第二章 z变换-作业
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_2第二章z变换
| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
第二章_z变换-作业
X (e ) DTFT xn
j
n
jn x n e
X (e ) DTFT x n
j
n
x ne
jn
m
xme
jm
m
j m j x m e X ( e )
d
DTFT xn X e
j
n
xne jn
j j 11．已知 x(n ) 有傅里叶变换 X (e )，用 X (e ) 表示信号 x1 (n) x(1 n) x(1 n) 的傅里叶变换。
解： DTFTx(n) X (e j )
n
xne
jn
e an e jn
n 0
解：
10. 设 X (e j ) 是如下图所示的信号 x(n ) 的傅里叶变换， 不必求出 X (e j ) ，试完成下列计算： j j 2 (1) X (e j 0 ) (2) (3) X (e )d X (e ) d
2
1 1 n z n1 z 1 1 z2 1 z 1 2
由于 x(n) 是因果序列， 故 n 0 时，x(n) 0
1 所以 x(n) u (n) 2
n
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 X ( z )的z反变换 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
DTFTx(n) X (e j )
DTFTx(1 n) e j X (e j ) DTFTx(1 n) e j X (e j )
过程控制作业答案分解
作 业第二章：2-6某水槽如题图2-1所示。
其中A 1为槽的截面积，R 1、R 2均为线性水阻，Q i 为流入量，Q 1和Q 2为流出量要求：(1)写出以水位h 1为输出量，Q i 为输入量的对象动态方程；(2)写出对象的传递函数G(s)并指出其增益K 和时间常数T 的数值。
图2-1解：1）平衡状态： 02010Q Q Q i +=2）当非平衡时： i i i Q Q Q ∆+=0；1011Q Q Q ∆+=；2022Q Q Q ∆+= 质量守恒：211Q Q Q dthd A i ∆-∆-∆=∆ 对应每个阀门，线性水阻：11R h Q ∆=∆；22R h Q ∆=∆ 动态方程：i Q R hR h dt h d A ∆=∆+∆+∆2113) 传递函数：)()()11(211s Q s H R R S A i =++ 1)11(1)()()(211+=++==Ts KR R S A s Q s H s G i2Q11这里：21121212111111R R A T R R R R R R K +=+=+=；2-7建立三容体系统h 3与控制量u 之间的动态方程和传递数,见题图2-2。
解：如图为三个单链单容对像模型。
被控参考△h 3的动态方程： 3233Q Q dth d c ∆-∆=∆；22R h Q ∆=∆；33R hQ ∆=∆； 2122Q Q dth d c ∆-∆=∆；11R h Q ∆=∆ 111Q Q dth d c i ∆-∆=∆ u K Q i ∆=∆ 得多容体动态方程：uKR h dth d c R c R c R dt h d c c R R c c R R c c R R dt h d c c c R R R ∆=∆+∆+++∆+++∆333332211232313132322121333321321)()(传递函数：322133)()()(a s a s a s Ks U s H s G +++==； 这里：32132133213213321321332211232132131313232212111;c c c R R R kR K c c c R R R a c c c R R R c R c R c R a c c c R R R c c R R c c R R c c R R a ==++=++=2-8已知题图2-3中气罐的容积为V ，入口处气体压力，P 1和气罐 内气体温度T均为常数。
第二章 Z变换
n = −∞
xa ( nT )e −nsT ∑
X ( z) =
n = −∞
∑ x(n) z
∞
−n
复变量s平面到z平面的映射
z=e
令
sT
1 s = ln z T
s = σ + jΩ
z = re
jω
则
re
jω
=e
(σ + jΩ ) T
=e e
σT
jΩT
r=e
σT
S 平面
Z 平面
－1
1
ω = ΩT
所以序列的z变换和连续信号的拉普拉斯 变换的关系可以表示如下： 因为时域中的抽样，对应于s域为沿 jΩ 轴（s平面的虚轴）的周期延拓
∞
n = −∞
例如：
X 已知序列的z变换为： ( z ) = 1 1 − az −1 z>a
求原序列 x (n )
例如
序列的z变换为：
z ( 2 z − a − b) X ( z) = ,a < z < b ( z − a )( z − b)
求原序列
x (n )
部分分式展开法
