用一元二次方程解决增长率问题
用一元二次方程解决增长率问题含答案
用一元二次方程解决增长率问题含答案1.解决增长率问题的一元二次方程1.1 平均变化率问题安徽中考题目：一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元。
设两次降价的百分率都为x，则x满足(D)16(1+2x)=25.阳泉市平定县月考题目：共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆。
设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A)1000(1+x)2=1000+440.巴中中考题目：巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售。
若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率。
解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得5000(1-x)2=4050.解得x=10%。
广东中考题目：某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。
求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1+10%)(1+x)2=633.6.解得x=20%。
1.2 市场经济问题泰安中考题目：某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。
每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元。
要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)(3+x)(4-0.5x)=15.达州中考题目：新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每售出1件，价格就下降0.5元。
若该童装原价为10元/件，则在售完全部存货后，该童装的平均售价为(A) 9.5元/件。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，每件童装盈利40元。
一元二次方程的应用(增长率问题)
精品资料欢迎下载22.3一元二次方程的应用（1）学习目标：掌握增长率问题中的数量关系，会列出一元二次方程解决增长率问题学习重、难点：重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题难点：理清增长率问题中的数量关系一、课前预习：1．某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则：二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。
（填具体数字）2．某厂今年1月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x ，则：二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。
（填含有X的式子）3．某种商品原价是100元，平均每次降价10%，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。
（填具体数字）4．某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。
（填含有X的式子）归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：起始量（1＋平均增长率）n=现在量。
（n为相距时间）起始量（1－平均减少率）n=现在量。
（n为相距时间）二、新课导学例1．某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？例2．某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少?精品资料欢迎下载三、随堂检测1.（2012山东青岛）某公司2010年的产值为500万元，2012年的产值为720万元，则该公司产值的年平均增长率为_________________. 2．(2010台州中考) 某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次降价的百分率。
设平均每次降价的百分率为x，下列所列方程中正确的是（）A、100（1+x）2=120B、100（1-x）2=120C、120（1+x）2=100D、120（1-x）2=100 3．（2010兰州中考）上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。
一元二次方程增长率问题公式
一元二次方程增长率问题公式
一元二次方程平均增长率问题公式：a(1+x)n=b。
(a为起始量，b 为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）
平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1+x)；第二次增长是以a(1+x)为基数的，增长率也为x，故第二次增长后的数量为a(1+x)2。
同样的道理，平均降低率中的数量关系：若降低的基数为a，平均降低率为x，则第一次降低后的数量为a(1-x)；第二次降低是以a(1-x)为基数的，降低率也为x，故第二次降低后的数量为a(1-x) 2。
在解决增长（降低）率的问题时，常用的方法技巧是：
通常是利用公式建立方程。
平均增长率公式：a(1+x)n=b。
(a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）；平均降低率公式：a(1-x) n =b。
(a为起始量，b为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率）。
解析：本题中考察的是增长率的问题，（1）中设这两年该校植树
棵数的年平均增长率为x，根据第一年及第三年的植树棵数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论。
列出的方程为500（1+x）=720，得：x=0.2=20%，x=﹣2.2（不合题意，舍去）；（2）中根据第四年植树的棵数=第三年植树的棵数×（1+增长率），即可求出结论。
720×（1+20%）=864（棵）。
严格套用增长率的公式求解即可，但是一定要明确n是多少，也就是一定要确定好年份之间的关系。
解题的关键和所有的方程解应用题是相同的：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算。
一元二次方程实际问题(增长率)
由于升价的百分率不可能是负数，所以x2=-2.1不合题意，舍去
答：每次升价的百分率为10%.
8.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储 蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利 息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储 蓄的年利率.（精确到0.1%） 9.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程 改革试验，重视学生能力培养 . 初一阶段就有 48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增 加，到三年级结束共有 183人次在市级以上得 奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
2 2 ( 1 x ) 2 ( 1 x ) 9 . 5 则可列方程为 .
2
3.某城区绿地面积不断增加，2011年底的绿地面积为60 公顷，为满足城市发展的需要，计划到2013年底使城区 绿地面积达到72.6公顷，试求2012年,2013年两年绿地 面积的年平均增长率。
解：设2012年,2013年两年绿地面积的年平均增长率为x，根据题意，得 60 (1＋x)2＝72.6 ． (1＋x)2=1.21． ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, x2 =－2.1(不合题意,舍去) 答： 2012年,2013年两年绿地面积的年平均增长率为10%．
n
a (1 x ) b
其中增长取+,降低取－
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元, 探究 : 随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品 的成本是3000元,甲种药品成本的年平均下 降率是多少? 如果：设甲种药品成本的平均下降率为x ，填 表
一年前 两年前 甲 成本（吨/ 成本（吨/元 ） 种 元） 药 （基数量） （第一次下 降） 品 现在 成本（吨/元 ） （第二次下 降）
2、注意： （1）1与x的位置不要调换，增长取“+”， 下降取“-” （2）解这类问题列出的方程一般 用直接开平方法，注意验根，看是否 符合实际意义。
九年级上册数学用一元二次方程解决增长率问题
巩
固
训
练
1.（《名校课堂》21.3第2课时习题）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第 一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多 440辆．设该公司 第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ A ） A．1000（1+x）2=1000+440 B．1000（1+x）2=440 C．440（1+x）2=1000 D．1000（1+2x）=1000+440 2.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过 严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后， 现在仅卖 98 元 / 瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分 率． 解：设该种药品平均每场降价的百分率是x. 由题意,得200（1-x）2=98. 解得x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%． 答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
名
校
讲
坛
【方法归纳】销售利润问题中常见的公式： ①利润=售价-成本； ②利润率= ×100%.
