湖南省长沙市雅礼中学2009届高三第六次月考试卷文科数学
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考试卷数学(六)(含答案与解析)_6347
英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（六）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A. ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14B. 12C. 6D. 34. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96为5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ） A. 28-B. 28C. 84-D. 846. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.12258. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ） A. ac bc > B. log 1b a >C.114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +>10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴的距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA =，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于911. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C.若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________． 14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.的的15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<. ①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值； ②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q.的①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线； ②求DEQ 面积的最大值. 19 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f xg f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e axf x x b =-.①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围； ②若1a b ==，且定义()()34e 3xI x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ..【答案】B 【解析】【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得.【详解】在y =20x -≥得2x ≥，即[)2,A ∞=+，又由04xx ≤-可得：(4)040x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得：04x ≤<，即[)0,4B =， 故[)2,4A B ⋂=. 故选:B. 2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 为纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】结合虚数单位的性质以及复数的除法运算，化简z ，根据z 为纯虚数求出a 的值，即可求得答案. 【详解】由题意得20231i 1i (1i)(1i)1i 1i (1i)(1i)a a a z ++++====+--+(1)(1)i2a a -++， 因为z 为纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，故1a =，所以i z =，故1z =， 故选：B ．3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14 B. 12C. 6D. 3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以5613a a q ==. 故选：D .4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96【答案】C 【解析】【分析】根据表中的数据求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出ˆa，从而得到回归直线方程，再将30x =代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】由题意可知，21232527244x +++==，151********y +++==，将()24,18代入ˆˆ0.8yx a =+，即ˆ180.824a =⨯+，解得ˆ 1.2a =-， 所以ˆ0.8 1.2yx =-， 当30x =时，ˆ0.830 1.222.8y=⨯-=， 所以该数据的残差为23.622.80.8-=. 故选：C. 5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ）A. 28-B. 28C. 84-D. 84【答案】A 【解析】【分析】求出8()x y +展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中26x y 的系数. 【详解】8()x y +展开式的通项为88C r rr x y -，则81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 项为6265352688C C 28y x y x y x y x-=-， 即26x y 的系数为28-. 故选：A.6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg【答案】D 【解析】【分析】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，利用台体的体积公式计算出棱台1111ABCD A B C D -与棱台11112222A B C D A B C D -的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量. 【详解】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，如下图所示：易知四边形11AA B B 为等腰梯形，因为线段1AA 、1BB 的中点分别为2A 、2B ， 则112242322AB A B A B ++===， 设棱台11112222A B C D A B C D -的高为h ，体积为1V ， 则棱台1111ABCD A B C D -的高为2h ，设其体积为V ，则()221119232333V h h =++⨯=，则()221564224233V h h =++⨯⋅=， 所以，152********h V h V ==，所以，该“方斗”可盛米的总质量为5638112kg 19⨯=.故选：D.7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.1225【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解【详解】记“选派4人中至少有2名男老师”为事件A ，“选派4人中有2名女老师”为事件B ，则()223133334645C C C C P A C +==，()22334635C C P B C ==， 显然()()35P AB P B ==，所以()()()()()3|4P AB P B P B A P A P A === 故选：B.8. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】.【分析】构造函数()()x f x g x e=，求导利用已知条件，得出()(21)x f x x e =-，求导，得出函数()f x 的单调性，令()(1)h x a x =-，利用()h x 过定点(1,0)以及函数()f x 的图像，数形结合列出不等式组，求解即可.【详解】令()()xf xg x e =()()2()()()2x x xf x f x e f x f xg x e e'-+-'=== ，即()2g x x c =+，(c 为常数) 则()(2)x f x x c e =+因为(0)1f =-，所以1c =-，即()(21)x f x x e =-()(21)x f x x e '=+1()02f x x '>⇒>- ，1()02f x x '<⇒<-()f x ∴在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 上单调递减，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 令()(1)h x a x =-，由于()h x 过定点(1,0)，则函数()f x 和()h x 图像如下图所示要使得()()f x h x <的解集中恰有两个整数，则有253(2)(2)(1)(1)322af eh f h ae⎧-≥-⎪-≥-⎧⎪⎨⎨-<-⎩⎪-<⇒-⎪⎩ 解得：25332a e e≤< 故选C【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出()h x 过定点(1,0)，结合函数()f x 的图像，数形结合来分析问题，属于难题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ）A. ac bc >B. log 1b a >C. 114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +> 【答案】BCD【解析】【分析】举例说明判断A ；利用对数函数单调性判断B ；利用不等式性质判断C ；利用基本不等式判断D.【详解】对于A ，当0c =时，0ac bc ==，A 错误；对于B ，由1a b >>，得log log 1b b a b >=，B 正确；对于C ，由1a b >>，得1101a b<<<，则1124a b +<≤，C 正确； 对于D ，由1a b >>，4a b +=，得222a b >>，228a b +>==，D 正确.故选：BCD10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA = ，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于9【答案】BCD【解析】【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A ，设直线l 方程为1x ty =+并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去t 可得轨迹判断B ，结合向量的坐标运算求出点,A B 的坐标，的然后利用两点式斜率公式求解判断C ，由题可得111AF BF+=，然后根据基本不等式求解判断D. