浙江省杭州二中10-11学年高二上学期期末试卷(数学理)
2023-2024学年浙江省杭州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣5x +4≥0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{2，3}C ．{1，4}D ．{0，1，4}2．已知（2+i ）z ＝i ，i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．15B ．13C ．√55D ．√533．已知平面向量a →=(2，0)，b →=(−1，1)，且（m a →−b →）∥（a →+b →），则m ＝（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．1±√324．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若双曲线左支上存在点P 使得|PF 2|=32c −2a ，则离心率的取值范围为（ ）A ．[6，+∞）B ．（1，6]C ．[2，+∞）D ．[4，+∞）5．已知2cos 2θ﹣cos θ＝1，θ∈（0，π），则|sin θ|＝（ ） A ．0B ．12C ．√32或0 D ．√326．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x 较大时，1+12+13+⋯+1x=lnx +γ（x ∈N *，常数γ＝0.557…）．利用以上公式，可以估算1101+1102+⋯+1300的值为（ ） A ．ln 30B ．ln 3C ．﹣ln 3D ．﹣ln 307．已知α，β∈(0，π2)，则“cos(α−β)＜14”是“cosα+sinβ＜14”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知圆C ：x 2﹣2x +y 2＝0与直线l ：y ＝mx +2m （m ＞0），过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A 和B ，若线段AB 长度的最小值为√2，则实数m 的值为（ ） A ．2√77B ．√77C ．√142D ．√147二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
10学年第一学期高二期末考数学卷(理)
杭州二中2022学年第一学期高二年级期末考试数学试卷〔理〕时间 90分钟命题陈洁校对张先军审核孙惠华注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规．一．选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，那么直线l 的方程是A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x 2．A B C 、、三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，以下条件中能确定点M 与点A B C 、、一定共面的是A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++ 3．平面内两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“PA PB +是定值〞，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B为焦点的椭圆〞，那么A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 4．命题：“假设220(,)a b a b R +=∈，那么0a b ==〞的逆否命题是A ．假设0(,)a b a b R ≠≠∈，那么220a b +≠ B ．假设0(,)a b a b R =≠∈，那么220a b +≠C ．假设0a ≠且0(,)b a b R ≠∈，那么220a b +≠ D ．假设0a ≠或0(,)b a b R ≠∈，那么220a b +≠ 5．βα,是两个不同平面，n m ,是直线，以下命题中不正确的选项是．．．．．．． A ．假设//m n ，m α⊥，那么n α⊥ B ．假设//m α，n αβ=，那么//m nC ．假设m α⊥，m β⊥，那么//αβD ．假设m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥6. 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且经过点()32,3-的双曲线的方程为A.194422=-y x B ．194422=-x y C ．149422=-x y D ．149422=-y x 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，那么2||PF =A ．23 B ．3C ．27 D ．48．点P 是抛物线x y 42=上一动点，那么点P 到点)1,0(-A 的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是．2 D ．29.四面体A BCD -的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形〔如图，其 中BC 为水平线〕，那么其侧视图的面积是A.2B.22 D.362 10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，假设M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，那么MO MT -与b a -的大小关系为 A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a -=- C.MO MT b a -<- D.不确定 二．填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.11.假设焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，那么m =. 12．椭圆193622=+y x 的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________. 13.在正ABC ∆中,D E 、分别为AB AC 、的中点,那么以B C 、为焦点且过点D E 、的双曲线的离心率为. 14．假设,x y 满足220,x y +-≤且220y x -≤，那么z x y =+的最小值为．15．将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．对角线BD 折成四面体A BCD -，点E F 、分别为AC BD 、的中点，那么以下命题中正确的选项是〔将正确的命题序号全填上〕：①//EF AB ；②EF 与异面直线AC 、BD 都垂直；③当四面体ABCD 的体积最大时，AC =；④AC 垂直于截面BDE .杭州二中2022学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷〔理〕一．选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.二．填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在题中的横线上． 11． 12． 13． 14． 15．三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．〔本小题总分值12分〕圆C ：22420(,0)x y tx y t R t t+--=∈≠与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点.〔1〕求证：OAB ∆的面积为定值；〔2〕设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，假设OM ON =，求圆C 的方程.17．〔本小题总分值12分〕曲线C 的极坐标方程是22(13sin )4ρθ+=，直线l 的参数方程是2565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数.〔1〕求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点M 为曲线C 上任一点，求M 到直线l 的距离的最大值.18．〔本小题总分值12分〕如图，BCD ∆中，90BCD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，2,3,BC CD ==3,AB E F =、分别为AC AD 、上的动点.〔1〕假设AE AFEC FD =,求证：平面BEF ⊥平面ABC ； 〔2〕假设1AE EC =，2AFFD=，求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的大小.19．〔本小题总分值14分〕过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点,设切线AP 、AQ 的斜率分别为1k 和2k ． (1)求证：124k k =-；(2)求证：直线PQ 恒过定点，并求出此定点坐标； (3)设APQ ∆的面积为S ，当SPQ最小时，求AQ AP ⋅的值． 杭州二中2022学年第一学期高二年级期末考试数学答案〔理〕一．