2017-2018学年河南省洛阳市高二 上学期期中数学试题(解析版)
C．
D．
12．（5分）已知数列{an}中，a1=2，若an+1﹣an=an2，设Tm=
，若Tm＜2018，则正整数m的最大值为（ ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B. {x|-2＜x＜3}C.{x|x＞ 13．（5分）不等式组
的最小值是（ ） A．25 B．24 C．22 D．16 6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东 75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前 进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（ ）n mile． A．8 B．4 C．
D．
＜0成立的最小自然数n的值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】由于S15=
=15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出． 【解答】解：∵S15=
=15a8＞0，a8+a9＜0， ∴a8＞0，a9＜0， ∴S16=
=8（a8+a9）＜0， 则使
＜0成立的最小自然数n的值为16． 故选：B． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式 的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组
＜﹣4或 x＞﹣2}
2．（5分）△ABC中，
=
=
，则△ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是 （ ） A．
＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c 4．（5分）在等比数列{an}中，an＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则 a2=（ ） A．12 B．18 C．24 D．36 5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则
则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．
故选：D．
【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．
2．（5分）△ABC中，
=
=
，则△ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【分析】由
，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得 出． 【解答】解：由正弦定理可得：
，
，求a，c． 18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0． （1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围； （2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围． 19．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6， a1a2=a3． （1）求数列{an}的通项公式；
D．
【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继 续航行的路程． 【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C 处，航行到D处时，海岛在正北方向，
由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°， ∴∠BAC=15°， ∴AC=BC=8， ∴CD=AC•cos∠ACD=4
成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合
A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则
表示的平面区域内的整点坐标是 ． 14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2
且
sinA+cosA=2，则角C的大小为 ． 15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4， AD=5，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（5分）已知数列{an}中，a1=l，Sn为其前n项和，当n≥2时， 2an+Sn2=anSn 成立，则 S10= ． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明 过程或盐酸步骤． 17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 a2+c2﹣b2=﹣ac． （1）求B； （2）若
21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a， b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=
bc． （1）求角A的大小； （2）若a=
，求2b﹣c的取值范围． 22．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4﹣an﹣
． （1）令bn=2n﹣1•an，证明数列{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式； （2）是否存在n∈N*，使得不等式
7．（5分）设等差数列{an}的公差d≠0，且a2=﹣d，若ak是a6与ak+6等比 中项，则k=（ ） A．5 B．6 C．9 D．36 8．（5分）若函数f（x）=
的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣ 2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2] 9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若 a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+
A∪B=（ ）
A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣4或 x＞2} D．{x|x
＜﹣4或 x＞﹣2}
【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B． 【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2
＜x＜3}， B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，
∵B∈（0，π）， ∴B=
， ∵S△ABC=
acsinB=
ac=1+
， ∴ac=4+2
， 由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣
ac≥2ac﹣
ac=4，当且仅当a=c时取“=”， ∴b的最小值为2． 故选：A． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公 式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题． 10．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S15＞0，a8+a9＜0，则使
2017-2018学、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合
A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则
A∪B=（ ）
A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣4或 x＞2} D．{x|x
．则b的最小值为（ ） A．2 B．3 C．
D．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的 正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积 公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值． 【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC， ∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C）， ∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC， ∴cosBsinC=sinCsinB， ∵C∈（0，π），sinC≠0， ∴cosB=sinB，即tanB=1，
． 故选C．
【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题． 7．（5分）设等差数列{an}的公差d≠0，且a2=﹣d，若ak是a6与ak+6等比 中项，则k=（ ） A．5 B．6 C．9 D．36 【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简 整理解方程即可得到k的值． 【解答】解：等差数列{an}的公差d≠0，且a2=﹣d， 可得a1=a2﹣d=﹣2d，则an=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d， 若ak是a6与ak+6的等比中项， 即有ak2=a6ak+6， 即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d， 由d不为0，可得k2﹣9k=0， 解得k=9（0舍去）． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化 简整理的运算能力，属于基础题． 8．（5分）若函数f（x）=
=
， 又
， ∴tanA=tanB=tanC， 又A，B，C∈（0，π）， ∴A=B=C=
， 则△ABC是等边三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题． 3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是 （ ） A．
．则b的最小值为（ ） A．2 B．3 C．
D．
10．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S15＞0，a8+a9＜0，则使
＜0成立的最小自然数n的值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组
表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=
的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2] 【分析】要使函数有意义，则2
C．（﹣∞，﹣
﹣1≥0，解得即可． 【解答】解：要使函数有意义，则2
﹣1≥0，即x2+ax+1≥0， ∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2， 故选：D 【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题． 9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若 a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+
2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
河南省洛阳市17-18学年高二上学期期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}034|{},3|{2>+-=≥=x x x B x x A ，则=B A （ ）A ．RB ．}3{C ．1|{<x x 或}3≥xD ．}31|{≤<x x2．命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（ ）A ．存在一个有理数，它的平方是无理数B ．任意一个无理数，它的平方是有理数C ．任意一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方是有理数3．抛物线232x y -=的准线方程为（ ） A ．83=y B ．83=x C ．83-=y D ．43=y 4．在ABC ∆中，已知2,30,30===c A b ，则=aA sin （ ） A ．41B ．21C ．1D ．2 5．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知320161162=+---a a a a a ，则21S 的值为（ ）A ．63B ．21-C ．63-D ．216．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱AB 的中点，F 是棱1BB 上的点，且3:1:1=FB BF ，则异面直线EF 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．515C ．10103D ．315 7．若正数b a ,满足02=--b a ab ，则ab 的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．8D ．98．“3>k ”是“方程12322=---k y k x 表示图形为双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．在中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若0sin cos =++B A y bx 与0cos cos =++B B y ax 平行，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰三角形10．已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面是边长为2的正方形，11=AA ，011120=∠=∠AD A AB A ，则1AC 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．10103B ．22 C ．1010 D ．31 11．