<=ç÷ç÷ç÷èøèøèø则点A 在幂函数3y x =图像上，点B 在幂函数12y x =图像上，点C 在幂函数1y x -=图像上，则曲线123,,C C C 对应的指数分别为11,,32-故选：D【变式1】如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象.已知n 分别取112,,,222--四个值，与曲线1234C C C C 、、、相应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,2,,22--C ．11,,2,222--D ．112,,2,22--【答案】A【解析】由幂函数的单调性可知曲线1234C C C C 、、、相应的n 应为112,,,222--.故选：A【变式2】幂函数2y x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】幂函数()221y f x x x -===定义域为{}|0x x ¹，且()()()2211f x f x x x -===-，所以()2y f x x -==为偶函数，函数图象关于y 轴对称，又当()0,x Î+¥时()2y f x x -==单调递减，则()2y f x x -==在(),0¥-上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C【变式3】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）A ．①3y x =，②2y x =，③12y x =，④1y x -=B ．①2y x =，②13y x =，③12y x =，④1y x -=C ．①2y x =，②3y x =，③12y x =，④1y x -=D ．①13y x =，②12y x =，③2y x =，④1y x -=【答案】A【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【详解】函数3y x =为奇函数且定义域为R ，该函数图像应与①对应；函数20y x =³，且该函数是偶函数，其图像关于y 轴对称，该函数图像应与②对应；12y x ==[)0,¥+，该函数图像应与③对应；11y x x-==，其图像应与④对应．故选：A ．【变式4】函数()54f x x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()54f x x =的定义域为R ，且()()5544f x x x f x -=-==，故()54f x x =为偶函数，排除AB ，因为514>，故函数在()0,¥+上增长速度越来越快，为下凸函数，C 正确，D 错误.故选：C 【变式5】已知函数()02,0x f x x x³ï=í<ïî，若()()g x f x =-，则函数()g x 的图象是（ ）A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】作出函数()00x f x ³=<的图象如下图所示：因为()()g x f x =-，则将函数()f x 的图象关于x 轴对称，可得出函数()g x 的图象，如下图所示：故选：C.【变式6】【多选】函数()241f x ax x =++与()ag x x =在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据各选项中二次函数图象特征确定a 的正负，再观察幂函数图象判断即得.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如2a =，A 可能；对于B ，二次函数开口向下，则0a <，此时存在()ag x x =与图中符合，如1a =-，B 可能；对于C ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如12a =，C 可能；对于D ，二次函数开口向上，则0a >，此时()ag x x =在()0,¥+为增函数，不符合，D 不可能.故选：ABC【变式7】【多选】下列幂函数中满足条件()()()121212022f x f x x x f x x ++æö<<<ç÷èø的函数是（ ）A ．()f x x =B ．()2f x x=C ．()f x =D ．()1f x x=【答案】BD【分析】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可.【详解】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线.对于A,函数()f x x =的图象是一条直线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö=ç÷èø,不满足题意；对于B,函数()2f x x =的图象是凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意；对于C,函数()f x =,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èø,不满足题意；对于D,在第一象限内,函数()1f x x =的图象是一条凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意.故选:BD.题型7 幂函数的图象过定点问题【例7】函数()2y x aa =-为常数的图象过定点．【答案】()1,1-【分析】利用11a =求得正确答案.【详解】当1x =时，121y a =-=-，所以定点为()1,1-.故答案为：()1,1-【变式1】【多选】下列四个函数中过相同定点的函数有（ ）A ．2y ax a =+-B ．1a y x =+C ．11(0,1)x y a a a -=+>¹D ．log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹【答案】ABC【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.【详解】A ：(1)2y a x =-+必过(1,2)；B ：1a y x =+，由11a =知函数必过(1,2)；C ：11(0,1)x y a a a -=+>¹，由01a =知函数必过(1,2)；D ：log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹，由log 10a =知函数必过(1,1)；∴A 、B 、C 过相同的定点.故选：ABC.【变式2】已知函数y x a =的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0n >，则11m n+的最小值为 .【答案】4【解析】函数y x a =的图象恒过定点(1,1)A ，所以1m n += ,因为,0m n >，所以1111()()224m n m n m n m n n m +=++=++=+=，当12m n ==时，11m n+的最小值为4.【变式3】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x mm m -=->¹的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．C ．2D ．2±【答案】B【分析】先根据幂函数定义得1a =，再确定()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，代入()g x 解得b 的值.【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =；函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->¹，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，所以1()2g b =，即212b =，解得：b =,故选：B.【变式4】若函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，且()23af x x +=+，则()yg x =必过定点（ ）A ．()4,0B ．()4,1C ．()4,2D ．()4,3【答案】D【解析】()23af x x +=+ ，()()23af x x \=-+，()()33234af \=-+=，所以，函数()y f x =的图象过定点()3,4，又 函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，因此，函数()y g x =必过定点()4,3.故选：D.题型8 判断幂函数的单调性【例8】【多选】下列函数中，在区间()0,¥+单调递减的是（ ）A ．21y x =B ．()ln 1y x =+C ．1y x x=+D ．2xy -=【答案】AD【分析】由复合函数的单调性、指数函数、幂函数及对勾函数单调性判断各个选项即可.【详解】对于A 项，由幂函数性质知，221y x x-==在(0,)+¥上单调递减，故A 项正确；对于B 项，令1t x =+（0x >），则ln y t =（1t >），因为1t x =+在(0,)+¥上单调递增，ln y t =在在(1,)+¥上单调递增，所以ln(1)y x =+在(0,)+¥上单调递增，故B 项不成立；对于C 项，由对勾函数性质可知，1y x x=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+¥上单调递增，故C 项不成立；对于D 项，因为12(2xx y -==，所以2x y -=在(0,)+¥上单调递减，故D 项正确.故选：AD.【变式1】【多选】下列函数中，满足“x "ÎR ，()()0f x f x --=，且1x "，2(,0)x Î-¥，都有1212()()0f x f x x x ->-”的是（ ）A ．()51f x x =+B ．3()f x x=-C ．4()f x x=D ．2()2022f x x =-+【答案】BD【分析】由题意得函数()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，然后逐个分析判断即可.【详解】由()(),0x f x f x "Î--=R ，知函数()f x 是偶函数，由()12,,0x x ¥"Î-，都有()()12120f x f x x x ->-，知()f x 在(),0¥-上单调递增，所以()f x 在(0,+∞)上单调递减.对于A ：()51f x x =+不满足为偶函数，故A 错误；对于B:()333,0,0x x f x x x x ì£=-=í->î，符合题意，故B 正确；对于C ：4()f x x=不满足为偶函数，故C 错误；对于D:()22022f x x =-+符合题意.