大学物理下1分子运动论(1)
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大学物理(第三版)热学 第二章
一、 理想气体的微观图象
1. 质点 P nkT P 0
在 T 一定的情况下 n 值小 意味着分子间距大 2 .完全弹性碰撞
3. 除碰撞外 分子间无相互作用 f=0
范德瓦耳斯力(简称：范氏力)
f
斥力
合力
r0
O
s
10 -9m r
d
引力
分子力
气体之间的距离
r 8r0 引力可认为是零 可看做理想气体
第3步：dt时间内所有分子对dA的冲量
dI dIi ix 0
1 2
i
dIi
nimi2xdtdA
i
dIi
2ni mi2xdtdA
第4步：由压强的定义得出结果
P
dF dA
dI dtdA
i
ni
m
2 ix
i dA
ixdt
P
dF dA
dI dtdA
2. 气体分子的自由度
单原子分子 双原子分子 多原子分子
i3 i5 i6
二、 能量按自由度均分原理 条件：在温度为T 的平衡态下 1.每一平动自由度具有相同的平均动能
1 2
kT
1 3
3 2
kT
1 2
m
1
3
2
1 2
m
2 x
1 2
m
2 y
1 2
m
2 z
每一平动自由度的平均动能为 1 kT
2
2.平衡态 各自由度地位相等
每一转动自由度 每一振动自由度也具有 与平动自由度相同的平均动能 其值也为 1 kT
大学物理气体动理论基础
玻尔兹曼方程
玻尔兹曼方程是描述气体分子动理学行为的偏微分方程，它基于分子混沌 近似。
玻尔兹曼方程描述了气体分子速度分布随时间的变化，以及分子与器壁碰 撞后速度的改变。
通过求解玻尔兹曼方程，可以得到气体分子的速度分布、分子碰撞频率、 分子平均自由程等物理量。
输运过程的近似处理
01
输运过程是指气体分子通过器壁的传递过程，包括 扩散、热传导和粘性流动等。
气体动理论在新能源、环保、生物医 学等领域的应用前景广阔，为解决实 际问题提供了重要的理论基础。
THANKS
感谢观看
热传导的应用
在能源、化工、航空航天等领域，利用热传导原 理实现热量传递和热能利用。
气体扩散
扩散现象
气体分子在浓度梯度作用下，通过随机运动传递物质的过程。
扩散定律
扩散通量与浓度梯度成正比，与气体分子的扩散系数有关。
扩散的应用
在环保、化工、生物医学等领域，利用扩散原理实现物质的分离 和传输。
气体粘性
02
在处理输运过程时，可以采用近似方法来简化问题 ，如扩散系数近似、粘性系数近似等。
03
通过这些近似处理，可以得到输运过程的宏观规律 ，如菲克定律、斯托克斯定律等。
04
气体动理论的应用
气体热传导
热传导现象
气体分子在热能作用下，通过碰撞传递能量的过 程。
热传导定律
热能传递速率与温度梯度成正比，与气体分子间 的相互作用力有关。
粘性现象
01
气体分子在相对运动中，由于碰撞产生的阻力。
牛顿粘性定律
02
粘性力与速度梯度成正比，与气体分子的碰撞频率和分子间的
相互作用力有关。
粘性的应用
03
大学物理-气体分子动理论
v
v１ v２ v３ … …
Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
速率为 vi 的概率为：
Pi
Ni N
长时间“观测”理想气体分子的速率 v ：
v
0 ~ +∞ 连续分布
速率为 v → v + dv 的概率为：
Pv~vdv
dNv N
0
???