椭圆15922=+y x 的焦点分别为21,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，B A ,两点的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ，则||21x x -的值为（ ）A ．6B ．23C ．29 D ．3 12．已知数列}{n a 满足41=a 且121+=+++n n a a a a ，设n n a b 2log =，则322111b b b b +201820171b b ++ 的值是（ ） A ．40382017 B ．40363025 C ．20182017 D ．20172016 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．各项为正数的等比数列}{n a 中，2a 与9a 的等比中项为22，则=+++844434log log log a a a .14．若命题“a 满足1112≤+-a a ”为真命题，则实数a 的取值范围是 . 15．若双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的渐近线方程是x y 21±=，则双曲线的离心率为 .16．下列命题：（1）已知)1,5,(x x a +-=，)2,2,3(x b -=，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是)54,(-∞； （2）已知向量p 在基底},,{c b a 下的坐标是)3,1,2(，则向量p 在基底},,{c a b c b a --+下的坐标为)1,2,3(-；（3）在三棱锥BCD A -中，各条棱长均相等，E 是BC 的中点，那么CD AE BC AE ⋅<⋅；（4）已知三棱锥BCD A -，各条棱长均相等，则其内切球与外接球的体积之比为27:1. 其中真命题是 .（填序号）三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，S 是ABC ∆的面积，22)(4c b a S --=，且6=+c b .（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.18．已知动点P 在抛物线y x 22=上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，动点Q 满足PH PQ 31=. （1）求动点Q 的轨迹E 的方程；（2）过点)1,0(M 的直线l 交轨迹E 于B A ,两点，设直线OB OA ,的斜率为21,k k ，求21k k ⋅的值.19．已知数列}{n a 中，11=a ，)(4*1N n a a a n n n ∈+=+. （1）求证：}311{+n a 是等比数列，并求}{n a d 通项公式n a ； （2）数列}{n b 满足n n n n a n b ⋅+⋅-=31)14(，求数列}{n b 的前n 项和n T . 20．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x万元之间的函数关系为23+=x w （其中推广促销费不能超过5千元）.已知加工此农产品还要投入成本)3(3ww +万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为)304(w+元/件. （1）试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？21.在三棱锥ABC P -中，AC AB =，D 为BC 的中点，⊥PO 平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知1,2,3,4====OD AO PO BC .（1）证明：BC AP ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角B MC A --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.22．设圆032422=--+x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,2(-B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明：||||EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，O 为坐标原点，求OMN ∆面积的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：CDABC 6-10：ACADC 11-12：DB二、填空题13．29 14．]2,1(- 6 15．5 16．（2）（4） 三、解答题17．解：（1）已知22)(4c b a S --=∴bc c b a A bc 2sin 2222+--=由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得A bc bc A bc cos 22sin 2-=∴1cos sin =+A A∴090=A ，即A 的大小为090.（2）由（1）知bc S 21=∵6=+c b ， ∴29)2(21212=+⋅≤=c b bc S 当且仅当3==c b 时，ABC ∆面积的最大值为29.18．解：（1）设),(),,(00y x P y x Q ，则)0,(0x H ∴),(00y y x x PQ --=，),0(0y PH -=， ∵PH PQ 31=，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-000310y y y x x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 2300 而0202y x =，∴y x 22=.（2）由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为1+=kx y ，设),(11y x A ，),(22y x B ，由⎩⎨⎧+==132kx y y x 得0332=--kx x ，∴012)3(2>+=∆k ，3,32121-=⋅=+x x k x x ∴19)(22121==⋅x x y y ∴31221121-=⋅=⋅x y x y k k ， 故21k k ⋅的值为31-. 19.解：（1）∵)(4*1N n a a a n n n ∈+=+ ∴)(4141*1N n a a a a nn n n ∈+=+=+ ∴)311(43111+=++n n a a ，)(*N n ∈ ∵11=a ，343111=+a ，。
河南省洛阳市高二数学上学期期中试题
洛阳市2016——2017学年第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题，60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1,3,5,7,9,11,---的一个通项公式为A ．()()1121n n a n +=-+ B ．()()1121n n a n +=--C ．()()121n n a n =-+D ．()()121nn a n =--2.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2,45,75a A C ===，则b 等于A．2 BC．2 D3.已知公比为正数的等比数列{}n a 中，26428,2a a a a ==，则1a =A ．8B ． 4C ．1D ．124. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos a b A <，则ABC ∆为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5.数列中，()1112,1n n naa a n N a *+-==∈+,则2014a =A ．2B ．13 C ．12- D ．3-6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,18k k S S ==，则4k S =A ．24B ． 28C ． 32D ．547. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足下列条件的有两个的是A．1,30a b A === B．2,45b c B ===C ．1,2,3a b c ===D ．3,2,60a b A ===8.给出下列结论：①在ABC ∆中，sin sin ;A B a b >⇔> ②常数数列既是等差数列又是等比数列；③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(],2k ∈-∞；④ABC ∆的内角A,B,C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =,则ABC ∆为锐角三角形.其中正确结论的个数为A ．0B ．1C ． 2D ．39.定义12n np p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”.若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1n ，则12231011111a a a a a a +++= A ．910 B ．920 C ．2021 D ．102110.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，则不等式20cx bx a -+< 的解集为A ．()1,2-B ．()(),12,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞11.设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为A ．2B ． 4C ． 6D ．812.已知函数()121x f x x +=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2017n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2017S = A ．1008 B ． 1010 C ．20192D ．2019第Ⅱ卷（非选择题，满分90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2017-2018年河南省洛阳市高二下学期期中数学试卷（文科）和解析答案
第1页（共23页）页）-baiduwenku**百度文库baiduwenku**百度文库精品文库---baiduwenku**推荐下载推荐下载**百度文库 绝对精品--2017-2018学年河南省洛阳市高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M ＝{x |﹣2＜x ＜2}，i 为虚数单位，a ＝|1+i |，则下列选项正确的是（ ） A ．a ∈MB ．{a }∈MC ．{a }⊄MD ．a ∉M2．（5分）下列三句话按照“三段论”模式排列顺序正确的是（ ） （1）y ＝sin x （x ∈R ）是周期函数；（2）三角函数都是周期函数；（3）y ＝sin x （x ∈R ）是三角函数． A ．（1）（2）（3） B ．B （2）（1）（3）C ．（2）（3）（1）D ．（3）（2）（1）3．（5分）下列4种说法：①在频率分布直方图中，众数的左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1；④对分类变量X 和Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，其中说法正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④4．（5分）复数z ＝的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限角5．（5分）已知x ，y 的取值如表所示，若y 与x 线性相关，且＝0.95x +a ，则a ＝（ ） x 0 1 3 4 y 2.24.34.86.7 A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.96．（5分）当x ∈（0，+∞）时，x ，由此推广可得x≥n +1，则实数m 的取值应为（ ）A ．nB ．n 2C ．n nD ．n +17．（5分）我国古代数学著作《九章算术》记载了很多算法问题，现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（ ）A．计算 1+2+3+4+…+n﹣1 的值B．计算 1+2+3+4+…+n的值C．计算 1+2+3+4+…+（n+l）的值D．计算 1+2+3+4+…+n+sinπ+sin2π+…+sin（n+2）π的值8．（5分）已知a＝20.2，b＝0.22，c＝log x（x2+0.2）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了已知无限与有限的转化过程，比如在不等式中1“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1求得x＝，类比上述过程，则＝（ ）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020i，则下列说法正确的是（ ）A．若m＝3，则输出S＝B．若m＞10，则输出结果SC．若m＞100，则输出结果S＞1D．若m是任意大于2的正实数，则输出结果S11．（5分）[]表示不超过的最大整数．若S 1＝[]+[]+[]＝3，S 2＝[]+[]+[]+[]+[]＝10，S＝[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]＝21，3…，则S n＝（ ）A．n（n+2） B．n（n+3） C．（n+1）2﹣1 D．n（2n+1） 12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），若f″（x0）＝0，则M（x0，y0）是f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心，已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1，则可求得f（）+f（）+…+f（）+f （）＝（ ）A．199 B．﹣199 C．597 D．﹣597二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知i 是虚数单位，若z ＝（1+mi ）（3+i ）（m ∈R ）是纯虚数，则z 的虚部是 ． 14．（5分）观察下列不等式： ①＜1 ②+＜③++＜；…则第n 个不等式为 ．15．（5分）在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径γ＝．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R ＝ ． 16．