数学实验第五讲矩阵模型及随机模拟实验(1)
10.3.2 随机模拟(教学课件)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月 ，二月，…，十二月是等可能的.设事件A =“至少有两人出生月份相同”，设计 一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率. 解：方法1(随机试验产生随机数) 根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影 响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验．
利用计算器或计算机软件可以产生随机数．可以根据不同的随机 试验构建相应的随机数模拟试验，从而快速地进行大量重复试验．
例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算 机产生取值于集合{0，1} 的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上. 这样不断产生0、1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.
有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就 完成了一次模拟试验．如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了．
重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率．
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月 ，二月，…，十二月是等可能的.设事件A =“至少有两人出生月份相同”，设计 一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.
数学实验第五讲 用mathematica的相应功能进行向量矩阵运算
授课老师： 所属院系：数计学院 E-mai：l
第五讲
用Mathematic的a 相应功能进行向量、矩阵运算
用Mathematic的a相应功能进行向量、矩阵运算
? 向量和矩阵的输入 ? 获得表的元素 ? 表的维数和矩阵的加、减法 ? 向量和矩阵的乘法 ? 关于矩阵的几个常用函数
用Mathematic的a相应功能进行向量、矩阵运算
,e2}}
m1? m2
注意：“? ”是Mathematic特a 有? 的，这种乘法不满足 交换律，当向量与矩阵相乘用“ ”时，Mathematica 能自动把向量看做行向量或列向量
关于矩阵的几个常用函数
?
Inverse[M] :
?
Transpose[M]
?
Det[M]
?
Eigenvalues[M]
获得表的元素
在Mathematic中a 获得表的元素的规则如下：
? 若A是一个向量，则A[i] 表示向量的第i个元素。
? 若M是一个m行n列矩阵，则用M[[i]] 第i行。
表示矩阵的
? 用M[[i,j]]
表示第i行、第j列交叉点处的元素。
?
用Transpose[m][[j]]
表示M的第j列。
? 用,j2}]]
? 实验内容
? 矩阵的输入。 123
输入矩阵 A＝ 4 5 6 78 9
? 矩阵的基本运算
?求两个矩阵的和 ?数乘矩阵 ?矩阵相乘
实验6 矩阵的初等变换
? 实验内容
? 矩阵的初等变换
用初等变换将矩阵 A＝
-1 0 1 2 3 1 0 -1 0214
化为行标准型。
x1 ? 3x2 ? 6x4 ? 9 2x2 ? x3 ? 2x4 ? ?5
实验1 矩阵方法实验
语法
含义
Aˊ
A的转置
det(A)
A的行列式
rank(A)
A的秩
A(i,:)=k*A(i,:)
k乘以A的第i行
A([i,j],:) =A([j.i],:)
A的第i行和第j行互换
aj=A(:,j)
选择A的第j列做一列向量
inv(A)
A的逆
eig(A)
A的特征值
poly(A)
A的特征多项式
Ai=A(i,:)
得
x =
0.3529
0.1765
1.7647
例4求方程组 的解.
解输入
A=[2 -1 -1 1 1;1 2 -1 -2 0;3 1 -2 -1 2];
A([1,2],:)=A([2,1],:)
得
A =
1 2 -1 -2 0
2 -1 -1 1 1
3 1 -2 -1 2
输入
A(2,:)=A(2,:)-2*A(1,:);
(4)求X6=A的逆;
(5)求方程组AX=b的解向量.