速率分布函数
Pv~vdv
dNv N
f (v)dv
f (v) dNv Ndv
刚性双原子分子的动能
分子动能
平动动能
t x
t y
t z
转动动能
r
r
t x
t y
t z
r
r
1 kT 2
t x
t y
t z
r
r
5 kT 2
温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子
平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分
理想气体分子的平均能量
分子模型 刚性单原子分子 刚性双原子分子 刚性多原子分子
每个分子频繁地发生碰撞，速度也因此不断变化；
二、压强形成的微观解释
单个分子与器壁碰撞 冲力作用瞬间完成，大小、位置具有 偶然性；
大量分子（整个气体系统）与器壁碰撞 气体作用在器壁上是一个持续的、不 变的压力；
压强是气体分子给容器壁冲量的 统计平均量
三、理想气体的压强公式
建立三维直角坐标系 Oxyz
vz i N
气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。
vx vy vz
气体分子速率平方的平均值
v v1 v2 v3 … …
Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
v
大学物理学分子运动
p Mg ln h p0 RT
p p0
Mgh e RT
恒温气压公式
大气压随高度按指数规律减小。
高度差太大,会有温差,按此式计算有误差。
9
§3 理想气体的压强
一. 微观模型
1. 对单个分子的力学性质的假设
(理想气体的微观假设) 分子当作质点，不占体积； （因为分子的线度<<分子间的平均距离） 分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。（忽略重力） 弹性碰撞（动能不变） 服从牛顿力学 分子数目太多，无法解这么多的联立方程。 即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万变， 必须用统计的方法来研究。
二、状态参量:
1、气体所占的体积V:
m
3
4
2、压强P: 帕
Pa N
m2
1帕=10巴
1厘米汞高 1.333 103帕
1大气压 1.013 105帕
3、温度T: K T= t +273.16 三、平衡态: 在不受外界影响的条件下,一个系统的宏观性
质不随时间改变的状态。热动平衡
平衡过程:气体从一个状态变化到另一个状态,其间所经历的
1ev 1.6 1019
2 E 2 1012 1.6 1019 T m 3 8.31 0.1 iR M来自 1.28 107 K
22
§6 麦克斯韦速率分布律
单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循统计规律， 是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。 一、分子速率的测定:
T2
T3
同一时刻观察大量分子的速率 和长时间观察一个分子的速率 结果一样 历史的发展是先有 麦克斯韦速率分布 函数.
vp
v
5.分子动理论 大学物理习题答案
当 v vp 解：(1) 速率分布曲线如右图。
vp
.099v p时，x 0.99 ； v v p
vp
(2) 由归一化条件
0
v0
1 f (v) d v 1 ， c d v cv 0 1 ，得 c v0 0
v0
f (v)
C
(3) v vf (v) d v v c d v
大学物理练习册—分子动理论
理想气体状态方程 5-1 一容器内储有氧气，其压强为 1.01105Pa，温度为 270C，求： （1）气体分子的数密度； （2）氧气的质 量密度； （3）氧分子的质量； （4）分子间的平均距离（设分子均匀等距分布） 。 解：(1) p nkT ， n
p 1.01 105 2.44 1025 /m 3 kT 1.38 1023 (273 27)
5-4 体积 V 10 3 m 3 ，压强 p 10 5 Pa 的气体分子平均平动动能的总和为多少？ 解： t N
N 3 pV kT ，其中 N 为总分子数。 p nkT kT ， N 2 kT V pV 3 3 3 t kT pV 105 103 150 J kT 2 2 2