选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 答案CDBDBDCDA B11．3212．280x y +-=1331 14．12-15．②③④ 三．解答题:本大题共4小题，共50分.OQPA y x16．解：〔1〕由题意知，(2,0)A t ,4(0,)B t4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即OAB ∆的面积为定值． 〔2〕,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ．21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21= t t 212=∴，解得：22-==t t 或 ①当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．②当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d , 圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x17．解：〔1〕22:1,4x C y +=:260l x y +-= 〔2〕设(2cos ,sin )M θθ，那么M 到直线l的距离d =∴当sin()14πθ+=-，即5,(4M πθ=时，max d ==18．〔1〕证明：AB ⊥平面BCD ，AB CD ∴⊥。
2023-2024学年浙江省杭州二中高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣12．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．53．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（ ） A ．0B ．−19C ．−13D ．−234．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．25．设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且a 1＜0，S 4＝S 8，则（ ） A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 12＝0D ．S n ≥S 76．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n ≥n+22（n ∈N *）的过程中，从n ＝k 到n ＝k +1时，f （k +1）比f （k ）共增加了（ ） A ．1项B ．2k ﹣1项C ．2k +1项D ．2k 项7．若数列{a n }满足递推关系式a n+1=2a na n +2，且a 1＝2，则a 2024＝（ ） A ．11012B ．22023C ．11011D ．220218．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（ ） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A ．limΔx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则（ ） A ．数列{Sn n}是等差数列B ．数列{3a n }是等比数列C ．数列{lnT n }是等差数列D ．数列{T n+2T n}是等比数列 11．已知O 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的顶点，直线l 交抛物线于M ，N 两点，过点M ，N 分别向准线x =−p2作垂线，垂足分别为P ，Q ，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B ．若直线l 过焦点F ，则PF ⊥QFC ．若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则直线l 过定点（4p ，0）D ．若OM ⊥ON ，则直线l 恒过点（2p ，0）12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝ ．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为 ．15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为 ．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意正整数n都有a n+1＝a n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，b n=n−(−1)n a n，（n∈N*），若A={n|n≤100且T n≤100，n∈N∗}，求集合A中所有元素的和．22．（12分）已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y2b2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣1解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝4y ，焦点在y 轴上； 所以2p ＝4，即p ＝2，所以p2=1，所以准线方程y ＝﹣1，故选：D ．2．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5解：化圆x 2+y 2﹣4x ＝0为（x ﹣2）2+y 2＝4，得圆心坐标为（2，0），半径为2． 圆心到直线3x ﹣4y +9＝0的距离d =|6+9|√3+4=3．∴圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为d ﹣r ＝3﹣2＝1． 故选：A ．3．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（ ） A ．0B ．−19C ．−13D ．−23解：因为A ，B ，C 三点不共线，点P 是平面α外一点，D 在平面α内， 由共面向量基本定理可得：存在唯一一对实数λ，μ，使得AD →=λAB →+μAC →， 即PD →−PA →=λ(PB →−PA →)+μ(PC →−PA →)，整理为PD →=(1−λ−μ)PA →+λPB →+μPC →， 与PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →相比较，可得{1−λ−μ=xλ=2−x μ=3x，解得x =−13．故选：C ．4．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2解：设BC 的中点为D ，则D （1，1，1），故AD →=(0，1，1)，则|AD →|=√2，即BC 边上的中线长为√2． 故选：B ．5．设{a n}是公差为d的等差数列，S n是其前n项和，且a1＜0，S4＝S8，则（）A．d＜0B．a7＝0C．S12＝0D．S n≥S7解：根据题意，{a n}是公差为d的等差数列，若S4＝S8，则S8﹣S4＝a5+a6+a7+a8＝0，变形可得：a6+a7＝0，则有a1+a12＝a6+a7＝0，又由a1＜0，则a12＞0，其公差d＞0，A错误；而a6+a7＝0，则a6＜0，a7＞0，B错误；Sn的最小值为S6，D错误；S12=(a1+a12)×122=0，C正确．故选：C．6．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（）A．1项B．2k﹣1项C．2k+1项D．2k项解：根据题意，证明f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22时，f（k+1）中有2k+1项，f（k）中有2k项，则f（k+1）比f（k）增加了2k+1﹣2k＝2k项．故选：D．7．若数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a na n+2，且a1＝2，则a2024＝（）A．11012B．22023C．11011D．22021解：∵a n+1=2a na n+2，∴1a n+1=a n+22a n，即1a n+1=12+1a n，∴1a n+1−1a n=12，又∵a1＝2，∴1a1=12，∴数列{1a n}是首项为12，公差为12的等差数列，∴1a n=12+12(n−1)=12n，∴a n=2 n ，∴a2024=22024=11012．故选：A ．8．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（ ） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]解：不妨设A 在第一象限，A 是以O 为圆心，OF 为半径的圆O 与Γ的交点． 设Γ的左焦点为X ，则∠XOA ＝∠OAB +∠OBA ≥4∠OBA ，∠AFO =12∠XOA ≥2∠OBA ，即∠F AB ≥∠FBA ，F A ≤FB ，在圆O 上取一点C ，使FC ＝FB ，则FC ≥F A ， 由双曲线的定义知CX ﹣CF ≤2a （a 是实半轴长）， 即（2a +CF ）2≥CX 2＝4c 2﹣CF 2（c 是半焦距），代入CF =FB =c 2，得(2a +c 2)2≥4c 2−c 24，解得e ∈(1，2+2√157]．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A ．