故选：BD.题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性A ．[)2,+¥B ．[)4,+¥C ．(],2-¥D ．(],0-¥【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断.【详解】令24t x x =-,则y =由240x x -³，解得4x ³或0x £，故函数y ={0x x £或x ≥4}.又函数24t x x =-在(],0-¥上单调递减，在[)4,+¥上单调递增,y 在[)0,+¥上单调递增，则函数y =[)4,+¥上单调递增.故选：B.【变式1】函数y =的单调减区间为 ；【答案】(],5-¥-【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令245u x x =+-，则y =y =与245u x x =+-复合而成的函数. 令2450u x x =+-³，得5x £-或1x ³.易知245u x x =+-在(],5-¥-上是减函数，在[)1,+¥上是增函数，而y =在[)0,¥+上是增函数，所以y =(],5-¥-.故答案为：(],5-¥-.【变式2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则函数()22y f x x =+的单调递增区间为（ ）A ．(),2¥--B ．(),1¥--C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】A【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果．【详解】设()f x x a=，因为()f x 的图象过点æççè，所以2a=，解得12a =-，即()12f x x -=，可得()f x 在(0,+∞)上单调递减，则函数()()122222y f x x x x -=+=+=，由220x x +>，解得2x <-或0x >，则函数22y x x =+在(),2¥--上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以函数()22y f x x =+的单调递增区间为(),2¥--.故选：A.【变式3】【多选】已知幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 为增函数B ．若120x x >>，则()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èøC ．()f x 为偶函数D ．若1x >，则()1f x >【答案】ABD【分析】根据幂函数经过点(9,3)，求出幂函数的解析式，利用幂函数的性质可直接判断选 项A ，C ，D 正误；对于选项B ，根据函数解析式分别表示出()()1212(),22f x f x x x f ++，再利用不等式的性质比较大小即可.【详解】解：由幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，得93n =，所以12n =.12()f x x ==[0,)+¥，对于A 选项：因为102>，由幂函数的性质得A 选项正确；对于B 选项：若120x x >>，则12(2x xf +()()12221212[([]222f x f x x x x x f +++-=21204x x -=>（），所以()()122212[()][]22f x f x x xf ++>，又()()1212()0,022f x f x x x f ++=>=>，所以()()1212(22f x f x x xf ++>，故B 选项正确；对于C 选项：由于定义域不关于数字0对称，故C 选项不正确；对于D 选项：因为()f x 为增函数，若1x >，则()(1)1f x f >=，故D 选项正确；故选：ABD.题型10 由幂函数的单调性求参数【例10】已知幂函数()()12232mf x m m x -=-满足()()23f f <,则m =.【答案】13-【分析】根据幂函数的定义,得2321m m -=,解得1m =或13m =-,分别代入()f x 判断函数单调性即可.【详解】由幂函数的定义可知,2321m m -=,即23210m m --=,解得1m =或13m =-.当1m =时,()12f x x -=在()0,¥+上单调递减,不满足()()23f f <；当13m =-时,()56f x x =在()0,¥+上单调递增,满足()()23f f <.综上,13m =-.故答案为：13-.【变式1】幂函数()()2345m f x m m x -=--在()0,¥+上为减函数，则m 的值为．【答案】2-【分析】根据幂函数定义求出m 的值，再利用单调性进行检验即得.【详解】因()()2345m f x m m x -=--是幂函数，则25=1m m --，解得：3m =或2m =-.当3m =时，5()f x x =，此时函数在()0,¥+上为增函数，舍去；当2m =-时，10()f x x -=，此时函数在()0,¥+上为减函数，符合题意.故答案为：2-.【变式2】已知幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，则k = .【答案】1【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，所以221103k k k ì-=ïí->ïî，解得1k =.故答案为：1【变式3】已知2311,,,,2,33422a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a=在区间(),0¥-上单调递增，且其图像不过坐标原点，则a = .【答案】23-【分析】根据幂函数的性质分析求解.【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则0a £，当23a =-，()23f x x -==在区间(),0¥-上单调递增，符合题意；当34a =-，()34-=f x x ()0,¥+，不合题意；当12a =-，()12f x x -==的定义域为()0,¥+，不合题意；综上所述：23a =-.故答案为：23-.【变式4】已知幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,¥+上是减函数，则11mx +<的解集为（ ）A ．()0,1B ．()(),01,-¥È+¥C ．()2,0-D ．()0,2【答案】A【分析】根据()f x 是幂函数且在()0,¥+上是减函数求出m 的值，再将所求不等式两边同时平方求出x 的范围.【详解】 ()()21mf x m m x =+-是幂函数，\211m m +-=，解得1m =或2m =-，当1m =时，()f x x =不满足()f x 在()0,¥+上是减函数，当2m =-时，()2f x x -=满足()f x 在()0,¥+上是减函数，\2m =-，将不等式211x -+<的两边同时平方得，24411x x -+<，解得01x <<，\11mx +<的解集为()0,1.故选：A.【变式5】已知函数2295,1()1,1a x ax x f x x x -ì-+£=í+>î，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．92,2éö÷êëøB ．94,2éö÷êëøC ．[]2,4D ．(]9,2,2æù-¥+¥çúèûU 【答案】C【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a a a a -ì³ïï-<íï-´+³+ïî，解得24a ££，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C题型11比较幂值的大小【例11】设232555322555a b c æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø,，，则,,a b c 大小关系是 .【答案】a c b＞＞【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小.【详解】因为()25f x x =在()0,¥+单调增，所以22553255æöæö>ç÷ç÷èøèø，即a c >，因为()25xg x æö=ç÷èø在(),-¥+¥单调减，所以32552255æöæö<ç÷ç÷èøèø，即,c b >综上，a c b ＞＞.故答案为：a c b ＞＞.【变式1】设 1.3 1.4 1.40.9,0.9,0.7a b c ===，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c<a<b【答案】B【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解即可.【详解】设()0.9xf x =，则由指数函数()0.9xf x =在R 上单调递减，得()() 1.3 1.41.3 1.40.90.9f f a b >Þ=>=，设() 1.4h x x =，则幂函数() 1.4h x x =在()0,¥+上单调递增，得()()1.41.40.90.90.70.7h b c h ==>==，所以a b c >>.故选：B【变式2】设21log 3a =，1312b æö=ç÷èø，1213c æö=ç÷èø，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】D【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小.【详解】2log x y = 在()0,+¥上是增函数，221log log 103a \=<=，12xy æö=ç÷èø在R 是减函数，12y x =在()0,¥+上是增函数，1113221110223b c æöæöæö=>>=>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，a c b \<<.故选：D.题型12 利用幂函数的单调性解不等式【例12】不等式()()2233213x x +<-的解为 .【答案】24,3æö-ç÷èø【分析】根据幂函数的性质确定幂函数()23f x x =的奇偶性与单调性即可解不等式.【详解】解：幂函数()23f x x ==R ，且函数在[)0,¥+上单调递增，又()()f x f x -===，则()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0¥-上单调递减，则由不等式()()2233213x x +<-可得213x x +<-，平方后整理得231080x x +-<，即()()3240x x -+<，解得243x -<<，则不等式的解集为24,3æö-ç÷èø.