B( z ) X ( z) = = X 1 ( z) + X 2 ( z) + ⋯ + X K ( z) A( z ) (z
−1
l
z反变换
Z反变换通常采用如下三种方法：围线积 分法，幂级数展开法（长除法）和部分 分式法
围线积分法
1 k = 0 1 k −1 柯西积分公式 ∫c z dz = 0 k ≠ 0 2πj
∞ 1 1 k −1 − n + k −1 ∫c X ( z ) z dz = 2πj ∫cn∑ x(n)z dz 2πj = −∞
Z变换
( z平面上的单位圆) ( z平面单位圆内) ( z平面单位圆外)
而z 的幅角 与 s 的虚部 的关系是线性关系。 即： T
0 0,2 s 0 z 1 / T
(S平面实轴映射到Z平面的正实轴) (S平面原点映射到z=1点)
z2 X ( z) 0.5<|z|<2, 求X(z)对 ( z 2)( z 0.5)
解：将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式
X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
由求系数Ak的公式可得 A1 4 / 3, A2 1/ 3
zn X ( z ) z n1 (1 az )( z a) zn a( z a)( z a 1 )
例2-2-4 被积函数的极点
在收敛域 | a 1 || z || a 内，作包围原点的围线，当 n 0 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为
1 an x(n) Re s[ z n , a] a( z a)( z a 1 ) 1 a2 n0
X ( z) (1 az 1 ) 1 例 2-2-6 用长除法求
za
的逆Z变换。 解：由收敛域知，这是一右边序列，用长除法将其 展开成z的负幂级数，将分母多项式按降幂排列：
1 az 1 1 az 1 a 2 z 2 1 1 az 1 az 1
n n
由于u(n)为因果序列，其Z变换收敛域为
Rx z ，因X(z)在z=1处有一极点，
极点应在收敛域外，因此u(n)的z变换收敛
域为:
z 1
例2-2-2 求序列
第二章Z变换例题
当序列满足n0xn0时有所以有若序列xn的z变换为1912241224212由题知xz的收敛域包括单位圆则其收敛域为因而时有值的左边序列limlim有一信号yn与另两个信号的关系是其中已知利用z变换的性质求yn的z变换yz
第二章 Z变换 例题
重要概念：
连续系统： 傅里叶变换————拉普拉斯变换 离散系统： 傅里叶变换————Z变换 重点：Z变换收敛域， 零极点的概念，Z变换的基本性质 和定理，单位取样响应h(n)的Z变换---系统函数
0 z Rx, n n2 0
（ z 0, z 需单独讨论。）
解：对X(z)的分子和分母因式分解，得
X (z)
1
1 2
z 1
1
1 2
z 1
1
1 4
z 2
1
1 2
z 1
1
3 4
z 1
1
1 2
z 1
1
1 2
jz 1
1
1 2
jz 1
1
3 4
z 1
从上式得出，X(z)的零点为 1/2, 极点为j/2, -j/2, -3/4。
解
由 N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk , 0 k N 1 n0
rN 1
N 1
Y (k) DFT[ y(n)] y(n)WrnNk x(n)WrnNk
n0
n0
N
1
x(n)e
j
2 N
n
k r
X
(
k r
)
,
k lr ,
l 0,1,
, N 1
n0
所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍，相当
点对应于 x(n) y(n) 应该得到的点。
第二章 Z变换 例题
重要概念：
连续系统： 傅里叶变换————拉普拉斯变换 离散系统： 傅里叶变换————Z变换 重点：Z变换收敛域， 零极点的概念，Z变换的基本性质 和定理，单位取样响应h(n)的Z变换---系统函数
0 z Rx, n n2 0
（ z 0, z 需单独讨论。）
解：对X(z)的分子和分母因式分解，得
X (z)
1
1 2
z 1
1
1 2
z 1
1
1 4
z 2
1
1 2
z 1
1
3 4
z 1
1
1 2
z 1
1
1 2
jz 1
1
1 2
jz 1
1
3 4
z 1
从上式得出，X(z)的零点为 1/2, 极点为j/2, -j/2, -3/4。
解
由 N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk , 0 k N 1 n0
rN 1
N 1
Y (k) DFT[ y(n)] y(n)WrnNk x(n)WrnNk
n0
n0
N
1
x(n)e
j
2 N
n
k r
X
(
k r
)
,
k lr ,
l 0,1,
, N 1
n0
所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍，相当