（5分）已知函数f （x ）＝aln （x +1）+x 2，在区间（2，3）内任取两个实数m ，n ，且m ≠n ，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6个小題，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知m ∈R ，复数z ＝（m 2+5m +6）+（m 2﹣2m ﹣15）i ． （1）若z 与复数（1+i ）（﹣5﹣7i ）相等，求m 的值； （2）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围．18．（12分）某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调查，已知其中两个摸底学校分别有1100人、1000人，现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分别统计表如下：（一年级人数为1100人的学校记为学校一，一年级人数为1000人的学校记为数学二） 学校一分组 [70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频道 231015分组[110，120） [120，130） [130，140） [140，150）频数 15 x 3 1学校二分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） 频道 1 2 9 8分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150） 频数 10 10 y 3 （1）计算x，y的值．（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．学校一 学校二 总计 优秀非优秀总计附：P（k2＞k0） 0.10 0.025 0.010 K 2.706 5.024 6.635 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，M为PB的中点． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：P A⊥平面CDM．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．21．（12分）已知函数F（x）＝（x）．（1）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝F（a n），求证：数列{}是等比数列； （2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，求证：＜2．22．（12分）设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B满足AB⊥AF2，O为坐标原点．（1）若过A，B，F2三点的圆与直线x﹣相切，求椭圆C的方程； （2）过点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．2017-2018学年河南省洛阳市高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣2＜x＜2}，i为虚数单位，a＝|1+i|，则下列选项正确的是（ ）A．a∈M B．{a}∈M C．{a}⊄M D．a∉M【解答】解：a＝＝，又集合M＝{x|﹣2＜x＜2}，∴a∈M．故选：A．2．（5分）下列三句话按照“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）（1）y＝sin x（x∈R）是周期函数；（2）三角函数都是周期函数；（3）y＝sin x（x∈R）是三角函数．A．（1）（2）（3） B．B（2）（1）（3） C．（2）（3）（1） D．（3）（2）（1）【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知： （3）y＝sin x（x∈R ）是三角函数是“小前提”；（2）三角函数是周期函数是“大前提”；（1）y＝sin x（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为（2），（3），（1）故选：C．3．（5分）下列4种说法：①在频率分布直方图中，众数的左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1；④对分类变量X和Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大，其中说法正确的是（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：对于①，频率分布直方图中，平均数的左边和右边的直方图的面积相等，众数不满足这一性质，①错误；对于②，标准差是表示样本数据波动性大小的量，标准差越小，样本数据的波动也越小，②正确；对于③，两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1，③正确；对于④，对分类变量X和Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，④错误；综上，正确的说法是②③．故选：B．4．（5分）复数z＝的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限角【解答】解：复数z＝＝﹣1＝﹣1＝﹣1+i，则z的共轭复数＝﹣1﹣i在复平面上对应的点是（﹣1，﹣1），在第三象限． 故选：C．5．（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且＝0.95x+a，则a ＝（ ）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9【解答】解：由题意＝＝2，＝＝4.5．因为回归直线方程经过样本中心，所以4.5＝0.95×2+a，所以a＝2.6．故选：B．6．（5分）当x∈（0，+∞）时，x，由此推广可得x≥n+1，则实数m的取值应为（ ）A．n B．n2 C．n n D．n+1【解答】解：x＝++…++≥n+1，则m＝n•n•n…n＝n n，故选：C．7．（5分）我国古代数学著作《九章算术》记载了很多算法问题，现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（ ）A．计算 1+2+3+4+…+n﹣1 的值B．计算 1+2+3+4+…+n的值C．计算 1+2+3+4+…+（n+l）的值D．计算 1+2+3+4+…+n+sinπ+sin2π+…+sin（n+2）π的值【解答】解：由题意，n为正整数，则sin nπ＝0，模拟程序的运行，由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝1+2+…+n的值，故选：B．8．（5分）已知a＝20.2，b＝0.22，c＝log x（x2+0.2）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：a＝20.2∈（1，2），b＝0.22∈（0，1），∵x＞1，c＝log x（x2+0.3）＞log x x2＝2，则a，b，c的大小关系是b＜a＜c．故选：C．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了已知无限与有限的转化过程，比如在不等式中1“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1求得x＝，类比上述过程，则＝（ ）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令＝m（m＞0），则两边平方得，则2018+2017＝m2，即2018+2017m＝m2，解得m＝2018，或m＝﹣1舍去．故选：B．10．（5分）如图，若（1）处填入语句i≥m+1，（2）中填入语句n＝2i，则下列说法正确的是（ ）A．若m＝3，则输出S＝B．若m＞10，则输出结果SC．若m＞100，则输出结果S＞1D．若m是任意大于2的正实数，则输出结果S 【解答】解：由题意，当m＝3时，模拟程序的运行，可得 S＝0，n＝2，i＝1；不满足条件i≥4，S＝，i＝2，n＝4；不满足条件i≥4，S＝+，i＝3，n＝8；不满足条件i≥4，S＝++，i＝4，n＝；此时，满足条件i≥4，退出循环，输出S＝++＝， 故A正确．故选：A．11．（5分）[]表示不超过的最大整数．若S1＝[]+[]+[]＝3，S2＝[]+[]+[]+[]+[]＝10，S3＝[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]＝21， …，则S n＝（ ）A．n（n+2） B．n（n+3） C．（n+1）2﹣1 D．n（2n+1） 【解答】解：第一个等式，起始数为：1，项数为：3＝4﹣1＝22﹣12，S1＝1×3； 第二个等式，起始数为：2，项数为：5＝9﹣4＝32﹣22，S2＝2×5；第三个等式，起始数为：3，项数为：7＝16﹣9═42﹣32，S3＝3×7；…第n个等式，起始数为：n，项数为：（n+1）2﹣n2＝2n+1，S n＝n（2n+1），（n∈N*）． 故选：D．12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），若f″（x0）＝0，则M（x0，y0）是f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心，已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1，则可求得f（）+f（）+…+f（）+f（）＝（ ）A．199 B．﹣199 C．597 D．﹣597【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣6x，f″（x）＝6x﹣6，由f″（x）＝0，得x＝1，∴函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1的对称中心为（1，﹣3），∴f（）+f（）+…+f（）+f（）＝99×（﹣6）+f（1）＝﹣594﹣3＝﹣597．故选：D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知i是虚数单位，若z＝（1+mi）（3+i）（m∈R）是纯虚数，则z的虚部是 10 ．【解答】解：z＝（1+mi）（3+i）＝3﹣m+（3m+1）i是纯虚数，则，解得m＝3．则z的虚部是3×3+1＝10．故答案为：10．14．（5分）观察下列不等式：①＜1②+＜③++＜；…则第n个不等式为 +++…+＜ ．【解答】解：∵①＜1；②+＜；③++＜；…不等式的左边分母中的数是n（n+1），右边是无理式的被开方数是首项为1，公差为1的等差数列，∴第n个不等式为：+++…+＜，故答案为：+++…+＜．15．（5分）在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径γ＝．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R＝ ． 【解答】解：结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝”证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V＝S1×r+S2×r+S3×r+S4×r＝S×r∴内切球半径r＝故答案为：．16．（5分）已知函数f （x ）＝aln （x +1）+x 2，在区间（2，3）内任取两个实数m ，n ，且m ≠n ，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．【解答】解：∵函数f （x ）＝aln （x +1）+x 2， ∴f ′（x ）＝+2x ，∵在区间（2，3）内任取两个实数m ，n ，且m ≠n ， 若不等式恒成立，即为＞0，设g （x ）＝f （x ）﹣x ，1＜x ＜2，则g （x ）在（1，2）递增，可得g ′（x ）＝+2x ﹣1≥0，即有a ≥（x +1）（1﹣2x ）在（1，2）恒成立， 令h （x ）＝﹣2x 2﹣x +1，x ∈（1，2），根据二次函数h （x ）在（1，2）递减，可得h （x ）max ＝g （1）＝﹣2， ∴a ≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）．三、解答题：本大题共6个小題，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知m ∈R ，复数z ＝（m 2+5m +6）+（m 2﹣2m ﹣15）i ． （1）若z 与复数（1+i ）（﹣5﹣7i ）相等，求m 的值； （2）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围．【解答】解：（1）∵（1+i ）（﹣5﹣7i ）＝2﹣12i ，且z 与复数（1+i ）（﹣5﹣7i ）相等， ∴，解得m ＝﹣1；（2）由题意得，，解得m ＜﹣3或m ＞5．18．（12分）某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调查，已知其中两个摸底学校分别有1100人、1000人，现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分别统计表如下：（一年级人数为1100人的学校记为学校一，一年级人数为1000人的学校记为数学二） 学校一分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）频道 2 3 10 15分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150） 频数 15 x 3 1学校二分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）频道 1 2 9 8分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）频数 10 10 y 3 （1）计算x，y的值．（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．学校一 学校二 总计优秀非优秀总计附：P（k2＞k0） 0.10 0.025 0.010K 2.706 5.024 6.635【解答】解：（1）利用分层抽样方法知，甲校抽取105×＝55人， 乙校抽取105﹣55＝50人，则x＝55﹣（2+3+10+15+15+3+1）＝6，y＝50﹣（1+2+9+8+10+10+3）＝7；（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，则估计甲校优秀率为×100%＝18.2%；乙校优秀率为×100%＝40%；（3）根据所给的条件列出列联表，甲校 乙校 总计优秀 10 20 30非优秀 45 30 75总计 55 50 105计算K2＝≈6.109，又因为6.109＞5.024，所以有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，M为PB的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：P A⊥平面CDM．