高数第八章第2节
(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)(最新整理)
形对角线的交点（。见图 7－5）
图 7－4
解： a
b
AC
2
AM
，于是
MA
1
(a
b)
2
由于 MC MA ，
于是
MC
1
(a
b)
2
又由于
a
b
BD
2 MD
，于是
MD
1
(b
a)
2
由于 MB MD ，
于是
MB
1
(b
a)
2
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）
五、向量的模、方向角、投影
设 a {ax , a y , az } ，可以用它与三个坐
标轴的夹角、、 （均大于等于 0，小
5
于等于 ）来表示它的方向，称、、 为非零向量 a 的方向角，见图 7－6，其余弦表示
形式cos、cos 、cos 称为方向余弦。
1． 模
a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
2． 方向余弦
PP1 x2 2 2 32 x2 11 PP2 x2 12 12 x2 2
PP为： (1,0,0) ， (1,0,0)
四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向 量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的 点与有序数组之间建立了一一对应关 系，同样地，为了沟通数与向量的研 究，需要建立向量与有序数之间的对 应关系。
◆ 任意向量的方向余弦有性质： cos2 cos2 cos2 1
◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为：
a 0 a 1 {a x , a y , a z } {cos, cos , cos } aa
高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
《高数下第八章》课件
球面坐标系
球面坐标系将点的位置与球坐 标和两个角度联系起来。
球面坐标系下的三重积 分计算
可以通过变量替换将三重积分 转化为球面坐标下的计算。
相关应用
用于计算球面坐标图形的体积、 质心坐标等。
总结
本章重点内容概述
回顾并总结本章重点知识和概念。
解答问题技巧与方法
分享解答高数问题的技巧和方法。
重要的公式和定理
介绍与二重积分和三重积分相关的重要公式 和定理。
课程思考题解析
解析本章课程思考题，并提供答案和解析。
《高数下第八章》PPT课 件
本PPT课件将详细介绍《高数下》第八章的内容，涵盖二重积分、三重积分， 以及不同坐标系下的应用。欢迎同学们认真学习和实践。
第一节：二重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。ห้องสมุดไป่ตู้
3
定义
二重积分是对二元函数在某个闭区域 上进行积分的过程。
应用举例
用于计算平面图形的面积、质心坐标 等。
相关应用
用于计算极坐标图形的面积、 质心坐标等。
第四节：三重积分在柱面坐标下的应 用
1 柱面坐标系
柱面坐标系将点的位置与柱坐标和极角两个数值联系起来。
2 柱面坐标系下的三重积分计算
可以通过变量替换将三重积分转化为柱面坐标下的计算。
3 相关应用
用于计算柱面坐标图形的体积、质心坐标等。
第五节：三重积分在球面坐标下的应用
第二节：三重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。
3
定义
三重积分是对三元函数在某个闭区域 上进行积分的过程。
大学《高等数学》课件-第八章
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
则有
由勾股定理得
因
得两点间的距离公式:
对两点
与
例4. 求证以
证:
即
为等腰三角形 .
的三角形是等腰三角形 .
为顶点
例5. 在 z 轴上求与两点
等距
解: 设该点为
解得
故所求点为
及
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.
解: A、B、 C、M 四点共面
展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程
即
内容小结
设
1. 向量运算
加减:
数乘:
点积:
叉积:
混合积:
2. 向量关系:
思考与练习
1. 设
计算
并求
夹角 的正弦与余弦 .
答案:
2. 用向量方法证明正弦定理:
总之:
运算律 :
结合律
分配律
因此
定理1.
设 a 为非零向量 , 则
( 为唯一实数)
, 取 ＝±
且
再证数 的唯一性 .
