人教版数学八年级上册《13.3等腰三角形》专项练习(含答案)
人教版八年级上册数学《等腰三角形》同步训练含答案
八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。
人教版八年级上册《13.3等腰三角形》同步测试题(含答案解析)
等腰三角形测试题时间：90分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在▱ABCD中，，，的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为A. 3B.C. 2D.2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，于H，连接OH，，则的度数是A. B. C. D.3.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于A. 或B.C.D. 或4.已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是A. 18cmB. 21cmC. 18cm或21cmD. 无法确定5.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为，则的度数是A. B. C. D.6.如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为A. B. C. D. 或7.如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是A. 6B. 8C. 10D. 无法确定8.已知a、b、c是的三条边，且满足，则是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形9.如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是A.B. ，C. ，D. ，10.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，，过点E作，分别交BD，CD于G，F两点若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为A. 3B.C.D. 4二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，在中，，，，AD平分，交BC于点D，于E，则______ ．12.如图，，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．13.如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为______．14.平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．15.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．16.如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则______cm．17.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．18.如图，中，点D在边BC上，若，，则______度19.如图，在中，，AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______20.如图，在中，，，D是AB的中点，过点D作于点E，则DE的长是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，求证： ≌ ；若，求的度数．22.如图，在中，，E在CA延长线上，，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．23.如图，在▱ABCD中，AE平分交DC于点E，，，求EC的长．24.在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．求证： ≌ ；若，求度数．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图1，在中，于E，，D是AE上的一点，且，连接BD，CD．试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；如图3，若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．26.如图，中，，，于点E，于点D，BE与AD相交于F．求证：；若，求AF的长．答案和解析【答案】1. C2. A3. D4. C5. B6. D7. C8. C9. C10. C11. 312. 或或13. 或6s14. 32或3415. 816. 417. 1718. 2019. 3620.21. 证明：，，．，．又，≌ ．解： ≌．所以是等腰三角形．又，中，，，已知．22. 解：，理由为：证明：，，，，，，，，，，则EF与BC的位置关系是垂直．23. 解：在平行四边形ABCD中，则，，又AE平分，即，，即，又，，．故EC的长为3cm．24. 证明：，，在和中，，≌ ；，，，，，≌ ，，．25. 解：，，理由是：延长BD交AC于F．，，在和中≌ ，，，，，，，，；不发生变化．理由：，，，在和中≌ ，，，，，，，；能．和是等边三角形，，，，，，，在和中≌ ，，，即BD与AC所成的角的度数为或26. 解：，，，，，，，在和中，，≌ ，；连接CF，≌ ，，是等腰直角三角形．，，，，，BE是AC的垂直平分线．，．【解析】1. 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质能证得是等腰三角形是解此题的关键由平行四边形ABCD中，CE平分，可证得是等腰三角形，继而利用，求得答案．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，；故选C．2. 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得是等腰三角形是关键由四边形ABCD是菱形，可得，，又由，，可求得的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得是等腰三角形，继而求得的度数，然后求得的度数．【解答】解：四边形ABCD是菱形，，，，，，，，．故选A．3. 解：当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，三角形的顶角为．故选D．首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解答此题时考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．4. 解：当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长；当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长．因此这个等腰三角形的周长为18或21cm．故选：C．题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5. 解：是绕点O顺时针旋转后得到的图形，，，，，，由三角形的外角性质得，．故选B．根据旋转的性质可得，，再求出，，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．6. 解：当角是顶角时，顶角；当角是底角时，顶角；故选D．题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．7. 解：是AC的垂直平分线，，的周长故选C．垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解．本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点，熟练掌握等腰三角形的性质．8. 解：已知等式变形得：，即，，，即，则为等腰三角形．故选：C．已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状．此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9. 