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -，设()()1122,,,A x y B x y ，对于A ，依题意，1228=++==+x A x B AF BF ，解得126x x +=，线段AB 中点的横坐标1232x x +=，该点到y 轴的距离为1232x x +=，A 错误； 对于B ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l ：1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，()2Δ4160t =-+>， 则124y y t +=，124y y =-，()21212242x x t y y t +=++=+， 设线段AB 中点坐标为(),M x y ，则2121221222x x x t y y y t +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，消去t 可得222y x =-，因此弦AB 中点轨迹为抛物线，B 正确；对于C ，显然2211),)(1,(1,BF x y FA x y =--=- ，由3BF FA = ，得()21131x x -=-，213y y -=，由选项B 知124y y =-，有()21212144y y x x ==⨯，又10y <，则1(,3A，(3,B ， 因此直线AB的斜率1212y y k x x -===-C 正确； 对于D ，由选项B 知124y y =-，121=x x ， 则12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++，因此4114(4)()559BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF +=++=++≥+， 当且仅当4AF BFBF AF =，即23BF AF ==时取得等号，D 正确. 故选：BCD的11. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅ 为定值2C. 若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +【答案】ACD【解析】 【分析】A 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出()()2221222λμ++-=，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，)2,2E a a -，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A 选项，在1,CD DD 上分别取,F W ，使得13DF DC =，113DW DD =， 因为1DQ DC DD λμ=+ ，所以33DQ DF DW λμ=+ ， 因为13λμ+=，所以331λμ+=，即()313DQ DF DW λλ=+- ， 故33DQ DW DF DW λλ--= ，即3WQ WF λ= ，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，11//A B CD ，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点T ，因为1A BQ △的外心为O ，所以OT ⊥1A B ，又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅== ，B 错误；C 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故DR ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DR ，1,DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，故)11,2A -，设()0,2,2Q λμ，则1AQ ==， 化简得()()2221222λμ++-=，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ， 即点Q 在正方形11CDD C 内，包括边界，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =11SD =，故11D H ==，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点Q 的轨迹长度为π4=，C 正确； D 选项，若1λ=且12μ=，112DQ DC DD =+ ， 即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ，即()0,2,1Q ，又)11,2A -，)B ，设()111,,E x y z ，设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈ ，即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-，解得11112,2x y a z a ==-=，即)2,2E a a -，AE EQ +===， 如图所示，设11,22KJ GV JG ===，且KJ ⊥JG ，JG ⊥GV ， 在线段JG 上取一点L ，设GL a =，则12LJ a =-，故KL VL +=， 显然，直接连接KV ，此时KL VL +取得最小值，最小值即为KV ，由勾股定理得KV ==，故AE EQ +=的最小值为= D 正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==- .若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.【答案】12-##0.5- 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算即可.【详解】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ()//2a b - ， 所以()()423210m m ++-=，解得12m =-. 故答案为：12-. 13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________．【解析】 【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得sin α，再由同角关系式求得cos α，tan α． 【详解】因为cos tan 22sin ααα=-， 所以2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα===--， 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以cos 0α≠， 所以22sin 112sin 2sin ααα=--， 解得1sin 4α=，所以cos α==，所以sin tan cos ααα==14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．【解析】【分析】由条件求tan ABF ∠，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得,a c 的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.【详解】解：如图，根据题意(),0F c ，2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴212BF b k k ac ==，2212BA b k k k ac===， 设直线,BA BF 的倾斜角为αβ，，∴()1121112tan tan 1tan tan 11tan tan 122k k ABF k k k αβαβαβ--∠=-===≤-++，当且仅当212b k ac ==即2b =，22c a -=，210e -=，又1e >∴e =四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．【答案】（1）2π3 （2）π6【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；（2）根据平面向量基本定理可得2133BD BC BA =+ ，再根据BD BA ⊥数量积为0求解得c a =即可. 【小问1详解】由正弦定理得：sin cos sin sin A C B C B =． ∵()πA B C =-+，∴()sin sin A B C =+，∴()sin sin cos cos sin cos sin sin B C B C B C C B C B +=+=∴cos sin sin B C C B =， 又sin 0C ≠，∴tan B =，又B 为三角形内角，∴2π3B =． 【小问2详解】 因为D 在AC 边上，且2AD DC =，所以2133BD BC BA =+ ． 因为BD BA ⊥，所以120033BD BA BA BC BA ⎛⎫⋅=⇒+⋅= ⎪⎝⎭220BA BC BA ⇒+⋅= ， 所以2c ac c a =⇒=．在ABC 中，c a =，2π3B =，∴π6C =．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接,SO BO ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO BO O ⋂=，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，所以AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥， ∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(2,0,0),(0,(2,0,0),(0,0,A B C S M N -，∴(30),(10CM MN ==-,， 设(),,n x y z = 为平面CMN的一个法向量，则30=0CM n x MN n x ⎧⋅==⎪⎨⋅-=⎪⎩ ， 取1z =，则==x yn =- ，又(0,0,OS =为平面MBC 的一个法向量，1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴===，sin ,n OS ∴= ， 故二面角N CM B --. 17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<.①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值；②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，【答案】（1）4766（2）①034p =；②分布列见解析，()1323512E X =【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题可得()()331f p p p =-，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，期望. 