【解答】（1）解：取DC中点O，连接PO，AO，由侧面PCD是边长为2的正三角形，可得PO⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴PO⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝2；（2）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ADC＝60°，DC＝2，DO＝1，∴OA⊥DC，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），P（0，0，），D（0，﹣1，0），B（，2，0），C（0，1，0），∵M 为PB 的中点，∴M （，1，），∴＝（，2，），＝（，0，﹣），＝（0，2，0），∴＝×+2×0+×（﹣）＝0，•＝0×+2×0+0×（﹣）＝0，∴P A ⊥DM ，P A ⊥DC ， ∴P A ⊥平面DMC ．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 3+，x ∈[0，1]．（1）用分析法证明：f （x ）≥1﹣x +x 2； （2）证明：．【解答】证明：（1）∵x ∈[0，1]，∴x +1∈[1，2]． 要证明：f （x ）≥1﹣x +x 2，只要证明：x 3（x +1）+1≥（x +1）（1﹣x +x 2）， 只要证明：x 4≥0， 显然成立，∴f （x ）≥1﹣x +x 2；（2）∵1﹣x +x 2＝（x ﹣）2+≥，当且仅当x ＝时取等号， ∵f （）＝＞，f （x ）≥1﹣x +x 2，∴f （x ）＞，（2）∵0≤x ≤1，∴x 3≤x ，∴f（x）≤x+，设g（x）＝x+，x∈[0，1]，∴g′（x）＝1﹣＝≥0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）≤g（1）＝，综上所述明．21．（12分）已知函数F（x）＝（x）．（1）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝F（a n），求证：数列{}是等比数列； （2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，求证：＜2．【解答】证明：（1）∵，等式两边同时减去1，得＝，∴＝2+，∴﹣＝2，又＝＝1，∴数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列．解：（2）由（1）知数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴a n＝1+＝．（3）∵b n＝，∴欲证++…+＜2，即证+＜2，∵，（n≥2），∴+＜1+1﹣+﹣+…+＝2﹣＜2．22．（12分）设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B满足AB⊥AF2，O为坐标原点．（1）若过A，B，F2三点的圆与直线x﹣相切，求椭圆C的方程； （2）过点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．【解答】解：（1）设B（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），得＝（c，﹣b），＝（x 0，﹣b），∵，∴cx0+b2＝0，解之得x0＝﹣，由，知c＝，于是F2（a，0），B（﹣a，0），∴△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣a，0），半径r＝a，由题意可得，解得a＝2，得到c＝1且b＝，∴椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x＝±，∴原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，与椭圆联立，消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，，．∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝0． 即（k 2+1）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝0， ∴（k 2+1）﹣+m ＝0，整理得7m 2＝12（k 2+1）． ∴O 到直线AB 的距离d ＝＝为定值．∵OA ⊥OB ，∴OA 2+OB 2＝AB 2≥2OA •OB ， 当且仅当OA ＝OB 时取“＝”号． 由d •AB ＝OA •OB 得d •AB ＝OA •OB ≤，∴AB ≥2d ＝，即弦AB 的长度的最小值是．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =ÎÎ>，且n N +Î，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号na -表示；表示；00的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．次方根．②式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ³．③根式的性质：()nn a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ³ì==í-<î．（2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn mna a a m n N +=>Î且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>Î且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +×=>Î ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>Î③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>Î【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数）指数函数 函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0xy a a =>且1)a ¹叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a > 01a <<xa y =xy (0,1)O1y =x a y =xy (0,1)O 1y =定义域定义域 R值域值域 (0,)+¥过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对图象的影响象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>¹且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．叫做真数．②负数和零没有对数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =Û=>¹>．（2）几个重要的对数恒等式）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b aa b =．（3）常用对数与自然对数）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >¹>>，那么，那么①加法：log log log ()a a aM N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =Î ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b=¹Î ⑥换底公式：log log (0,1)log bab NN b b a=>¹且【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数）对数函数函数函数 名称名称对数函数对数函数定义定义 函数log (0a y x a =>且1)a ¹叫做对数函数叫做对数函数图象图象1a > 01a <<定义域定义域 (0,)+¥值域值域 R过定点过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在(0,)+¥上是增函数上是增函数在(0,)+¥上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对变化对 图象的影响象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．越大图象越靠高．xyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
河南省洛阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)
河南省洛阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)洛阳市2017—2018学年第二学期期中考试高二数学试卷(文）本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将容题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={2<<2|x x -}，i 为虚数单位，|1|i a +=，则下列选项正确的是 A. M a ∈ B. {a}M ∈ C. {a}M ⊄ D.a M ∉∅2.下列三句话按照“三段论”模式排列顺序正确的是(1) )(sin R x x y ∈=是周期函数；(2)三角函数都是周期函数；(3))(sin R x x y ∈=是三角函数.A. (1)(2)(3)B. (2)(1)(3)C. (2)(3)(1)D. (3)(2)(1)3.下列4种说法:①在频率分布直方图中，众数的左边和右边的直方图的面积相等； ②标准差越小，样本数据的波动也越小；③两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1；④对分类变量X 和Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大。
其中说法正确的是 A.①② B.②③ C.②④ D.③④4.复数111--+=iiz 的共轭复数在复平面上对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限5.已知y x ,的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且a x y+=95.0ˆ，则a X 0 1 3 4 y2.24.34.86.7A. 2.2B. 2.9C. 2.8D. 2.6D.若m 是任意大于2的正实数，则输出结果S < 21 11.[n ]表示不超过n 的最大整数； 若3]3[]2[]1[1=++=S ，若10]8[]7[]6[]5[]4[2=++++=S ,若21]15[]14[]13[]12[]11[]10[]9[3=++++++=S ,…， 则=n S A. )12(+n nB. )2(+n nC. )3(+n nD. 1)1(2-+n12.设函数)(x f 的导函数为)('x f ，)('x f 的导函数为)(''x f ，若0)(''0=x f ,则),(00y x M 是 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心.已知函数13)(23--=x x x f ，则可求得=++++)100199()100198(...)1002()1001(f f f fA. 199B. -199C. 597D.-597第Ⅱ卷(非选择题，共90分）二、填空题:本题共4个小题,每小题5分，共20分。
河南省洛阳市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b+c）（b-c）=a（b-a），则内角C等于（）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若A：B：C=1：1：4，则ba+c等于（）A. 15B. 12C. √3−12D. 3−√323.已知a，b∈R，定义区间[a，b]的长度为b-a，若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则实数m的取值为（）A. −14B. 14C. −1D. 14.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R），若{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A. A(−∞,3)B. (−∞,2)C. (−∞,1)D. (−∞,0)5.等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A. S4+S8=S12B. S82=S4⋅S12C. S4+S8−S12=S82D. S42+S82=S4(S8+S12)6.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若c=5，b=3√2，cos B=√75，则△ABC 的面积为（）A. 72B. 3√142C. 15√212D. 10√77.下列四个结论：①若a＞b＞0，且c＜0，则ca ＞cb；②√7+√10＞√3+√14；③lg9•lg11＜1；④若1≤x+y≤2，2≤x-y≤4，则4x-2y的取值范围是[6，15]．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.若实数x，y满足{2x+y−2≥0x−2y+4≥03x−y−3≤0，则（x-3）2+y2的最小值为（）A. 165B. 185C. 4D. 139.在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则AB的长为（）A. 1B. √3C. √4−√3D. √4+√310.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a11=20，公差d为整数，对任意n∈N*都有S n≥S5，则使S n＞0成立的最小正整数n等于（）A. 5B. 6C. 10D. 1111.关于x的不等式x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,−3]∪[7,+∞)B. (−∞,−2]∪[6,+∞)C. [0,4]D. (−∞,0]∪[4,+∞)12.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若B是A与C的等差中项，b=√3，则a+2c的最大值为（）A. 4B. 5C. 3√3D. 2√7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，若sin A+cos A=a+b，则△ABC的形c状是______．