故答案为：24,3æö-ç÷èø.【变式1】实数a 满足3322(21)(1)a a --->+，则实数a 的取值集合为.【答案】1,22æöç÷èø【分析】首先分析出幂函数32y x -=的定义域和单调性，然后可解出不等式.【详解】32x y -=()0+¥，，且在定义域上单调递减，因为3322(21)(1)a a --->+，所以21010211a a a a ->ìï+>íï-<+î，解得122a <<故答案为：1,22æöç÷èø【变式2】已知幂函数14()f x x =，若(102)(1)f a f a -<+，则a 的取值范围是．【答案】(]3,5【解析】因为14()f x x =的定义域为[)0+，¥，且14()f x x =在[)0+，¥上单调递增，所以由(102)(1)f a f a -<+可得：1021102010a a a a -<+ìï-³íï+³î，解得：35a <£【变式3】已知函数21*()(N )m mf x xm +=Î.若该函数图象经过点 ，满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是.【答案】31,2éö÷êëø【解析】由已知212m m +=22m m +=，又m 是正整数，故解得1m =，即12()f x x =，函数定义域是[0,)+¥，易知12()f x x =是增函数，所以由(2)(1)f a f a ->-得210a a ->-³，解得312a £<.【变式4】设函数1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，如果()01f x >，则0x 的取值范围是 .【答案】()(),11,-¥-È+¥【分析】通过分00x <和00x >两种情况进行讨论，从而可求出0x 的取值范围.【详解】因为1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，所以000211x x -<ìí->î或012001x x >ìïíï>î，解得01x <-或01x >，所以0x 的取值范围是()(),11,-¥-È+¥.故答案为：()(),11,-¥-È+¥.题型13 幂函数的奇偶性的应用【例13】已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为.【答案】1【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.【详解】()f x 为幂函数，2331a a \-+=，解得：1a =或2a =；当1a =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2a =时，()3f x x =为奇函数，不合题意；综上所述：1a =.故答案为：1.【变式1】若幂函数()()219mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m =（ ）A ．5-或4B ．5-C ．4D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算.【详解】若幂函数()()219mf x m m x =+-，则2191m m +-=，解得4m =或5m =-，且幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，则m 为偶数，故4m =.故选：C ．【变式2】幂函数y ＝223m m x --（m ∈Z ）的图象如图所示，则实数m 的值为.【答案】1【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得2230m m --<，m 为整数，由验证是否是偶函数即可求解.【详解】有图象可知：该幂函数在()0+¥，单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，m Z Î,故m 可取012，，，又因为该函数为偶函数，所以223m m --为偶数，故1m =故答案为：1题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用【例14】下列幂函数中，既在区间()0,¥+上递减，又是奇函数的是（ ）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,¥+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,¥+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,¥+为减函数，设()123321f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()()11332211f x f x x x éùæö-===êúç÷èø-êúëû，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,¥+为减函数，设()11331f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()113311f x f x x x æöæö-==-=-ç÷ç÷-èøèø，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D【变式1】已知幂函数()223m m y x m N --*=Î的图象关于y 轴对称，且在()0,¥+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为 .【答案】()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案.【详解】幂函数()223m m y x m N --*=Î在()0,¥+上单调递减，故2230m m --<，解得13m -<<.*m N Î，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足；当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0¥-和()0,¥+上单调递减，故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<.故答案为：()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【变式2】若幂函数()22529m m f x x -++=的图象关于y 轴对称，()f x 解析式的幂的指数为整数, ()f x 在(),0¥-上单调递减，则m =（ ）A ．19B ．19或499C ．13-D ．13-或73【答案】D【分析】由题意知()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递减,可得22529m m -++为正偶数，再根据22529m m -++的范围可得答案.【详解】由题意知()f x 是偶函数，因为()f x 在(),0¥-上单调递减,所以22529m m -++为正偶数，又222534342(1)999m m m -++=--+£，∴234(1)29m --+=，解得73m =或13-．故选：D ．【变式3】函数()2223()1(03,)m m f x m m x m m --=-+££ÎZ 同时满足①对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x f x -=；②在(0,)+¥上是减函数，则f 的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】B【分析】由m 的值依次求出223m m --的值，然后根据函数的性质确定m ，得函数解析式，计算函数值．【详解】m ÎZ ，03m ££，0,1,2,3m =，代入223m m --分别是3,4,3,0---，在定义域内()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，因此223m m --取值4-或0，2230m m --=时，()f x 在(0,)+¥上不是减函数，只有234-=-满足，此时1m =，4()f x x -=，444f -===．故选：B ．【变式4】已知函数()333x x f x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-¥-+¥U ，，B ．(41)-，C ．(1)(4)-¥-+¥U ，，D ．(14)-，【答案】B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x x f x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增，由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∴2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-<解得41a -<<.故选：B题型15 幂函数性质的综合应用【例15】已知幂函数213()(22)m f x m m x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的定义域、值域；(3)判断()f x 的奇偶性.【答案】(1)2()f x x -=(2)定义域为()(),00,¥-+¥U ，值域为(0,)+¥(3)偶函数【分析】（1）根据幂函数的定义运算求解；（2）根据幂函数解析式求定义域和值域；（3）根据偶函数的定义分析证明.【详解】（1）函数213()(22)m f x m m x -=-+为幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，则13132m -=-=-，所以函数2()f x x -=；（2）221()f x x x-==，令20x ¹，解得0x ¹故函数2()f x x -=的定义域为(,0)(0,)A =-¥+¥U ，∵20x >，则21()0f x x =>，故函数2()f x x -=的值域为(0,)+¥；（3）任取x A Î，22()()()f x x x f x ---=-==，所以函数()f x 是定义域上的偶函数．【变式1】已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图像关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图像；(3)直接写出函数()1g x >的解集．