【小问1详解】比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是111111344535212C C C C C C 47C 66p ++==； 【小问2详解】①由题可知()()()2333C 131f p p p p p =-=-， ()()()()2323311334f p p p p p p '⎡⎤=-+⨯-=-⎣⎦， 令()0f p '=，得34p =， 当30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当3,14p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()f p 的最大值点034p =； ②X 的可能取值为0,1,2,3，()()()333311333331301C 11C 1444256P X p p p ⎛⎫⎛⎫==-+-=-+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()2332224433271C 1C 144512P X p p ⎛⎫⎛⎫==-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()222242243332812C 1C 144451P p X p p ⎛⎫⎛⎫ ⨯==-=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()3232223333331893C 1C 14444256P X p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3P 13256 27512 81512 189256X 的期望为()13278118913230123256512512256512E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q .①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线；②求DEQ 面积的最大值.【答案】（1）(22162x y x +=≠ （2）①证明见解析，3x =【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）①求出直线DN 与EM 方程，得到Q 点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值 【小问1详解】 因为P 为ABC的重心，且边,AC AB上的两条中线长度之和为所以23PB PC BC +=⨯=>， 故由椭圆的定义可知P 的轨迹Γ是以()()2,0,2,0B C -为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 且2a c ==，所以b =，所以P 的轨迹Γ的方程为(22162x y x +=≠. 【小问2详解】.①依题意，设直线DE 方程为()20x my m =+≠. 联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my ++-=， 易知()()222Δ16832410m m m =++=+>设()11,D x y ，()22,E x y ，则12243m y y m +=-+，12223y y m ⋅=-+. 因为DM x ⊥轴，EN x ⊥轴，所以()1,0M x ，()2,0N x .所以直线DN ：()1212y y x x x x =--， 直线EM ：()2121y y x x x x =--， 联立解得()()122112211212121222223Q my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++. 从而点Q 在定直线3x =上. ②因为1212121113222DEQ Q S EN x x y x y my y =⋅-=⋅-=- ， 又121212my y y y =+，则1211211224DEQ y y S y y y +=-=-==， 1t =>，则2122DEQ t S t t t==≤++ ，当且仅当2t t=，即1m =±时，等号成立， 故DEQ.19. 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f x g f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e a xf x x b =-. ①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围；②若1a b ==，且定义()()34e 3x I x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）既不充分也不必要条件；证明见解析（3）452[e ,)3-+∞ 【解析】【分析】（1）由()tan f x x =和()ln f x x =，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由q 成立，得到()ln xf x ka a '=，设()lng x x a =，得出()f x 为“单向导函数”，再设()ln xh x a=，得到()f x 为“双向导函数”，结合()g x 不是常值函数，求得p 不是q 的必要条件；再由p 成立，得到()(())f x g f x m '==，进而得出结论；（3）①由题意得到10a ax -=，求得0a =；②由题意求得()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=，令()22(21)e 4x p x x kx k =--+，求得()24(e 2)x p x x k '=-，得到存在0x 使得02e 20x k -=，进而得到()p x 单调性，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：对于函数()tan f x x =，则()21tan '=+f x x ， 这两个函数的定义域都是π{|π,Z}2x x k k ≠+∈， 所以函数()f x 为“同定义域函数”，此时，()21g x x =+， 由函数的定义，对于4πx =±，()(())f x h f x '=无法同时成立， 所以()f x 为“单向导函数”，其“自导函数”为()21g x x =+，对于函数()ln f x x =，则()1f x x'=， 因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.【小问2详解】解：若q 成立，()x f x ka =，则()ln x f x ka a '=，设()ln g x x a =，则()(())f x g f x '=，所以()f x 为“单向导函数”，又设()ln x h x a=，则()(())f x h f x '=，所以()f x 为“双向导函数”， 但()g x 不是常值函数，所以p 不是q 的必要条件；若p 成立，则()g x m =，所以()(())f x g f x m '==，所以()f x mx n =+，所以q 不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.【小问3详解】解：①由题意，()1()e a a x f x ax x b -'=+-，且1()e ()e a a x a x ax x b x b -+-=-，所以10a ax -=，所以0a =；②由题意()234(1)e 3xI x x kx kx =--+，所以()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=， 令()[][]22(21)e 4,0,,1,2x p x x kx k x k k =--+∈∈，可得()21e 30p k =->，且()224e 84(e 2)x xp x x kx x k '=-=-， 因为2e 2x y k =-为单调递增函数，且20|120,|e 20k x x k y k y k ===-<=->， 所以存在01ln 2(0,)2x k k =∈使得02e 20x k -=， 且当0[0,]x x ∈时，()0p x '≤，()p x 单调递减；当0[,]x x k ∈时，()0p x '≥，()p x 单调递增，（i ）当011ln 222x k ==时，即e 2k =， 所以2min 0000()()(21)24(21)0p x p x x k kx k k x ==-⋅-+=--=，此时()0I x '≥，()I x 在[0,]x k ∈上单调递增，可得()()max I x I k =；（ii ）当1k =时，(0)110p =-+=，此时()200min 1ln 2,(21)02x p x k x ==--<， 所以当1[0,]2x ∈时，()0I x '≤，()I x 单调递减； 当1[,1]2x ∈时，()0I x '≥，()I x 单调递增，又由()()()10I k I I =>，所以()()max I x I k =；（iii ）当(1,2]k ∈且e 2k ≠时，()20min (21)0,(0)0p x k x p =--<>， 所以函数()I x 在(0,1)上存在两个极值点， 若011ln 222x k =>，即e 22k <≤时，极大值点为12； 若011ln 222x k =<，即e 12k <<时，极大值点为11x 2<， 则()max I x 为函数的极大值或()I k ， 由当102x ≤≤时，()()23242414(1)e 10,(1)e 323x k I x x kx kx k I k k k k =--+≤-+≤=--+， 令()[]2424(1)e ,1,23k t k k k k k =--+∈，则()[]2316(21)e 2,1,23k t k k k k k '=--+∈，设()[]2316(21)e 2,1,23k s k k k k k =--+∈， 则()2224e 1624(e 4)20k k s k k k k k '=-+=-+>， 所以()s k ，即()t k '单调递增，所以()()2161e 203t k t ''≥=-+>， 所以()t k 单调递增，所以()()4522e 03t k t ≤=->， 综上可得，()4max 52e 3I x c =-≤，所以实数c 的取值范围为452[e ,)3-+∞. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考(数学文)
湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考数学(文科)试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={ x || x －2|≤3}，B={ x |x <t}，若A ∩B=φ，则实数t 的取值范围是 （ ）A ．t<－1B ．t>5C ．t ≤－1D ．t ≥52．函数)6cos()6sin(ππ++=x x y 的最小正周期和其图像的一条对称轴方程分别为 （ ）A ．6,2ππ=xB ．12,2ππ=xC ．6,ππ=x D ．12,ππ=x3．在10)3(-x 的展开式中，6x 的系数是（ ）A ．61027C -B ．41027CC ．6109C -D ．4109C4．定义运算()()aa b a b ba b ≤⎧⊗=⎨>⎩，则函数x x f 21)(⊗=的图像大致为（ ）5．公差不为零的等差数列}{n a 中，02211273=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且==8677,b b a b 则（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 6．已知m ，n 表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题： ①m n m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥αα∥n ②n nm m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥α∥α ③n m n m //////⇒⎩⎨⎧αα ④n m n m ⊥⇒⎩⎨⎧⊥αα// 其中正确命题的序号是 （ ）A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③7．当b a ,是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（ ）A ．2)1()1)(1(ab ab b b a a +>++B ．2)22()1)(1(b a b a b b a a +++>++C ．b a b a b a b a ++>++222233D ． 223322b a b a b a b a -->--8．双曲线2222(,0)x y a b a b->的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x轴的弦为0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为（ ）A ．1(22B ．12-C ．12+D ．1(22+ 9．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。