则
反向时取负号,
则
例1. 设 M 为
解:
三、空间直角坐标系
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
x轴(横轴)
y轴(纵轴)
z 轴(竖轴)
过空间一定点 O ,
备用题
解: 因
1. 设
求向量
在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分
向量. P13(19)
高等数学a1上教材第八章
高等数学a1上教材第八章第八章：多元函数微分学第一节：二元函数的极限和连续性在高等数学A1上教材的第八章中，我们将学习多元函数微分学的基础知识。
本章的第一节将介绍二元函数的极限和连续性。
1. 二元函数的极限在前几章中，我们已经学习了一元函数的极限，而二元函数的极限则更加复杂一些。
对于二元函数f(x,y)，当自变量的取值趋近于某个点(x0,y0)时，如果函数值f(x,y)也趋近于一个确定的值L，我们就说函数在点(x0,y0)处有极限，并记作lim_{(x,y)→(x0,y0)}f(x,y)=L。
2. 二元函数的连续性当一个二元函数在其定义域上的每一点处都有极限，并且极限与函数值相等时，我们称该二元函数在定义域上连续。
在这种情况下，我们可以简单地说，对于函数f(x,y)，当(x,y)→(x0,y0)时，f(x,y)→f(x0,y0)。
第二节：二元函数的偏导数与全微分在第八章的第二节中，我们将继续探讨二元函数的偏导数与全微分。
1. 二元函数的偏导数对于一个二元函数f(x,y)，我们可以对其分别关于x和y求偏导数。
偏导数衡量了函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
偏导数分为偏导数和哥伦布第二积分。
2. 二元函数的全微分全微分指的是二元函数在某一点附近的线性逼近。
通过全微分，我们可以用一个线性函数来近似描述二元函数的变化。
全微分也可以通过偏导数来计算。
第三节：多元函数的极值与条件极值第八章的第三节将详细介绍多元函数的极值和条件极值。
1. 多元函数的极值对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，如果存在一个点(x1,x2,...,xn)，使得在其附近的任意点(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn)上，函数值均小于等于f(x1,x2,...,xn)，则称该点为函数f的极小值点。
同理，如果在其附近的任意点上，函数值均大于等于f(x1,x2,...,xn)，则称该点为函数f的极大值点。
2. 多元函数的条件极值有时，我们需要在一定条件下寻找多元函数的极值点。
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第8章
3
0 6
0 2 1 2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13
(1)21 1 2 1 2 27
7 7 12
（2）计算 Dj 。
8 1 5 1
9 3 0 6ຫໍສະໝຸດ D1 52 181 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
218 1
1 3 9 6
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12 a21
，x2
a11b2 a11a22
a21b1 a12a21
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得的。 其中分母 a11a22 a12a21 是由方程组的四个系数确定的。
定义1 将由4个数排列成2行2列〔横排为行，竖排为列〕并左右两 边各加一条竖线的算式
在行列式中，从左上角元素到右下角元素的这条直线称为主对 角线，从右上角元素到左下角元素的这条直线称为次对角线。二阶 行列式的展开式可用对角线法那么来记忆，即等于主对角线上两个 元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积，如图8-1所示。
图8-1
在例1中，若记 D a11 a12 ，则称D为二元线性方程组的 a21 a22
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
称为二阶行列式，用D表示。其中，aij (i ，j 1，2) 称为二阶行列 式的元素，简称元；元素 aij 的第一个下标 i 称为行标，表明该元素 位于第 i 行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第 j 列；上式的 右端 a11a22 a12a21 称为二阶行列式的展开式。
高等数学 第8章
以前研究的函数都是只有一个自变量的一元函数，但在自 然科学和工程技术中的很多问题都要取决于多个因素，从而产 生了有几个自变量的函数，称为多元函数．多元函数的微分学 是在一元函数微分学的基础上发展起来的．由于多元函数是一 元函数的推广，它必然要保留一元函数的许多性质，但又由于 自变量的增多，也会产生某些本质的差别．因此在学习多元函 数的理论时，既要注意到它与一元函数的联系，又要弄清它们 之间本质的差别。
dz fx(x ，y)x f y(x ，y)y
由于 dx x，dy y 所以函数z=f(x, y)的全微分可记作
dz fx(x ，y)dx f y(x ，y)dy
三元及三元以上的多元函数的全微分，也有类似公式， 如三元函数u=f(x, y, z)的全微分存在，则
du f dx f dy f dz x y z
设P0(x0, y0)是平面上一点，称点集
(x ，y) (x x0 )2 ( y y0 )2
为点P0的邻域，记作U(P0, )。P0称为此邻域的 中心，称为此邻域的半径．
二、偏导数的概念
研究一元函数变化率时引入了导数的概念，对于多元函 数也需要讨论它的变化率。在实际问题中，常常需要了解 一个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情 况下，该变量只随一种因素变化的变化率问题。
不是极值 不确定
利用定理1和定理2，我们把具有二阶连续偏导数的函 数z=f(x, y)的极值的求法叙述如下：
（1）求一阶偏导数fx’(x, y)，fy’ (x, y)，并解方程组
fx(x ，y) 0 ，
f
y(
x
，y)
0
.