m M pV RT ，T mol M mol mR
t
3 3 M pV 3 2 10 3 3.9 105 4.0 103 kT k mol 1.38 10 23 3.88 1022 J 2 2 mR 2 2 102 8.31
2 RT 可知，在相同温度下， M mol 大的气体 v p 小， M mol
f(v) I II
所以曲线 对应氢气的分布，即 v p H 2000 m/s
vp
.099v p时，x 0.99 ； v v p
vp
(2) 由归一化条件
0
v0
1 f (v) d v 1 ， c d v cv 0 1 ，得 c v0 0
v0
f (v)
C
(3) v vf (v) d v v c d v
大学物理练习册—分子动理论
理想气体状态方程 5-1 一容器内储有氧气，其压强为 1.01105Pa，温度为 270C，求： （1）气体分子的数密度； （2）氧气的质 量密度； （3）氧分子的质量； （4）分子间的平均距离（设分子均匀等距分布） 。 解：(1) p nkT ， n
p 1.01 105 2.44 1025 /m 3 kT 1.38 1023 (273 27)
5-4 体积 V 10 3 m 3 ，压强 p 10 5 Pa 的气体分子平均平动动能的总和为多少？ 解： t N
N 3 pV kT ，其中 N 为总分子数。 p nkT kT ， N 2 kT V pV 3 3 3 t kT pV 105 103 150 J kT 2 2 2
m M pV RT ，T mol M mol mR
t
3 3 M pV 3 2 10 3 3.9 105 4.0 103 kT k mol 1.38 10 23 3.88 1022 J 2 2 mR 2 2 102 8.31
2 RT 可知，在相同温度下， M mol 大的气体 v p 小， M mol
f(v) I II
所以曲线 对应氢气的分布，即 v p H 2000 m/s
大学物理101气体分子运动论
P F S
国际单位：牛顿/米2，N·m-2, 帕（Pa） 1 Pa=1 N·m-2,
常用单位大气压，atm ： 1 atm=1.013×105Pa
2
2.体积 V 气体分子活动的空间体积。
对于理想气体分子大小不计，分子活动的空间体积就是 容器的体积。
国际单位：米3，m3
常用单位：升，L
1m3=103L
t
3 2
kT
1 2
m0
v2
v2
3kT
m0
3RT
N Am0
3RT
(k R ) NA
例：求 27 C 的空气方均根速率。（空气的摩尔质量 为 29 g/mol ）
解：
v2
3RT
3 8.31 300
29 10 -3
507 .8m/s 20
能用几天？设使用中温度不变。
解：由理想气体状态方程： PV m RT
原氧气瓶内质量
m1
P1V 1
RT
氧气瓶剩余质量 每天使用氧气质量
m2
P2V 2
RT
m3
P3V 3
RT
使用的天数 n m1 - m2
m3
5
使用的天数 n m1 - m2 m3
n (P1 - P2 )V1 (130 -10 ) 30 90天
v
2 z
3v
2 x
10
v2
v
2 x
v
2 y
v
2 z
3v
2 x
y
则
v
2 x
国际单位：牛顿/米2，N·m-2, 帕（Pa） 1 Pa=1 N·m-2,
常用单位大气压，atm ： 1 atm=1.013×105Pa
2
2.体积 V 气体分子活动的空间体积。
对于理想气体分子大小不计，分子活动的空间体积就是 容器的体积。
国际单位：米3，m3
常用单位：升，L
1m3=103L
t
3 2
kT
1 2
m0
v2
v2
3kT
m0
3RT
N Am0
3RT
(k R ) NA
例：求 27 C 的空气方均根速率。（空气的摩尔质量 为 29 g/mol ）
解：
v2
3RT
3 8.31 300
29 10 -3
507 .8m/s 20
能用几天？设使用中温度不变。
解：由理想气体状态方程： PV m RT
原氧气瓶内质量
m1
P1V 1
RT
氧气瓶剩余质量 每天使用氧气质量
m2
P2V 2
RT
m3
P3V 3
RT
使用的天数 n m1 - m2
m3
5
使用的天数 n m1 - m2 m3
n (P1 - P2 )V1 (130 -10 ) 30 90天
v
2 z
3v
2 x
10
v2
v
2 x
v
2 y
v
2 z
3v
2 x
y
则
v
2 x
大学物理热力学基础.