湖南长沙一中雅礼中学高三联考数学文科
湖南省长沙市一中、雅礼中学 2009届高三联考试卷文科数学命题人：长沙市一中高三文科数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的•将正确答案的代号填入答卷的表格中）1. 设全集为U.集合M U P=U ,则下列关系一定正确的是（ B ）A . P G MB . P (C MC . p n M =2. 设a , b € R ,则a > b 的充分不必要条件是(B ) A. a 3> b 3B. Iog 2(a — b) >0C. a 2> b 2D.-- a b3 n 3 n3. 函数 y sin(x ) cos(x ) (A )4 4a 76. 已知｛a n ｝为等差数列，若—a 6正值时，n=A. 10B. 11C. 127. 如右图，在平面直角坐标系xOy 中，两个非零向量x 轴正半轴的夹角分别为 丄和丸，向量OC 满足OA OB3 6 OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是（D ）n n 5 n n 2 nD .C UM n G P =UA. 周期为 n 的偶函数C. 周期2 n 的奇函数 4. 设a , b , c 表示三条不冋直线，立的是 (D)A. b ,c 是a 在内的射影，若B. b ,c ，若 c II ，贝 U b //C. c ± , 若c 丄，贝U //D. b，若b 丄，贝U 丄 5.在x € 1 2 [—,2]上，函数 f(x) x 22B.周期为n 的奇函数 D.周期为2 n 的偶函数 ,表示两个不同平面，则下列命题中逆命题不成 b 丄c ,贝U b 丄ac3x 3px q 与g （x ） 3X —在同一点取得相同的最小2 2xA. 1, 3B. 2, 0C. — 2 , 4D. — 2, 01，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当 S n 取得最小值，那么p 、q 的值分别为（C ）A. （0, 一）B. （ , ）C. （ , ）D.3 3 6 2 38. 某舞步每一节共六步，其中动作A两步，动作B两步，动作C两步，同一种动作不定相邻•则这种舞步一共有多少种不同的变化( B)A. 80 种B. 90 种C. 120 种D. 180 种9. 已知抛物线x 2py(p 0)的焦点为F, P是抛物线上不同于顶点的任一点，过点P作抛物线的切线I交x轴于点Q，则PQ FQ ( C)A. —2pB. —pC. 0D. p10. 设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a, b]上的两个函数，若对于任意的x€ [a, b],都有| f(x) - g(x)| w 1，则称f(x)与g(x)在[a, b]上是“密切函数” ，[a, b]称为“密切区间”.设f(x)=x2 3x 4与g(x) 2x 3在区间[a, b]上是“密切函数”，则它的密切区间可以是 (B)A. [1 , 4]B. [2, 3]C. [3, 4]D. [2, 4]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11. 若(x3-^)n的展开式只有第6项的系数最大，则n的值为10 .xx 2y 612. 设0为坐标原点，A(1,1),若点B(x, y)满足2x y 3 0,则OA OB取得最小值x y 3是 3 .13•如右图所示，各棱长均为3的正三棱柱内接于球O中，则球O的表面积为21 n .14. 指数函数y a和对数函数y=log a x(a>0, a丰1)的图象分别为G、C2,点M在曲线G上，线段OM (O为坐标原点)交曲线C于另一点N.若曲线C2上存在一点P,使点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N横坐标的2倍，则点P的横坐标为 4 .2 2 _________________________________________________________15. 已知动点p(x, y)在椭圆——1上，若A点坐标为(3, 0), | AM |=1，且25 16PM AM 0 ,则| PM |的最小值是.3 .答题卡题号12345678910答案B B A D C B D B C B步骤)16. (本小题满分12分)n n已知函数f(x) cos2x.sin (2x ) sin (2x )3 3(1) 求函数的最小正周期;(2) 将函数f(x)的图象沿向量m =(竺,2)平移得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单8调递减区间解：(1) f(x) 2sin2xcos n cos2x sin 2x cos2x2 sin(2x n )3 分3 42 n.•f(x)的最小正周期 T= — n ;6分 2(2)将函数 f(x)沿向量 m=( 3n ,2)得到函数 g(x) 2sin[2(x 汀 n ] 2. 2 sin2x884<—7 或 2<a <3①又T 1 € B ,•••Iog 2(a 2) 2log 2 (a 1)由①②知2 <a <3，即a 的取值集合 M=[2 , 3]. 18. (本小题满分12分)如右图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与CDO 的交线为CD, 线段CD 为圆O 的弦，A 在平面CDO 的射影是圆上并异于 C D 的点E, 且 AE= 3 .2(1) 求证：平面 ABCD 丄平面 ADE ; (2) 求二面角 A — CD- E 的大小； (3) 求凸多面体ABCDE 的体积.解：(1 )证明：由已知 AE 丄面CDO, CD 面CDO,所以CD 丄AE. 又 CD 丄AD , AD Q AE=A , 故CD 丄平面 ADE, CD 面ABCD.+2.当2k nnn<2x <2k n即 k n22nn<x <k n (k € Z)时，函数g(x)单调递减, 44‘代 Z ).故所求区间为[k n n, k n 417.(本小题满分12分)a 2 11 x------------- 4和 Iog 2(a 1 x) 2log 2(a x) 2 的解集分别为 A已知关于x 的不等式和 B ,且 2€ C A , 1 € B , 求实数 a 的取值范围.12分解：•.•2 € C RA ,a 13<—4 或 a — 2=0 a 2―7^-a ―3) WO 或 a — 2=0(a+7)(a — 3)(a — 2)<010分12分故平面ABCD丄平面ADE; 4分(2)由(1)知CD丄AD, CD丄ED,故/ADE为二面角A—CD—E的平面角. 6分AE 1 n在Rt^DE 中，sin Z ADE= , 4DE=—,AD 2 6n故平面ABCD与平面CDE所成角的平面角的大小为一. 8分6久巧(3)凸多面体ABCDE为四棱锥E- ABCD, V E-ABCD= . 12分419. (本小题满分13分)已知a、b均为正整数，等差数列｛a n｝的首项为a，公差为b;等比数列｛b n｝的首项为b, 公比为a，且1 < a v b, b2< a3.在数列｛a n｝和数列｛b n｝中各存在一项a m与b n,使得a m+仁b n,an 14 ] b2n 1乂C n= log 23 3(1)求a、b的值；(2)求数列G｝中的最小项，并说明理由.解: (1)由b2a3,得ab a2b.1分T1 a b, •ab3b，则 1 a 3.3分又a为正整数，a=2.4分• a m 1 b n ,■. 2 (m1)b 1 b 2n1••b 131 '6分2n 1 m••b € N*, 2n 1m 1 1故b=3.8分(2)v a n 2(n 1) 33n1, b2n 1 3 22n, 10分3n 152n3 2 5 2 25--C n log 2 -(n5) 2n2(n )33 2 2•••当n=2或n=3时，c n取得最小值，最小值为一12. 12分20. (本小题满分13分)函数f(x) x bx cx( 1 b c)，其图象在点A(1,f(1))、B(m,f(m))处的切线斜率 3分别为0、1.(1 )求证：—1 < b< 0;••Q(1,0)为双曲线的右顶点，即 a=1. 3分(2)若x > k 时，恒有f (x) 1，求k 的最小值. 解：(1 )依题意，f (1)1 2b c 0, f (m)m 2 2bm c 1.1 分—1 v b v — 4v — 1+2b+c v 4c ,「.c > 0.1将 c=1 — 2b 代入—1v b v c,得一1 v b v .3 分3将 c 1 2b 代入—m 2+2bm+c=1，得—m 2+2bm — 2b=0. 由 A=4b 2 — 8b >0,得 b<0 或 b >2. 5 分 综上所述，—1v bw0.6分2(2)由 f (x) 1，得 x 2bx 2b 0. •••X 2 2bx 2b 0,8 分易知g(b)=— (2x — 2)b+x 2为关于b 的一次函数. 9分依题意，不等式g(b) > 0对—1 v b <0恒成立,(2)设A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，R 是直线x=l 上异于点(-,0)的任意一点,3 3若直线AR, BR 与双曲线分别交于点 M 、N ,试判断点A 与以MN 为直径的圆的位置关系， 并证明你的结论.则 | PD|=| PE , | F 1D|=| F 1Q| , | F 2E|=| F 2Q|.•••| PF 1| — | P 巨1=2 a , • F 1Q| — | F 2Q|=2a ,2 设双曲线話2y2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F 1、巨，P是双曲线右支上一点, b 2••k 》、3 — 1,即卩k 的最小值为 3 — 1. 21.(本小题满分13分)△ PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点Q(1,0)，且|F 1Q|=4.(1)求双曲线的方程；g(0) x 2 g(1) x 20, 2x 2得 x <— . 3 — 1 或 3 — 1. 0,12分13分解：(1 )设厶PF |F 2的内切圆与 PF 1、PD 的切点分别为 D 、E ,又|F i Q|=a+c=4,「.c=3,贝U b 2=c 2— a 2=8.2x -— 1.82 2又点N 在双曲线上，• y o8x o 8.2——12 12x o ••• AN AR o3(x o 1) ••x o 》1,.・.ANAR v 0,「./RAN 为钝角.故点A 在以MN 为直径的圆的外部(2)设 1R(3，t)(t0)、N(x o , y o ),由 B 、N 三点共线，得RB BN ,2 即(-3 t ) =(xoi, y o )于是(x o 1) 解得t 2y o 3(xo•/ AN (x o U ，则 R(3， 4(3，3(xi,y o ), AP ••• ANAR ”)y2y 0t.3 3( x o 1) 2y o ). ), 2y - 3(x o 1)4x - 飞X 。
湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——数列
湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——数列一、选择题1、（2009长郡中学第六次月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知,1)1(2009)1(535=-+-a a ,1)1(2009)1(200532005-=-+-a a 则下列结论中正确的是（ ） A. 520052009,2009a a S <= B 520052009,2009a a S >=C. 520052009,2009a a S ≤-=D. 520052009,2009a a S ≥-= A2、（2009长沙一中期末）各项不为零．．．的等差数列}{n a 中，02211273=+-a a a ，则7a 的值为（ B ） A ．0 B ．4C ．04或D ．2B3、（2009宁乡一中第三次月考）已知0x >，0y >且,,,x a b y 成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，()2a b u cd+=，则u 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,4]C ．(4,)+∞D ．[4,)+∞ D4、（2009宁乡一中第三次月考）等差数列{}n a 中，100a <，110a >，且1011||||a a <，n S 为其前n 项之和，则（ ） A ．1210,,,S S S 都小于零，1112,,S S 都大于零 B ．125,,,S S S 都小于零，67,,S S 都大于零 C ．1219,,,S S S 都小于零，2021,,S S 都大于零 D ．1220,,,S S S 都小于零，2122,,S S 都大于零C二、填空题1、（2009长郡中学第六次月考）设数列}{n a 满足: )1(11,312≥-+==+n a a a a nnn , 则2009a = . 21 2、（2009常德期末）在数列{a n }中，a 1 = 1，a2 = 2，且a n +2－a n = 1 + (－1)n（n ∈N*），则S 50 = ．6753、（2009宁乡一中第三次月考）11、等差数列{}n a 中，12981a a a +++=且2310171a a a +++=，则公差d = 104、（2009宁乡一中第三次月考）12、已知121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，则212a ab -的值是 125、（2009宁乡一中第三次月考）13、231111(1)(3)(5)(21)2222nn +++++++-+= 2112nn +-6、（2009宁乡一中第三次月考）14、数列{}n a 中11a =，22a =且前n 项和12n n n S a =+*(2,)n n N ≥∈，则n a = 1(1)22(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩7、（2009宁乡一中第三次月考）15、单个蜂巢可以近似地看作一个正六边形图形，如图所示，这是一组蜂巢的图形，设第（1）图中有1个蜂巢，第（2）图中有7个蜂巢，第（3）图中有19个蜂巢，按此规律，第(4)图中有个 蜂巢,第n 图中有 个蜂巢37； 2331n n -+三、解答题1、（2009长郡中学第六次月考）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有22n n n S a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2) 设正数数列{}n c 满足())(,*11N n c a n n n ∈=++，求数列{}n c 中的最大项；(3) 求证：444412311111110n n T a a a a =++++<． 解：（1）由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立 ∴)2(22111≥+=---n a a S n n n ② ①②得21122----+=n n n n n a a a a a∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a ∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a )2(≥n………… （1） （2） （3）∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n =1时，21112S a a =+， 解得1a =1.∴n a n =. ………………………………………4分 （2）(解法一)由已知 221212=⇒==c c a ，54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得 12234,...c c c c c <>>> 猜想2≥n 时，{}n c 是递减数列.令()()22ln 1ln 1,ln xxx xx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时， ∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数. 由()11ln ln 11++==++n n c c a n n nn 知.∴2≥n 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列.又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c . ………………………………9分 (解法二) 猜测数列{}n c 中的最大项为323=c . 123c c c <<易直接验证;以下用数学归纳法证明3≥n 时,1(1)n nn n +>+(1)当3n =时,18164(1)n n nn +=>=+, 所以3n =时不等式成立;(2)假设(3)n k k =≥时不等式成立,即1(1)k kk k +>+,即1()kk k k+<, 当1n k =+时,1222212()()()()()()111111k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++=<<<++++++, 所以21(1)(2)k k k k +++>+,即1n k =+时不等式成立. 由(1)(2)知1(1)n n nn +>+对一切不小于3的正整数都成立.………………………………9分 (3)(解法一)当4n ≥时,可证:416(1)n n n >-1111111[]1681163445(1)11111111()168116310n T n n n <++++++⋅⋅-=+++-<………………………………13分(解法二) 2n ≥时,4222211111[](1)21(1)n n n n n n<=---- 222222222222111111111111()()[]168173494521(1)1111111111[()()]168173445(1)11111116816310n T n n n n n <+++-+-++---<+++-+-+--<+++<……………13分 2、（2009常德期末）已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112n n n S S a --=++，数列{}n b 满足11194b =-且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且． （１）求{}n a 的通项公式；（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列; （３）求{}n b 前n 项和的最小值．解： (1)由112221n n n S S a --=++得1221n n a a -=+, 112n n a a --=……2分 ∴111(1)24n a a n d n =+-=- ……………………………………4分 (2)∵13n n b b n --=,∴11133n n b b n -=+,∴1111111111113()3324364324n n n n n b a b n n b n b n ----=+-+=-+=-+;11111113(1)2424n n n n b a b n b n -----=--+=-+∴由上面两式得1113n n n n b a b a ---=-,又1111913044b a -=--=- ∴数列{}n n b a -是以-30为首项,13为公比的等比数列.…………………8分 (3)由(2)得1130()3n n n b a --=-⨯，∴11111130()30()3243n n n n b a n --=-⨯=--⨯12111111130()(1)30()243243n n n n b b n n ----=--⨯--++⨯=221111130()(1)20()023323n n --+⨯-=+⨯> ，∴{}n b 是递增数列 ………11分 当n =1时, 11194b =-<0；当n =2时, 23104b =-<0；当n =3时, 351043b =-<0；当n =4时, 471049b =->0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小. 且31101(135)3010414312S =++---=-…………………………13分 3、（2009衡阳四校联考）已知等差数列{}a n 的前9项和为153．（1）求5a ；（2）若，82=a ，从数列{}a n 中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{}c n ，求数列{}c n 的前n 项和S n . 解：（1）15392292)(955919==⨯=+=a a a a S175=∴a………5分（2）设数列 {}a n 的公差为d ，则⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+==+=35174811512d a d a a d a a 23+=∴n a n ………9分S a a a a n n n n n =++++=+++++=++2482132482232……·()26n - …12分4、（2009湘潭市一中12月考）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =， （1）求46a a +的值．（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得 3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．