解：由可得，则为等腰三角形，故A可以；由且，可得 ≌ ，则可得，即为等腰三角形，故B可以；由，，无法求得或，故C不可以；由，，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得，故D可以；故选C．根据等腰三角形的判定逐项判断即可．本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．10. 解：解法一：如图1，过M作于K，过N作于P，过M作于H，则，，四边形MHPK是矩形，，，，N是EC的中点，，，，，同理得：，四边形ABCD为正方形，，是等腰直角三角形，，，，在中，由勾股定理得：；解法二：如图2，连接FM、EM、CM，四边形ABCD为正方形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是DG的中点，，，，≌ ，，过M作于H，由勾股定理得：，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是EC的中点，；故选C．方法三：连EM，延长EM于H，使，连DH，CH，可证 ≌HDM，再证 ≌ ，利用中位线可证．故选：C．解法一：作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：，，，利用勾股定理可得MN的长；解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明 ≌ ，则，利用勾股定理得：，，可得是等腰直角三角形，分别求的长，利用勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明是直角三角形．11. 解：延长CE交AB于F，，，平分，，在与中，，≌ ，，，，，，，，，，，，．故答案为：3．延长CE交AB于F，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，推出 ≌ ，根据全等三角形的性质得到，，，求得，由三角形的外角的性质得到，等量代换得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．12.解：，OC平分，，当E在时，，，；当E在点时，，则；当E在时，，则；故答案为：或或．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．13. 解：当时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作于点D，，，，，即运动的时间6s；当时，，，运动的时间故答案为：或6s．由于等腰三角形的另一腰不确定，故应分与两种情况进行讨论．本题考查的是等腰三角形的判定，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．14. 解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，平分，，，，当时，，平行四边形ABCD的周长是；当时，，平行四边形ABCD的周长是；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出，由已知得到，推出，分两种情况当时，求出AB的长；当时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出用的数学思想是分类讨论思想．15. 解：连接AD交EF与点，连结AM．是等腰三角形，点D是BC边的中点，，，解得，是线段AB的垂直平分线，．．当点M位于点处时，有最小值，最小值6．的周长的最小值为．连接AD交EF与点，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．16. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理关键要熟知等腰三角形的三线合一可得先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：，在直角中，由勾股定理得：，所以，．故答案为4．17. 解：若3为腰长，7为底边长，由于，则三角形不存在；若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故答案为：17．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．18. 解：若，，，又在等腰三角形ADC中，是三角形ADC的外角，，又，，故答案为：20．根据题意可知的度数，然后再利用是三角形ADC的一个外角即可求得答案．本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为的知识点，此题难度不大．19. 解：，，的垂直平分线MN交AC于D点．，平分，，，设为x，可得：，解得：，故答案为：36根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后表示出，再根据等腰三角形两底角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．20. 解：过A作于F，连接CD．中，，，．在中，由勾股定理，得，，，，，．故答案为：．过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；连接CD，由于，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出DE的长．此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．21. 由已知已知，，，可证 ≌ ；由可得，即是等腰三角形，又由，中，，可求出，即，从而求出的度数．本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．22. EF与BC垂直，理由为：由三角形ABC为等腰三角形且AD为底边上的高，利用三线合一得到AD为角平分线，再由，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到EF与AD平行，进而确定出EF与BC垂直．此题考查了等腰三角形的性质，外角性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．23. 本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握在平行四边形中，由于AE平分，所以不难得出，进而由AD及AB的长代入数据求解即可．24. 根据HL证明 ≌ ；因为是等腰直角三角形，所以，得，由中的全等得：，从而得出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形全等的性质和判定，知道等腰直角三角形的两个锐角是，除了熟知三角形一般的全等判定方法外，还要掌握直角三角形的全等判定HL：即有一直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等．25. 延长BD交AC于F，求出，证出 ≌ ，推出，，根据推出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，，根据求出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，根据三角形内角和定理求出即可本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．26. 根据等腰三角形腰长相等性质可得，即可求证 ≌ ，即可解题；连接CF，根据全等三角形的性质得到，得到是等腰直角三角形推出，BE是AC的垂直平分线于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证 ≌ 是解题的关键．。
人教版-八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题及答案