14.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元．15.将正整数按如图规律排列：第i行第j列的数字记为a ij，若a ij=2018，则i+j=______．16.已知正数x，y满足x+y+2xy-4=0，则x+y的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式：ax2-（a2+1）x+a＞0，（-1＜a＜1）．18.在△ABC中，D为AC上一点，且DC=2AD，AB=√3，AD=1，∠ABD=π，∠A为锐角．6（1）求△ABC面积；（2）求BC的长．19. 设数列{a n }的各项为正数，前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有√S n =a n +12．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n •2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？21. △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点，AB =2，CD =√3．（1）求角C 的最大值； （2）求a +b 的取值范围． 22. 数列{a n }的首项a 1=13，且，a n a n +1-2a n +1+a n =0．（1）求证：数列{1−a n a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =2n （2a n +1-a n ），T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由（b+c）（b-c）=a（b-a）得：a2+b2-c2=ab，即=，∴cosC=，∴C=，故选：B．将已知等式变形后，用余弦定理可得cosC和C．本题考查了余弦定理．属基础题．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，A+B+C=π，A：B：C=1：1：4，∴A=B=，C=，由正弦定理可得：===．故选：C．通过三角形的角的比求出三个角的大小，利用正弦定理求出即可．本题考查正弦定理以及三角形的内角和的应用，属于基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则m＜0，设方程mx2+2x+3=0的解是x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，∵|x1-x2|=4，∴=4，∴-=16，解得：m=（舍）或m=-1，故选：C．根据韦达定理以及解集长度为4得到关于m的方程，解出即可．本题考查了不等式问题，考查韦达定理以及转化思想，是一道常规题．4.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R）数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n=（n+1）2-λ（n+1）-（n2-λn）=2n+1-λ＞0恒成立∵2n+1-λ的最小值是2×1+1-λ=3-λ＞0∴λ＜3即实数λ的取值范围是（-∞，3）．故选：A．由已知条件推导出a n+1-a n=2n+1-λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用．5.【答案】D【解析】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，设首相为a，公比为q，当q=1时，S4=4a，S8=8a，S12=12a，则A正确，B不正确，C不正确，D正确，当q≠1时，S4==（1-q4），S8=（1-q8），S12=（1-q12），若S4+S8=（1-q8+1-q4）=S12=（1-q12），解得q=±1，故A不一定成立，故选：D．根据等比数列的求和公式，即可利用排除法判断即可．本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵c=5，b=3，cosB=，可得：sinB==，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：18=a2+25-2×a×5×，解得：a=，∴S△ABC=acsinB==．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用余弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于①，∵a＞b＞0，c＜0，∴-=＞0，即＞，所以①正确；对于②，＞⇔17+2＞17+2⇔70＞42，所以②正确；对于③，∵lg9+lg11＞2，∴lg9•lg11＜（）2=（）2＜（）2=1，所以③正确；对于④，令x+y=a，x-y=b，则x=，y=，∴4x-2y=2a+2b=a+3b，∵1≤a≤2，2≤b≤4，∴7≤a+3b≤14，即4x-2y的取值范围是[7，14]，所以④不正确．故选：C．对每个结论逐个分析，可知①②③正确，④错误．故选C本题考查了不等式的基本性质．属基础题．8.【答案】B【解析】解：设z=（x-3）2+y2，则z的几何意义为点（x，y）得定点D（3，0）的距离的平方，出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知BD的距离最大，点D到直线3x-y-3=0的距离最小，此时d==，则z=d2=，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意使用数形结合．9.【答案】C【解析】解：如图所示：在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则：△BCD为直角三角形，故：CD=BC=1，利用勾股定理得：BD=．在△ADC中，由于∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，解得：∠DAC=30°．故：AD=DC=1．在△ABD中，利用余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2•AD•BD•cos∠ADB，=1+2-2，=3-=4-，故：AB=．故选：C．首先利用三角形的内角和定理求出△BCD为直角三角形，将进一步求出AD=BC=1，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，余弦定理的应用和三角函数值得应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，a7+a11=20，则2a1+16d=20，即a1=10-8d，对任意n∈N*都有S n≥S5，则有a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得：≤d≤，又由公差d为整数，则d=3，则a1=10-8d=-14，则a n=a1+（n-1）d=3n-17，若S n＞0，则有S n==×n＞0，解可得n＞或n＜0，又由n∈N*，则n≥11；即使S n＞0成立的最小正整数n的值为11；故选：D．根据题意，由等差数列的通项公式可得若a7+a11=20，则有2a1+16d=20，即a1=10-8d，又由S n≥S5，分析可得a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得d的值，进而可得首项a1的值，由等差数列的通项公式可得a n=a1+（n-1）d=3n-17，由等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，关键是求出公差d的值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有1个零点，则有f（0）f（1）≤0，即（a+3）（7-a）≤0，解可得：a≤-3或a≥7；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有2个零点，则有，此时无解；综合可得：a≤-3或a≥7；即实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[7，+∞）；故选：A．根据题意，原问题可以转化为函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；分有1个零点与2个零点2种情况讨论a的取值范围，综合即可得答案．本题考查不等式的解法与应用问题，注意将原问题转化为函数的零点问题，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：∵2B=A+C，A+B+C=π，得B=，b=，∴由正弦定理得：==2，∴a=2sinA，c=2sinC，则a+2c=2sinA+4sinC=2sinA+4sin（-A）=2（2sinA+cosA）=2sin（A+φ），（其中tanφ=，φ∈（0，），∴当A=-φ时，a+2c的最大值是2．故选：D．先求得B，由正弦定理得出a=2sinA，c=2sinC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可．本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用为解题关键，属于中档题．13.【答案】直角三角形【解析】解：∵sinA+cosA=，可得：csinA+ccosA=a+b，∴由正弦定理可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinB，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA=sinA+sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC=1+cosC，即：sinC-cosC=1，两边平方可得：1-sin2C=1，可得：sin2C=0，∵C∈（0，π），2C∈（0，2π），∴2C=π，可得C=，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinCsinA=sinA+sinAcosC，由于sinA≠0，可得sin2C=0，结合范围2C∈（0，2π），可求C=即可得解△ABC的形状．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】216000【解析】【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键；设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元，由题意，得，z=2100x+900y，不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得，A（60，100），目标函数z=2100x+900y，经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元，故答案为216000．15.【答案】66【解析】解：由排列的规律可得，第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=n（n+1）个数，∴前63行共有×63×64=2016个数，故若a ij=2018，则i=64，j=2，故i+j=66，故答案为：66．先找到数的分布规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，即可求得结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16.【答案】2【解析】解：∵x+y≥2，∴0=x+y+2xy-4≤x+y+2×（）2-4．令t=x+y，整理可得，t2+2t-8≥0，∴（t-2）（t+4）≥0∵t＞0∴t≥2，即x+y≥2，当且仅当x=y=1时，取得最小值2．故答案为：2利用x+y≥2进行代换、得出关于x+y的不等式，通过解不等式可确定最值．本题考查基本不等式的应用，考查了转化、换元的思想，不等式解法．17.【答案】解：根据题意，分2种情况讨论：①，当a=0时，不等式为-x＞0，即x＜0，不等式的解集为{x|x＜0}；②，当a≠0时，若ax2-（a2+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，该方程有2个根，x1=1a，x2=a，当0＜a＜1时，1a ＞a，则不等式的解集为{x|x＜a或x＞1a}，当-1＜a＜0时，1a ＜a，则不等式的解集为{x|1a＜x＜a}，综合可得：当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1a}，当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}；当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜a}，【解析】根据题意，分a=0与a≠02种情况讨论，分别求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，涉及参数讨论，注意结合二次函数的性质进行分析．18.【答案】解：（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=ABsin∠ABDAD =√3×sinπ61=√32，∠ADB为三角形的内角．∴∠ADB=π3或2π3，又∠A为锐角，∴∠ADB=2π3，∴∠A=π-π6-2π3=π6．（2）△ABC中，由余弦定理可得：BC2=(√3)2+32-2×√3×3cosπ6=3．∴BC=√3．【解析】（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=，根据∠ADB为三角形的内角，∠A为锐角，可得∠ADB，进而得出∠A．（2）△ABC中，由余弦定理可得BC．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有√S n=a n+12．则：4S n=(a n+1)2①，当n=1时，解得：a1=1，则：4S n+1=(a n+1+1)2②①-②得：（a n +1+a n ）（a n +1-a n -2）=0， 由于：数列{a n }的各项为正数， 故：a n +1-a n =2（常数），所以：数列{a n }是以a 1=1为首项，2为公差的等差数列． 故：a n =2+2（n -1）=2n -1． （2）由于a n =2n -1，所以：b n =(2n −1)⋅22n−1，所以T n =1⋅21+3⋅23+5⋅25+⋯+(2n −1)⋅22n−1①， 4T n =1⋅23+3⋅25+5⋅27+⋯+(2n −1)⋅22n+1② ①-②得：T n =(6n−59)⋅22n+1+109．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 20.