【答案】(1)1()f x x=(2)图像见解析(3)()()1,00,1-U 【分析】（1）利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图像性质即可得解.（2）由（1）求出函数()g x ，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出()g x 的图像.（3）根据（2）中图像特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因为()22()55m f x m m x -=-+是幂函数，所以2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-¥+¥U ，易得()f x 是奇函数，图像关于原点对称，则1m =满足题意；当4m =时，函数2()f x x =，易知()f x 是R 上的偶函数，其图像关于y 轴对称，关于原点不对称；综上：幂函数()f x 的解析式是11()f x x x-==.（2）因为函数()|()1|||g f x x x ==，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，且()()11g x g x x x-===-，所以()g x 是(,0)(0,)-¥+¥U 上的偶函数，当0x >时，1()g x x=在(0,)+¥上单调递减，其图像是反比例函数1y x =在第一象限的图像，作出函数()g x 在第一象限的图像，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图像，如图，（3）观察（2）中图像可得，()1g x >的解集为()()1,00,1-U .。
幂函数-2018-2019学年高一数学人教版必修1必刷题
幂函数-2018-2019学年高一数学人教版必修1必刷题1．已知幂函数的f （x ）=x a图象过点（2，14），则f （x ）的单调递增区间是 A ．（–∞，1） B ．（–∞，0） C ．（0，+∞） D ．（–∞，+∞）【答案】B【解析】幂函数的f （x ）=x a图象过点（2，14），∴2a =14，解得a =–2，∴f （x ）=x –2；∴f （x ）的单调递增区间是（–∞，0）．故选B ．2．若幂函数y =f （x ）的图象经过点（–2，4），则在定义域内 A ．为增函数 B ．为减函数C ．有最小值D ．有最大值【答案】C3．幂函数的图象经过点33⎛⎝⎭，，则f （2）的值等于 A ．4B ．14C D ．2【答案】D【解析】幂函数f （x ）=x n的图象经过点3⎛ ⎝⎭，可得3nn =–12，则f （2）=1222-=，故选D ．4．已知幂函数f （x ）的图象过点（4，12），则f （8）的值为A ．4B ．64C ．D ．164【答案】A【解析】∵幂函数f （x ）=x a的图象过点（4，12），∴12=4α，∴α=–12，∴f （x ）=12x -，∴f （8）=1284-=，故选A ． 5．若函数f （x ）是幂函数，且满足()()42f f =3，则f （12）的值为 A ．–3 B ．–13C ．3D ．136．设α∈111232⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，，，则使函数y =x α为奇函数且在（0，+∞）为增函数的所有α的值为 A ．1，3 B ．–1，1，2 C ．12，1，3 D ．–1，1，3【答案】A【解析】因为函数是R +上的增函数，所以指数大于0，又因为是奇函数，所以指数为1或3，结合1，3都大于0，所以y =x 与y =x 3都是R +上的增函数．故α的值为1，3．故选A ． 7．已知幂函数f （x ）=（m 2–3m +3）•x m +1为偶函数，则m = A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．3【答案】A8．函数y =x a，y =x b，y =x c的大致图象如图所示，则实数a ，b ，c 的大小关系是A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A【解析】取x=12，则由图象可知（12）a<（12）b<（12）c，∵0<12<1，相应的指数函数y=（12）x是减函数，∴c<b<a，故选A．9．已知函数()1 2f x x=，则A．∃x0∈R，使得f（x）<0 B．∀x∈[0，+∞），f（x）≥0C．∃x1，x2∈[0，+∞），使得()()12120 f x f xx x-<-D．∀x1∈[0，+∞），∃x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2）【答案】B【解析】由函数()1 2f x x=，知：在A中，f（x）≥0恒成立，故A错误；在B中，∀x[（0，+∞），f（x）≥0，故B正确；在C中，∃x1，x2∈[0，+∞），使得()()1212f x f xx x-->0，故C错误；在D中，当x1=0时，不存在x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2），故D不成立．故选B．10．下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是A．y=x5B．y=5xC．y=log2x D．y=x–1【答案】A11．已知幂函数f （x ）=x α（α为实常数）的图象过点（2f （16）=___________．【答案】4【解析】由幂函数f （x ）=x α（α为实常数）的图象过点（2），得：1222α==，所以12α=．则()12f x x=，所以，()121616f ==．故答案为：4．12．若幂函数f （x ）的图象过点（2，8），则f （3）=___________．【答案】27【解析】设f （x ）=x a ，因为幂函数图象过（2，8），则有8=2a ，∴a =3，即f （x ）=x 3，∴f （3）=（3）3=27．故答案为：27．13．幂函数()22231m m y m m x--=--在[0，+∞）上是单调递减的函数，则实数m 的值为___________．【答案】2【解析】幂函数()22231m m y m m x --=--在[0，+∞）上是单调递减的函数，∴2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩．解得m =2．故答案为：2． 14．y =24a ax-是偶函数，且在（0，+∞）是减函数，则整数a 的值是___________．【答案】2 【解析】若函数y =xa 2–4a是偶函数，则a 2–4a 须为偶数，∵函数在（0，+∞）是减函数，∴a 2–4a <0⇒0<a <4，∴a =2．故答案为：2．15．已知幂函数f （x ）=x n（n ∈R ），若f （2）=18，则n =___________． 【答案】–3【解析】幂函数f （x ）=x n（n ∈R ），且f （2）=18，∴2n =18=2–3，解得n =–3．故答案为：–3．16．已知幂函数f （x ）=x a 的图象经过函数g （x ）=ax –2–12（a >0且a ≠1）的图象所过的定点，则幂函数f （x ）不具有的特性是 A ．在定义域内有单调递减区间 B ．图象过定点（1，1） C ．是奇函数 D ．其定义域是R【答案】D17．已知函数f （x ）=x2–m定义在区间[–3–m ，m 2–m ]上的奇函数，则下面成立的是A ．f （m ）<f （0）B ．f （m ）=f （0）C ．f （m ）>f （0）D ．f （m ）与f （0）大小不确定【答案】A【解析】∵函数f （x ）=x2–m定义在区间[–3–m ，m 2–m ]上的奇函数，∴定义域关于原点对称，即–3–m +m 2–m =0，且m 2–m –（–3–m ）>0，∴m 2–2m –3=0且m 2+3>0，即m =–1或m =3．当m =–1时，区间[–2，2]，f （x ）=x 2–m =x 3为奇函数，满足条件，且此时函数单调递增，满足f （m ）<f （0），当m =3时，区间为[–6，6]，f （x ）=x2–m=x –1为奇函数，满足条件，但此时f （0）无意义，故m =3不成立，综上m =3，则f （m ）<f （0），综上可知，选A ．18．若函数f （x ）=（m 2–m –1）x m是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f （x ）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．是单调递减函数D ．在定义域内有最小值【答案】B【解析】幂函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 的图象与坐标轴无交点，可得m 2–m –1=1，且m ≤0，解得m =–1，则函数f （x ）=x –1．是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B ．19．幂函数y =（m 2–m –1）223mm x--，当x ∈（0，+∞）时为减函数，则实数m 的值为A ．m =2B ．m =–1C ．m =–1或2D ．m ≠12【答案】A20．已知幂函数f （x ）=λ•x α的图象过点122P ⎛ ⎝⎭，，则λ+α=A ．2B ．1C ．32 D ．12【答案】C【解析】∵幂函数f （x ）=λ•x α的图象过点12P ⎛ ⎝⎭，∴111()22f αλ=⎧⎪⎨⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得112λα==，，∴λ+α=1+1322=．故选C ． 21．如果幂函数y =（m 2–3m +3）22m m x--的图象不过原点，则m 取值是A ．–1≤m ≤2B ．m =1或m =2C ．m =2D ．m =1【答案】B【解析】幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，所以2220331m m m m ⎧--≤⎨-+=⎩，解得m =1或2，符合题意．故选B ．22．关于幂函数y =x k及其图象，有下列四个命题：①其图象一定不通过第四象限； ②当k <0时，其图象关于直线y =x 对称； ③当k >0时，函数y =x k是增函数；④y =x k的图象与y =x –k的图象至少有两个交点 其中正确的命题个数是 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B23．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在（0，+∞）时是减函数，则实数m 的值为A ．2或–1B ．–1C ．2D ．