11.01310522.4103
22.7102(J)
Qacb Acb
V(l)
7-3 气体的摩尔热容量
一、热容与摩尔热容的定义： 热容量：系统在某一无限小过程中吸收热量dQ与温
度变化dT的比值称为系统在该过程的热容量（C）
dQ
C dT
表示升高1K所吸收的热量
J K1
单位质量的热容量叫比热容。 CMC比 JK1kg1
摩尔热容量：1 mol 物质的热容量（Cm）
M C Mmol Cm
1mol 物质温度升高1K时所吸收的热量。
JK1mo1
二、理想气体的摩尔热容量
1、理想气体的定容摩尔热容：
dQ CV ( dT )V
( dE dT
)V
理想气体 dE i RdT
2 3
单原子理想气体 CV 2 R
双原子理想气体
1、理想气体的绝热准静态过程的过程方程
dA PdV dE M M moC lVdT (1)
理想气体状态方程
PV M RT Mmol
对其微分得:
M
PdVVdP RdT Mmol
(2)
联立（1）（2）得：
dP dV0 PV
PV con. s(3t)
（泊松公式）
将 PV cons.与t PV M RT联立得:
准静态过程是一种理想的极限。
三、准静态过程的功和热量
1、体积功的计算
dl
➢当活塞移动微小位移dl 时， 系统对外界所作的元功为：
p F S
➢系统体积由V1变为V2，系统对外界作总功为：
A dA V2pdV V1
dV0, 系统对外作正功；
dV0, 系统对外作负功；
例：有1mol理想气体 （1）a b等温，
大学物理06分子动理论
热物理学
组成物质的分子或粒子都在作永不停息的无规则 运动，称为热运动。大量分子热运动的集体效应在宏 观上表现为物体的热现象和热性质。
研究分子热运动，讨论热现象的规律、分析物体 热性质的理论称为热物理学。 热物理学包括宏观理论和微观理论。 • 宏观理论——热力学：以观察和实验为基础，通过归 纳和推理得出有关热现象的基本规律，因而其结论普 遍而且可靠。 • 微观理论——分子动理论：从分子结构和分子运动出 发，应用力学规律和统计方法，研究大量分子热运动 的集体效应，从微观本质上解释热现象和热性质。
热力学平衡态
三、平衡与涨落 一个与外界没有能量、质量交换的系统，经一定时间后 达到稳定的，不再有宏观状态的变化。此时，系统内各 部分的宏观性质均相同。
处在平衡态的系统的宏观量，如压强，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。 N
t
热力学平衡态
二、温标
确定温度数值的表示方法——温标 （1）选定测温质 （2）选定与温度单调变化的属性
（3）假定测温属性与温度成线性关系
（4）选定温度标准点，将温度计分度 不同测温质或不同测温属性测量同一温度数 值可能不同。
上海交通大学物理系高景jgao@
热力学平衡态
三、理想气体温标和状态方程
LR R R R LR R RRLR RRRL 1 3 4
R R R R 0 4 1
C(n) 1
上海交通大学物理系高景jgao@
C n 某一宏观态出现的几率： pn N 2
热力学平衡态
1 2 3 4 n n’
L L L L 4 0
LLLR LLR L LR LL R LLL 3 1 4
组成物质的分子或粒子都在作永不停息的无规则 运动，称为热运动。大量分子热运动的集体效应在宏 观上表现为物体的热现象和热性质。
研究分子热运动，讨论热现象的规律、分析物体 热性质的理论称为热物理学。 热物理学包括宏观理论和微观理论。 • 宏观理论——热力学：以观察和实验为基础，通过归 纳和推理得出有关热现象的基本规律，因而其结论普 遍而且可靠。 • 微观理论——分子动理论：从分子结构和分子运动出 发，应用力学规律和统计方法，研究大量分子热运动 的集体效应，从微观本质上解释热现象和热性质。
热力学平衡态
三、平衡与涨落 一个与外界没有能量、质量交换的系统，经一定时间后 达到稳定的，不再有宏观状态的变化。此时，系统内各 部分的宏观性质均相同。
处在平衡态的系统的宏观量，如压强，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。 N
t
热力学平衡态
二、温标
确定温度数值的表示方法——温标 （1）选定测温质 （2）选定与温度单调变化的属性
（3）假定测温属性与温度成线性关系
（4）选定温度标准点，将温度计分度 不同测温质或不同测温属性测量同一温度数 值可能不同。
上海交通大学物理系高景jgao@
热力学平衡态
三、理想气体温标和状态方程
LR R R R LR R RRLR RRRL 1 3 4