名
校
讲
坛
跟踪训练2:一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司 规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过 60棵，每 增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5元，但每棵树苗最低售价不得少 于100元，该校最终向园林公司支付树苗款 8800元，请问该校共购买了多少棵树 苗？ 解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元， 所以该校购买树苗超过60棵. 设该校共购买了x棵树苗. 由题意,得x[120-0.5（x-60）]=8800. 解得x1=220，x2=80． 当x=220时，120-0.5×（220-60）=40＜100，∴x=220（不合题意，舍去）； 当x=80时，120-0.5×（80-60）=110＞100，∴x=80． 答：该校共购买了80棵树苗．
用一元二次方程解决问题(平均增长率)
平均增长率 = (终值 - 初值) / 初值 × 100%
计算方法
直接计算法
根据题目给出的数据，直接代入公式 进行计算。
代数法
将平均增长率转化为一元二次方程， 通过解方程求得。
ห้องสมุดไป่ตู้例解析
例1
某企业去年销售额为100万元，今年 销售额增长了20%，求今年的销售额。
解
根据平均增长率公式，今年的销售额 = 100 × (1 + 20%) = 120万元。
解
根据平均增长率公式，5年后GDP = 100 × (1 + 8%)^5 = 146.9亿元。
02
一元二次方程在平均增 长率问题中的应用
建立一元二次方程
确定变量
在平均增长率问题中，通常设初始数 量为A，平均增长率为r，经过时间为t 后的数量为B。
建立方程
方程变形
如果需要求平均增长率r，可以将方程 变形为r = (B/A)^(1/t) - 1。
将方程左边化为完全平 方形式，右边化为常数，
从而求解x。
因式分解法
通过因式分解将方程化 为两个一次方程，从而
求解x。
实例解析
题目
某企业前年缴税30万元，预计 今年缴税36.36万元，那么该企
业缴税的平均增长率为多少？
分析
设该企业缴税的平均增长率为x， 根据题意可以建立一元二次方程 30(1 + x)^2 = 36.36。
根据平均增长率的定义，我们可以建 立一元二次方程B = A(1 + r/100)^t。
解一元二次方程
求解方法
解一元二次方程可以使 用公式法、配方法、因
式分解法等。
公式法
配方法
一元二次方程实际问题1(增长率)
在这个部分，我们来学习一元二次方程的实际应用。这个问题涉及到增长率， 让我们一起来探索吧！
什么是一元二次方程？
一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，可以写成 Ax²+ Bx + C = 0 的形式。
一元二次方程的一般形式是什 么？
一元二次方程的一般形式是 Ax²+ Bx + C = 0，其中 A、B、C 是已知的常数， x 是未知数。
例题3的解法演示
让我们一起来解答实际问题3的例题，并演示如何求解一元二次函数的最大值和最小值。
例题3答案的意义是什么？
例题3的答案可以告诉我们一元二次函数在什么自变量取值下达到最大值和最 小值，帮助我们理解函数的特性。
如何求解一元二次函数的极值？
可以通过求导数和解方程来求解一元二次函数的极值。
实际问题3的例题介绍
我们将通过一个真实的例题来演示如何求解一元二次函数的最大值和最小值。
实际问题3的解题思路
1. 确定已知信息和未知数。 2. 列出一元二次函数。 3. 求导数并解方程得到未知数的值。 4. 计算最大值和最小值。
什么是实际问题？
实际问题是指与现实生活相关的问题，需要用数学方法来解决。
为什么需要将实际问题转化成一元二次 方程？
将实际问题转化成一元二次方程可以使问题更加具体化，便于用数学工具来求解。
实际问题1：增长率是什么？
增长率是指某个变量随时间变化的速度，可以用百分比或小数表示。
如何计算增长率？
增长率可以通过计算某一时间段内变量的变化量与初始值的比值来得到。
例题1的答案可以告诉我们在给定条件下的增长率，帮助我们理解实际问题的变化趋势。
实际问题1的注意点
列一元二次方程 解有关增长率问题
一
元 二 次方 程
器囤铝窜回囤
姆 列一 二次 程解 题的 骤 元 方 应用 步
① 审 审题．
注意 要严格按 以上八个 步
② 找： 找出题 中的所有量 ， 分清有 哪些 已知量 、 未知量 哪些
是 要求 的未 知量 和所涉 及 的基本 数量关 系 、 相等关 系．
骤 解 有 关 实 际应 用 题 ．
⑥ 解： 解方程 ， 出所列方程的解． 求 ⑦ 检验： 注意根的准确性及是否符合实际意义．
、
⑧ 答： 写出答案．
点 拨 ‘ ． ‘年 增 长 率 ＝
・ ，
某 家庭 前 年 人 均 收入 为３ ０ ￣ ，到 今 年 人 均 收入 为 ００ ；
全竺鉴 二 二
上 一 年 收 入
一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ～ 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 润 ＝销 售 价 一成 本
价． 本题中成本价的变化是一个
生 产 某种 产 品 时 ，原来 的成本 价 是 ５ ０元 ，销 售 价 为 ０