–2或1【答案】B【解析】由于幂函数()()2231m m f x m m x +-=--在（0，+∞）时是减函数，故有221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得m =–1，故选B ． 24．已知幂函数f （x ）=223m m x-++（m ∈Z ）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y =f （x ）的图象关于y轴对称，则f （–2）的值为 A ．16 B ．8 C ．–16 D ．–8【答案】A【解析】∵幂函数f （x ）=223m m x-++（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称，∴函数f （x ）=223m m x-++（m ∈Z ）是偶函数，又∵幂函数f （x ）=223mm x-++（m ∈Z ）在（0，+∞）上为增函数，∴–m 2+2m +3是偶数且–m 2+2m +3>0，∵m ∈N *，∴m =1，∴幂函数f （x ）=x 4，f （–2）=16．故选A ． 25．已知实数x ，y 满足x >y ，则下列关系式恒成立的是A ．x 3>y 3B ．x 2>y 2C ．ln （x 2+1）>ln （y 2+1） D ．221111x y >++ 【答案】A【解析】∵实数x ，y 满足x >y ，∴x 3>y 3，x 2与y 2大小关系不确定，ln （x 2+1）与ln （y 2+1）的大小关系不确定，211x +与211y +的大小关系不确定．故选A ． 26．已知幂函数f （x ）=（n 2+2n –2）23n nx-（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则n 的值为 A ．–3 B ．1 C ．2 D ．1或2【答案】B27．若幂函数f （x ）=（a 2–7a +13）xa –1为其定义域上的单调递增函数，则实数a 的值为___________．【答案】4【解析】∵函数f （x ）=（a 2–7a +13）xa –1为幂函数，故a 2–7a +13=1，解得：a =3，或a =4，当a =3时，函数f （x ）=x 2在（–∞，0]上为单调递减函数，不满足要求，当a =4时，函数f （x ）=x 3在定义域R 上为单调递增函数，满足要求，故a =4，故答案为：4． 28．已知幂函数f （x ）的部分对应值如下表：则不等式f （|x |）≤2的解集是___________．29．已知函数()12f x x=，且f （2x –1）<f （3x ），则x 的取值范围是___________．【答案】12x ≥【解析】∵函数()12f x x=是增函数，且f （2x –1）<f （3x ），∴21330210x xx x -<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩解得12x ≥．故答案为：12x ≥． 30．幂函数f （x ）=（m 2–3m +3）x m的图象关于y 轴对称，则实数m =___________．【答案】2【解析】函数f （x ）=（m 2–3m +3）x m 是幂函数，∴m 2–3m +3=1，解得m =1或m =2；当m =1时，函数y =x 的图象不关于y 轴对称，舍去；当m =2时，函数y =x 2的图象关于y 轴对称；∴实数m =2．故答案为：2．31．（2016•新课标III ）已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．32．（2018•上海）已知α∈{–2，–1，–1122，，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=__________． 【答案】–1。
高一数学指对幂函数易错题集锦
(每日一练)高一数学指对幂函数易错题集锦单选题1、已知f(x)=a−x（a>0，且a≠1），且f(−2)>f(−3)，则a的取值范围是（）A．（0，＋∞）B．（1，＋∞）C．（－∞，1）D．（0，1）答案：D解析：由a>0，且a≠1，排除AC；利用指数函数的单调性排除B，确定D.由a>0，且a≠1，排除AC；∵f(x)=a−x=(1a )x ，当a>1时，0<1a<1,f(x)为单调递减函数，∴f(−2)<f(−3)，与已知矛盾矛盾，故B错误；当0<a<1时，1a>1,f(x)为单调递增函数，∴f(−2)>f(−3)，符合题意.故选：D.2、若a>1，b<0，且a b+a−b=2√2，则a b−a−b=（）A．-2B．-4C．2D．4答案：A解析：对a b+a−b=2√2两边平方，可得a2b+a−2b的值，进而可计算出(a b−a−b)2，再根据已知条件判断出a b−a−b的符号，开方即可．a b+a−b=2√2，则(a b+a−b)2=a2b+2+a−2b=8，故a2b+a−2b=6，(a b−a−b)2=a2b+a−2b−2=4，a>1，b<0，故a b−a−b<0，故a b−a−b=−2.故选：A小提示：本题考查指数幂的运算，考查完全平方公式的应用，属于基础题．3、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg2≈0.3010A．10%B．20%C．50%D．100%答案：B解析：根据题意，计算出log24000log21000的值即可；当SN =1000时，C=Wlog21000，当SN=4000时，C=Wlog24000，因为log24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.4、下列式子的互化正确的是（）A ．6√y 2=y 13(y <0)B ．x −13=−√x 3(x ≠0) C ．x −54=√(1x )54(x >0)D ．−√x =(−x )12(x >0) 答案：C解析：根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.根据分数指数幂的运算可知，√y 26=|y|13=−y 13(y <0)，x −13=√x 3x ≠0)，x −54=√(1x )54(x >0)，−√x =−(x )12(x >0)， 故选：C5、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减 答案：D解析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称， 又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )，∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )， ∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减，∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ； 当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确. 故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.。
高一数学指对幂函数典型例题
(每日一练)高一数学指对幂函数典型例题单选题1、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案：A解析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a <b ； 由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45；由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45. 综上所述，a <b <c .故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.2、函数y =log a (3x −1)(a >0,a ≠1)的图象过定点（ ）A ．(23,1)B ．(−1,0)C ．(23,0)D ．(0,−1) 答案：C解析：利用真数为1可求得定点的坐标.对于函数y =log a (3x −1)(a >0,a ≠1)，令3x −1=1，可得x =23，则y =log a 1=0， 因此，函数y =log a (3x −1)(a >0,a ≠1)的图象过定点(23,0). 故选：C.3、函数f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[13,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[13,2) 答案：C解析：根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ⩽1，解出a 的范围即可．解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，因为f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)∴ {0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ⩽a 0，解得0<a ⩽13， ∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．4、设2a =5b =m ，且1a +1b =2，则m =（ ）A ．√10B ．10C ．20D ．100答案：A解析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a =log m 2，1b =log m 5，进而结合对数的运算公式，即可求解.由2a =5b =m ，可得a =log 2m ，b =log 5m ，由换底公式得1a =log m 2，1b =log m 5，所以1a +1b =log m 2+log m 5=log m 10=2，又因为m >0，可得m =√10．故选：A.5、函数y =ln (3−4x )+1x的定义域是（ ） A ．(−∞,34)B ．(0,34) C ．(−∞,0)∪(0,34)D ．(34,+∞)答案：C解析：根据具体函数定义域的求解办法列不等式组求解.由题意，{3−4x >0x ≠0 ⇒x <34且x ≠0，所以函数的定义域为(−∞,0)∪(0,34). 故选：C。
2020年人教A版高中数学必修第一册专题3.3 幂函数(解析版)
【答案】(1)C(2)C(3)A(4)B
【解析】(1)由题意得： ,解得
(2)根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减函数，
则a2－10a＋23为偶函数，且a2－10a＋23＜0.