人教版-八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案学校班级姓名学号一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（）A．B．C．D．或2．一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（）A．40 B．50 C．40或50 D．不能确定3．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．AB=2BD B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．∠B=∠C4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD=BE，CD=CF，∠A=70°，那么∠FDE等于（）A．40°B．45°C．55°D．35°5．如图，已知中，AB=AC，E、D分别为、上的点，连接BD，DE，若AD=DE=BE，∠C=70°，则的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的点，且AE=BD，AD与CE交于点F，则∠DFC 的度数为（）A．45°B．60°C．65°D．75°7．如图，点B和点C是对应顶点，记，当时，与之间的数量关系为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，则BC的长是．10．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在直线BC上，CD＝CA，则∠DAB的度数为．11．如图，在中，∠C=90°，AD=ED，∠CDE=72°，则的大小等于度．12．如图，在等边中，BD=CE，与交于P，，垂足为，PD=2，PQ=6，则的长为.13．如图，在中，点在边上，于点，若的面积为6，则的面积为.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：AD=BE．15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．16．如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.17．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边，作等边△DCE，点B、E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE，按要求将图形补完整；（1）求证：△ADC≌△BDE；（2）求证：BD垂直平分CE．18．如图，在中，AB=AC，D为的中点，于点E，于点F，且DE=DF，连接，点G在的延长线上，且CD=CG．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长．参考答案：1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．C9．810．75°或15°11．5412．1413．1014．证明：在等边△ABC中，AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠DCA=120°．在△EAB和△DCA 中，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD=BE15．解：如图，连接AD∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点∴∠BAD=60°，AD⊥BC∴∠B=90°﹣60°=30°∵DE⊥AB∴∠ADE=90°﹣60°=30°设EA=x在Rt△ADE中，AD=2EA=2x在Rt△ABD中，AB=2AD=4x∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x∴EB：EA=3x：x=3．16．证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE在和中，.17．（1）解：补充图形如下：∵和都是等边三角形∴，CD=ED，∠ADB=∠CDE∴∴在和中∴（2）解：由（1）得∴在等腰中有∴由已知在等边三角形中有∴为的垂直平分线即垂直平分．18．（1）证明：∵，DF⊥BC∴∵D为的中点∴在与中∴∴∴∵∴∴是等边三角形；（2）解：由（1）知，是等边三角形∴∴∵∴连接，则∴∴∵∴∵∴∴∴CG=2。
人教版八年级上册数学 13.3 等腰三角形 同步习题(含答案)
13.3 等腰三角形同步习题一．选择题1．等腰三角形的两边长为3和7，则其周长为（）A．17B．13C．13或17D．以上都不对2．等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm 3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为（）A．8cm B．6cm C．cm D．5cm4．在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（）A．40°B．70°C．40°或70°D．100°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD，若∠BAD＝55°，∠B＝50°，则∠DEC的度数为（）A．125°B．120°C．115°D．110°6．如图，将边长为7cm的等边△ABC沿边BC向右平移5cm得到△A'B'C'，则四边形AA'C'B 的周长为（）A．30cm B．31cm C．32cm D．33cm7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC ＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°8．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD 的面积为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝15，DE ＝6，则CE的长为（）A．3.5B．4.5C．5D．5.510．如图，在等边△ABC中，BC＝4，D，E分别是AB，AC的中点，EF⊥BC于点F，连接DF．则DF等于（）A．2B．3C．D．2二．填空题11．如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝度．12．等腰三角形周长为20cm，则腰长xcm的取值范围是．13．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于．14．如图，在△ABC中，AE＝DE＝BD，AD＝EC，∠1＝17°，则∠EBC的度数是．15．如图，点C为线段AB上一点，且CB＝2，分别以AC、BC为边，在AB的同一侧作等边△ACD和等边△CBE，连接DE，AE，∠CDE＝30°，则△ADE的面积为．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）求∠ADB的度数．17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，说明你的理由．参考答案1．A2．B3．A4．B5．C6．B7．D8．B9．B10．C11．120．12．5＜x＜1013．90°或75°或15°14．56°15．416．（1）证明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠BCD，∴DB＝DC．在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，∴∠ADB＝（360°﹣90°）＝135°．17．解：（1）由①②或①③可以判定△ABC是等腰三角形；（2）由①②判定△ABC是等腰三角形，理由如下：在△BOE和△COD中，∵∠EBO＝∠DCO，BE＝CD，∠BOE＝∠COD，∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，即：∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．①③判定△ABC是等腰三角形，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵∠EBO＝∠DCO，∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，即：∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．。
人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形 课时训练(含答案)