【答案】解：设这种车开x 年报废比较合算，当x ≥6时，总费用为：y =95000+4000x +5000x +500[1+2+3+…+（x -5）] =95000+4000x +5000x +250（x -4）（x -5） =2500x 2+6750x +100000， 平均费用：yx=250x +10000x+6750≥2√250x ⋅100000x+6750=16750，当250x =100000x，即x =20时，取最小值．当x ≤5时，平均费用：y x ≥950005+9000＞16750．∴这种车开20年，平均使用费用最底，故这种车开20年报废比较合算． 【解析】设这种车开x 年报废比较合算，当x≥6时，总费用为y=2500x 2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥，由此得到这种车开20年报废比较合算．本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 21.【答案】解：（1）在△ADC 中，由余弦定理得：b 2=AD 2+CD 2-2AD •CD •cos ∠ADC =4-2√3cos ∠ADC ，在△BDC 中，由余弦定理得：a 2=BD 2+CD 2-2BD •CD cos ∠BDC =4-2√3cos ∠BDC ，∵∠ADC +∠BDC =π，∴cos ∠ADC +cos ∠BDC =0， ∴a 2+b 2=8， ∴cos C =a 2+b 2−c 22ab ≥a 2+b 2−c 2a 2+b2=8−48=12， ∵0＜C ＜π，y =cos x 在（0，π）上单调递减， 所以角C 的最大值为π3（2）∵CD ＜a ＜CD +AD ，∴√3-1＜a ＜√3+1，∴4-2√3＜a 2＜4+2√3，由（1）知a 2+b 2=8，得b =√8−a 2， ∴a +b =a +√8−a 2，（a +b ）2=8+2a √8−a 2=8+2√−(a 2−4)2+16， ∵-2√3＜a 2-4＜2√3，∴12＜（a +b ）2≤16， ∴2√3＜a +b ≤4， 【解析】（1）分别在△ADC 和△BDC 中用余弦定理，得到a 2+b 2=8，在用cosC 的余弦定理进行放缩，可得；（2）利用（1）问中a 2+b 2=8以及CD ＜a ＜CD+AD ，-1＜a ＜+1，得到a+b=a+，然后求出取值范围．本题考查了余弦定理．属中档题．22.【答案】证明：（1）数列{a n }的首项a 1=13，且a n a n +1-2a n +1+a n =0．则：a n+1=an2−a n ，故：1−a n+1a n+1=1−an2−a na n 2−a n=2⋅1−a n a n ，所以：数列{1−a n a n}是以1−a 1a 1=2为首项，2为公比的等比数列．故：1−a n a n=2⋅2n−1=2n ，整理得：a n =12n +1（首项符合通项）， 故：a n =12n +1．（2）由（1）得：b n =2n（2a n +1-a n ）=2n(2n +1)(2n+1+1)=12n +1−12n+1+1，则：T n=121+1−122+1+122+1−123+1+…+12n+1−12n+1+1=1 21+1−12n+1+1＜13，故：T n＜13．【解析】（1）直接利用递推关系式和构造新数列求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题(解析版)
2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．166．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．368．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c【分析】对于A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断B，C，D【解答】解：A、∵a﹣b＞0，c2＞0，∴＞0B、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项不一定成立，C、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；D、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；故选A【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】先求出公比q，即可求出答案．【解答】解：设公比为q，由a1=6，a1+a2+a3=78，可得6+6q+6q2=78，解得q=3或q=﹣4（舍去），∴a2=6q=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．16【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值．【解答】解：正实数a，b满足2a+3b=1，则=（2a+3b）（）=+9≥13+12=25，故的最小值为25．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用．6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程．【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C处，航行到D处时，海岛在正北方向，由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴∠BAC=15°，∴AC=BC=8，∴CD=AC•cos∠ACD=4．故选C．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．36【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到k的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，可得a1=a2﹣d=﹣2d，则a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，若a k是a6与a k+6的等比中项，即有a k2=a6a k+6，即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d，由d不为0，可得k2﹣9k=0，解得k=9（0舍去）．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】要使函数有意义，则2﹣1≥0，解得即可．【解答】解：要使函数有意义，则2﹣1≥0，即x2+ax+1≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由于S15==15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出．【解答】解：∵S15==15a8＞0，a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴S16==8（a8+a9）＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为16．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由=2，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣=﹣．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，推导出=，从而【分析】a n+1，进而T m=m﹣（﹣）＜m﹣，由此能求出正整数m的最大值．【解答】解：由a n﹣a n=a n2，得a n+1=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，+1∴=，∴=﹣，∴++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣∈（0，），∵，∴T m==m﹣（﹣）=m﹣+＜m﹣+=m﹣∵T m＜2018，∴m﹣＜2018，∴m＜2018+∴正整数m的最大值为2018，故选：B【点评】本题考查了数列递推关系、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（﹣1，1）．【分析】先根据不等式组画出可行域，再验证哪些当横坐标、纵坐标为整数的点是否在可行域内．【解答】解：根据不等式组画出可行域如图：由图象知，可行域内的点的横坐标为整数时x=﹣1，纵坐标可能为﹣1或﹣2即可行域中的整点可能有（﹣1，1）、（﹣1，2），经验证点（﹣1，1）满足不等式组，（﹣1，2）不满足不等式组，∴可行域中的整点为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1），【点评】本题考查一元二次不等式表示的区域，要会画可行域，同时要注意边界直线是否能够取到，还要会判断点是否在可行域内（点的坐标满足不等式组时，点在可行域内）．属简单题．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．【分析】利用三角恒等变换求出A，再利用正弦定理得出C．【解答】解：∵sinA+cosA=2，即2sin（A+）=2，∵0＜A＜π，∴A+=，即A=，由正弦定理得：，即，∴sinC=，∴C=或C=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD 的面积为 6．【分析】利用余弦定理可求BD 2=5﹣4cosA=25+24cosA ，解得cosA=，结合范围0＜A ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵四边形ABCD 圆内接四边形， ∴∠A +∠C=π，∵连接BD ，由余弦定理可得BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•AD•cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA ， 且BD 2=CB 2+CD 2﹣2CB•CD•cos （π﹣A ） =9+16+2×3×4cosA=25+24cosA ， ∴61﹣60cosA=25+24cosA ， ∴cosA= 又0＜A ＜π， ∴sinA=．∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB•AD•sinA +CD•CB•sin （π﹣A ）=×6×5×+×3×4×=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．S n=S n﹣1﹣S n，可得数列{}是首项为1，公差为的等【分析】由已知得S n﹣1差数列，从而能求【解答】解：∵2a n+S n2=a n S n，∴S n2=a n（S n﹣2），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣2），S n=S n﹣1﹣S n，…①即S n﹣1•S n≠0，由题意S n﹣1•S n，得﹣=，将①式两边同除以S n﹣1∵a1=l，∴=1∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=（n+1）∴S n=，∴S10=，故答案为：【点评】本题考查数列的递推公式和前n项和，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换，转化为余弦定理的形式，进一步求出B的值．（2）利用正弦定理已知条件求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．则：，由于：0＜B＜π，解得：B=．（2）由于，所以：a=2c，由及a2+c2﹣b2=﹣ac．得到：a2+c2+ac=7．解得：a=2，c=1．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，正弦定理的应用．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．【分析】（1）当方程有两个负根时，利用判别式△≥0和根与系数的关系求出a的取值范围；（2）根据方程有一个正根和一个负根时，对应二次函数满足f（0）＜0，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0的判别式为△=4（a+2）2﹣4（a2﹣1）=16a+20，当△=16a+20≥0时，设方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣2（a+2），x1x2=a2﹣1；（1）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有两个负根，∴，解得，即a＞1或﹣≤a＜﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣，﹣1）∪（1，+∞）；（2）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有一个正根和一个负根，∴对应二次函数满足f（0）=a2﹣1＜0，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了一元二次方程根的分布情况以及判别式和根与系数的关系应用问题，是中档题．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意列方程组求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由{b n}的前n项和求得通项，代入，然后利用错位相减法求其前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由a1+a2=6，a1a2=a3，得，解得a1=q=2．∴；（2）当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，∴，∴，，∴=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？（1）设AM=x米，AN=y米，则x+y=400，△AMN的面积S=xysin120°=xy，【分析】利用基本不等式，可得结论；（2）由题意得，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，利用余弦定理求出MN，即可得出结论．【解答】解：设AM=x米，AN=y米，则（1）x+y=400，A=120°，△AMN的面积S=xysin120°=xy≤，当且仅当x=y=200时取等号；（2）由题意得150x+1.5y•100=90000，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，所以MN2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2+y2﹣xy=360000﹣xy所以x=y=300时，MN有最小值300．∴AM=AN=300米时，所用费用最少为3×5000=15000元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinA的值，即可确定出角A的大小；（2），由（1）可得A，由正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2sin（B﹣），结合B的范围B，可得2b﹣c 取值范围．【解答】解：（1）由（b2+c2﹣a2）tanA=bc．及余弦定理b2+c2﹣a2=2bccosA，得sinA=∵△ABC为锐角三角形，∴A=．（2）由正弦定理可得，∴2b﹣c=4sinB﹣2sinC=4sinB﹣2sin（）=3sinB﹣cosB=2sin（B﹣）．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴∴，2∴2b﹣c的取值范围为（0，3）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知可得2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，进而可得数列{b n}为等差数列，并得到{b n}的通项公式；（2）存在n=1，使得不等式成立，且9≤λ≤10，利用对勾函数和反比例函数的图象性质，可得答案．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．∴当n=1时，a1=S1=4﹣a1﹣，即a1=1，=4﹣a n﹣1﹣．当n≥2时，S n﹣1则a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣，即2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，即2n﹣1•a n﹣2n﹣2•a n﹣1=1，∵b n=2n﹣1•a n，即{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；即b n=n；（2）由（1）知：⇔，根据对勾函数的性质，可得：在n=3时取最小值，由反比例函数的性质，可得：在n=1时取最大值10；当n=1时，9≤λ≤10；当n=2时，6≤λ≤5，不存在满足条件的λ值；当n=3时，≤λ≤，不存在满足条件的λ值；当n≥4时，不存在满足条件的λ值；综上可得：存在n=1，使不等式成立，9≤λ≤10．【点评】本题考查的知识点是数列与不等式及函数的综合应用，难度中档．。
