初一数学下寒假培优训练讲义--平行线

初一数学寒假培优训练一

（余角，补角以及三线八角，平行线的判定）一、考点讲解：

1余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.

2. 补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.

3?对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

4. 互为余角的有关性质：

①/ 1 + Z 2=90 °，则/ 1. / 2互余.反过来，若/ 1，/ 2互余.则/ 1+Z 2=90

②同角或等角的余角相等，如果/ I十/ 2=90°，/ 1 + Z 3= 90 °，则/ 2= Z 3 .

5. 互为补角的有关性质：

①若/ A + / B=180°则/ A. / B互补，反过来，若/ A. / B互补，则/ A+Z B= 180°.

②同角或等角的补角相等?如果/ A + Z C=18 0°,Z A+Z B=18 0 °，则Z B=Z C.

6. 对顶角的性质：对顶角相等.

三、经典例题剖析:

例1.如图所示，AOB是一条直线，AOC 90 , DOE 90，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？

（例1）

练习: 1.

如图所示，AOE 是一条直线， AOB COD

90，贝U

（1） 如果 1 30 ,那么 2 _____________ , 3= ___________ 。

（2） _____________________________________ 和 1互为余角的角有 _ 和 1相等的角有 ___________________________________ 例2. / 1和/2互余，/ 2和/ 3互补，/ 仁63°,/ 3=___ 练习： 1. 如果一个角的补角是 150°，那么这个角的余角是 _____________ 2.

/ 1 和/ 2 互余，/ 2 和/3 互补，/ 3=153°，/ 1=_ ________

例 3.若/ 1=2 / 2，且/ 1 + / 2=90°则/ 1=___, / 2=___. 练习： 1.

一个角等于它的余角的 2倍，那么这个角等于它补角的（

）

1

A.2 倍

B. 倍

C.5倍

2 5

2.

已知一个角的余角比它的补角的

还少4，求这个角。

13

四、巩固练习：

1. ______ 的余角相等， _________ 的补角相等.

2. 一个角的余角（

）

3.

下列说法中正确的是（ ）

5. 若两个角互补，则（ ）

A.这两个都是锐角

B.这两个角都是钝角

C.这两个角一个是锐角，一个是钝角

D.以上结论都不对

6. 一个角的余角比它的补角的九分之二多 1 °,求这个角的度数.

7.

下列说法中正确的是（ ） A.相等的角是对顶角

B.不是对顶角的角不相等

C.对顶角必相等

D.有公共顶点的角是对顶角

&三条直线相交于一点，所成对顶角有（ ） A.3 对

B.4对

C.5对

D.6对

9.下列说法正确的是（

）

1

D.-倍 5

A. 一定是钝角

B. ，定是锐角

C. 可能是锐角，也可能是钝角

D. 以上答案都不对

A.两个互补的角中必有一个是钝角

B .一个角的补角一定比这个角大

C .互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角

D .相等的角一定互余

（练习

1）

A.不相等的角一定不是对顶角

B.互补的两个角是邻补角

C.两条直线相交所成的角是对顶角

D.互补且有一条公共边的两个角是邻补角

1 1

2 4

10.如图 I — 2- 1 ,

直线AB, CD 相交于点 0, OEL AB 于点

0, OF 平分/ AOE / 1 = 15°30'则下列结论中

不正确的是（

A. Z 2 =45 ° B . /仁/3 C . Z AOD 与/ 1互为补角 11.为下面推理填写理由。 (1)

互为余角（已知）， 90 ./ 1的余角等于75°30 '

(2) 如图所示,

AB.CD 相交于点 O （已知）， 1 (3)

2, 2 3 (已知)， 1 3 ( (4) 90 , B C 90 (已知)，???/ A=Z B ( 五. 关于同位角 1?共同点：都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系，这两个角有一 条

边在同一直线上。 2?不同点：同位角在两条直线的“同方” ，第三条直线的“同侧”，（简称：位置相同的角，形状呈 字形）。 内错角的两条直线“内侧”，第三条直线“两旁”（位置错开，形状呈“ Z ”字形）。 同旁内角在两直线之间，第三条直线“同旁” （形状呈“ C'字形）。 另外注意：寻找“三线八角”关键是找准截线，截线是公共边所在的那条直线。 六. 角位置的确定巩固练习： 1. 如图 2. 如图 3. 如图 4. 如图 .内错角和同旁内角 1所示，直线a , b , c 两两相交，共构成 2,能与Z 1构成同位角的角有（ 2,能与Z 1构成同旁内角的角有（ 3所示，已知四条直线 AB, BC CD ,