lim Δx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 解：A ：lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)△x =−lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)−△x =−f ′（x 0），故A 错误；B ：lim△ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)2△ℎ=lim △ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)(t+△ℎ)−(t−△ℎ)=lim △ℎ→0f(t+2△ℎ)−f(t)2△ℎ=f ′（t ），故B 正确；C ：根据极限与导数的定义可判断C 正确；D：lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)f(x0+△x)−f(x0)=lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)△xf(x0+△x)−f(x0)△x=△x→0limg(x0+△x)−g(x0)△x△x→0limf(x0+△x)−f(x0)△x=g′(x0)f′(x0)，故D正确．故选：BCD．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，正项等比数列{b n}的前n项积为T n，则（）A．数列{S nn}是等差数列B．数列{3a n}是等比数列C．数列{lnT n}是等差数列D．数列{T n+2T n}是等比数列解：根据题意，设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则S n=d2n2+(a1−d2)n⇒S nn=d2n+(a1−d2)，依次分析选项：对于A，S nn−S n−1n−1=d2(n≥2)是常数，故A正确；对于B，易知3a n3a n−1=3a n−a n−1=3d(n≥2)是常数，故B正确；对于C，由lnT n﹣lnT n﹣1＝lnb n（n≥2）不是常数，故C错误；对于D，T n+2T n÷T n+1T n−1=b n+2b n=q2(n≥2)是常数，故D正确．故选：ABD．11．已知O为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线x=−p2作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与y轴相切B．若直线l过焦点F，则PF⊥QFC．若M，N两点的纵坐标之积为﹣8p2，则直线l过定点（4p，0）D．若OM⊥ON，则直线l恒过点（2p，0）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l过焦点F（p2，0）时，设其方程为x＝ty+p2，联立{x=ty+p2y2=2px，得y2﹣2pty﹣p2＝0，所以y1+y2＝2pt，y1y2＝﹣p2，所以x1+x2＝t（y1+y2）+p＝2pt2+p，对于选项A，线段MN中点坐标为（x1+x22，y1+y22），即（pt2+12p，pt），其到y轴的距离为pt2+12p，弦长|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p，因此以MN为直径的圆的半径为|MN|2=pt2+p≠pt2+12p，所以以MN 为直径的圆与y 轴不相切，即选项A 错误； 对于选项B ，由题意知，P （−p 2，y 1），Q （−p2，y 2），所以PF →⋅QF →=（p ，﹣y 1）•（p ，﹣y 2）＝p 2+y 1y 2＝p 2﹣p 2＝0，即PF ⊥QF ，故选项B 正确； 当直线l 不过焦点F （p2，0）时，设其方程为x ＝ty +m （m ≠0），联立{x =ty +m y 2=2px，得y 2﹣2pty ﹣2pm ＝0，所以y 1y 2＝﹣2pm ，所以x 1x 2=y 122p ⋅y 222p =4p 2m 24p2=m 2， 对于选项C ，若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则y 1y 2＝﹣2pm ＝﹣8p 2，所以m ＝4p ， 所以直线l 的方程为x ＝ty +4p ，过定点（4p ，0），即选项C 正确；对于选项D ，若OM ⊥ON ，则OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣2pm ＝m （m ﹣2p ）＝0， 因为m ≠0，所以m ＝2p ，所以直线l 的方程为x ＝ty +2p ，过定点（2p ，0），即选项D 正确． 故选：BCD ．12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17解：因为CQ →=CB →+BQ →=−AD →+2BA 1→=−AD →+2（AA 1→−AB →）＝﹣2AB →−AD →+2AA 1→， 所以QC →=−CQ →=−（﹣2AB →−AD →+2AA 1→）=AD →+2AB →−2AA 1→，故A 正确；如图以A 1为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B （0，1，﹣1），D 1（﹣1，0，0），D （﹣1，0，﹣1），Q （0，﹣1，1），C （﹣1，1，﹣1），A （0，0，﹣1），P （1，﹣1，0），F （1，0，0），BD →=(−1，−1，0)，CQ →=(1，−2，2)，AD 1→=(−1，0，1)，CP →=(2，−2，1)，CF →=（2，﹣1，1），对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM →=λCQ →，λ∈[0，1]， 则BM →=BC →+CM →=（﹣1，0，0）+λ（1，﹣2，2）＝（λ﹣1，﹣2λ，2λ）， 所以BM →•BD →=−（λ﹣1）+2λ＝λ+1，所以当＝1时，(BM →⋅BD →)max =2，故B 正确； 对于C ：|CF →|=√22+(−1)2+12=√6，CF →⋅CQ →|CQ →|=222=2， 所以点F 到直线CQ 的距离d =√|CF →|2−(CF →⋅CQ→|CQ →|)2=√2，故C 错误；对于D ：因为cos ＜CQ →，AD 1→＞=CQ →⋅AD 1→|CQ →|⋅|AD 1→|=13√2=√26， 所以sin ＜CQ →，AD 1→＞=√1−(√26)2=√346，所以tan〈CQ →，AD 1→〉=√17，即异面直线CQ 与 AD 1所成角的正切值为√17，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝ e sin x •cos x ． 解：根据题意，可得f '（x ）＝e sin x •（sin x ）′＝e sin x •cos x ． 故答案为：e sin x •cos x ．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为 3 ．解：平面内两定点A，B间的距离为3，设A（−32，0），B（32，0），P（x，y），由|PA||PB|=2，得√(x+3)2+y2√(x−2)2+y2=2，所以(x−52)2+y2=4，所以要使△P AB的面积最大，只需点P到AB的距离最大，如图所示：由图可知当点P到AB的距离h＝r＝2 时，△P AB面积的最大值，故S△P AB的最大值为12×3×2=3．故答案为：3．15．已知点P是抛物线y2＝4x上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为√22．解：由抛物线的方程y2＝4x可得焦点F（1，0），A（﹣1，0）在准线上，过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的性质可得|PF|＝|PD|，在△P AD中，|PD||PA|=cos∠DP A＝cos∠P AF，所以|PD||PA|最小时，则cos∠P AF最小，则∠P AF最大，而∠P AF最大时即过点A的直线与抛物线相切，设P（x，y）在第一象限，y＞0，由y2＝4x可得y＝2√x，y'=√x，所以在P处的切线的斜率为√x =y−0x+1=2√xx+1，整理可得：2x＝x+1，解得x＝1，代入抛物线的方程可得y＝2，即P（1，2），所以|PF||PA|的最小值为|PD||PA|=√[1−(−1)]2+22=√22．故答案为：√2 2．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=2698．解：由题意，斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…每项被4除所得的余数构成数列{b n}，可得数列{b n}的各项分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即数列{b n}中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，所以数列{b n}在一个周期内的和为1+1+2+3+1+0＝8，因为2024＝337×6+2，所以∑2024i=1b i=337×8+b1+b2＝2698．故答案为：2698．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．解：（1）设切点为（x0，f（x0）），切线斜率k=f′(x0)=3x02−1，∴切线方程为y−(x03−x0+1)=(3x02−1)(x−x0)，∵所求切线过点A（1，0），∴−x03+x0−1=3x02−1−3x03+x0，解得：x0＝0或x0=3 2．