数列极限的几种求法

数列极限的几种求法摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处．关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列中图分类号Ｏ171Several Methods of Sequence limitAbstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying．Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence１引言极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态．极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形．朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰啊，日取其半，万世不竭”．公元３世纪的中国数学家刘徽所创的割圆术，从圆内接正六边形出发割圆，得到圆内接6*2n 边形序列，并指出割得越细，正多边形的面积与圆面积之差就越小，“之又割，以至于不可割．则与圆和体，面无所失矣”……，其中包括了深刻的极限思想． ２ 基本概念定义１ 若函数f 的定义域为全体正正数集合N +，则称:f N R +→ 或 (),f n n N +∈为数列．因正整数集N +的元素可由小到大的顺序排列，故数列()f n 也可写作12,,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅或简单地记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项．定义２ 设{}n a 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N <时，不等式n a a ε-<都成立，那么就称常数a 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于a ，记为lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞．若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列．３ 数列极限的几种求法极限论包括数列极限和函数极限两类，其中计算数列极限有着多种多样的方法，除了要熟练运用极限的四则运算法则，极限和无穷小量之间的关系和初等函数的连续性以外，还要掌握和应用更多的方法和技巧．在这里，主要总结了以下几种方法：（１）四则运算法；（２）变量替换法；（３）初等变形法；（４）利用重要极限求数列极限；（５）单调有界数列法；（６）利用定积分求数列极限；（７）利用两边夹定理法；（８）级数法．下面通过实例讲述数列极限的若干种求法．（１）用四则运算法则求极限定理 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n a b +，{}n n a b -，{}n n a b ⋅ 也都是收敛数列，且有 ()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±，()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅．例１求n ．解==()111,n n +→→∞．得12n n ==． （２）用变量替换求极限有时候，为了将已知的极限化简，转化成为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程．例２ 设11n a -<<，)1,2,n a n ==⋅⋅⋅ 求(i) ()lim 41n n n a →∞-；(ii) ()12lim n n a a a →∞⋅⋅⋅⋅．解 可令()0cos ,0,a ααπ=∈，则1cos 2a α===． ()cos,1,2,2n na n α==⋅⋅⋅．于是（i ） ()22011lim 41cos lim 24arccos 222n nnn n a αα→∞→∞⎛⎫-=⋅== ⎪⎝⎭． （ii ） ()122lim lim cos cos cos 222n n n n a a a ααα→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭2cos cos cos sin 2222lim sin 2n n n n ααααα→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭01sin sin 2lim sin 2n n nαααα→∞===． （３）运用初等变形求极限对于某些较繁的数列{}n a ，可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限．例３ 求极限222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解 因为22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1325112233n n n n -+⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯ ⎪⎝⎭． ∴ 222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111lim 22n n n →∞+=⨯=．（４）利用重要极限求数列极限两个重要极限分别为（i ）0sin lim 1x xx→=；（ii ）1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例４ 求()20lim 1xx x →+．解 ()()()21120lim 1lim 11xx x x x x x x e →→⎡⎤+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦． （５）利用单调有界数列法求极限这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为：①判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A ；②建立数列相邻两项之间的关系式；③在关系式两端取极限，得到一个关于A 的方程，若能解出A ，问题得解．例５ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中()0a >的极限．解 设)011,0,1,2,n x x x n +===⋅⋅⋅==⋅⋅⋅． 则{}n x 是单调有界数列，它要有极限，设其极限为A ．在1n x +=A =，即20A A a --=．所以12A ±=． 因为0A >，所以12A +=，即1lim 2n n x →∞+=．（６）利用定积分求数列极限若一个数列{}n a 是一个和式的形式，且每一项可提出一个1n或其他形式的代数式，提出这些代数式后，剩下的可表示为一个通式，则可方便的用定积分法求解．例６求1lim n n →∞⋅⋅⋅+． 解原式1101lim n n i n →∞===112xdx π===．（７）利用两边夹定理求数列极限当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等于它们的公共值．例７ 求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭． 解 因为()()2222112121222n n n nn n n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥=+++++++++，()()222221121212121n n n nn n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤=++++++++++． 又因为 ()()()()2111limlim 22221n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++．所以 222121lim 122n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪++++++⎝⎭． （８）用级数展开式求数列极限级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个序列．有时为了方便可将数列极限看作是某个级数的部分和，这样能更方便、更简捷的求出数列的极限．例８ 计算21lim 1sin n n n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解 由泰勒公式知：()()33sin ,3!x x x o x x =-+→∞．令1x n =得，()()2111sin 1,3!n n O n n ⎛⎫-=+→∞ ⎪⎝⎭．则211lim 1sin 6n n n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭为所求． 总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率．参 考 文 献[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册，第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2006． [2]黄丹妹．试论极限的计算方法数列篇［Ｊ］．福建：福建省侨兴轻工学．2005(07)：18-20． [3]魏立明．一类数列极限求法的研究［Ｊ］．广西贺洲．梧州师范高等专科学校．2004(11)：75-77．[4]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，1993． [5]孙 涛．数学分析经典习题解析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2004． [6]陈文灯．数学复习指南［Ｍ］．北京：世界图书出版社，2005． [7]蔡子华．考研复习大全［Ｍ］．北京：现代出版社，2004．。