河南省洛阳市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2 D．当x∈（0，π）时，sinx+≥43．设p：函数y=sin2x的最小正周期为，q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x+26．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4 B．﹣4 C．﹣2D．+28．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．9．若x，y满足不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=（）A．B．0 C．D．110．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4 B．C．D．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．15．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．16．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C 于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：2a≤x≤a2+1，q：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分条件，求实数a取值范围．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}对任意n∈N*均有++…+=a n+1成立，求c1+c2+c3+…+c2015的值．20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣ln．（1）求函数f（x）在[，e2]上的最大值和最小值；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=x3+x2的图象在y=f（x）的图象上方．22．设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设A，B两点都在以P（﹣2，0）为圆心的同一圆上，求E的方程．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】问题转化为mx2+4mx+3≠0恒成立，通过讨论m的范围，结合二次函数的性质判断即可．【解答】解：若函数f（x）=的定义域为R，则mx2+4mx+3≠0恒成立，m=0时，成立，m≠0时，△=16m2﹣12m＜0，解得：0＜m＜，综上，0≤m＜，故选：D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2 D．当x∈（0，π）时，sinx+≥4【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式的规律，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，lgx可能为负值，故lgx+≥2错误；选项B，6﹣x﹣=6﹣（x+），而x+=4，或x+≤﹣2=﹣4，故6﹣（x+）≤2或6﹣（x+）≥10，故B错误；选项C，==+≥2，当且仅当=即=1时取等号，此时x2=﹣3，故等号取不到，故＞2，取不到2，故错误；选项D，当x∈（0，π）时，sinx＞0，由基本不等式可得sinx+≥2=4，故正确．故选：D3．设p：函数y=sin2x的最小正周期为，q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真【考点】复合的真假．【分析】由题设条件可先判断出两个的真假，再根据复合真假的判断规则判断出选项中复合的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故p是假；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假；结合复合的判断规则知：p∧q为假，p∨q为是假；故选：C．4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出方程表示椭圆的充要条件：分母都大于0且不等；求出m的范围；利用充要条件的定义判断前者是后者的什么条件．【解答】解：（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12=（m﹣2）（6﹣m）表示椭圆的充要条件是：，解得2＜m＜6但m≠4；当2＜m＜6推不出2＜m＜6但m≠4；2＜m＜6但m≠4成立时能推出2＜m＜6；故2＜m＜6是方程表示椭圆的必要不充分条件．故选：B．5．已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由f（x）=e x+x2﹣x+sinx，得f′（x）=e x+2x﹣1+cosx，∴f（0）=1，f′（0）=1，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=x+1，故选：A．6．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得=q，故本题得解．【解答】解：设{a n}的公比为q（q＞0），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=．∴=q=．故选B．7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4 B．﹣4 C．﹣2D．+2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，考虑A在左支上运动到与P，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A在双曲线的左支上，双曲线﹣=1的a=，b=2，c=3，设双曲线的左焦点为F'，即有F（3，0），F'（﹣3，0），由双曲线的定义可得|AF'|﹣|AF|=2a=2，即有|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，当A在左支上运动到P，A，F'共线时，|AP|+|AF'|取得最小值|PF'|==，则有|AP|+|AF|的最小值为﹣2．故选：C．8．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．9．若x，y满足不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=（）A．B．0 C．D．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值，再列方程求出a即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，其中A（a，2﹣a），B（a，a），当直线z=2x+y过点（1，1）时，z最大是3，当直线z=2x+y过点B时，z最小是3a，∴3=3×3a，∴a=．故选A．10．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．【解答】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=﹣3sin2θ﹣2sinθ+5，∴当sinθ=﹣时，|PQ|2ma x=，∴直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长|PQ|ma x=．故选：B．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义知m﹣n=2a，由△PF1F2为直角三角形，知m2+n2=4c2，由双曲线的离心率为5，c=5a，由此能求出结果．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则由双曲线的定义知m﹣n=2a，①∵△PF1F2为直角三角形，∴m2+n2=4c2，②∵双曲线的离心率为5，∴，即c=5a，把①和②联立方程组，解得mn=2b2=2（c2﹣a2）=48a2，解方程组，得m=8a，n=6a，∴cos∠PF1F2====．故选C．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则其导函数在[，+∞）上是非负值，又因导函数为递增函数，只需最小值非负即可．【解答】解：f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，∴f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上是非负值，∵f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上递增，∴f'（）=﹣9+a≥0，∴a≥．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围．【解答】解：由题意得，函数f（x）=x3﹣6bx+3b 的导数为f′（x）=3x2﹣6b 在（0，1）内有零点，且f′（0）＜0，f′（1）＞0．即﹣6b＜0，且（3﹣6b）＞0．∴0＜b＜，故答案为：．14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【考点】解三角形．【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，∴∴b=4故答案为：415．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【解答】解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为16．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C 于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．【解答】解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：2a≤x≤a2+1，q：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分条件，求实数a取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0}，由于p是q 的充分条件，可得A⊆B．（1）当a≥时，此时B={x|2≤x≤3a+1}，可得．（2）当a＜时，B={x|3a+1≤x≤2}，可得．【解答】解：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，化为（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，设A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0}，∵p是q的充分条件，∴A⊆B．（1）当a≥时，B={x|2≤x≤3a+1}，∴，解得1≤a≤3．（2）当a＜时，B={x|3a+1≤x≤2}，∴，解得a=﹣1．∴实数a取值范围是{a|1≤a≤3，或a=﹣1}．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】解三角形．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，有正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△AB C=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．19．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}对任意n∈N*均有++…+=a n+1成立，求c1+c2+c3+…+c2015的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过a1=1，进而表示出b2=a2=1+d、b3=a5=1+4d、b4=a14=1+13d，利用=b2b4计算可知d=2，从而a n=2n﹣1，进而可知等比数列{b n}的公比q=3，计算即得结论；（2）通过++…+=a n+1与++…+=a n作差，整理可知c n=2•3n﹣1，进而可知数列{c n}的通项公式，利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，b2=a2=1+d，b3=a5=1+4d，b4=a14=1+13d，∵=b2b4，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得：d=2或d=0（舍），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}的公比q====3，∴b n=3•3n﹣2=3n﹣1；（2）∵++…+=a n+1，∴当n≥2时，++…+=a n，两式相减得：=a n+1﹣a n=2，∴c n=2b n=2•3n﹣1，又∵c1=a2b1=3不满足上式，∴c n=，∴c1+c2+c3+…+c2015=3+=3﹣3+32015=32015．