把每一个选项a的值代入检验得只有a=5同时满足.故选:C.
(3) 函数 是幂函数，
（1） 的定义域是 ，因此不正确；
（2） 的值域是 ，正确；
（3） 的图象只在第一象限，正确；
（4） 在 上递减，正确；
（5） 是非奇非偶函数，因此不正确．
则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．
8．（2019·江苏高一期末）若 为幂函数，且满足 ，则 ______．
【解析】设幂函数 ，∵ 过点 ，∴ ，
∴ ，故选B.
2．已知幂函数f(x)的图象经过点 ，则f(4)的值为()
A． B． C．16D．2
【答案】A
【解析】设幂函数f(x)=xa，∵幂函数f(x)的图象经过点 ，
∴ =2a，即2a ，∴a= ，故 ，∴ .故选：A.
运用二幂函数的性质
【例2】(1)幂函数 在 上单调递增，则 的值为（）
由（1）知 在 上单调递增，所以 ，
解得 .
15．（2018·海南高一期中）已知幂函数f（x）=xa的图象过点（2，4）．
（1）求数f（x）的解析式；
（2）设函数h（x）=4f（x）-kx-8在[5，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）幂函数f（x）=xa的图象过点（2，4），
所以 .
（2） 根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
高中数学：2.3幂函数 (30)
第二章 2.3A 级 基础巩固一、选择题1．下列6个函数：y ＝x 53 ，y ＝x 34，y ＝x －13，y ＝x 23，y ＝x －2，y ＝x 2中，定义域为R 的函数有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个[解析] 函数y ＝x 53 ，y ＝x 23，y ＝x 2的定义域为R ，函数y ＝x 34的定义域为[0，＋∞)，函数y ＝x －13及y ＝x －2的定义域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以定义域为R 的函数有3个，应选择B ．2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( B ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x 12[解析] 函数y ＝x 13，y ＝x 3，在(－∞，0)上均是增函数，y ＝x 12 在(－∞，0)上无意义，y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数．3．幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则( B )A ．－1<m <0,0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1[解析] 当x >1时，y ＝x n 的图象在y ＝x－1的图象下方，∴n <－1；又0<m <1，故选B ．4．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a 、b 、c 的大小关系是( C ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a[解析] ∵0.6∈(0,1)，∴y ＝0.6x 是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y ＝x 0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c >a >b ，故选C ．5．(2019·天津和平区高一期中测试)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(－2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( B )A ．(－∞，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)[解析] 由题意得4＝(－2)α，∴α＝2. ∴f (x )＝x 2.∴f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)． 6．函数y ＝3x α－2的图象过定点( A ) A ．(1,1) B ．(－1,1) C ．(1，－1)D ．(－1，－1) [解析] ∵y ＝x α的图象过定点(1,1)，∴函数y ＝3x α－2的图象过定点(1,1)． 二、填空题7．(2019·济南济钢中学高一期中测试)幂函数f (x )的图象过点(3，427)，则f (x )＝__x 34__. [解析] 设f (x )＝x α， 由题意得427＝3α，∴334＝3α，∴α＝34，∴f (x )＝x 34 .8．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知函数f (x )＝(m 2＋3m ＋1)x m2＋m －1是幂函数，且其图象过原点，则m ＝__－3__.[解析] 由题意得m 2＋3m ＋1＝1， ∴m 2＋3m ＝0， ∴m ＝0或m ＝－3. 当m ＝0时，f (x )＝x －1＝1x ，其图象不过原点， ∴m ＝－3. 三、解答题9．已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －2x，因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称 又f (－x )＝－x －2－x＝－(x －2x )＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．(3)f (x )在(0，＋∞)上单调递增，证明：设x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－(x 2－2x 2)＝(x 1－x 2)(1＋2x 1x 2)，因为x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0,1＋2x 1x 2＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．B 级 素养提升一、选择题1．a ＝1.212，b ＝0.9－12，c ＝1.112的大小关系是( D ) A ．c <a <b B ．a <c <b C ．b <a <cD ．c <b <a[解析] ∵y ＝x 12是增函数，∴1.212>(10.9)12 >1.112，即a >b >c .2．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( B )A ．0B ．1C ．2D ．0或1[解析] 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数， 所以3m －5＜0，故m ＜53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝0时， f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时， f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意． 综上知，m ＝1.3．(2019·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝( D )A ．－1B ．0C ．1D ．2[解析] 由题意得m 2－m －1＝1，∴m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数，∴m ≠－1； 当m ＝2时，f (x )＝x －1＝1x在(0，＋∞)上是减函数，∴m ＝2.4．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( C ) A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析] 幂函数y ＝x 12，y ＝x －1在(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C ．二、填空题5．已知幂函数f (x )＝x －14，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是__(3,5)__. [解析] ∵f (x )＝x －14＝14x(x ＞0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2a ＞0a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜5a ＞3.∴3＜a ＜5. 6．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是__9__.[解析] 由题意可知函数y ＝x α中，当x ＝4时，y ＝2，∴2＝4α，∴α＝12.∴y ＝x 12 .∴当y ＝3时，x 12＝3，∴x ＝9. 三、解答题7．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数．∴f (x )＝x 4.8．定义函数f (x )＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f (x )的最小值． [解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝x 2与y ＝x－2的图象如图．则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≤－1)x －2(－1<x <0)x －2(0<x ≤1)x 2(x >1).∴f (x )在x ＝－1与x ＝1处均取得最小值1，即f (x )min ＝1. 9．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，22)． (1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性和单调性，并说明理由． [解析] (1)设幂函数y ＝f (x )＝x α， ∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，22)， ∴2α＝22，α＝－12，f (x )＝x －12. (2)由(1)知函数的定义域为(0，＋∞)，定义域不关于原点对称， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 任取两个实数x 1，x 2,0<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2(x 2＋x 1).又∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在定义域上是单调递减函数．。