解 完成上述求解的命令为：
(1)A=[3 4–1；6 5 0;1–4 7]
B=[1 3 4;7 9 16;8 11 20]
b=1:2:5
(2)x1=A'
x2=A+B
x3=A*B
得
x1 =
3 6 1
4 5 -4
-1 0 7
x2 =
4 7 3
13 14 16
-1.0000 5.0000 1.0000
-1.0000 3.5000 0.5000
(5)x=inv(A)*b'
得
x =
-9
数学实验1（矩阵问题）部分答案
数学实验1（矩阵问题）部分答案第一篇：数学实验1(矩阵问题)部分答案实验1 矩阵问题一、实验目的：掌握MATLAB的基本使用方法、矩阵的输入及基本运算二、实验内容：1．设有分块矩阵A=⎢3⨯3⎣O2⨯3⎡ER3⨯2⎤⎥，其中E，R，O，S分别为单位矩阵，随S2⨯2⎦⎡ER+RS⎤2⎥S⎦机矩阵，零矩阵和对角矩阵，试通过数值计算验证A2=⎢⎣O。
运用命令：（1）zeros(m,n)m行n列的零矩阵（2）eye(n)n阶单位矩阵（3）rand(m,n)m行n列的均匀正态分布随机数矩阵（4）randn(m,n)m行n列的正态正态分布随机数矩阵（5）diag(A)A为方阵，返回值为矩阵A的对角元素构成的列向量E=eye(3);R=rand(3,2);O=zeros(2,3);P=[1 2];S=diag(P);A=[E R;O S] B=A*A C=R+R*S;D=S*S;M=[E C;O D] 程序运行结果： B =1.00001.35751.17671.00001.51551.00001.48630.51361.00004.0000 M = 1.00001.35751.17671.00001.51551.96641.00001.48631.00004.0000 2．产生均匀分布在[0，20]之间的随机整数构成的5×5矩阵，计算其每一行元素的和，每一列元素的和及对角线元素的和。
运用命令：A=fix(20*rand(5,5))S=sum(A)%如果A是向量，返回值S为A各元素的和。
如果A是矩阵，返回值S为矩阵A各列元素的和构成的行向量。
U=sum(A')P=diag(A);M=sum(P)程序运行结果： A =0 S =U =M =第二篇：MATLAB实验二矩阵基本运算(一)答案实验一矩阵基本运算（一）（1）设A和B是两个同维同大小的矩阵，问：1）A*B和A.*B的值是否相等？⎛A=234⎫415⎪⎛43⎪B=35 ⎝367⎪⎭⎝54A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7];B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9];A*B, A.*B ans =37 44 44 37 51 65 67 78ans =4 125 10 15 24 632）A./B和B.A的值是否相等？ A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7];B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9];A./B, B./A1⎫2⎪⎪9⎪⎭ ans =0.5000 1.0000 4.0000 1.3333 0.2000 2.5000 0.6000 1.5000 0.7778ans =2.0000 1.0000 0.2500 0.7500 5.0000 0.4000 1.6667 0.6667 1.28573）A/B和BA的值是否相等？ A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7];B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9];A/B, B/A ans =-0.3452 0.5119 0.3690 0.7857-0.7857 0.6429-0.9762 1.3095 0.5952ans =110.0000-15.0000-52.0000 92.0000-13.0000-43.0000-22.0000 4.0000 11.00004）A/B和BA所代表的数学含义是什么？解：A/B是B*A的逆矩阵BA是B*A的逆矩阵（2）写出完成下列操作的命令。
矩阵式实验报告
一、实验目的1. 理解矩阵的基本概念和性质。
2. 掌握矩阵的运算方法，包括加法、减法、乘法等。
3. 学习矩阵的应用，如线性方程组的求解。
4. 提高数学建模和解决问题的能力。
二、实验内容本次实验主要围绕矩阵的运算和应用展开，具体内容包括：1. 矩阵的加法与减法2. 矩阵的乘法3. 矩阵的逆4. 线性方程组的求解三、实验步骤1. 矩阵的加法与减法（1）选择两个矩阵A和B，确保它们具有相同的行数和列数。
（2）将矩阵A和B对应位置的元素相加或相减，得到新的矩阵C。
（3）验证矩阵C的行数和列数与矩阵A和B相同。
2. 矩阵的乘法（1）选择两个矩阵A和B，确保矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
（2）计算矩阵A的每一行与矩阵B的每一列的点积，得到新的矩阵C。
（3）验证矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
3. 矩阵的逆（1）选择一个可逆矩阵A。
（2）使用高斯-约当消元法求解矩阵A的逆。
（3）验证矩阵A与其逆矩阵的乘积为单位矩阵。
4. 线性方程组的求解（1）选择一个线性方程组，例如：AX = B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
（2）使用高斯-约当消元法求解线性方程组。
（3）验证求解得到的X矩阵是否满足原方程组。
四、实验结果与分析1. 矩阵的加法与减法通过实验，我们发现矩阵的加法与减法运算满足交换律和结合律，且结果矩阵的行数和列数与原矩阵相同。