人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练一、选择题1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，52. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD 与BD的长度之比为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶13. 如图，在等腰三角形中，若∠1＝110°，则∠2的度数为()A．35°B．70°C．110°D．35°或55°4. 如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知P A＝1，则PB()A．等于1 B．小于1C．大于1 D．最小为15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．86. 具备下列条件的三角形为等腰三角形的是链接听P27例1归纳总结() A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是()A．20°B．35°C．40°D．70°8. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD ＝20°，则∠ABD＝________°.14. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.15. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.三、解答题16. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.17. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．18. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)这条船继续向正北方向航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？19. 已知:如图所示，锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ，且OB=OC.(1)求证:△ABC 是等腰三角形;(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由.20. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB.∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.6. 【答案】D7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．10. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴△ACD 是等腰三角形．∵∠ADB ＝∠CAD ＋∠C ＝72°，∴∠ADB ＝∠B.∴AD ＝AB. ∴△ADB 是等腰三角形．二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵∠A ＝30°，AB ＝12，∴在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝12×12＝6. ∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，6 cm ，13 cm ，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，13 cm ，13 cm ，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．13. 【答案】50[解析] ∵AB ＝AC ，E 为BC 的中点，∴∠BAE ＝∠EAD ＝20°.∴∠BAD ＝40°，又∵BD ⊥AC ，∴∠ABD ＝90°－∠BAD ＝90°－40°＝50°.14. 【答案】2[解析] 过点P 作PE ⊥OB 于点E.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PE ＝PD.∵∠BOP ＝∠AOP ＝15°，∴∠AOB ＝30°. ∵PC ∥OA ，∴∠BCP ＝∠AOB ＝30°. ∴在Rt △PCE 中，PE ＝12PC ＝12×4＝2. ∴PD ＝PE ＝2.故答案是2.15. 【答案】28 cm三、解答题16. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.17. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．18. 【答案】解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝30°.∴AB＝BC.∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30 海里，即从海岛B到灯塔C的距离为30海里．(2)过点C作CP⊥AB于点P，则线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，∴∠PCB＝90°－60°＝30°.∴PB＝12BC＝15海里．∵15÷15＝1(时)，∴这条船继续向正北方向航行，在上午11时小船与灯塔C 的距离最短．19. 【答案】解:(1)证明:∵OB=OC ， ∴∠OBC=∠OCB.∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°， ∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC ， ∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形. (2)点O 在∠BAC 的平分线上.理由:连接AO 并延长交BC 于点F .在△AOB 和△AOC 中，∴△AOB ≌△AOC (SSS)，∴∠BAF=∠CAF ， ∴点O 在∠BAC 的平分线上.20. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.。
人教版数学八年级上册13.3 等腰三角形同步练习(解析版)
人教版数学八年级上册13.3：等腰三角形同步练习一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4 cm B．2 cm C．1 cm D．cm2．一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（）条．A．9B．7C．6D．33．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．下列判断不正确的是（）A．等腰三角形的两底角相等B．等腰三角形的两腰相等C．等边三角形的三个内角都是60°D．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（）A．6B．3C．9D．126．等腰三角形的对称轴，最多可以有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条7．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC边上一点，且AE＝AD，∠BAC ＝40°，则∠EDC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm10．如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对11．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（）A．a B．90°﹣a C．12a D．2a12．等腰三角形的底角为a，则a的取值范围是（）A．a≤45°B．0°＜a＜90°C．45°＜a＜90°D．0°≤a＜90°13．如图，在等边三角形ABC中，三条中线AE，BD，CF相交于点O，则等边三角形ABC 中，从△BOF到△COD需要经过的变换是（）A．轴对称变换B．旋转变换C．平移变换D．相似变换14．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（）A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm15．