当x0＝0时切线方程为y＝﹣x+1；当x0=32时切线方程为y=234x−234．（2）由f′（x）＝3x2﹣1＝2，解得x＝±1，∴B（1，1）或B（﹣1，1）．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．解：（1）由于圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点，故|r﹣3|＜5＜r+3，整理得：2＜r＜8，即r∈（2，8）．（2）∵OD＝r＝4，所以：x2+y2＝16，根据圆与圆的位置，CD＝3，OC＝5，所以△OCD为直角三角形，利用面积相等，所以DE=2⋅3⋅45=245．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）根据题意，n≥2时，a n=s n−s n−1=n2−(n−1)2=2n−1，n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1﹣1，故a n＝2n﹣1；（2）由（1）的结论，可知b n=2n⋅22n−1=n⋅22n=n⋅4n，故T n=b1+b2+⋯+b n=1⋅41+2⋅42+⋯+n⋅4n，可得4T n=1⋅42+2⋅43+⋅⋯⋅(n−1)⋅4n+n⋅4n+1，两式相减，得3T n=n⋅4n+1−(41+42+⋯+4n)=n⋅4n+1−1−4n1−4⋅4=n⋅4n+1−43⋅(4n−1)=(n−1 3)4n+1+43所以T n=(n3−19)⋅4n+1+49．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明：由题意知，点O既是AC的中点，也是BD的中点，因为P A＝PC，PB＝PD，所以PO⊥AC∵PB＝PD，PO⊥BD⇒PO⊥AC又AC ∩BD ＝O ，AC 、BD ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为坐标原点，OD ，OC ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （−√2，0，0），C （0，√2，0），P （0，0，1），E （2√23，0，13）， 所以PB →=(−√2，0，−1)，BC →=(√2，√2，0)，CE →=(2√23，−√2，13)， 设平面PBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PB →=0n →⋅BC →=0，即{−√2x −z =0√2x +√2y =0， 取x ＝1，则y ＝﹣1，z =−√2，所以n →=(1，−1，−√2)， 设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →|⋅|n →|=|2√23+√2−√23|√89+2+19×2=2√69， 故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为2√69． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，b n =n −(−1)n a n ，（n ∈N *），若A ={n|n ≤100且T n ≤100，n ∈N ∗}，求集合A 中所有元素的和．解：（1）由a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1，即a n +1﹣a n ＝n +1， 可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n ﹣a n ﹣1）＝1+2+3+...+n =12n （n +1）；（2）b n =n −(−1)n ⋅n(n+1)2，显然，当n 为偶函数，n −n(n+1)2＜0， T 2k =(1+2+⋯+2k)+12⋅[1⋅2−2⋅3+3⋅4−4⋅5+⋯+(2k −1)⋅2k −2k ⋅(2k +1)]=k ⋅(2k +1)+12⋅[−2⋅2−2⋅4−⋯−2⋅2k]＝2k 2+k ﹣（2+4+⋯+2k ）＝2k 2+k ﹣k （k +1）＝k 2，由k 2≤100， ∴k ≤10．则T 2，T 4，…，T 20满意题意；T 2k+1=k 2+(2k +1)+(2k +1)⋅(k +1)=3k 2+5k +2≤100，可得k ≤4， ∴T 1，T 3，T 5，T 7，T 9满足．∴A 中所有元素和为（1+3+5+7+9）+（2+4+⋯+20）＝25+110＝135． 22．（12分）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F ．点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，过点M 的直线与椭圆交于A 、B 两点（点B 在点A 右侧），直线AN 、BN 分别与椭圆相切且交于点N ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，则M 点与N 点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．解：（1）椭圆C 的长轴长为4，则2a ＝4，所以a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，所以b =√3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）由（1）知，x 24+y 23=1，由点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，设M （﹣1，y μ），则直线AB 的方程为y ﹣y μ＝k （x +1），联立直线和椭圆的方程，可得{y =kx +k +y μ3x 2+4y 2=12，则3x 2+4(kx +k +y μ)2=12，所以(4k 2+3)x 2+8(k +y μ)⋅kx +4⋅(k +y μ)2−12=0， 所以{x 1+x 2=−8(k+y μ)k4k 2+3x 1x 2=4(k+y μ)2−124k 2+3，所以k AF =k BF ⇔y 1x 1+1=−y 2x 2+1， 所以（x 2+1）•y 1+（x 1+1）•y 2＝0，所以（x 2+1）（kx 1+k +y μ）+（x 1+1）•（kx 2+k +y μ）＝0， 所以2（2x 1x 2+（2k +y μ）（x 1+x 2）+2（k +y μ）＝0，2k 2+3ky μ+y μ2⇔2k[4(k 2+y μ)2−12]−8k(2+k μ)(2k +y μ)+2⋅(k +y μ)⋅(4k 2+3)=0 ⇔8k 2+16k 2y μ+8ky μ2−24k −16k 3−24k 2y μ−8ky μ2+8k 2+6k +8k 2y μ+6y μ=0，所以6y μ＝18k ，所以y μ＝3k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则直线AN 的方程为x⋅x 14+y⋅y 13=1，所以x =4x 1⋅(1−y⋅y 13)， 直线BN 的方程为x⋅x 24+y⋅y 23=1，所以x =4x 2⋅(1−y⋅y 23)，所以1−y⋅y 13x 1=1−y⋅y 23x 2，所以x2（3﹣y•y1）＝x1•（3﹣y•y2），3（x2﹣x1）＝（x2y1﹣x1y2）•y N，所以y N=3(x2−x1)x2y1−x1y2．因为x2y1﹣x1y2＝x2（kx1+k+yμ）﹣x1（kx2+k+yμ）＝（k+yμ）（x2﹣x1），所以y N=3k2+yμ=34k，所以yμ⋅y N=94为定值．。
浙江省杭州市数学高二上学期理数期末考试试卷
浙江省杭州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A .B .C .D . 与b有关2. （2分）(2018·武邑模拟) 命题“ ”的否定为（）A .B .C .D .3. （2分）直线与圆相切，则实数等于（）A . 或B . 或C . 或D . 或4. （2分）设l ， m ， n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若mÌβ，n是l在β内的射影，m⊥l ，则m⊥n；③若mÌα，m∥n ，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题为A . ①②B . ①②③C . ①②③④D . ③④5. （2分） (2015高二上·莆田期末) 已知椭圆 +y2=1上一动点P，F为其右焦点，椭圆内一定点A（0，），则|AP|+ |AF|的最小值（）A .B . 1C .D . 26. （2分）已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为（）A . 1B .C .D .7. （2分） (2019高二上·丽水期中) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且 =-2 ，则|AB|=（）A . 3B . 6C . 9D . 128. （2分）已知空间4个球，它们的半径分别为2,2,3,3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）已知实数，满足某一前提条件时，命题“若，则”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数，应满足的前提条件是________．