（3）若自然数123t n , n , n , , n , , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(t 为正整数)满足5< 1n <2n < ⋅⋅⋅ < t n <⋅⋅⋅， 使得31t 5n n a , a ,a , ,a , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列，当32a =时， 用t 表示t n解：（1）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =， 则546462a a a , a a 12=+∴+= …………………… 3分 （2）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，33a =则()11233014621n a d 3 d= , a ,a n a d 2+=⎧⇒=∴=-⎨+=⎩ n N *∈又235m a a a = 则 ()3631m 3a , 12=m , m =92=∴-∴…………… 7分（3）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，3a 2= 则1124461n a d 2d=2 , a 2 ,a 2n ,n N a d *+=⎧⇒=-∴=-∈⎨+=⎩又因为公比53632a q , a ===首项32a =，123t t n a +∴=⋅ 又因为 112442332t t t n t t t a n , 2n , n ++=-∴-=⋅=+ n N *∈………… 12分5、（2009雅礼中学第四次月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数12,x x ，总有1)()()(2121++=+x f x f x x f恒成立，1)1(=f ，且对任意正整数n ，有1()n a f n =，1()12n n b f =+．（１）求数列}{},{n n b a 的通项公式； （２）记12231n n n S a a a a a a +=+++，12231n n n T bb b b b b +=+++，比较43n S 与n T 的大小关系，并给出证明；解：（１）因为1)()()(2121++=+x f x f x x f ，所以(1)()(1)()2,f n f n f f n +=+=+又因为1(1)1,()21(*),.21n f f n n n N a n =∴=-∈∴=-……………………………3分 又1111111(1)()()()1,()0,()1 1.222222f f f f f b f =+=++∴==+=11111111111()()()()(1)2()1,222222n n n n n n f f f f f f +++++=+=++=+ 11111111122()2()1,()()2222n n n n n n n b f f b b b --++=+=+=∴==． …………………6分（２）1111335(21)(21)n S n n =+++⨯⨯-⨯+11111111(1)(1)23352121221n n n =-+-++-=--++， …………………………8分 01121111111()()()()()()222222n n n T -=+++32111[1()]1112124()()[1()],2223414n n n --=+++==-- ……………………………10分 42121211(1)[1()][()].3321343421n n n n S T n n ∴-=---=-++ 11104(31)3333121,n n n n n n n n n n C C C C n n --=+=++++≥+>+又42114[()]0,334213n n n n n S T S T n ∴-=-<∴<+（用数学归纳法也行）． ………13分。
湖南省雅礼中学2009届高三第六次月考试卷 语文.doc
湖南省雅礼中学2009届高三第六次月考试卷语文命题人：雅礼中学高三语文备课组审题人：雅礼中学高三语文备课组一、语言知识及运用（15分，每小题3分）1．下列词语中加点的字的读音，全都不相同的一组是（）A．沉疴．坎坷．呵．护苛．捐杂税百舸．争流B．估．量训诂．故．旧沽．名钓誉怙．恶不悛C．偶．尔寓．所遭遇．向隅．而泣藕．断丝连D．洒．脱哂．笑牺．牲风吹日晒．两栖．动物2．下列各项中没有错别字的一项是（）A．磋跎谰言厉行节约返璞归真B．招徕昏愦睽情度理忸怩作态C．荏苒发轫繁文缛节铩羽而归D．驽马涅磐怦然心动坚忍不拔3．下列句子中加点的成语使用正确的一项是( )A．努力求知，奋力拼搏，为民族复兴贡献力量，是我们年轻一代责无旁贷．．．．的责任。
B．文艺晚会结束后，评委们经过一番评头品足．．．．，反复比较，终于确定了获奖名单。
C．面对队友的指责，麦迪在话筒前振振有辞．．．．：“防守是每个人的责任。
多干事，少废话！”D．巴以冲突不断升级，中东局势充满变数，令许多旅游者和投资者退避三舍．．．．。
4．下列各句中有语病的一项是（）A．我们要认真学习、深刻领会、全面贯彻《决定》精神，抓住机遇，应对挑战，为构建社会主义和谐社会扎实工作，努力奋斗。
B．一些艺术家，选择加盟主旋律电影的创作行列。
他们要么用一种传奇化、浪漫化的历史叙事去改写主旋律电影的传统美学品格，要么以一种感伤而温情的个人记忆为主旋律影片赋予一种柔性和诗意的外观。
C．国际暗夜联盟提出了“黑暗天空意识”计划，向政府和公众呼吁，黑暗的天空对于每个人来说都是宝贵的资源，减少夜晚的灯光，不但可以保护我们自己，还能保护野生动物，同时还能节省能源。
D．孟母堂与众不同之处在于，它全面地置身于正统教育体制之外，不仅是私立的，其教学内容和教学方式也完全自成体系。
它以传统中国私塾的形态，教导孩子学习中国的传统经典。
5．下列各项中最适合填在横线上的一项是⑴由丽江而北十五公里，就到了玉龙雪山南麓。
雅礼中学高三月考试卷(一)数学及答案
雅礼中学高三月考试卷(一)数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合A =-2,0 ,B =x x 2-2x =0 ，则以下结论正确的是()A.A =BB.A ∩B =0C.A ∪B =AD.A ⊆B2.已知等比数列a n 满足a 1=1,a 3⋅a 5=4a 4-1 ，则a 7的值为()A.2B.4C.92D.63.已知复数z =a +1 -ai a ∈R ，则a =-1是z =1的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a =cos θ,sin θ ，b =2,-1 ，若a ⊥b ，则cos 2θ+12sin2θ的值为()A.13B.35C.45D.235.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过BE 的平面α与直线A 1F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为()A.5B.25C.4D.56.某工厂有A ,B 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是A ,B 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A 车间生产的概率为()A.34B.47C.12D.377.已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=π3，若F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.138.△ABC 中，角A ,B ,C 所对的三边分别为a ,b ,c ,c =2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是()A.2B.3C.3D.33二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
雅礼中学高三月考文科数学试卷
雅礼中学高三第二次月考试卷数学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共.12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知命题2:,0p x R x ∀∈>,则 A 命题2:,0,p x R x ⌝∀∈≤为假命题 B 命题2:,0,p x R x ⌝∀∈≤为真命题 C.命题200:,0,p x R x ⌝∃∈≤为假命题 D.命题200:,0,p x R x ⌝∃∈≤为真命题2.已知i 是虚数单位，则41+1i i ⎛⎫⎪-⎝⎭等于A.iB.i -C. 1D.1-3.“上医医国”出自《国语.晋语八》,比喻高贤能治理好国家.现把这四个字 分别写在四张卡片上,其中“上”字已经排好,某幼童把剩余的三张卡片进行排列,则该幼童能将这句话排列正确的概率是 A.13 B.16 C.14 D.1124.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,一2),则它 的离心率为5.已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D 为BC 中点，则()()AB BC AB DB +•-u u u r u u u r u u u r u u u r的值为A.32-B.32C.34-D.346.已知0x 是11()2xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点，()()1020,,,0,x x x x ∈-∞∈则A.12()0,()0f x f x <<B.12()0,()0f x f x >>C.12()0,()0f x f x ><D.12()0,()0f x f x <>7.巳知等比数列{}n a 中,各項都是正数,且132122a a a 、、成等差数列,則91078a a a a +=+A.3+22B.12-C.1+2D.322- 8.函数2sin 2x y x =的部分图象可能是9.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,則该 球的表面积为A.814πB.16πC.9πD.274π10.若函数()sin(2)3)()2f x x x πθθθ=+++<的图象关于点06π（，）对称，则()f x 的单调递增区间为A.5+,,36k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B.5+,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C.7+,,1212k k k Z ππππ⎡⎤--+∈⎢⎥⎣⎦ D.5+,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.设函数()22()(),,,()x f x x t e t t R x R f x b =-+-∀∈∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为 2 B.12C.1D.e12.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且=2PM MF ，则直线OM 的斜率的最大值为23C.1D.2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
湖南省长沙市一中、雅礼中学2009届高三2月联考试卷(数学理)
湖南省长沙市一中、雅礼中学2009 届高三2 月联考
试卷（数学理）
湖南省长沙市一中、雅礼中学高三联考试卷
理科数学
雅礼中学高三数学备课组组稿
命题人：卿科审题人：卿科
时量：120 分钟满分：150 分参考公式：
如果事件A、B 互斥，那幺
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B 相互独立，那幺
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在1 次实验中发生的概率是
P，那幺n 次独立重复实验中恰好发生k
次的概率Pn(k)=C
正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥侧=其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或
母线长球的体积公式V 球=πR3其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应
位置.