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cmC．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定二．填空题（共6小题）16．若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，则其顶角的度数为．若等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于50°，则其顶角的度数为．17．一个等腰三角形的腰长为3cm，则底边长的取值范围是．18．如图，AB＝AC，∠A＝100°，AB∥CD，则∠BCD＝度．19．等腰三角形的顶角与底角的度数之比为4：1，则它的各内角度数为．20．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝．21．（1）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为．（2）等腰三角形的一个角为50°，则底角是．三．解答题（共9小题）22．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．23．如图，已知AB＝AC，D为BC边中点，你能说出AD与BC的位置关系吗？请说明理由．24．如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？与其他同学进行交流．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．26．已知D是等腰△ABC底边BC上的一个点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，当D点在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．27．如图，AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，那么AD与BC平行吗？为什么？28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．30．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AC延长线上一点，且DE∥AB，求证：ED＝EC．人教版数学八年级上册13.3：等腰三角形同步练习参考答案一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4 cm B．2 cm C．1 cm D．cm【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB＝2cm，∴AC＝AB＝1cm，故选：C．2．一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（）条．A．9B．7C．6D．3【解答】解：由于任意一个三角形都有三条角平分线、三条高线、三条中线，而等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共7条．故选：B．3．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝60°，∵AD⊥CD，∴∠DAB＝90°，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠DAE＝60°∴图中60°的角有5个，故选：C．4．下列判断不正确的是（）A．等腰三角形的两底角相等B．等腰三角形的两腰相等C．等边三角形的三个内角都是60°D．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等，正确，故本选项错误；B、等腰三角形的两腰相等，正确，故本选项错误；C、等边三角形的三个内角都是60°，正确，故本选项错误；D、两个内角分别为120°、40°的三角形的第三个内角为20°，不是等腰三角形，故本选项正确．故选：D．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（）A．6B．3C．9D．12【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AC＝6，∴AD＝AC＝×6＝3，AB＝2AC＝2×6＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9．故选：C．6．等腰三角形的对称轴，最多可以有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条【解答】解：等腰三角形为等边三角形时对称轴最多，可以有3条．故选：B．7．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC边上一点，且AE＝AD，∠BAC ＝40°，则∠EDC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：∵在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，AD是∠BAC的角平分线，又∵AD＝AE，∠BAC＝40°，∴∠ADE＝80°∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故选：A．9．一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm【解答】解：当第三边是5cm时，则5+5＝10，不能构成三角形，当另一边长是10cm时，能构成三角形．故选：B．10．如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AC，∴AE＝AF．故图中除AB＝AC外，相等的线段共有4对．故选：D．11．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（）A．a B．90°﹣a C．12a D．2a【解答】解：如图，AB＝AC，BD是腰AC的高，则∠DBC＝α∴∠C＝90°﹣α∴∠A＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α故选：D．12．等腰三角形的底角为a，则a的取值范围是（）A．a≤45°B．0°＜a＜90°C．45°＜a＜90°D．0°≤a＜90°【解答】解：∵等腰三角形的底角为a，且三角形的内角和等于180°，∴0°＜2a＜180°，∴0°＜a＜90°．故选：B．13．如图，在等边三角形ABC中，三条中线AE，BD，CF相交于点O，则等边三角形ABC 中，从△BOF到△COD需要经过的变换是（）A．轴对称变换B．旋转变换C．平移变换D．相似变换【解答】解：∵△BOF与△COD是关于OE的轴对称图形，∴从△BOF到△COD需要经过轴对称变换．故选A14．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（）A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm【解答】解：此等腰三角形的底为4cm，则有2x＞4，解得x＞2，故选：B．15．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cmC．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定【解答】解：当该边是腰时，底边是32﹣20＝12cm，则另外两边是10cm，12cm；当该边是底时，则腰的长为：（32﹣10）÷2＝11cm，则另外两边是11cm，11cm；经检验，两种情况都符合三角形的三边关系．故选：C．二．填空题（共6小题）16．若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，则其顶角的度数为40°或140°．若等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于50°，则其顶角的度数为100°．【解答】解：（1）①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成50°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为40°；②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为40°，三角形的顶角为140°．