20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，其中△=4p2k2+16p＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，∴===﹣4p+4，由已知，﹣4p+4=2，解得p=，∴抛物线E的方程为x2=y．（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，===x1﹣x2，同理k2=x2﹣x1，∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．21．已知函数f（x）=x2﹣ln．（1）求函数f（x）在[，e2]上的最大值和最小值；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=x3+x2的图象在y=f（x）的图象上方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值和最大值即可；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（1）f′（x）=2x+，∵x≥，∴f′（x）＞0，f（x）在[，e2]上递增，∴f （x ）最小值=f （）=﹣1，f （x ）最大值=f （e 2）=e 4+2；（2）证明：令F （x ）=g （x ）﹣f （x ）=x 3﹣x 2﹣lnx ，则F ′（x ）=，令h （x ）=2x 3﹣x 2﹣1，∵x ＞1， ∴h ′（x ）=2x （3x ﹣1）＞0，h （x ）在（1，+∞）递增，h （x ）＞h （1）=0， ∴x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0， ∴F （x ）在（1，+∞）递增，F （x ）＞F （1）=＞0，即g （x ）＞f （x ），∴x ∈（1，+∞）时，函数g （x ）的图象在y=f （x ）图象的上方．22．设F 1，F 2分别是椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设A ，B 两点都在以P （﹣2，0）为圆心的同一圆上，求E 的方程．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）根据|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，可得2|AB|=|AF 2|+|BF 2|，利用椭圆定义可得|AB|=a ．设l ：x=y ﹣c ，代入椭圆C 的方程，整理得（a 2+b 2）y 2﹣2b 2cy ﹣b 4=0（*），利用韦达定理化简可得a=b ，从而可证b=c ； （2）设AB 的中点为N （x 0，y 0），运用中点坐标公式，可得N 的坐标，根据|PA|=|PB|知PM 为AB 的中垂线，可得k PN =﹣1，从而可求b=6，进而可求椭圆E 的方程． 【解答】解：（1）∵|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列， ∴2|AB|=|AF 2|+|BF 2|，由椭圆定义可得，|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a ， ∴|AB|=a ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），F 1（﹣c ，0），l ：x=y ﹣c ， 代入椭圆C 的方程，整理得（a 2+b 2）y 2﹣2b 2cy ﹣b 4=0，（*）则|AB|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=2（y1﹣y2）2=2[（y1+y2）2﹣4y1y2]=2[（）2+]=•2a2，化简得a=b，故b=c．所以椭圆的离心率e==；（2）设AB的中点为N（x0，y0），由（1）可得，x0==﹣c=c﹣c=﹣c，y0=x0+c=c，由|PA|=|PB|，可得k PN=﹣1，即=﹣1，化简为c=c﹣2，解得c=6，a=6，b=6．即有椭圆的方程为+=1．2016年7月6日。
河南省洛阳市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
河南省洛阳市17-18学年高二上学期期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合）C.【答案】C2. 命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（）A. 存在一个有理数，它的平方是无理数B. 任意一个无理数，它的平方是有理数C. 任意一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方是有理数【答案】D【解析】根据特称命题的否定的定义，该命题的否定为“存在一个无理数，它的平方是有理数”3. ）B. D.【答案】A抛物线的准线方程为4. 中，已知）【答案】B故选5. 等差数列）【答案】C6. 在正方体）D.【答案】A故选7. ）【答案】C）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A，解得9. 在中，角）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】由题意得两直线平行，直线重合舍去，故三角形为等腰三角形10. 2）【答案】C，，则故选11. ，和）【答案】D又故选点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，考查了学生的计算能力，12. 已知数列）A. B. D.【答案】B故选........................二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.14. 若命题“满足”为真命题，则实数的取值范围是_______.，解得实数点睛：本题以命题为载体考查了不等式问题，在求解这类不等式时正确解法是先将常数项左移，然后通分，转化为一元二次不等式后求解，切不可直接去分母，然后求解。
15. 若双曲线的渐近线方程是______.点睛：本题主要考查了双曲线的简单性质，解答关键是在于对于双曲线渐近线方程的理解，属于基础题。
先根据双曲线的渐近线求得进而根据再代入离心率公式，答案可得；16. 下列命题：（1（2在基底下的坐标为（3（4，各条棱长均相等，则其内切球与外接球的体积之比为其中真命题是_______.（填序号）【答案】（2）（4），则，解得当，故错误；，则原式，夹角为钝角，综上所述，其中真命题为⑵⑷三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1（2.【答案】【解析】试题分析：⑴结合已知中解析：（1的大小为（2）由（118. 已知动点轴的垂线，垂足为（1）求动点（2.【答案】【解析】试题分析：⑴设点程；解析：（1，（2的斜率存在，设为，直线的值为.19. 已知数列中，（1（2，求数列【答案】(1)答案见解析；【解析】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明解析：（1，4为公比的等比数列，（2①-∴20. 精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后5千元）.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用）/件.（1）试将该批产品的利润（利润=销售额-成本-推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？【答案】(2) 当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.⑵利用基本不等式可以求出该函数的最值，注意等号成立的条件，即可得到答案；解析：（12）∵.当且仅当时，上式取“答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.21. 在三棱锥的中点，（1）证明：（2）若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.为原点，分别以过，易求得几何体中各个顶点的坐标，求出，即证明⑵要求满足条件使得二面角，即求平面的法向量和平面长；解析：（1的中点，，落在线段共线同向的向量，，则∴（2，平面，可得，得，可得，故线段上是否存在一点点睛：本题是一道与二面角有关的立体几何综合题，考查了空间立体几何中关于线线垂直的判定方法与二面角的计算的知识点。
河南省洛阳2017-2018学年高二上学期第二次联考数学(文)试卷 扫描版 含答案
洛阳名校2017—2018学年上期第二次联考高二数学（文）答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1-5 CABDA 6-10 BADDC 11-12 DA二、填空题13．7+ 14．1522=+y x 15．[0,8] 16．),9[+∞-三、解答题17．【参考答案】（1）()()0,:230m p x x >+-≤，:11q m x m -≤≤+，∴:23p x -≤≤， :11q m x m -≤≤+，∵q ⌝是p ⌝的必要条件， 13,{ 12m q p m +≤⇒∴-≥-， 解得2m ≤，当2m =时， :13q x -≤≤，满足题意；综上：02m <≤；…………5分（2）若7m =，可得:68q x -≤≤，∵“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，∴p 与q 有一个为真，一个为假， ∵:23p x -≤≤，若p 真q 假可得，x 为空集；若p 假q 真可得，62x -≤<-或38x <≤.………………………10分18．【参考答案】（1）由已知得： 2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d =+⎧⎨=+⎩， 解得 2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 （舍） ，所以2d =，所以3,21n n n a b n ==+.………6分 ()()122213,3353...213=+=++++ （）n n n n c n S n ()()()231123133353...213233233...3213++=++++-=++++-+ 两式相减得n n n n n S n S n .………9分112233++-=-∴= n n n n S n S n.………12分.19．【参考答案】（1）方法一：由题意得2222311a 4b a b 3⎧+=⎪⎨⎪-=⎩22a 4b 1∴== 方法二：由椭圆的定义得：1222a a =⇒= 又c =2221b ac =-=，∴椭圆E 的方程为： 2214x y +=.………………………4分 （2）过()F的直线方程为(12y x =，2AF =联立(2212{ 14y x x y =+=2810y ⇒--=， 设()()1122,,,M x y N x y，则121212{ 18y y y y y y +=⇒-==- ∴AMN ∆的面积(1211222AF y y =⋅-==……………12分 20．【参考答案】（1）∵()()cos 2cos b A c a B π=+-，∴()()cos 2cos b A c a B =+-，由正弦定理可得： ()sin cos 2sin sin cos B A C A B =--，∴()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=.又角C 为ΔABC 内角， sin 0C >，∴1cos 2B =- 又()0,πB ∈，∴2π3B =………………6分 方法二：cos cos cos cos cos b A a B 2c Bc 2c B1B 22B 3π+=-∴=-∴=-∴= （2）有Δ1sin 2ABC S ac B ==4ac = 又()222216b a c ac a c ac =++=+-=，∴a c +=所以ΔABC的周长为4+ ………………12分21．参考答案】（1）由题意可得221112,2n n n n n n S a a S a a ---=+=+，两式相减得，,22n n n 1n n 12a a a a a --=-+-所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a --=.即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，21112a a a =+， 所以111,1n a a a n n ==+-=.………………………6分（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++， 又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++，.………9分 所以()12111111...22...2...233412n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以12111...22222n n T b b b n n n =+++=+-<++.………………………12分 22．【参考答案】（1）在12F MF ∆中，由0121||||sin 602MF MF =，得1216||||3MF MF =．由余弦定理，得2220121212||||||2||||cos60F F MF MF MF MF =+-201212(||||)2||||(1cos60)MF MF MF MF =+-+，从而122||||a MF MF =+=a =2b =， 故椭圆C 的方程为22184x y +=． ………………………… 6分 （2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为2(1)y k x +=+，由221842(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，得222(12)4(2)280k x k k x k k ++-+-=．………… 8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1224(2)12k k x x k -+=-+，21222812k k x x k -=+． 从而1212121221212222(4)()4(2)2(4)428y y kx x k x x k k k k k k x x x x k k--+-+-+=+==--=-． ………10分当直线l的斜率不存在时，得((1,A B --，得124k k +=． 综上，恒有124k k +=． …………………………12分。