2. 矩阵的乘法实验结果表明，矩阵的乘法运算满足交换律和结合律，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
3. 矩阵的逆实验发现，对于可逆矩阵，其逆矩阵存在，且满足A A^(-1) = A^(-1) A = E（单位矩阵）。
4. 线性方程组的求解通过高斯-约当消元法，我们成功求解了线性方程组，并验证了求解结果的正确性。
五、实验结论1. 理解了矩阵的基本概念和性质，掌握了矩阵的运算方法。
2. 学会了使用矩阵求解线性方程组，提高了数学建模和解决问题的能力。
数学实验矩阵的运算
数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验四矩阵的运算（一）投入产出分析一．实验目的1.理解投入产出分析中的基本概念和模型；2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆矩阵等的含义。
二．问题描述设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表根据表回答下列问题：（1）如果农业、制造业、服务业外部需求为50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问他们的总产出分别为多少?三.实验过程1．问题（1）的求解（1）求直接消耗矩阵A根据直接消耗的计算公式a ij=x ij/x j和各部门中间需求;x n a n运行如下代码可得直接消耗系数表。
X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0];X_colsum=[100 200 150];X_rep=repmat(X_colsum,3,1)A=X./ X_rep运行结果为：A =0.1500 0.1000 0.20000.3000 0.0500 0.30000.2000 0.3000 0 （2）求解根据公式X=(I-A)-1y在运行如下代码y=[50;150;100];n=size(y,1);W=eye(n)-A;X=W\y运行结果为X =139.2801267.6056208.1377即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。
2．问题2求解设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB 代码可得问题的结果：dx=inv(W)运行结果:dx =1.3459 0.2504 0.34430.5634 1.2676 0.49300.4382 0.4304 1.2167根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加 1.3459,0.5634，0.4382个单位；当制造业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.2504,1.2676，0.4304个单位；当服务业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.3443,0.4930，1.2167个单位。
数学院的实验报告
实验名称：线性代数矩阵运算实验实验日期：2023年4月10日实验地点：数学院计算机实验室一、实验目的1. 理解矩阵的基本概念和性质。
2. 掌握矩阵的运算方法，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
3. 熟悉矩阵运算在科学计算中的应用。
二、实验原理矩阵是一种由数字构成的矩形阵列，是线性代数中的一个基本概念。
矩阵运算包括矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
矩阵运算在科学计算、工程应用、经济管理等领域有着广泛的应用。
三、实验仪器与材料1. 计算机2. 线性代数教材3. 矩阵运算软件（如MATLAB）四、实验内容与步骤1. 矩阵的创建与显示（1）创建一个3x3的矩阵A：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]（2）创建一个2x2的矩阵B：B = [9 8; 7 6]（3）显示矩阵A和B：disp(A)disp(B)2. 矩阵的加法与减法（1）计算矩阵A和B的和：C = A + B（2）计算矩阵A和B的差：D = A - B（3）显示矩阵C和D：disp(C)disp(D)3. 矩阵的乘法（1）计算矩阵A和B的乘积：E = A B（2）显示矩阵E：disp(E)4. 矩阵的转置（1）计算矩阵A的转置：F = A'（2）显示矩阵F：disp(F)五、实验结果与分析1. 矩阵A和B的创建及显示成功，矩阵A为：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为：9 87 62. 矩阵A和B的加法运算成功，结果C为：10 1012 11矩阵A和B的减法运算成功，结果D为：-8 -23 03. 矩阵A和B的乘法运算成功，结果E为：57 5439 364. 矩阵A的转置运算成功，结果F为：1 4 72 5 83 6 9六、实验结论通过本次实验，我们掌握了矩阵的基本概念和性质，以及矩阵的运算方法。
实验结果表明，矩阵运算在科学计算、工程应用、经济管理等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，熟练掌握矩阵运算对于解决实际问题具有重要意义。
数学实验 矩阵
| n M 0M1 | d |n|
创建vector03.m文件 M0=[1 1 3]; M1=[8 3 -4]; n=[2 -2 1]; d=abs(dot(n,M1-M0))/norm(n) 运行结果： d= 1
三、矩阵的生成
1、 一般矩阵的生成:
（1） 输入矩阵时以“[ ]”为其标识，即矩阵
上机练习题