R R R R 0 4 1
C(n) 1
上海交通大学物理系高景jgao@
C n 某一宏观态出现的几率： pn N 2
热力学平衡态
1 2 3 4 n n’
L L L L 4 0
LLLR LLR L LR LL R LLL 3 1 4
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设总分子数N，速率区间 v ~ v+dv，该速率区间内分子
数 dN
速率分布函数
则
dN f (v) Ndv
速率 v 附近单位速率区间内 分子数占总分子数的百分比。
dN f (v)dv
显然 f(v)dv=1
0
归一化条件
N
设总分子数N，速率区间 v ~ v+dv，该速率区间内分子 数 dN
17.5 理想气体微观模型
1. 对单个分子的力学性质的假设
(理想气体的微观假设)
•分子当作质点，不占体积； （因为分子的线度<<分子间的平均距离）
•分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。 •（忽略重力） •弹性碰撞（动能不变） •服从牛顿力学
分子数目太多，无法解这么多的联立方程。 即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬 息万变， 必须用统计物理的方法来研究。
f (v) 4
m
3/2
v e2 mv2 /(2kT )
2kT
m为一个分子质量 k 1.381023 J / K为玻耳兹曼常数
f(v) f(vp)
dN 面积=
N
（1）、最概 然速率 vp
vp v v+dv
df (v) 0 dv
v
vP
2kT m
2RT M mol
摄氏温度 t 与理 想气体温度 T的 关系 t=T-273.15
热力学温标与任何物 质特性无关，但与理 想气体温标等价
17.４ 理想气体状态方程
一、理想气体状态方程
PV M RT RT
M mol
M N M mol N A
M 气体质量 M mol摩尔质量
P N R T V NA
0 2kT
(
x3ex2 dx 1
0
2
ex2 dx
)
0
2
v 8kT 8RT 1.6 RT
m
M mol
M mol
（3）、方均根速率 vrms v 2
vrms v 2 v2 f (v)dv
4
m
3/ 2
v4emv2 /(2kT )dv
平衡态 状态参量
隔板
开始
扩散
.........................
..............................
终了
..............................
平衡态：处于不变外界条件下的热学系统（系统 与外界无质量和能量交换）经过很时间后达到一个确定
的状态，在此状态下系统的宏观状态量如：P、T不随时 间改变，称此状态为平衡态。平衡态在PV 图上用一点
B
B << A， A 改变很小，TA 基 本是原来体系 A 的温度
热胀冷缩特性，标准状态下，冰水混合， B 上留一刻痕， 水沸腾，又一刻痕，之 间百等份，就是摄氏温标（oC)。
17.3 理想气体温标
用水银或酒精的热胀冷缩特性，温标不准确 用理想气体的波义耳定律，可以给出理想气体温标
PV=const.（温度不变）理想气体严格遵守波义耳定律
------称为热力学。
优点：可靠、普遍。
缺点：未揭示微观本质。
2.微观法.
物质的微观结构 + 统计方法 ------称为统计力学
其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论)
优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普 遍性差。
宏观法与微观法相辅相成。
第17章 温度和气体动理论
17.1 宏观和微观、平衡态
0 2kT
h
Ps
dP gdh
设空气 为理想气体，则可以得出下式
dmg
PM mol 代入上式
RT
dP PM mol g dh RT
dP PM mol g dh RT
dP M mol g dh
P
RT
P dp
h M mol g dh
P P0
0 RT
M molgh
17.6 统计物理方法 统计物理方法：
每个粒子服从力学规律，运用统计平均方法，求平 均效应，再与宏观测量相比较，从而解释现象
例. 测定某一物理量M的平均值 M 设有一台仪器追踪某一粒子N次
微观量为 M i
M M1 M2 M3 M N
N
N1M1 N2M 2 NiM i N
•热力学系统与外界
• 热力学研究的对象----热力学系统.