点对应于 x(n) y(n) 应该得到的点。
利用Z变换分析信号和系统的频域特性.ppt
1 j j n 其中： x () n X ( e ) e d 2 1 j j n X ( e ) e d 微分增量（复指数）： 2
2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的 因果性和稳定性
z 1）因果： R x 2）稳定： 序列h(n)绝对可和，即
图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性
例 2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。 解：
N N 1 z z 1 n n R ( z ) R ( n ) z z N N 1 N 1 1 z z ( z 1 ) n n 0 N 1
第八讲
2.6 利用Z变换分析信号和系统的频 域特性
要点
• 离散系统的系统函数和频率响应，系统函 数与差分方程的互求 • 系统频率响应的意义 • 由系统函数的极点分布分析系统的因果性 和稳定性 • 由系统函数的零极点分析系统的频率特性---系统函数零极点的几何意义
第二章作业
2-1 （1）（3）（4）（6）（7）， 2-2，2-3，2-4，2-5 （1）（3）（5）， 2-6 （1）（3），2-10，2-12，2-13 2-14（2）（3）（6）， 2-16，2-23，2-24，2-28
2e
0 .2 e
j
j
6
4
0 .4
1 .5
1
R e[ z ]
j
0
0.2 e
j
4
解：因果系统： z 2
稳 定 系 统 ： 0 . 4 z 1 . 5
2e
6
2.6.3 利用系统的零极点分析系统的频 率特性
常系数线性差分方程：
ayn ( k ) b xn ( k )
数字信号处理3第二章Z变换(OK)
（４）双边序列 可看做左边序列+右边序列，故其Z 可看做左边序列+右边序列，故其Z变换收敛域 应是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 应是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 Ｚ变换
X ( z) =
n = −∞
∑ x( n) z
∞
−n
=
n = −∞
∑ x(n) z
−1
−n
+ ∑ x ( n) z
n =0
−1 n
X ( z) = ∑ a z
n =0
=∑ ( az )
n =0
1 z = = , −1 1 − az z−a
| z |>| a |
（３）左边序列 仅在n n 序列有值， 仅在n≤n２时，序列有值，n＞ n２时值全为零
x(n) x(n) = 0 Ｚ变换为
X ( z) =
n = −∞
若X(z)只有一阶极点，X(z)展成 X(z)只有一阶极点，X(z)展成 只有一阶极点 k Am z X ( z ) = A0 + ∑ m =1 z − zm 最好写成
X ( z ) A0 k Am = +∑ z z m =1 z − zm
分别为X(z) z=0、 X(z)在 极点处的留数 A0、Am分别为X(z)在z=0、z=zm极点处的留数 X ( z) A0 = Re s[ , 0] = X ( 0) z X ( z) X ( z) Am = Re s[ , z m ] = [( z − z m ) ]z = zm z z
0 <| z |≤ ∞, 0 ≤| z |< ∞,
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
ROC 0 Re[z]
有限长序列的收敛域
(n)， 例1：矩形序列是有限长序列，x(n)=RＮ(n)， 矩形序列是有限长序列， 求其X(z) 求其X(z) 解： −N N −1 ∞
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(a2 1)z a(z 1 )( z a)
z
a
收敛域： az 1,且 a 1 即：a z 1
z
a
极点为： z a, z 1 零点为： z 0, z a
1. 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。
(1) x(n) a n ( | a | 1)
(3)
x(n)
1
n
u(n
1)
0.447 (1.62)n u(n 1) (0.62)n u(n)
从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。
17．设 x(n)是一离散时间信号，其z变换为X (z) ，利用X (z)求信号x3 (n) x(2n)
的z变换：
解：令m 2n则Y (z)
x(2n)zn
m
x(m)z 2
(1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列;
(2) | Z | < 1/2 , 为左边序列;
(3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列.