1、在文件编辑器中建立m文件 (1) 输入矩阵
2 3 A 1 1 1 3 1 2 3 1 0 7 1 1 , B 3 4 2 4 2 0 1 5 2 3 4 8 6 6 7 5 4 5
diag(X,k) 抽取矩阵X的第k条对角线的元素向量。K为0时即 为抽取主对角线，k为正值时为上方第k条对角线, k为负值时为下方第k条对角线。
diag(X) 相当于diag(X,0)，即抽取主对角线元素向量。 此函数还可以用来建立对角矩阵，其形式如下： diag(v,k) 使得向量v为所得的第k条对角线元素。 diag(v) 使得向量v为主对角线元素。
triu(X) 提取矩阵X的主上三角部分 triu(X,k) 提取矩阵X的第k条对角线上面的部分 （包含第k条对角线）
[例8]矩阵的三角抽取 创建mtrix04.m文件 B=pascal(4) B1=tril(B,-1) B2=tril(B,2) 运行结果: B= 1 1 1 2 1 3 1 4
| M 0 M1 V | d |V |
M1 d
M0
V
L
创建vector02.m文件 M0=[1 -1 0]; M1=[2 1 2]; V=[1 -1 -2]; d=norm(cross(M1-M0,V))/norm(V) 运行结果： d= 2.1985
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nk 1
100个小球中落入到第k个槽的个数：
①② ③ ④
⑤ ⑥⑦
1.6,9.4,23.4,31.2,23.4,9.4,1.6
100
C6k 1
1 2
k 1
1 2
nk 1
难点：如何模拟小球遇到挡板后随机地向左或者向右下落？
实验
解：如图3，用数字标记每个隔板和每个槽，设X是 服从参数为的0-1分布的随机变量，X=0表示小球遇到 隔板后向左下落，X=1表示小球遇到隔板后向右下落。 则小球的第i次下落后的隔板标记为:
正态分布 泊松分布 T分布
问题来源
例2六层Galton板(六重贝努里试验)。小球自顶部落下， 在每一层遭遇隔板，以1/2的概率向右(左)下落，底 部六个隔板，形成七个槽，见图2。模拟100个小球 依次落下，统计Galton板底部各槽中小球数。
小球落到第k个槽的概 x = {0，1，2}表示每分钟到达超市收款 台的人数，有分布列 Ｘ0 1 2 Ｐ 0.4 0.3 0.3
模拟十分钟内顾客到达收款台的状况
难点：产生随机变量Ｘ，用均匀分布
图示 ——令xi(t)为t时刻第t时i年刻 龄组的数量
t-1时刻
b1=0 第一龄
第一龄
x1t b1x1t1 b2 x2t1 b3 x3t1 b4 x4t1 b5 x5t1
s1=0.5
第二龄
x2t s1x1t1
b2=0.2 第二龄 b3=1.8 第三龄 b4=0.8 第四龄
s2=0.8 s3=0.8 s4=0.1
0 0
x3 x4
(t (t
1) 1)
x5 (t) 0 0 0 0 s4 x5 (t 1)
X (0) 100 100 100 100 100 T
要求：1.写出模型 2.程序为M文件函数
二、利用随机数进行随机现象的模拟实验
需要利用随机数进行随机模拟的对象，其运动或 者变化是随机的，可能服从一定的分布，可用随机数 模拟对象这种不确定的运动或者变化，然后通过数学 模型计算这种随机运动或者变化的结果。
第五讲 矩阵模型及随机模拟实验
华南农业大学数学系 岑冠军
1
一、 矩阵模型
本实验涉及到的矩阵模型是一种特殊的数学生态学 模型，指一种用矩阵来描述种群动态的模型，如用矩 阵描述种群的年龄结构，描述生育、死亡和环境因素 对种群的影响。
2
问题来源
某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为25岁， 将其分成五个年龄段组：第一年龄段，0～5岁；第 二年龄段，6～10岁；第三年龄段，11～15岁；第四 年龄段，16～20岁；第五年龄段，21～25岁.动物从 第二年龄组起开始繁殖后代，经设一种群分成5个年 龄组，繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2．存 活率s1=0.5, s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1．各年龄组现有数量 都是100只，以5年为一个时间单位，试计算k个时间 单位之后该农场这种动物的各个年龄段的数量．
第三龄 第四龄 第五龄
x3t s2 x2t1 x4t s3 x3t1 x5t s4 x4t1
b5=0.5 第五龄
问题的矩阵模型
x1(t) b1 b2 b3 b4 b5 x1(t 1)
x2
(t
)
0
s1
0
0
0
x2
(t
1)
X
(t)
x3 x4
(t) (t)
0 0
0 0
s2 0
0 s3
28
26
27
23 24 25
19 20
21
22
14 15 16 17 18
8
9 10
11
12 13
①②③④
⑤⑥
⑦
G
G
(i
1)
if
X
0
G i
if X 1
X=binornd(1,1/2)
clear,clc;
N=[0,0,0,0,0,0,0]; %设置7个空槽。
for j=1:100 %模拟100个小球。
G=28;
for i=1:6
%模拟6次下落。
if binornd(1,1/2)==0 %0表示向左下落，1表示向右下落。
G=G-(i+1);
else
G=G-i;
end
end
%第i次下落结束
for k=1:7
%检查球落在哪个槽
N(k)=N(k)+(G==k); %累计落在第k槽的球数
end
end
N
实验报告提示
6
MATLAB产生随机数的函数
➢ rand(m,n) 产生m行n列（0,1）之间的均匀分布随机数 ➢ randn(m,n) 产生m行n列标准正态分布随机数
MATLAB分布名称取值 + rnd
函数说明
bino
二项分布
chi2
卡方分布
exp
指数分布
f
F分布
geo
几何分布
hyge
超几何分布
norm poiss t