_和直线 和直线_ _和直线 和直线

问：①Z 仁Z 2是直线

② Z 仁Z 3是直线 ③ Z 4=Z 5是直线 ④ Z 2=Z 5是直线

____ 对对顶角。 ）A.2 个 B.3 ）A.2 个 B.3 个 个 C.4 C.4 个 D.5 D.5 个 个 —被直线 ______ 所截而成的 被直线 _______ 所截而成的_ —被直线 ______ 所截而成的 被直线 _____ 所截而成的

5.如图4所示，下列各组判断错误的是

（A ）Z 2和Z 3是同位角 （C ）Z 2和Z 4是同旁内角

(B )Z (D )Z 七.直线平行的条件（又叫平行线的判定） 1 .同位角相等，两直线平行； 3 .同旁内角互补，两直线平行；

—角. 角. —角. 角.

）.

和Z 3是内错角

和Z 2是内错角

.内错角相等，两直线平行；

.同时平行于第三条直线的两条直线也互相平

优秀是训练岀来的 初一数学寒假培优 扎实基础提升能力

（练习2）

例1.如图所示，

1和 4是什么角？由哪两条直线被什么样的第三条直线所截?

4呢？ 1和 A 呢？ A 和 2呢?

练习:

2. 如图所示，AB.CD 两相交直线与 EF.MN 两平行直线与 EF.MN 两平行直线相交，试问一共可以得到同旁

内角多少对？ 例2.如图，已知/ B+Z C+Z D=360°，贝U AB// ED,为什么?

练习:

1 .已知：如图，Z B+Z B 2=Z A+Z A 2+Z A （即向左凸出的角的和等于向右凸出的

角的和） ，求证: AA // BA 3

2?如图所示，已知 B 25 , BCD 45 , CDE 30 , E 10，试说明，AB 与EF 有

怎样的位

置关系？并说说你判断的理由。

1.如图所示，根据下列条件: 线平行，并说明判定的依据。 A AOD, ACB F, BED B 180，可以判定那两条直

（练习

1） F N

（练习2） 2和 3呢？ 2和

（例 1）

（例 2）

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例3.如图所示，直线 AB.CD 被直线EF 所截，如果/ 仁/2，/ CNF=Z BME 那么AB// CD MP// NQ 请说明 理由。

练习: B D

1.如图所示，直线a,b 被直线c 所截， 1的3倍等于 2, 3是 1的余

角,

2.已知：如图， AD 丄BC, EF 丄BC, / 仁/ 2,求证：AB// GF （练习2）

C

例4.给下列证明过程填写理由： 已知：如图所示， AB 丄BC 于 B, CDL BC 于C, / 1 = / 2, 求证：BE// CF. 证明：??? AB 丄 BC 于 B , CDL BC 于 C,( ) ???/ 1 + Z 3=90°,/ 2+Z 4=90°( )

???/ 1与/ 3互余，/ 2与/ 4互余.(

)

又???/ 仁/2,( )

?- ______ =_______ .( ) ? BE// CF.( )

练习： F

已知：如图2-18，直线 AB.CD.EF 交于点 O , AB 丄CD , / 1=27

.求：/ 2,/ FOB 的度数.

解：??? AB 丄 CD （已知）

? / COB= ( )???/ 1=27°(已知)

??/ 3=

,???/ 3

/ 2 ( )?/ 2= (

?// 2+/ FOB= ____ ( )

)

图 E-i

a

? /

FOB=

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八.巩固练习

1 .下列说法正确的是（ ）

A.同位角相等 2 3 180，贝U 1, 2, 3互补 D. 对

顶角相等

被 ___ 所截得的 ______ 角；AB.CD 被AD 所截，/ A 的内错角是 _________ , / A 和/ ADC 是 _____________ 角；AB.CD 被BD 所截， ________ 和 ______ 是内错角. 6?如图 2-15

AO 丄 OC , OB 丄 OD A / 1 _____ /2 ( )

7?已知：如右图， FE 丄 AB , CD 丄 AB , / 1= / 2,求证：/ AGD= / ACB 。

&已知：如图2-17 , COD 是直线，且/ 1 = / 3，说明A.O.B 三点在一条直线的理由可以写成:

2.同一平面内有三条直线 a,b,c ，若 a b, b c ，贝U a 与 c (

A.平行

B.垂直

C.相交

D.重合

3.

一个人从A 点出发向北偏东60方向走了 4m 到B 点，两从B 点向南偏西15的方向走了

3m 到C 点，那 么 ABC 等于（ ）

A. 45

B. 75

C. 105

D. 135

B.同旁内角互补

C.若1

_____ 角;

5?如图2-14，直线AD.BC 被CE 所截，/ C 的同位角是 ________ ,同旁内角是 ______ ; / 1与/ 2是 ______