10. （1分） (2018高二上·哈尔滨月考) 点关于直线的对称点的坐标为________.11. （1分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________.12. （1分） (2016高二下·浦东期末) 设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是________．13. （1分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是________14. （1分） (2016高一上·厦门期中) 设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2017高一下·盐城期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点．（1）证明：AC1∥平面BDE；（2）证明：AC1⊥BD．16. （5分） (2016高二上·台州期中) 已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．17. （10分）(2018·全国Ⅰ卷文) 如图,在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM 折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA（1）证明:平面ACD⊥平面ABC:（2） Q为线段AD上一点,P为线段BC上点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.18. （5分）(2018高二上·锦州期末) 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.（Ⅰ）求证：平面平面（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.19. （15分） (2018高一上·沈阳月考) 如图，在正方体中.E，F分别是，CD的中点。
杭州市数学高二上学期理数期末考试试卷C卷
杭州市数学高二上学期理数期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）“－3＜m＜5”是“方程表示椭圆”的（）．A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知集合,集合,那么集合等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二上·安徽期末) 曲线+=1.(m<6) 与+=1.(5<m<9)的（）A . 准线相同B . 离心率相同C . 焦点相同D . 焦距相同4. （2分）(2018·鸡西模拟) 在△ABC中，若，则△AB C的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰且直角三角形D . 等边三角形5. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，PF⊥x 轴，则k=（）A .B . 1C .D . 26. （2分）已知直线与平面α平行，P是直线上的一定点，平面α内的动点B满足：PB与直线成60°．那么B点轨迹是（）A . 双曲线B . 椭圆C . 抛物线D . 两直线7. （2分） (2016高一下·长春期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A . ﹣B .D .8. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知为实数，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，9. （2分） (2016高二下·洞口期末) 下列判断错误的是（）A . “am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件B . 命题“∀x∈R，x3﹣x2≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C . “若a=1，则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D . 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题10. （2分）设等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项的倒数之和为Tn,则的值为（）A .B .C .D .11. （2分）已知A点的坐标是(-1,-2,6)，B点的坐标是(1,2,-6)，O为坐标原点，则向量的夹角是（）B .C .D .12. （2分）正四棱锥所有棱长均为2，则侧棱和底面所成的角是（）A . 30°B . 45°C . 60 °D . 90°二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2015高二下·福州期中) 如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．则向量可用 = ， = ， = 表示为________．14. （1分）(2016·温岭模拟) 已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为________，目标函数4x2+y2的最小值为________．15. （1分） (2019高二上·集宁月考) 给出以下四个命题：⑴命题，使得，则，都有；⑵已知函数f(x)＝|log2x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则ab＝1；⑶若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面α平行于平面β；⑷已知定义在上的函数满足函数为奇函数，则函数的图象关于点对称．其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）16. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 已知P为椭圆 =1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2017高一下·长春期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量 =（﹣cosB，sinC）， =（﹣cosC，﹣sinB），且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．18. （5分） (2016高二上·呼和浩特期中) 已知{an}是等差数列，{bn}是各项为正的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an+bn};的前n项和Sn．19. （5分） (2016高一下·海珠期末) 一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：原料磷酸盐（单位：吨）硝酸盐（单位：吨）种类甲420乙220现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．（1）设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？20. （10分）(2018·郑州模拟) 已知等差数列的前项和为，且， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .21. （10分） (2017高二上·龙海期末) 已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：MQ∥平面PCB；（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；（3）求点A到平面MCN的距离．22. （10分） (2015高二上·怀仁期末) 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
浙江省杭州二中高二上学期期末测试题(数学理).doc
