高三数学第一轮复习导数的应用(一)

2．函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点 x ＝ b 附近的其他点的函数值都大， f′(b) ＝ 0 ， 而且在点 f′(x)＞0 x＝b附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 ， 则点 b 叫做函数 y ＝ f(x) 的极大值点， f(b) 叫做 函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大 值和极小值统称为极值．


3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情 况，是在局部对函数值的比较；函数的最值 是表示函数在一个区间上的情况，是对函数 在整个区间上的函数值的比较．
运用导数解决函数的单调性问题
[典题导入] ln x＋k (2012· 山东高考改编)已知函数 f(x)＝ ex (k 为常数， e＝2.718 28„是自然对数的底数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的 切线与 x 轴平行． (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间．

解析
(1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， ∵ex＞0，∴－x2＋2＞0， 解得－ 2＜x＜ 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．


第十二节
(一) 导数的应用



[主干知识梳理] 一、函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意 子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b )上为 ． 增函数 f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b )上为 ． 减函数




二、函数的极值 1．函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点 x ＝ a 附近其它点的函数值都小， f′(a) ＝ 0 ，而 且在点 x ＝a附近的左侧 f′(x)＞0 f′(x)＜ 0 ，右侧 ，则 点 a 叫做函数 y ＝ f(x) 的极小值点， f(a) 叫做函 数y＝f(x)的极小值．


B [由导函数图象知，函数f(x)在[－1，1]上为 增函数． 当 x∈( － 1 ， 0) 时 f′(x) 由小到大，则 f(x) 图象的 增长趋势由缓到快，当x∈(0，1)时f′(x)由大到 小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.]





3．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则 ( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 D [ 求导得 f′(x) ＝ ex ＋ xex ＝ ex(x ＋ 1) ，令 f′(x)＝ex(x＋1)＝0， 解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小 值点．]
2
题．
3 由 g(x)＝ln(x＋1)－x ＋ x，x∈(－1，＋∞)， 2
2
1 3 令 g′(x)＝ －2x＋2＝0， x＋1 得 x＝1， 此时 g′(x)，g(x)随 x 的变化情况如下表： x g′(x) g(x) (－1，1) ＋ 1 0 极大值 (1，＋∞) －
作出 g(x)的图象， 由图象知 1 当 b＝ln 2＋2或 b≤0 时方程有 1 解． 1 当 0＜b＜ln 2＋ 时方程有两解． 2 1 当 b＞ln 2＋2时方程无解．
令 g′(x)＝0，得 x＝1. 此时 g′(x)，g(x)随 x 的变化情况如下表： x g′(x) g(x) (－1，1) ＋ 1 0 极大值 (1，＋∞) －
∴当 x＝1 时，g(x)取得极大值也是最大值．
由题设可知函数 g(x)在区间[0，2]上有两个不同的零点， 1 g（1）＞0， ln 2＋ －b＞0， 2 ∴g（0）≤0， 即－b≤0， g（2）≤0， ln 3－1－b≤0， 1 解得 ln 3－1≤b＜ln 2＋2， ∴b



[跟踪训练] 1 ．已知 a∈R ，函数 f(x) ＝ ( － x2 ＋ ax)ex(x∈R ， e为自然对数的底数)． (1) 当 a ＝ 2 时，求函数 f(x) 的单调递增区间； (2) 是否存在 a 使函数 f(x) 为 R 上的单调递减 函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在， 请说明理由．
解析
(1)因为 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
故 f′(x)＝6x2＋2ax＋b， 从而
a2 a2 f′(x)＝6x＋6 ＋b－ ， 6
a 即 y＝f′(x)关于直线 x＝－6对称． 1 a 从而由题设条件知－6＝－2，即 a＝3. 又由于 f′(1)＝0，即 6＋2a＋b＝0， 得 b＝－12.



三、函数的最值 1 ． 在闭区间 [a ， b] 上连续的函数f(x) 在 [a ， b] 上必有最大值与最小值． 2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为 f ( a) 函数的最小值， f(b) f(x)在[a，b] f(a) 为函数的最大值；若函数 f(b) 上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值．




5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上 是单调增函数，则a的最大值是________． 解 析 f′(x) ＝ 3x2 － a 在 x∈[1 ， ＋ ∞ ) 上 f′(x)≥0， 则f′(1)≥0⇒a≤3. 答案 3


[关键要点点拨] 1．f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出 f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在 (－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0 是f(x)为增函数的充分不必要条件． 2 ．可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但 导数为 0 的点不一定是极值点，即 f′(x0) ＝ 0 是可 导函数 f(x) 在 x ＝ x0 处取得极值的必要不充分条 件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝ 0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是 函数的极值点．




[基础自测自评] 1 ． ( 教材习题改编 ) 若函数 f(x) ＝ x3 ＋ ax2 ＋ 3x －9在x＝－3时取得极值，则a等于 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 D [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0， ∴a＝5.]


2．(2013·浙江高考)已知函 数y＝f(x)的图象是下列四个 图象之一，且其导函数y＝ f′(x)的图象如右图所示，则 该函数的图象是 ( )

(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， 所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)， 令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2 或x＝1， 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， 即f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 当 x∈( － 2 ， 1) 时， f′(x)<0 ，即 f(x) 在 ( － 2 ， 1) 上单调递减；
运用导数解决函数的极值问题
[典题导入] (2014· 大同模拟)已知函数 f(x)＝ln(x＋a)－x2－x 在 x＝0 处取得极值． (1)求实数 a 的值； 5 (2)若关于 x 的方程 f(x)＝－ x＋b 在区间[0，2]上恰有两个不同的 2 实数根，求实数 b 的取值范围．
[听课记录]
－1
(k－1，＋∞) ＋




所以， f(x) 的单调递减区间是 ( － ∞ ， k － 1) ；单 调递增区间是 (k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调 递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为 f(0)＝ －k； 当0<k－1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1] 上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek － 1；



[互动探究] 本题条件不变，求 f(x) 在区间 [0 ， 1] 上的最大 值． 解析 当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1] 上单调递增． 所以f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)＝(1－k)e. 当0<k－1<1，即1<k<2时，
的取值范围是ln
1 3－1，ln 2＋ . 2
[互动探究] 5 本例(2)中若改为“讨论方程 f(x)＝－2x＋b 的解的情况” ，试解决． 解析 5 ∵f(x)＝－2x＋b，
5 3 2 ∴b＝f(x)＋2x＝ln(x＋1)－x ＋2x， 3 ∴方程的根转化为 y＝b 与 g(x)＝ln(x＋1)－x ＋2x 的图象交点问


[规律方法] 求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3) 用方程 f′(x) ＝ 0 的根顺次将函数的定义域分 成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f′(x)＝0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在 这个根处取极值的情况．

[跟踪训练] 2．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)的图 1 象关于直线 x＝－2对称，且 f′(1)＝0. (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
[听课记录]
ln x＋k (1)由 f(x)＝ ex ，
1－kx－xln x 得 f′(x)＝ ，x∈(0，＋∞)， xe x 由于曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与 x 轴平行， 所以 f′(1)＝0，因此 k＝1.
1 (2)由(1)得 f′(x)＝ x(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， xe 令 h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)， 当 x∈(0，1)时，h(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又 ex>0，所以 x∈(0，1)时，f′(x)>0； x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．