1. 复数z=(1－i)2·i等于（B）
A. －2 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
B. 2
C. 2i
D. －2i
2. 设全集I 是实数集R.M={x|x2＞4}与N={x|≥1}都是I 的子集（如图。
湖南省雅礼中学高三数学第六次月考(理)新人教版【会员独享】
7 8 994 4 6 4 7 3 雅礼中学2010届高三月考试卷（六）理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有一条100km 的输电线路出现了故障，在管道的一端A 处有电，在另一端B 处没有电，要迅速查处故障所在位置，则最优的方法为A 、0.618法B 、分数法C 、对分法D 、纵横对折法 2．特称命题“∃实数x ，使012<+x ”的否定可以写成 A ．若x ∈R ，则210x +< B ．2,10x x ∃∈+≥R C ．2,10x x ∀∈+<RD ．2,10x x ∀∈+≥R3．对于虚数i ，作集合234{i,i ,i ,i }S =，易知，S 中任何两个元素相乘的积仍然在S 中，现规定S 中关于乘法的单位元θ：即对任意的a S ∈，都有a a a θθ==，则θ为A ．iB ．2iC ．3iD ．4i4．下图是全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉 一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，45．双曲线x 2－y 2=4的两条渐进线和直线x =2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可表示为A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+200x y x y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+200x y x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+200x y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+200x y x y x6．已知数列﹛n a ﹜为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +的值为 A．．．7．5名上海世博会形象大使分别到香港，澳门、台湾进行世博会宣传，每个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有A. 150种B. 180种C. 200种D. 280种 8．给定正整数(19)k k ≤≤，令n kkk 个表示各位数字均为k 的十进制n 位正整数，若对任意正整数n ，二次函数()f x 满足2()n n f kkk kkk =个个，则当k 变化时，函数()()f x x ∈R 的最小值是A 、1-B 、23-C 、13- D 、2- 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9、如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 .10、如图：已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =. AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交 于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = .11、若关于x 的不等式|1||2|x x a -++≤有解，则实数a 的取值范围是 .12、设a ＝(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是 .13、已知非零向量,a b 的夹角为3π，且||2||b a =，若(0)a kb k +>与向量a 的夹角为6π，则||||a a kb +的值为 .14、面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为(1,2,3,4)i h i =，（i ）若31241234a a a a k ====，则41i i ih ==∑ ；（ii ）类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则41i i iH ==∑ .15、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间(0,1)中的实数m 对应数轴上 的点M ，如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆 放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为(0,1)，如图③；图③中直线AM与x 轴交于点(,0)N n ，则m的象就是n，记作()f m n =.(ⅰ)方程()0f x =的解是x = ；(ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16、（本题满分12分） 已知函数,sin 2)3sin()3sin()(2x x a x a x f -++-=ππ其中[]π,0∈x ，a 为常数.（第10题图） （第9题图）（Ⅰ）求当21)3sin(=-πx 时，求()x f y =的值； （II ）求使0)(≥x f 恒成立时a 的最小值.17、（本题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p )21(>p ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95．若右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙各自的总得分数S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜，输入1=a ，0=b ；如果乙获胜，则输入1,0==b a ． （Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．18、（本小题满分12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，BE ∥PA 且2PA BE =，四边形ABCD 边长为4的正方形，二面角P CD B --的大小为45，,M N 分别为,AB PC 的中点.（Ⅰ）求点A 到平面PEC 的距离；（II ）在直线CD 上是否存在点Q ，使PC ⊥平面MNQ ，若存在，求出DQ 的长，若不存在，请说明理由.MNPABCDE19、（本题满分13分）篮球比赛时，运动员的进攻成功率受投球命中率和被对方运动员的拦截率所制约。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={x|(x +1)(x−4)<0}，B ={x|2x +a <0}，且A ∩B ={x|−1<x <3}，则a =( )A. 6B. 4C. −4D. −62.已知z 1+i =1−1i ，则|−z |=( )A.2B.22C. 2D. 13.已知f(x)=sin (ωx−π3)(ω∈N)的图象与直线y =a 在区间[0,π]上存在两个交点，则当ω最大时，曲线y =f(x)的对称轴为( )A. x =π24+kπ4，k ∈Z B. x =π30+kπ5，k ∈Z C. x =5π24+kπ4，k ∈Z D. x =π6+kπ5，k ∈Z4.函数f(x)=2x +2−xln( x 2+1−x)的图象大致为( )A. B.C. D.5.若平面单位向量a ，b ，c 满足〈a ,b〉=π6，b ⋅c =0，a ⋅c <0，则|b 2c ||a +c |( )A.5B.3C.153D.536.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派.苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中.图(1)是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD ，如图(2)，砖雕厚度为6cm ，AD =80cm ，CD =3AB ，CD 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为(单位：cm 2)( )A. 3200πB. 480π+960C. 6880π+960D. 3680π+9607.已知过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，且|AB|=2x 0+1，Q(t,−2−t)，若点P 在抛物线C 上，则|PQ|的最小值为( )A.3 24B.3 22C.3 34D.328.已知数列{a n }满足a 1=3,a n +1−a n =2,4b n =(−1)n +1(1a n +1a n +1)，若数列{b n }的前n 项和为T n ，不等式3T n <λ(3−5λ)(n ∈N ∗)恒成立，则λ的取值范围为( )A. (110,+∞)B. (15,+∞)C. (110,12)D. (15,25)二、多选题：本题共3小题，共18分。
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湖南省长沙市雅礼中学2009届高三月考试卷数学（文史类）命题：高三数学组 审卷：高三数学组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 21=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第I 卷(共40分)一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(U C N )＝Ａ．{1,2} Ｂ．｛4,5｝ Ｃ．｛3｝ Ｄ．｛1,2,3,4,5｝2．()()811x x -+的展开式中含7x 项的系数是Ａ．-21 Ｂ．21 Ｃ．28- Ｄ．283．已知a ,b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是Ａ．a 2>b 2Ｂ．ba>1 Ｃ．lg(a －b)>0 4：已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)2(0,sin )(x x f x x x f π，则)61()61(--f f 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．25．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交； ②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α； ③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”． 其中正确命题的个数是 Ａ．1个 Ｂ．2个Ｃ．3个 Ｄ．4个６．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°, 第一排和最后一排的距离 为610米（如图所示）,旗杆底部与第一 排在一个水平面上．已知国歌长度约为50 秒，升旗手匀速升旗的速度为 Ａ．51（米/秒） Ｂ．53（米/秒） Ｃ．56（米/秒）７．已知P 是椭圆13422=+y x 上的一点，21,F F 是该椭圆的两个焦点，若21F PF ∆的内切圆半径为21，则21PF PF ⋅的值为 Ａ．23Ｃ．49- Ｄ．0８．若二次函数)(4)(2R x c x ax x f ∈+-=的值域为(]0,∞-，则ac c a 44-+-的最小值为 A 4B．C ．6D．第II 卷二．填空题：本大题共7小题，每小题5分（第14题第一空２分，第二空3分，第15题第一空3分，第二空2分），共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上． ９．0sin15010．若向量()12,23a λλ=+-与()4,1b =共线，则λ11．已知,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z +=21213．某商贸公司为了解员工对工资福利的满意度，用分层抽样的方法从销售、财务、人事三个部门的员工中抽取一个容量为20的样本。