浙江省杭州二中高二上学期期末测试题（数学理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分，共 100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷相应空格中）1.双曲线221916x y -=的渐近线方程是 （ ）A.430x y ±=B.1690x y ±= C ．340x y ±= D. 9160x y ±=2.抛物线252x y=的焦点到准线的距离是（ ）A. 58B. 52C. 25D.543.若()1nx +展开式的二项式系数之和为64,则n 的值为 （ ） A.4 B.5 C.6 D.74.随机抽取某班n 个学生,得知其数学成绩分别为12,,na a a ⋅⋅⋅,则右边的程序框图输出的s 表示样本的数字特征是 （ ） A.中位数 B.平均数 C. 方差 D.标准差5．在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,2σ)(0)σ>,若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在(0,1)内取值的概率为 （ ） A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 6.已知七位评委为某民族舞蹈参赛演员评定分数的茎叶图 如右，图中左边为十位数，右边为个位数.去掉一个最高分 和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ） A.84, 4.84 B.84, 1.6C.85, 1.6D.85,4（ 第6题 ）7．从圆O:224x y+=上任意一点P向x轴作垂线,垂足为P',点M是线段PP'的中点,则点M的轨迹方程是（）A.1416922=+yxB.1416922=+xyC.1422=+yxD.1422=+yx8.直线l的极坐标方程为2cos sin3ρθρθ=+，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+.则直线l和圆C的位置关系为（）A.相交但不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离9．有一矩形纸片ABCD,按右图所示方法进行任意折叠,使每次折叠后点B都落在边AD上,将B的落点记为B',其中EF为折痕,点F也可落在边CD上,过B'作B'H∥CD交EF于点H,则点H的轨迹为（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为e，焦点为F1、F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点.设P为两条曲线的一个交点，若12PFePF=，则e的值为（）A. 12B.D. 2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答卷中相应横线上）11．从集合{1-，1，2，3}中任意取出两个不同的数记作,m n，则方程122=+nymx表示焦点在x轴上的双曲线的概率是．12．如图,在一个边长为2的正方形中随机撒入100粒豆子, 恰有60粒落在阴影区域内,则该阴影部分的面积约为. （第12题）（第9题）13.已知随机变量1(2,)3B ξ,31ηξ=-.则E η的值为 .14.直线122x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）截抛物线24y x =所得 弦长为 . Ks5u15. 右边程序运行后输出的结果是 .16．过点Ｐ（5，4）作与双曲线14522=-y x 有且只有一个公共点的直线共有 条 .三、解答题（本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（Ⅰ）画出散点图；（Ⅱ）根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y 与销售额x 之间的线性回归方程； （Ⅲ）若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少？（参考公式： 其中：211112,200nni ii i i x yx ====∑∑ ）18. （本小题满分10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P （4，m ）到焦点的距离为6.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若抛物线C 与直线2-=kx y 相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.19. （本小题满分10分）已知参赛号码为1～4号的四名射箭运动员参加射箭比赛.（ 第15题 ）（Ⅰ）通过抽签将他们安排到1～4号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（Ⅱ）设1号，2号射箭运动员射箭的环数为ξ,其概率分布如下表：①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中8环的概率； ②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的平均水平高？并说明理由．（本小题满分12分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，且原点O 到直线1x y a b +=的距离为7d =．（Ⅰ）求椭圆的方程 ；（Ⅱ）过点M 作直线与椭圆C 交于,P Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值.参 考 答 案一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 41 . 12. 125 . 13. 1 .14. 8 . 15. b= 3732 . 16. 3 .5,30/56,17/5 3.4n x y ===== 3.40.560.4a =-⨯=（3分）则线性回归方程为ˆ0.50.4yx =+ （2分） (3) 将x=10代入线性回归方程中得到ˆ0.5100.4 5.4y =⨯+=（千万元）（2分）18. 解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为px y 22=，其准线方程为2px =-， （2分）∵P （4，m ）到焦点的距离等于A 到其准线的距离,4642p p ∴+=∴=∴抛物线C 的方程为x y 82= （2分） （Ⅱ）由⎩⎨⎧-==282kx y xy 消去y ，得 22(48)40k x k x -++= （2分）∵直线2-=kx y 与抛物线相交于不同两点A 、B ，则有0,64(1)0k k ≠∆=+> ，解得01≠->k k 且, （2分）又1222422x x k k ++==，解得 2,1k k ==-或（舍去）∴所求k 的值为2 （2分）19. 解：（1）从4名运动员中任取一名，其靶位号与参赛号相同，有14C 种方法，另3名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有2种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为3124824414==⋅=A C P （3分） （2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中8环的概率为 P=（1-0.2）（1-0.32）=0.544∴至少有一人命中8环的概率为p=1-0.544=0.456 （2分）②6.704.0103.092.083.0706.0604.0506.041=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE75.702.01032.0932.082.0705.0605.0504.042=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（3分）12E E ξξ<，所以2号射箭运动员的射箭的平均水平高 （2分）解：⑴∵12c e a == ∴222244()a c a b ==-，即2243b a = （1） （2分）又∵直线方程为1x y a b +=，即bx ay ab +=∴d ==，即2222712()a b a b =+ （2） （2分）联立（1）（2） 解得24a =,23b = ∴椭圆方程为22143x y += （2分）⑵由题意，设直线:PQ x my =+代人椭圆C ：223412x y +=化简，得22(34)30m y ++-=222)12(34)48(31)0m m ∆=++=+> ，则OPQ ∆的面积为12221223434S OP y y m m =-==++ （3分）S ∴=≤=所以，当222313,3m m +==时，OPQ ∆ （3分）。
浙江省杭州市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省杭州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）若，，则的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2019高二上·丽水期中) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且 =-2 ，则|AB|=（）A . 3B . 6C . 9D . 123. （2分） (2018高二下·台州期中) 若满足约束条件，则的最大值是（）A .B .C . 5D . 74. （2分） (2016高二上·吉林期中) 在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A . 一解B . 两解C . 一解或两解D . 无解5. （2分）等比数列中，，前3项之和，则数列的公比为（）A . 1B . 1或C .D . -1或6. （2分）(2017·日照模拟) 函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A . {x|x＞2或x＜﹣2}B . {x|﹣2＜x＜2}C . {x|x＜0或x＞4}D . {x|0＜x＜4}7. （2分）平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（）A . 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B . 2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0C . 2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D . 