（2）如图，①顶角是钝角时，∠B＝90°﹣50°＝40°，则顶角＝180°﹣2×40°＝100°，是钝角，符合；②顶角是锐角时，∠B＝90°﹣50°＝40°，∠A＝180°﹣2×40°＝100°，是钝角，不符合．故答案为：40°或140°；100°．17．一个等腰三角形的腰长为3cm，则底边长的取值范围是0＜底边＜6cm．【解答】解：∵3﹣3＝0，3+3＝6cm，∴底边的取值范围是0＜底边＜6cm．故答案为：0＜底边＜6cm．18．如图，AB＝AC，∠A＝100°，AB∥CD，则∠BCD＝40度．【解答】解：∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB＝（180﹣∠A）＝40°∵AB∥CD∴∠BCD＝∠B＝40°．故填40．19．等腰三角形的顶角与底角的度数之比为4：1，则它的各内角度数为120°，30°，30°．【解答】解：设等腰三角形的各角为4x，x，x∵4x+x+x＝180°∴x＝30°∴三个内角分别是120°，30°，30°．故填120°，30°，30°．20．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝5．【解答】解：由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180，∴x＝30，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴BC＝AB＝×10＝5．故答案为5．21．（1）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为40°，40°．（2）等腰三角形的一个角为50°，则底角是50°，65°．【解答】解：（1）∵等腰三角形的一个角为100°∴两底角的和＝180°﹣100°＝80°又∵等腰三角形的两底角相等∴两底角都为40°．（2）当50°的角是底角，则底角就为50°；当50°的角是顶角，则两底角的和等于130°，所以底角等于65°．故填40°，40°；50°，65°．三．解答题（共9小题）22．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．【解答】解：设等腰三角形的一边长为xcm，则另一边长为xcm，则等腰三角形的三边有两种情况：xcm，xcm，xcm或xcm，xcm，xcm，则有：①x+x+x＝28，得x＝8cm，所以三边为：8cm、8cm、12cm；②x+x+x＝28，得x＝7cm，所以三边为7cm、10.5cm、10.5cm．因此等腰三角形的三边的长为：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm．23．如图，已知AB＝AC，D为BC边中点，你能说出AD与BC的位置关系吗？请说明理由．【解答】解：AD⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，D为BC边中点，∴AD⊥BC．24．如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？与其他同学进行交流．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴BD＝CD，即AD也是中线，∴∠BAD＝∠CAD，即AD又是高线，所以等腰三角形底边上的中线、高以及顶角的角平分线重合．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．【解答】解：△ABD、△BCD．理由：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，解得：∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∠BDC＝∠C＝72°，∴△ABD与△BCD是等腰三角形．26．已知D是等腰△ABC底边BC上的一个点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，当D点在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．【解答】解：当D是BC中点时DE＝DF，理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C；∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD；∴△BDE≌△CDF；∴DE＝DF．27．如图，AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，那么AD与BC平行吗？为什么？【解答】解：AD∥BC．∵△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C，又∵∠EAC是△ABC的一个外角，∴∠EAC＝∠B+∠C＝2∠B，∵AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，∴2∠DAC＝∠EAC，∴∠C＝∠DAC，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．【解答】解：△AGF是等腰三角形；理由：∵GE∥AD，∴∠G＝∠CAD，∠BAD＝∠GF A，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠G＝∠GF A，∴AG＝AF，∴△AGF是等腰三角形．29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；（2）DE＝DF．理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，∴AD也是∠BAC的平分线．又∵△AEF是等腰三角形，∴AG是底边EF上的高和中线，∴AD⊥EF，GE＝GF，∴AD是线段EF的垂直平分线，∴DE＝DF．30．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AC延长线上一点，且DE∥AB，求证：ED＝EC．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AB∥ED，∴∠B＝∠D，∴∠ACB＝∠D，又∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ECD＝∠D，∴ED＝EC．。
第13章13.3等腰三角形(课堂练习)人教版数学八年级上册试题试卷含答案
1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：基础版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为__________．8．在ABC ∆中，40A ∠=︒，当C ∠=__________时，ABC ∆为等腰三角形．9．等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为__________．10．如图，四边形ABCD 中，4AD =，1BC =，30A ∠=︒，90B ∠=︒，120ADC ∠=︒，求CD的长．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D3．B4．C5．C6．7．120︒或75︒或30︒．8．40︒或70︒或100︒．9．1510．延长AD 、BC 交于E ，30A ∠=︒ ，90B ∠=︒，60E ∴∠=︒，120ADC ∠=︒ ，60EDC ∴∠=︒，EDC ∴∆是等边三角形，设CD CE DE x ===，4AD = ，1BC =，2(1)4x x ∴+=+，解得2x =，2CD ∴=．1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：提升版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．（★）下列三角形：①有两个角等于60︒的三角形；②有一个角等于60︒的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③D ．②③④8．（★）如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD ，CE 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，且DE BC ，36A ∠=︒，则图中等腰三角形共有__________个．