它包含极大量的分子、原子。
以阿佛加德罗常数 NA=6×1023 计。
• 热力学系统以外的物体称为外界。 例：若汽缸内气体为系统，其它为外界
• 宏观量与微观量
对热力学系统的两种描述方法：
1. 宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。
iБайду номын сангаас
Pi
i
N
1
为归一化条件
大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。
•统计规律有以下几个特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义. （2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变). （3）总是伴随着涨落,相对平均值的偏差。
表演实验：伽耳顿板 一个统计规律
[伽尔顿板实验]
粒子落入其中一 格是一个偶然事件， 大量粒子在空间的 分布服从统计规律。
P1
P0 T0
V1
V1 / T1
V2 V2
/ T2
1.13atm
例2：求大气压强随高度h 变化的规律，设空气的温 度不随高度变化。
解：如图，在高度为h处有一 薄空气层，在重力和上下压力 作用下处于平衡状态，所以可 得下面方程
h
h+dh
(P+dP)S
(P dP)S gSdh PS
.......................................................................................................................................
粒子数按空间 位置X 分布曲线
状态参量
描述热力学系统在平衡态下的物理量:
状态参量
P、V、T
压强P 的单位：帕斯卡（帕，Pa）
1标准大气压（atm）= 1.01 ×10 5 (Pa)
热力学温度T 的单位：开尔文( K )
T = t + 273.15
( t：摄氏温度)
17.2 温度的概念
A
绝热板
B
A、B 两体系互不影响 各自达到平衡态
来表示。
平衡态是一个理想化模型，我们主要研究平衡态的热学 规律。
说明：动态平衡 处在平衡态的大量分子仍在作热运 动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是 系统的宏观量不随时间 改变。这称为动态平衡。
粒子数是宏观量
箱子假想分成两相同体积的 部分，达到平衡时，两侧粒 子有的穿越界线，但两侧粒 子数相同。
T2 T3
v v
p
温度越高，速率大的分子数越多
二、 三个统计速率 （1）、最概然速率 vp
vP
2RT 1.41 RT
M mol
M mol
（2）、平均速率 v
v vdN vNf (v)dv
N
N
v
vf (v)dv
4
m
3/2
v3emv2 /(2kT )dv
x Δx
ΔN
x x + Δ x 的粒子数
17.7 麦克斯韦速率分布律
一、 麦克斯韦速率分布函数律
例：某班有100个学生，确定学生成绩分布曲线
P为学生成绩 N 100为学生人数
N为成绩在P P P区间的人数
以P为横坐标
以 N 为纵坐标 NP
N NP
如P 5
N P 关系 NP
（1）、最概然速率 vp
vP
2kT m
2RT
RT
1.41
M mol
M mol
( k NAk R ) m N Am M mol
（2）、 f (v) T f (v) m关系
f (v) T低
T高
f (v)
vP
T m
m大 m小
0 vP
v
0
v
f(vp1)
f(v) T1
f(vp2) f(vp3)
N 为单位分数区间P内 NP
P 学生人数占总人数的比例 P
单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循统 计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变， 不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区 间内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适， 这就是分子按速率的分布。
设有几种分子置于同一容器中，容器体积为V，温度为T
n1
N1 V
n2
N2 V
分压强——某气体 单独存在是容器的
P1
N1 V
kT
n1kT
压强
P2
N2 V
kT
n2kT
总压强为
P
P1
P2
N1 V
kT
N2 V
kT
n1kT n2kT
例１：如图所示，求容器最后的压力。
定义理想气体温标 T，使 PV T
P
液相 固相
临界点
水的相图， 三相点只有一个 （水的三相点演示）