2x－y＋＝0或2x－y－＝08. （2分） (2016高二上·桓台期中) 已知2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D . 29. （2分）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A . 6B . 9C . 12D . 1810. （2分） (2016高二上·公安期中) 同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DD1的中点，则AA1与平面AEF所成角的余弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·双流期中) 已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题：） (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·无锡期末) 已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+ ）=________．14. （1分）(2012·江西理) 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．15. （1分） (2018高二上·泸县期末) 某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________16. （1分） (2016高一上·盐城期中) 下列四个命题：①定义在R上的函数f（x）满足f（﹣2）=f（2），则f（x）不是奇函数②定义在R上的函数f（x）恒满足f（﹣x）=|f（x）|，则f（x）一定是偶函数③一个函数的解析式为y=x2 ，它的值域为{0，1，4}，这样的不同函数共有9个④设函数f（x）=lnx，则对于定义域中的任意x1 ， x2（x1≠x2），恒有，其中为真命题的序号有________（填上所有真命题的序号）．三、解答题： (共6题；共45分)17. （5分） (2016高二下·上饶期中) 在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变成曲线x′2+y′2=1．18. （5分）数列中，，求，并归纳出．19. （5分） (2016高二上·郑州开学考) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：（Ⅰ）补全频率分布直方图；（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．20. （10分）(2014·四川理) 已知函数f（x）=sin（3x+ ）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）= cos（α+ ）cos2α，求cosα﹣sinα的值．21. （10分） (2018高三上·广东月考) 如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是菱形，．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正切值．22. （10分）已知焦点在x轴上的椭圆C： + =1，其离心率为，过椭圆左焦点F1与上顶点B的直线为l0 ．（1）求椭圆的方程及直线l0的方程；（2）直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，点P是椭圆上异于M，N的一点．①求证：当直线PM，PN存在斜率时，两直线的斜率之积为定值，即kPM•kPN为定值；②当直线l与点P满足什么条件时，△PMN有最大面积？并求此最大面积．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4、答案：略5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12、答案：略二、填空题：） (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16、答案：略三、解答题： (共6题；共45分)17、答案：略18、答案：略19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
杭州市高二上学期期末数学试卷(理科)B卷(测试)
杭州市高二上学期期末数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A . 若a＞b，则|a|＞|b|B . 若a＞b，则C . 若|a|＞b，则a2＞b2D . 若a＞|b|，则a2＞b22. （2分）已知抛物线方程为，直线l的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线L的距离为，则的最小值为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·沈阳模拟) 已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·哈尔滨月考) 双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0,3)，则k的值是（）A . 1B .C .D . －15. （2分）设m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A . ②和③B . ①和②C . ③和④D . ①和④6. （2分） (2018高三上·昭通期末) 椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，抛物线x2=4by 的焦点为B，且．则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）椭圆中，以点M（﹣1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（）A .B .C .D . -8. （2分） (2016高二上·湖北期中) 在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ +μ ，则λ+μ的值为（）A .B .C .D . 19. （2分）已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（）A .B . 2C .D . 410. （2分） (2016高二上·西安期中) 已知向量 =（﹣1，1，﹣1）， =（2，0，﹣3），则• 等于（）A . ﹣2B . ﹣4C . ﹣5D . 111. （2分） (2016高二上·台州期中) 圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0和圆x2+y2+6x﹣2y+6=0的公切线条数为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）下列函数是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=lnxB . y=x+C . y=x2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·丰台模拟) 己知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则M的标准方程为________.14. （1分） (2016高一下·武城期中) 给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα= ；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④ 是函数的一条对称轴方程；⑤函数的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是________（填序号）．15. （1分） (2020高二上·那曲期末) 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是________。
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杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理）时间 90分钟 命题 陈洁 校对 张先军 审核 孙惠华 注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规．一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则直线l 的方程是A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x2．已知A B C 、、三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A B C 、、一定共面的是A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111333OM OA OB OC =++ 3．已知平面内两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆”，那么 A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 4．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是 A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C ．