高一数学冥函数
y x
1 2
y x 1
（0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
{x| x ≠ 0} {y| y≠ 0} 奇函数
奇偶性 奇函数 单 调 性 R上是 增函数
公共点
在（－∞,0] 在（ －∞,0） R 上是 上是减函 在[0，+∞） 和(0, +∞）上 增函数 数，在[0, 上是增函数 是减函数 +∞）上是 增函数 （1，1）
2 3 1 2 1
y x, y x , y x , y x , y x
的图象。
探究6： （探究性质）请同学们结合幂函数图象（课 本第86页图2.3.1），将你发现的结论填在下面（课本 第86页） 的表格内：
y=x 定义域 值 域 R R y = x2 R [0，+∞） 偶函数 y = x3 R R 奇函数
1 x
2
（2）y=2x2 （4）y
5
（3）y=x2 +
x
x
3
（5）y = 2x
答案（1）（4）
2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解 析式。 待定系数法
yx
1 2
3、如果函数
f (x) =
(m2－m－1)
x
m
是幂函数，
求实数m的值。
m= -1 或 m= 2
幂函数y x 的性质：
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通 过点(1,1); (2)如果 0, 则幂函数的图像过原点 ，并且在区间
[0,)上是增函数；
(3)如果〈0，则幂函数在区间 (0,)上是减函数
例1、证明幂函数 f ( x) x 在 [0,)上是
数学：第4章《幂函数、指数函数和对数函数(下)》单元练习(2)(沪教版高一下册)
上海交通大学隶属中学2008- 2009 学年度第一学期高一数学期末试卷一、填空题：（本大题共12 题，每题 4 分，满分48 分）1、已知全集U={0 ， 1， 2， 3} 且U A ={2}，则会合 A 的真子集共有________个。
解：（期中考试第 1 题） A={0 ， 1， 3} ，∴会合 A 的真子集共有23-1=7 个。
▋2、已知 a>1，则不等式 a+2的最小值为 ___________。
a1解： a+2=a-1+a 2+1≥ 1+2 2 ，当且仅当 a-1=2，即 a=1+ 2 时等号建立。
∴不a11a1等式 a+2的最小值为 1+22。
▋a13、不等式61 的解集为 ___________。
x2解：（不等式单元测试第17 题）∵6，∴64x，∴ (x-4)(x+2)<0 ，1x210x 2x2∴解集为 (-2， 4)。
▋4、已知 f(x)= x2+4x-6，若 f(2m)>f(m+1)，则实数 m 的取值范围是 ___________ 。
解： (2m)2+4(2m)-6>( m+1) 2+4( m+1)-6 ，∴ 3m2+2m-5>0 ，∴ m∈ (-∞，5)∪(1，+∞ )。
▋35、函数 f(x)=- x2+2( a-1)x+2 在 (-∞， 4)上为增函数，则 a 的范围是 __________。
解：（函数性质单元测试第8 题）对称轴 x=a-1≥ 4，∴ a≥ 5。
▋6、幂函数 y=f(x)的图像经过点 ( 1， 2)，则 f(x)=__________ 。
81解：设 f(x)=x k，∴(1)k 2 ，∴ k log 1 2 =1，∴ f ( x) x 3。
▋8837、函数 f(x)= 1xy=f1(x) ，则 f1(9)=__________ 。
2 ，反函数为解：设 f1 (9)=a，∴ f(a)=1+2 a=9，∴ a=3，即 f1(9) =3。
2014—2015学年高一数学(苏教版)必修一午间小练及答案：19 幂函数
高一数学（苏教版）必修一午间小练：幂函数1．若幂函数y ＝f(x)的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f(25)＝________．2．若()121a -+<()1232a --,则a 的取值范围是 .3．已知幂函数2()(1)m f x m m x =--在(0,)x ∈+∞上单调递减，则实数m = .4．知幂函数13()n y xn N *-=∈ 的定义域为(0,)+∞ ，且单调递减，则n =__________. 5．.当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图像不可能经过__________象限． 6．已知33442232(),(),log 323a b c ===，则,,a b c 从小到大用“﹤”号排列为 7．幂函数2122()(22)m m f x m m x +=--在),0(+∞是减函数，则m =8．如图，下图为幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，则1c 、2c 、3c 、4c 的大小关系为 ．9．（本小题满分12分）已知幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)，对于偶函数()()y g x x R =∈，当0x ≥时，()()2g x f x x =-。
（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求当0x <时，函数()y g x =的解析式，并在给定坐标系下，画出函数()y g x = 的图象（3）写出函数()y g x =的单调递减区间10．若31)1(-+m <31)23(--m ，求实数m 的取值范围.参考答案1．15【解析】设f(x)＝x α，则13＝9α，∴α＝－12，即f(x)＝x －12，f(25)＝15 2．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令f(x)=12x -,则f(x)的定义域是{x|x>0},且在(0,+∞)上单调递减,则原不等式等价于10,320,132,a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得23<a<32. 3．1-【解析】试题分析：因为函数2()(1)m f x m m x =--为幂函数，故2211202m m m m m --=⇒--=⇒=或1m =-，而函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，故0m <，所以1m =-.考点：幂函数的图像与性质.4．1【解析】 试题分析：因为幂函数13()n y x n N *-=∈ 的定义域为(0,)+∞ ，且单调递减.所以指数103n <-.即可得13n ≤<.又因为*n N ∈.所以1n =或2.当1n =时函数12y x -=则其定义域为(0,)+∞ ，且单调递减.符合题意.当2n =时，函数1y x -=的定义域是0x ≠.所以综上填1.考点：1.幂函数的性质.2.幂函数的定义域.5．第二、第四【解析】试题分析：因为幂函数y ＝x -1，y=x ，y=x 3，y=12x 的图象在第一或第三象限，所以，满足条件的幂函数y ＝x α的图像不可能经过第二、第四象限．考点：幂函数的图象.6．c a b <<【解析】试题分析：因为幂函数34()f x x =在(0,)+∞单调递增，且2332<，所以334423()()32<，即a b <.又30422()()1033a =>=>，又因为对数函数log a y x =在(0,)+∞单调递减，所以222log log 103c =<=，因此c a b <<. 考点：1、利用幂函数的单调性比较同指数幂的大小；2、借助于中间变量比较大小. 7．1-【解析】试题分析：因为所给函数是幂函数，所以2221m m --=，解得3m =或1m =-，又因为函数在),0(+∞是减函数，所以210, 1.2m m m +<∴=- 考点：本小题主要考查幂函数的定义和单调性.点评：幂函数y x α=是形式定义，所以一个函数是幂函数，就有系数为1；另外在第一象限内，如果0α>，则单调递增，如果0α<，则单调递减.8．3c <4c <2c <1c【解析】观察图形可知，1c >0，2c >0，且1c >1，而0<2c <1， 3c <0，4c <0，且3c <4c ．9．解：（1）设()y f x x α==， .................................1分 则242,2,().f x x αα=∴=∴= ..................................3分（2）2()f x x =Q ，∴当0x ≥时2()2g x x x =-.........4分设0,x <则0x ->，()y g x =Q 是R 上的偶函数22()()()2()2.f x f x x x x x ∴=-=---=+.....6分即当0x <时，2()2.f x x x ∴=+...............7分图像如右图所示................9分（3）由图象知，函数|()|y g x =的单调递减区间是：(,2],[1,0],[1,2].-∞-- ....................................12分【解析】略10．m 的取值范围是（-∞,-1）∪(32,23). 【解析】当⎩⎨⎧>-<+,023,01m k m 即m<-1时，不等式成立； 当⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+,231,023,01m m m m 即32<m<23时，不等式成立； 当⎪⎩⎪⎨⎧->+<-<+,231,023,01m m m m 即m ∈∅时，不等式成立；当⎩⎨⎧<->+,023,01m m 时，不等式不成立.综上得能使不等式成立的m 的取值范围是（-∞,-1）∪(32,23).。
新教材2021届高一数学第一册高一数学第一册幂函数试卷(普通班基础篇)(解析版)