9．（★）如图，ABC ∆是等边三角形，沿图中的虚线剪去B ∠，则12∠+∠的度数等于__________．10．（★）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D 3．B 4．C5．C6．7．A 8．129．240︒10．已知，在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，90ACB ∠=︒．求证：12BC AB =．证明：证法一：如图所示，延长BC 到D ，使CD BC =，连接AD ，易证AD AB =，60BAD ∠=︒．ABD ∴∆为等边三角形，AB BD ∴=，12BC CD AB ∴==，即12BC AB =．证法二：如图所示，取AB 的中点D ，连接DC ，有12CD AB AD DB ===，30DCA A ∴∠=∠=︒，60BDC DCA A ∠=∠+∠=︒．DBC ∴∆为等边三角形，12BC DB AB ∴==，即12BC AB =．证法三：如图所示，在AB 上取一点D ，使BD BC =，60B ∠=︒ ，BDC ∴∆为等边三角形，60DCB ∴∠=︒，90906030ACD DCB A ∠=︒-∠=︒-︒=︒=∠．DC DA ∴=，即有12BC BD DA AB ===，12BC AB ∴=．证法四：如图所示，作ABC ∆的外接圆D ，90C ∠=︒，AB 为O 的直径，连DC 有DB DC =，223060BDC A ∠=∠=⨯︒=︒，DBC ∴∆为等边三角形，12BC DB DA AB ∴===，即12BC AB =．1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：培优版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．（★★）如图，已知：30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ⋯⋯在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ⋯⋯在射线OM 上，△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ⋯⋯均为等边三角形，若11OA =，则△778A B A 的边长为（ ）A ．64B ．32C ．16D ．1288．（★★）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 在BC 上，AB AC =，BD BA =，点E 在BC的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠=__________．9．（★★）如图，在1ABA ∆中，28B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A A C =，连接2A C ．完成下列问题：（1）12A A C ∠的度数等于__________度；（2）如果继续在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =，连接3A D ，⋯，依此进行下去，那么以n A 为顶点的锐角的度数等于__________度．10．（★★）如图，ABC ∆为等边三角形，AE CD =，AD 、BE 相交于点P ， BQ AD ⊥于点Q ，3PQ =，1PE =．（1）求证：AD BE =；（2）求AD 的长．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D 3．B 4．C5．C6．7．A8．45︒9．（1）38；（2）1762n -．10．（1）证明：ABC ∆ 为等边三角形，AB CA BC ∴==，60BAE ACD ∠=∠=︒；在ABE ∆和CAD ∆中，60AB CA BAE ACD AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，(SAS)ABE CAD ∴∆≅∆，AD BE ∴=；（2）解：ABE CAD ∆≅∆ ，CAD ABE ∴∠=∠，60BPQ ABE BAD BAD CAD BAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；BQ AD ⊥ ，90AQB ∴∠=︒，906030PBQ ∴∠=︒-︒=︒，3PQ = ，∴在Rt BPQ ∆中，26BP PQ ==，又1PE = ，617AD BE BP PE ∴==+=+=．。
人教版八年级数学上册 13.3 等腰三角形 课后训练(含答案)
课后训练基础巩固1．若等腰三角形底角为72°，则顶角为()．A．108°B．72°C．54°D．36°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，则∠C＝()．A．72°B．60°C．75°D．45°3．若等腰三角形的周长为26 cm，一边为11 cm，则腰长为()．A．11 cm B．7.5 cmC．11 cm或7.5 cm D．以上都不对4．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有()．A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④5．如图所示，已知∠1＝∠2，要使BD＝CD，还应增加的条件是()．①AB＝AC②∠B＝∠C③AD⊥BC④AB＝BCA．①B．①②C．①②③D．①②③④6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则AB＝__________.能力提升7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过D点，且EF∥BC，图中等腰三角形共有()．A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是()．A．6 B．7 C．8 D．99．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1和∠2的关系是()．A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90°C．180°－∠1＝3∠2 D．180°＋∠2＝3∠110．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝4.2 cm，则AD＝__________.11．如图，若B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FED＝__________.12．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O.(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．13．(综合应用)如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长．14．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，且∠AEF＝∠AFE.求证：EF⊥BC.(第14题图) (第15题图)15．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，CH⊥BD，交B D的延长线于H，求证：BD＝2CH.16．(实际应用题)如图，某船上午11时30分在A处观测岛B在东偏北30°，该船以10海里/时的速度向东航行到C处，再观测海岛在东偏北60°，且船距海岛40海里．(1)求船到达C点的时间；(2)若该船从C点继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？参考答案1．D点拨：等腰三角形两底角相等，所以顶角为36°，故选D.2．A点拨：设∠A＝x，由已知可知，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，所以x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°，所以∠C＝72°，故选A.3．C点拨：边长为11 cm的边长可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况讨论．