若0a ≠且0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠5．已知βα,是两个不同平面，n m ,是直线，下列命题中不正确．．．的是 A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ B ．若//m α，n αβ=，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥6. 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且经过点()32,3-的双曲线的方程为A.194422=-y x B ．194422=-x yC ．149422=-x yD ．149422=-y x7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF = A ．23 B ．3C ．27 D ．48．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是C ．2D ．29. 已知四面体A BCD -的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形（如图，其中BC 为水平线），则其侧视图的面积是 A. 2 B. 22C.D.362 10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a-的大小关系为A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a -=- C.MO MT b a -<- D.不确定二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m = . 12．椭圆193622=+y x 的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________. 13. 在正ABC ∆中, D E 、分别为AB AC 、的中点,则以B C 、为焦点且过点D E 、的双曲线的离心率为 .14．若,x y 满足220,x y +-≤且220y x -≤，则z x y =+的最小值为 ．15．将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．对角线BD 折成四面体A BCD -，点E F 、 分别为AC BD 、的中点，则下列命题中正确的是 （将正确的命题序号全填上）：①//EF AB ； ②EF 与异面直线AC 、BD 都垂直； ③当四面体ABCD 的体积最大时，AC =；④AC 垂直于截面BDE .杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15．三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．（本小题满分12分）已知圆C ：22420(,0)x y tx y t R t t+--=∈≠与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点. （1）求证：OAB ∆的面积为定值；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，若OM ON =，求圆C 的方程.17．（本小题满分12分）已知曲线C 的极坐标方程是22(13sin )4ρθ+=，直线l的参数方程是6x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点M 为曲线C 上任一点，求M 到直线l 的距离的最大值.18．（本小题满分12分）如图，已知BCD ∆中，90BCD ∠=︒，AB ⊥平面B C D ，2,BC CD ==AB E F 、分别为AC AD 、上的动点.（1）若AE AFEC FD =,求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）若1AE EC =，2AFFD=，求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的大小.19．（本小题满分14分）过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点,设切线AP 、AQ 的斜率分别为1k 和2k ．(1)求证：124k k =-；(2)求证：直线PQ 恒过定点，并求出此定点坐标；(3)设APQ∆的面积为S，当SPQ最小时，求AQ AP的值．杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答案（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上．11．32 12．280x y +-= 131 14．12- 15．②③④ 三．解答题:本大题共4小题，共50分. 16．解：（1）由题意知，(2,0)A t ,4(0,)B t4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即OAB ∆的面积为定值． （2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21= t t 212=∴，解得：22-==t t 或 ①当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．②当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d , 圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x17．解：（1）22:1,4x C y += :260l x y +-=（2）设(2cos ,sin )M θθ，则M 到直线l 的距离d∴当sin()14πθ+=-，即5,(4M πθ=时，max d ==18．（1）证明：AB ⊥平面BCD ，AB CD ∴⊥。
又,CD BC CD ⊥∴⊥平面ABC .AE AFEC FD=，//EF CD ∴。
EF ∴⊥平面ABC ， EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC 。
（2）解法1：如图建立空间直角坐标系C xyz -则(2,0,0),B D A,1,(1,0,2AE E EC =∴,22,()33AF F FD =∴34(1,0,),(,2333BE BF ∴=-=-,设(,,),n x y z n =⊥平面BEF ，则0403x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，。
设1n ⊥平面BCD ，则1n 可取(0,0,1)，12cos ,2n n ∴<>= 所以，平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角为45︒。
法2：延长EF ,交CD 的延长线于G ，连结BG ， 过E 作EH BC ⊥于,H 则EH ⊥平面BCD ， 过H 作HK BG ⊥于K ，连结EK ,则EK BG ⊥，EKH ∴∠即为所求二面角的平面角。
11,2AE AE ABEC =∴==, 在Rt BCD ∆中，可以解得2HK =， ∴在Rt BCD ∆中，45EKH ∠=︒，即平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角为45︒。
19．解：（Ⅰ）设过)0,(a A 与抛物线12+=x y 的相切的直线的斜率是k ，则该切线的方程为：()y k x a =-，由()21y k x a y x ⎧=-⎨=+⎩得()210x kx ka -++= ()2241440k ka k ak ∴∆=-+=--=，则12,k k 都是方程2440k ak --=的解，故124k k =-。
（Ⅱ）法1：设()()1122,,,P x y Q x y ，故切线AP 的方程是：1112y y x x +=+，切线AQ 的方程是：2212y yx x +=+， 又由于A 点在AP 上，则1112y x a =+，2212yx a =+，1122y x a ∴=+，2222y x a =+则直线PQ 的方程是22+=ax y ，则直线PQ 过定点()0,2.法2：设221122(,1),(,1)2424k k k k P Q ++， 所以,直线PQ：1212211121112()()41()()2()422222k k k k k k k k k k y x x a x k k -++--=-=-=--，即2211114421244k k ak y ax ak ax -+=-++=+，由（1）知211440k ak --=， 所以，直线PQ 的方程是22+=ax y ，则直线PQ 过定点()0,2. （3）要使||APQ S PQ ∆最小，就是使得A 到直线PQ 的距离最小，而A到直线PQ的距离221122d ⎛⎫⎫===≥=即212a =时取等号.设()()1122,,,P x y Q x y ，由2221y xa y x =+⎧⎨=+⎩得2210x xa --=，则12122,1x x a xx +==-∴()()()()()()121212112222AQ AP x a x a y y x a x a ax ax ⋅=--+=--+++()()()2222212129143414324332a x x a x x a a a a a a =+++++=-++⋅++=+=.。