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
4
z 1 2
(3) X (z) z a , z 1
DTFT[x1(n)] X (e j ) (e j e j ) 2X (e j ) cos
X (e j ) DTFT xn xne jn
n
X (e j ) DTFT x n x ne jn
n
x m e jm x m e jm X (e j )
m
m
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
解：(c) 要使系统稳定，收敛区域应包括单位圆,因此选 H (z)的收敛区域为
e jnd
DTFTxn X e j xne jn
n
11．已知 x(n) 有傅里叶变换 X (e j )，用 X (e j ) 表示信号 x1(n) x(1 n) x(1 n) 的傅里叶变换。
解： DTFTx(n) X (e j )
DTFT x(n) X (e j )
DTFT x(1 n) e j X (e j ) DTFT x(1 n) e j X (e j )
a2 z a1 ，即 0.62 z 1.62
，则
H (z)
a1
1 a2
z
z a1
z
z a2
式中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。
所以
H(z)
a1
1 a2
1
a1n z n
n
a2
n
z
n
n0
则有
h(n) 1 a2 a1
a1n u(n 1) a2n u(n)
所以
H(z)
Y (z) X (z)
1
z 1 z 1
z
2
z (z a1)(z a2 )
零点为z=0，z
极点为 z a1 0.5 1 5 1.62 z a2 0.5 1 5 0.62
因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
解：(a) 对差分方程的两边作Z变换，得： Y (z) z1Y (z) z2Y (z) z1X (z)
a2 )
a1
a2
z
a1
z
a2
a1
1 a2
1
1
a1z
1
1
1 a2
z
1
a1
1 a2
a1n zn
n0
a2n
z
n
n0
所以 h(n) 1 a1 a2
a1n a2n
u(n)
式中 a1 1.62
, a2 0.62
由于 H (z) 的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
(1) X (e j0 ) 解：
(2) X (e j )d
(3)
X (e j )
2
d
(2) X (e j )d X (e j )e j0d 2 x(0) 4
x(n) 2
1 -3
7
n
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 8
-1
DTFT
1
X
e j
x
n
1 2
X
e j
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
X (z) z a a 1 a2 z z(1 az) z 1 az
则 X (z) a (a 1) 1
a 1 1 z 1 a
所以
x(n)
(a)
(n)
(a
1)
1
n
u(n)
a a
1
(n)
(a
1
)
1
n
u(n
1)
a
a a
7. 求序列 eanu(n) 的频谱 X (e j ) 。
解：（2） X (z) ZT eanu(n)
特殊情况有 ：z Rx , n n2 0 (4) 双边序列的收敛域为 ：Rx z Rx
有三种收敛域 ：圆内、圆外、环状（ 0，z 要单独讨论 ）
2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。
1 1 z2
X (z)
4
(1 1 z 2 )(1 5 z 1 3 z 2 )
n
m2k
由此可设 x(m) 1 1 (1)m x(m) 2
则：Y (z)
1 1 (1) m
m
x(m) z 2
m 2
1 2
m
x(m)z 2
m
1 2 m
x(m)
1
z2
m
1
X
1
(z 2
)
X
(z
1 2
)
2
2
当
n
0 时， 1
1 1
z 1
z n1
1 z
1 2
zn
2
在c内有
z
1 2
一个单极点, 则
x(n)
Re
s
z
zn
1 2
z
1 2
1 n , 2
n0
由于 x(n) 是因果序列 ， 故 n 0时，x(n) 0
所以
x(n)
1 n
u(n)
2
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
z 1 2
(3) X (z) z a , 1 az
4
解：（3）(ii)留数定理法：
z 1 a
x(n) 1 X (z)z n1dz ，设 c 为 z 1 内的逆时针方向闭合曲线。
2j c
a
当 n 0 时：X (z)zn1在 c内有 z 1 一个单极点 a
1 az
a
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
4
z 1 2
(3) X (z) z a , z 1
1 az
a
解：（1）(ii)留数定理法：
x(n) 1
2j
c
1
1 1
z 1
z n1dz
,设 c为 z 1 内的逆时针方向闭合曲线： 2
4
48
解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得
(1 1 Z 1)(1 1 Z 1)
1 1 Z 1
X (Z)
2
2
(1 1 Z 2 )(1 1 Z 1)(1
3 Z 1)
(1
1
2 jZ 1)(1 1
jZ 1 )(1
3 Z 1 )
4
2
4
2
2
4
X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4， 所以 X(Z)的收敛域为 :
1
1 ea
z
1
1 X (e j ) X (z) |ze j 1 eae j
X (e j ) DTFT x n x n e jn eane jn
n
n0
10. 设 X (e j ) 是如下图所示的信号x(n) 的傅里叶变换，
不必求出 X (e j ) ，试完成下列计算：
2
解:（3）
X (z)
( 1 )n u(n 1) zn
1
( 1)n zn
n 2