2013年全国卷数学试题及答案(理)

由于〈，2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π－arccos .
20．、甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
15．记不等式组 所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
15. [解析]已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC及其内部，直线y＝a(x＋1)是过点(－1，0)斜率为a的直线，该直线与区域D有公共点时，a的最小值为MA的斜率，最大值为MB的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA的斜率等于 ＝ ，MB的斜率等于 ＝4，故实数a的取值范围是 .
· ＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4
＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝ ，所以k＝ ＝2.
12．、已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是()
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称
＝ ＋2×
＝ ，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.
19．、如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求二面角A－PD－C的大小．
19．解：(1)取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
联结OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，
故OE⊥BD，从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，
4．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()
A．(－1，1)B.
C．(－1，0)D.
4．B[解析]对于f(2x＋1)，－1<2x＋1<0，解得－1<x<－ ，即函数f(2x＋1)的定义域为 .
5．函数f(x)＝log2 (x>0)的反函数f－1(x)＝()
A. (x>0)B. (x≠0)
9．、若函数f(x)＝x2＋ax＋ 在 是增函数，则a的取值范围是()
A．[－1，0]B．[－1，＋∞)
C．[0，3]D．[3，＋∞)
9．D[解析]f′(x)＝2x＋a－ ≥0在 上恒成立，即a≥ －2x在 上恒成立，由于y＝ －2x在 上单调递减，所以y<3，故只要a≥3.
10．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()
21．解：(1)由题设知 ＝3，即 ＝9，故b2＝8a2.
故CD⊥平面PBD.
又PD⊂平面PBD，所以CD⊥PD.
取PD的中点F，PC的中点G，连FG.
则FG∥CD，FG⊥PD.
联结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.
所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．
联结AG，EG，则EG∥PB.
又PB⊥AE，所以EG⊥AE.
设AB＝2，则AE＝2 ，EG＝ PB＝1，
取y＝－1，得x＝0，z＝1，故1＝(0，－1，1)．
设平面PAD的法向量为2＝(m，p源自q)，则2· ＝(m，p，q)·( ，0， )＝0，
2· ＝(m，p，q)·( ，－ ，0)＝0，
可得m＋q＝0，m－p＝0.
取m＝1，得p＝1，q＝－1，故2＝(1，1，－1)．
于是cos〈，2〉＝ ＝－ .
13．已知α是第三象限角，sinα＝－ ，则cotα＝________．
13．2 [解析]cosα＝－ ＝－ ，所以cotα＝ ＝2 .
14．、6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)
14．480[解析]先排另外四人，方法数是A ，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A ，根据乘法原理得不同排法共有A A ＝24×20＝480种．
B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，
B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，
B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝ ，
P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝ ，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－ － ＝ ，
2013·全国卷(理科数学)
1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()
A．3B．4
C．5D．6
1．B[解析]1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．
2．(1＋ i)3＝()
A．－8B．8
8．、椭圆C： ＋ ＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()
A. B.
C. D.
8．B[解析]椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2＝ · ＝ ，而 ＋ ＝1，即y ＝ (4－x )，所以kPA1kPA2＝－ ，所以kPA1＝－ ∈ .
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝ .
(2)X的可能取值为0，1，2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，
E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝ .
21．、、已知双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为 .
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝ 对称
C．f(x)的最大值为
D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
12．C[解析]因为对任意x，f(π－x)＋f(π＋x)＝cosxsin2x－cosxsin2x＝0，故函数f(x)图像关于点(π，0)中心对称；因为对任意x恒有f(π－x)＝cosxsin2x＝f(x)，故函数f(x)图像关于直线x＝ 对称；f(－x)＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，故f(x)既是奇函数也是周期函数；对选项C中，f(x)＝2cos2xsinx＝2(1－sin2x)sinx，令t＝sinx∈[－1，1]，设y＝(1－t2)t＝－t3＋t，y′＝－3t2＋1，可得函数y的极大值点为t＝ ，所以y在 上的极大值为－ ＋ ＝ ，函数的端点值为0，故函数y在区间 的最大值为 ，函数f(x)的最大值为 ，所以选项C中的结论错误．
17．、等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a ，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
17．解：设{an}的公差为d.
由S3＝a ，得3a2＝a ，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列得S ＝S1S4.
又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．
所以sin∠CDE＝ ＝ .
11．、已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若 ·MB＝0，则k＝()
A. B.
C. D．2
11．D[解析]抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.
C．2x－1(x∈)D．2x－1(x>0)
5．A[解析]令y＝log2 ，则y>0，且1＋ ＝2y，解得x＝ ，交换x，y得f－1(x)＝ (x>0)．
6．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－ ，则{an}的前10项和等于()
A．－6(1－3－10)B. (1－310)
C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)
C．－8iD．8i
2．A[解析](1＋ i)3＝13＋3×12( i)＋3×1×( i)2＋( i)3＝1＋3 i－9－3 i＝－8.
3．已知向量＝(λ＋1，1)，＝(λ＋2，2)，若(＋)(－)，则λ＝()
A．－4B．－3
C．－2D．－1
3．B[解析](＋)⊥(－)⇔(＋)·(－)＝0⇔2＝2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.
若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，
此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，
解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.
18．、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sinAsinC＝ ，求C.