一种情况腰长为11 cm；另一种情况底边为11 cm，此时腰长为7.5 cm，两种情况都成立，故选C.4．D点拨：①②为判定定理，③每个外角都相等，则都是120°，所以每个内角都是60°，④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线，所以腰等于底，也是等边三角形，四个都成立，故选D.5．C点拨：①②说明△ABC为等腰三角形，由“三线合一”可知BD＝CD，由③能得到△ABD≌△ACD，所以BD＝CD，④不能得到BD＝CD，故选C.6．8点拨：由题意可知，在Rt△ACD和Rt△ABC中，∠ACD＝∠B＝30°，所以AC＝2AD，AB＝2AC.所以AB＝4AD＝4×2＝8.7．D点拨：由题意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三角形都是等腰三角形，共有5个，故选D.8．C点拨：如图，共有8个格点．注意3和8也是，故选C.9．D点拨：因为AB＝BD，所以∠B＝180°－2∠1，∠C＝∠1－∠2.因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.所以180°－2∠1＝∠1－∠2，整理得180°＋∠2＝3∠1，故选D.10．1.4 cm点拨：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，所以BD＝2AD.所以BC＝3DC＝3AD＝4.2(cm)．所以AD＝1.4 cm.11．20°点拨：运用一个外角等于和它不相邻的内角，及等腰三角形两底角相等可求出∠FED＝20°.12．(1)证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE(AAS)．∴AB＝DC.(2)解：△OEF为等腰三角形，理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC.∴OE＝OF.∴△OEF为等腰三角形．13．解：如图，过P作PE⊥OB，垂足为E.∵∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PD ⊥OA ，∴PD ＝PE .∵PC ∥OA ，∴∠CPO ＝∠AOP ＝15°.∴∠BCP ＝∠BOP ＋∠CPO ＝30°，在Rt △CPE 中，∠BCP ＝30°，∴PE ＝114 2.22PC =⨯=. ∴PD ＝PE ＝2.14．证明：如图，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝12BAC ∠. ∵∠AEF ＝∠AFE ， ∠BAC ＝∠AEF ＋∠AFE ， ∴∠EF A ＝12BAC ∠. ∴∠EF A ＝∠BAD .∴EF ∥AD ，∴EF ⊥BC .15．证明：如图，延长CH 、BA 交于点E .∵CH ⊥BD ，BD 是∠ABC 的角平分线， ∴∠CHB ＝∠EHB ＝90°，∠CBH ＝∠EBH . 又∵BH ＝BH ，∴△CBH ≌△EBH .∴CH ＝EH .∴CE ＝2CH .∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∴∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB .∵∠CAB ＝∠CAE ＝90°，∴∠E ＋∠ECA ＝90°.∵CH ⊥BD ，∴∠E ＋∠EBH ＝90°.∴∠ECA ＝∠EBH .∴△ECA ≌△DBA .∴CE ＝BD .∴BD ＝2CH .16．解：(1)∵∠A ＝30°，∠BCD ＝60°， ∴∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠ABC .∴AC ＝BC ＝40(海里),40÷10＝4(小时)． 答：船到达C 点的时间是15时30分．(2)在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝1122BC ×40＝20(海里),20÷10＝2(小时)．答：该船在17时30分到达D处．。
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方法三：在腰 AB 上找一点 D，作 DE∥BC，交 AC 于点 E，DE 作为分割线；
方法四：以顶点 A 为圆心，AD 为半径作弧，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，弧 DE 作为分割线．这些分割方法中分割线最短的是( )
A.方法一 B.方法二 C.方法三 D.方法四
8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角的度数为 （ ）
， 是 的垂直平分线，交 ，则 的度数为（ ）
于点
A．
B．
C．
D．
7、某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为 100 米，直角顶点为
A．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：
方法一：在底边 BC 上找一点 D，连接 AD 作为分D 作为分割线；
4、如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF 等于（ ） A：90° B： 75° C：70° D： 60°
5、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （ ）
A：75°或 15° B：75° C：15° D：75°和 30°
6、如图，在
中，
，交 于点 ．已知
Ａ．30° Ｂ．30°或 150° Ｃ．
Ｄ．
9、如图所示，BE⊥AC 于点 D，且 AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠ E＝（ ）
A.25°
B.27°
C.30°
D.45°
10、等腰直角三角形的一个底角的度数是 （ ） A． B． C． D． 11、已 知ΔABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 AC、 BC 边上，且 AD=CE,AE 与 BD 交于点 F,则∠AFD 的 度数为( ) A.60 ° B.45° C.75° D. 70°
17、如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC， 则∠C＝＿＿＿度.
。
14、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG= CD，DF=DE，则∠E= 度．
15、如图，△ABD、△ACE 都是正三角形，BE 和 CD 交于 O 点，则∠BOC=___ _______．
16、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG= CD，DF=DE，则∠E＝ 度．
2、如图，等腰△ABC 的周长为 21，底边 BC ＝ 5，AB 的垂直平分线 DE 交 A
B 于点 D，交 AC 于点 E，则△BEC 的周长为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
3、如图，在正三角形
，
，
（）
中， ， ， 分别是 ，
，则
的面积与
A．1∶3 B．2∶3 C． ∶2 D． ∶3
， 上的点， 的面积之比等于
八年级上册 13.3 等腰三角形 专项练习（含答案）
（满分：100 分） 班级：______ 姓名：______ 学号：____ 成绩：____ 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1、如右图所示，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，下列结论中不正确 的是（ ） A、AB＝2BD B、AD⊥BC C、AD 平分∠BAC D、∠B＝∠C
12、如图，
中，
为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
，
，
Ｄ．
垂直平分
，则
的度数
二、填空题
13、如图，以等腰直角三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三 角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角 三角形 A1BB1，如此作下去。若 OA=OB=1，则第 个等腰直角三角形的面积