已知从人事部抽出了5人，从财务部中抽出本部门人数的51，若销售部门共有6514．在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离不大于a 的概率为 ： 15．已知：对于给定的*N q ∈及映射*,:N B B A f ⊆→．若集合A C ⊆且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集．① 对于2q =，{},,A a b c =，映射A x x f ∈→,1:,那么集合A 的所有好子集的个数为 4 ； ② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6π()f x11111yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的有序数组(),,q y z ：(5,1,3)．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()(2cossin )2xf x a x b =++. （１）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（２）当0a <时，若[0,]x π∈，函数()f x 的值域是[3,4]，求实数,a b 的值．解：()()cos 1sin sin 4f x a x x b x a b π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭．………………………4分（１）当1a =时，()14f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∴当22()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时，()f x 是增函数，所以函数()f x 的单调递增区间为32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．………………8分（２）由[]0,x π∈得5444x πππ≤+≤， sin 14x π⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭．因为0a < ，所以当sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取最小值33(1)a b ++=．当sin 42x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时， ()f x 取最大值4，即4b =．将4b =代入得1a = ………………………12分17．（本小题满分12分）如图所示，已知直四棱柱1111ABCD A BC D -中，AD DC ⊥，AB DC ∥，且满足122DC DD AD AB ===2=．（１）求证：⊥DB 平面11BCC B ； （２）求二面角11A BD C --的余弦值． 解：法一：（１）设E 是DC 的中点，连结BE ，则四边形DABE 为正方形，CD BE ⊥∴．故2=BD ，2C =B ，2CD =，90DBC ∴=∠，即BD BC ⊥．又1BD BB ⊥，1.B BBC B =BD ∴⊥平面11BCC B ，………………6分（２）由（I ）知⊥DB 平面11BCC B ， 又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥， 取DB 的中点F , 连结1A F ，又11A D A B =，则1A F BD ⊥．取1DC 的中点M ，连结FM ，则1FM BC ∥,FM BD ∴⊥．1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角．连结1A M ，在1A FM △中，1A F =112FM BC === 取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ，在1Rt A HM △中，1A H =1HM =，1A M ∴=2221111933cos 2A F FM A M A FM A F FM +-+-∴∠===⋅． ∴二面角11A BD C --…………………………………………12分 BCDA1A1D1C1BEBCDA1A1D1C1BF MH法二：（１）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系，则(000)D ，，，(110)B ，，，(0,2,2)C 1，1(102)A ，，，1(112)B ，，,(0,2,0)C ．(110)DB =，，，0)11(BC ,,-=,)200(BB 1,,=BC BD 011BC ⊥⇒=+-=⋅BD ，11BB 0BB ⊥⇒=⋅，又因为1.B BBC B =所以，⊥DB 平面11BCC B ．………………6分（２）设()x y z =，，n 为平面1A BD 的一个法向量． 由1DA ⊥n ，DB ⊥n ，(1,0,2),DA 1=(110)DB =，，，得200.x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(221)=-，，n ．又1(022)DC =，，，(110)DB =，，，设111()x y z =，，m 为平面1C BD 的一个法向量，由1DC ⊥m ，DB ⊥m ，得11112200.y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11z =，则(111)=-，，m ， 设m 与n 的夹角为α，二面角11A BD C --为θ，显然θ为锐角，||cos ||3m n m n θα⋅∴====cos |||| ……………………12分18（本小题满分12分）当下的金融危机使得年轻人开始重视多种技能的学习，某培训学校开设了计算机、英语、营销管理3门继续教育培训课程，若一共有100人报名，且3门课程分别有80、50、25人次参加（一人可参加多门课程，不同课程之间学习没有影响）。
某记者随机采访了该校的2位学生。
（1）求至少有1人3门课程都参加了的概率。
（2）求3门课程中每一门恰有1人参加的概率。
解：由题意知：某人参加了这3门课程的概率分别为25.0,5.0,8.0-----------------------（2分） （1） 设事件A i ：第i 个人3门课程都参加了（2,1=i ）；事件B ：至少有1人3门课程都参加了。
----------------------------------------（3分） 则9.0)(1.025.05.08.0)(=⇒=⋅⋅=i i A P A P ，--------------------------------（4分） ⇒)()(1)(1)(1)(2121A P A P A A P B P B P -=⋅-=-==19.0-----------------（6分）（2） 设事件C i ：第i 门课程恰有1人参加(3,2,1=i )，事件D ：3门课程中每一门都恰有1人参加.----------------------------------------（7分）则：375.075.025.0)(,5.05.05.0)(,32.08.02.0)(123122121=⋅==⋅==⋅=C C P C C P C C P------------------------------------（10分）06.0)()()()()(321321==⋅⋅=∴C P C P C P C C C P D P -----------------------------------（12分）19．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列， 256,18a a ==；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且112n n T b +=． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列{}n b 是等比数列； (Ⅲ) 记n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，则：21a a d =+，514a a d =+，∵26a =，518a =，∴116418a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴12,4a d ==． ………………………2分∴24(1)42n a n n =+-=-． ………………………………………………………3分（Ⅱ）当1n =时，11b T =，由11112T b +=，得123b =． …………………4分 当2n ≥时，112n n T b =-，11112n n T b --=-，∴111=() 2n n n n T T b b ----，即11()2n n n b b b -=-． …………………………5分∴11=3n n b b -． ………………………………………………………………………6分∴{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列． …………………………………………7分（Ⅲ）由（2）可知：1211()2()333n nn b -=⋅=⋅． ……………………………………8分∴11(42)2()(84)()33nn n n n c a b n n =⋅=-⋅⋅=-⋅． ……………………………………9分∴2112111114()12()(812)()(84)()3333n nn n n S c c c c n n --=++++=⨯+⨯++-⨯+-⨯．∴231111114()12()(812)()(84)()33333n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯． ∴231121111148()8()8()(84)()3333333n n n n n S S S n +-==⨯+⨯+⨯++⨯--⨯21111()[1()]41338(84)()13313n n n -+⋅-=+⨯--⨯-………………………………………11分118114()(84)()333n n n -+=-⨯--⨯． …………………………………………12分 ∴144(1)()3nn S n =-+⋅． …………………………………………………………13分20．（本小题满分13分）已知函数f(x)=ax 3-x 2-x +a(a ∈R 且a ≠0)（1）若函数f(x)在（2，+∞）上为单调递增区间，求a 的取值范围. （2）若1)(42+-=x x a x g ，讨论方程：)()(x g x f =根的个数。