平均增长率问题，而销售价的变 ６５元 ， 市 场预 测 ， 产 品 的销 售 价 第 一 个 月将 降 低 ２ ％ ， 二 ２ 经 该 ０ 第 化是一般增长率问题． 个 月 比第 一个 月 提 高 ６ 为 了使 两 个 月后 的销售 利 润 不 变 ， 产 ％， 该 点拔 建立方程的等量关系 品的成 本 价每 月应 平 均降 低百 分之 几 ？ 是 “ 两个月后 售 润不 ” ， 解 设 平 均每 月成 本 的降 价率 为
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用一元二次方程解决增长率问题
一元二次方程是初中数学中的重要知识，也是中考的必考考点之一. 利用一元二次方程解决实际问题是这一部分中的重点，也是难点，其中增长率问题是主要题型之一.为了使同学们对此内容有更为深刻的理解，特采撷几例加以分类说明，与同学们共赏.
例1、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改
水工程”予以一定比例的补助.2008年，A 市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.
（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）略
分析：对于增长率问题，若增长前的量为a, 平均增长率为x ，经过连续两次增长后的量为b ，
则a(1+x)2=b.
解：（1）设A 市投资“改水工程”年平均增长率是x ，则
600(1+x)2=1176
解之，得x ＝0.4或x ＝－2.4（不合题意，舍去）
所以，A 市投资“改水工程”的年平均增长率为40%.
（2）略
例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，求两次降价的百分率．
分析：对于降低率问题，与增长率问题类似，若降低前的量为a, 平均降低率为x ，经过连续两次降低后的量为b ，则a(1―x)2=b.
解：设每次降价的百分率为x ，根据题意得：
100(1－x)2
=81
解得：1x =0.1，2x =1.9
经检验2x =1.9不符合题意，∴x=0.1=10%
答：每次降价百分率为10%．
例3：某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%。
商厦从四月份起改进
经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到135.2万元，试求四、五两个月的平均增长率.
分析：先算出三月份的销售额为100（1－20%）万元.设四、五两个月的平均增长率为x ，则
四月份销售额为100（1－20%）（1＋x ）万元，五月份的销售额为100（1－20%）（1
＋x ）（1＋x ）＝100（1－20%）(1+x)2万元，于是可列出方程100（1－20%）(1+x)
2＝135.2.
解：设四、五两个月的平均增长率为x ，由题意得方程
100（1－20%）(1+x)2＝135.2
(1+x)2=1.69
即1+x=±1.3
故x 1=0.3，x 2=－2.3
因为x 2=－2.3不符实际，舍去，所以x=0.3=30%，
即四、五两个月的平均增长率为%30.
例4、某市去年9月招收区内初中班学生50名，并计划在明年9月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数．．．．．．．
达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率．
分析：若设平均增长率为x, 去年招收50名,则今年招收50(1+x)名，明年招收50(1+x)2名，根据“三年招生总人数．．．．．．．
达到450名”可列方程.解题时要特别注意450是三年招生的总人数，而不是某一年的人数．
解：设平均增长率为x ．
根据题意列方程：50+50(1+x)+ 50(1+x)2=450，
整理得：x 2+3x －6=0
解得：132
x -=（舍），23137137%2x -=≈．≈． 答：平均增长率为137%．
温馨提示：这种增长率(或降低率)的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式，正确解答此类问题的关键是掌握好此类问题中的等量关系的确定方法：在存在基础量a 的前提下，若连续增长（或降低）n 次，且平均增长（或降低）率为x ，则增长后的数量为a(1+x)n （或降低后的数量为a(1－x)n ），要特别注意1与x 的位置不要调换.我们可以把它作为一个固定的公式来理解.另外，求得结果后还要注意解的合理性，正确取舍.
下面几题供练习：
1、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A ．3000(1+x)2=5000
B ．3000x 2=5000
C ．3000(1+x%)2=5000
D ．3000(1+x)+3000(1+x)2=5000
2、某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为________.
3、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百
分率为x ，则下列方程中正确的是（ ）
A ．55 (1+x )2=35
B ．35(1+x )2=55
C ．55 (1－x )2=35
D ．35(1－x )2=55
4、某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81％，
则平均每次降价（ ）
A ．10%
B ．19%
C ．9.5%
D ．20%
参考答案：1、A 2、10% 3、C 4、A。