幂函数测试（A 卷基础篇）数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（文））下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．2yx C ．3y x = D ．4y x =【答案】D 【解析】A 选项，函数12y x =的定义域为[)0,+∞，所以函数12y x =是非奇非偶函数，排除A ； B 选项，幂函数2yx 在()0,∞+上单调递减，排除B ；C 选项，函数3y x =的定义域为R ，()33x x -=-，所以函数3y x =是奇函数，排除C ；D 选项，函数4y x =的定义域为R ，且()44x x -=，所以函数4y x =是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数4y x =在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D.2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．1或2D ．2【答案】D【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.3．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数43y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】4343y x x ==∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.故选A ．4．（2020·陕西省高二期末（文））若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ） A ．-1 B ．2C ．-1或2D ．3【答案】A 【解析】函数()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．5．（2019·贵州省高二学业考试）已知幂函数()f x x α=的图象过点P (2,4)，则α=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由题意，幂函数()f x x α=的图象过点P (2,4)，可得24α=，解答2α=. 故选：C.6．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.7．（2020·上海高一课时练习）下列函数在定义域上是奇函数，且在区间(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．34y x = B ．13y x =C ．4y x -=D ．43y x =【答案】B 【解析】34y x =在定义域[0,)+∞上是非奇非偶函数，在区间(),0-∞上无定义；所以A 错； 13y x =在定义域(,)-∞+∞上是奇函数，且在区间(),0-∞上是增函数；所以B 对； 4y x -=在定义域(,0)(0,)-∞+∞上是偶函数，在区间(),0-∞上是增函数；所以C 错；43y x =在定义域(,)-∞+∞上是偶函数，且在区间(),0-∞上是减函数；所以D 错；故选：B8．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 故选：B.9．（2020·黄冈市黄州区第一中学高二月考）幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13D 【答案】A 【解析】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42，所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A10．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数【答案】D 【解析】设幂函数()af x x =，因为图象经过点，所以3a =，12a =.故()12f x x =，因为0x ≥，所以()f x 为非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数. 故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·黑龙江省鹤岗一中高二期末（文））幂函数()2f x x -=的单调增区间为______.【答案】(),0-∞ 【解析】因为幂函数()2f x x -=在()0,∞+是减函数，又因为函数()221f x x x -==是偶函数，所以函数在(),0-∞是增函数.故答案为：(),0-∞12．（2020·上海高一课时练习）函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为__________．【答案】1(,]8-∞- 【解析】因为幂函数3y x -=在区间[2,0)-上为减函数，所以当2x =-时，函数取得最大值18-，又当0x →时，y →-∞，所以函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为1(,]8-∞-.故答案为：1(,]8-∞-.13．（2020·浙江省高二期中）幂函数()f x 的图像经过点(4,2)P ，则(9)f =_______. 【答案】3 【解析】设幂函数()f x x α=，()f x 图像经过点(4,2)P ， 42α∴=，12α∴=， ()12f x x ∴=，()12993f ∴==.故答案为：314．（2020·上海高一课时练习）函数()f x 既是幂函数又是二次函数，则()f x =_________；函数()g x 既是幂函数又是反比例函数，则()g x =_________． 【答案】2x 1x - 【解析】因为()f x 是幂函数，所以设()f x x α=（α为常数），又因为()f x 又是二次函数，所以2α=，即2()f x x =因为()g x 是幂函数，所以设()g x x β=（β为常数），又因为()g x 又是反比例函数，所以1β=-，即1()g x x -=故答案为：2x ；1x -15．（2020·浙江省高一期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为_________；函数()f x 为_________函数.（填“奇”或“偶”）【答案】3. 奇. 【解析】∵幂函数()f x x α=的图象经过点(2,8)， ∴28α=，得3α=，3()f x x =，∴3()()f x x -=-3()x f x =-=-，函数()f x 的定义域为R ，∴函数函数()f x 为奇函数， 故答案为：3，奇．16．已知幂函数图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的表达式为______；单调递增区间为______．【答案】 2()f x x -=, (,0)-∞【解析】设幂函数的解析式为()nf x x =,由1(2)4f =,得124n=,解得2n =-, 所以2()f x x -=,递增区间为(,0)-∞.故答案为:2()f x x -=, (,0)-∞17．（2018·浙江省东阳中学高一期中）幂函数()f x 的图象过点(，则()4f =______，()22y f x =-的定义域为______．【答案】2 ⎡⎣【解析】设幂函数()af x x =，其图象过点(，3a ∴=；解得12a =，()f x ∴=，故()42f =，由220x -≥，解得：x ≤≤()22y f x =-的定义域为：⎡⎣.故答案为2，.⎡⎣三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小： （1）3355 1. 5,1.7；（2）2233( 1.2),( 1.25)----.【答案】（1）3355 1. 5 1.7<；（2）2233( 1.2)( 1.25)--->-. 【解析】（1）∵幂函数35y x =在(0,)+∞上是增函数，且1.5 1.7<，33551.5 1.7∴<.（2）23y x -=在(,0)-∞上是增函数，且 1.2 1.25->-，2233( 1.2)( 1.25)--∴->-.19．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小： （1） 1.12.3和 1.12.5 （2）1232()a -+和132-.【答案】（1） 1.11.12.32.5<；（2）11233(22)a --+≤.【解析】（1）考察幂函数 1.1y x =，因为其在区间[0,)+∞上是增函数，而且2.3 2.5<，所以 1.1 1.12.3 2.5<. （2）考察幂函数13y x =，因为其在区间(0,)+∞上是减函数，而且222a +≥，所以11233(22)a --+≤. 20．（2020·全国高一课时练习）讨论下列函数的定义域、值域. （1）4y x =；（2）14y x =；（3）3y x -=；（4）23y x =.【答案】（1）定义域为R ，值域为[0,)+∞；（2）定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞；（3）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞；（4）定义域为R ，值域为[0,)+∞.【解析】（1）函数的定义域为R ，值域为[0,)+∞. （2）因为14y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞.（3）因为331y xx-==，所以0x ≠，且0y ≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.（4）因为23y x ==R ，值域为[0,)+∞.21．（2019·全国高一课时练习）若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 22．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠. 【解析】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.。