求得一切实数解，即求得一切驻点．
（2）对每个驻点(x0, y0)，求出二阶偏导数的值A，B， C。
高等数学第八章课后习题答案
第八章习题解答（2） 节8.4部分习题解答1、设22v uv u z ++= y x v y x u -=+=,，求x z ∂∂，yz ∂∂ 解：v u u z +=∂∂2 v u vz 2+=∂∂ 1=∂∂x u ，1=∂∂x v ；1=∂∂y u ，1-=∂∂yv 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xvx v u v u v u 6)(3)2()2(=+=+++y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv y v u v u v u 2)2()2(=-=+-+ 2、设v u z ln 2= y x v yxu 23,-==，求x z ∂∂，y z ∂∂解：v u u zln 2=∂∂ vu v z 2=∂∂ y x u 1=∂∂，3=∂∂x v ；2yx y u -=∂∂，2-=∂∂y v所以 x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂x v )23(3)23l n (23ln 21222y x y x y x y x v u v u y -+-=+y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂y v )23(2)23l n (22ln 2223222y x y x y x y x v u v u y x ----=-- 3、设v e z uln = 22222,2y x v y x u -=-=，求x z ∂∂，yz∂∂ 解：v e u z uln =∂∂ ve v z u =∂∂ x x u 4=∂∂，x x v 2=∂∂；y y u 2-=∂∂，y yv 4-=∂∂ 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xv]21)2ln(2[22ln 42222222yx y x xe v e x v xe y x u u-+-=+-y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv ]22)2ln(2[24ln 2222222yx y x ye v e y v ye y x u u-+--=--- 4、设y x e z 2-= 3,sin t y t x ==，求 dtdz解：y x e x z 2-=∂∂ y x e yz 22--=∂∂，t dt dx cos =，23t dt dy =， 所以dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy223c o s t te y x +-)2(2y x e --=)6(c o s 22s i n 3t t e t t -- 5、设)arcsin(y x z -= 34,3t y t x ==，求 dtdz 解：2)(11y x x z --=∂∂ 2)(11y x y z ---=∂∂，t dt dx 3=，212t dt dy =， 所以 dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy=---22)(1123y x t 232)43(1123t t t ---6、设)23tan(22y x t z -+= t y tx ==,1，求dtdz 解：2sec 4x x z =∂∂)23(22y x t -+ 2s e c 2y yz -=∂∂)23(22y x t -+， 2sec 3=dt dz )23(22y x t -+；21t dt dx -=，tdt dy 21=， 1=dt dt 所以t dz ∂⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =∂∂+t z dt dy 2s e c )23(22y x t -+]3212)1(14[2+--tt t t 2sec =)22(2t t +)42(3t -⋅ 7、设1)(2+-=a z y e u ax xz x a y cos ,sin ==，求 dx du解：=∂∂x u 1)(2+-a z y ae ax ，=∂∂y u12+a ae ax ，-=∂∂z u 12+a ae ax x dx dy cos =；x dxdzsin -=，所以 dx du ⋅∂∂=x u ⋅∂∂+y u =⋅∂∂+dx dzz u dx dy ]s i n c o s )c o s s i n ([12x x a x x a a a e ax ++-+ x e ax sin =8、设222z y xe u ++= x y z sin 2=，求x u ∂∂，yu∂∂ 解：x x u 2=∂∂222z y x e ++⋅ y yu2=∂∂222z y x e ++⋅，z z u 2=∂∂222z y x e ++⋅ x y x z cos 2=∂∂，x y yz sin 2=∂∂； 所以：x u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅+∂∂=xzz u y u x u 0]cos 22[2222x zy x e z y x +++ =+=++]cos sin 22[22sin 2422x xy y x e xy y x]2sin 2[4sin 2422x y x e xy y x+=++y u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂=yz z u y u x u 0]sin 222[222x y z y e z y x ⋅+++ =⋅+=++]sin 2sin 22[2sin 2422x y x y y e xy y x]sin 21[222sin 2422x y ye xy y x+++9、设)cos(22y x y x z +++= v y v u x arcsin ,=+=，求vu zu z ∂∂∂∂∂2, 解：)sin(2y x x x z +-=∂∂，)sin(2y x y yz +-=∂∂ 1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，0=∂∂u y211vv y -=∂∂所以)a r c s i n s i n ()(2)s i n (2v v u v u y x x uz++-+=+-=∂∂)111)(arcsin cos(222vv v u v u z -+++-=∂∂∂ 10、设,arctan y xz =v u y v u x -=+=,验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂ 证明：22yx yx z +=∂∂，22y x x y z +-=∂∂，1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，11=∂∂u y ，1-=∂∂v y所以)(122x y y x u z -+=∂∂22v u v +-=，)(122x y yx v z ++=∂∂22v u u += 故有 左边=+-=∂∂+∂∂=22vu vu v z u z 右边 11、设f 具有连续的一阶偏导数，求下列函数的一阶偏导数 （1）、)34,23(y x y x f z -+=解：设y x v y x u 34,23-=+=，于是有3=∂∂x u ，2=∂∂y u ，4=∂∂x v ，3-=∂∂yv2143f f x z +=∂∂ =∂∂yz2133f f - （2）、),(22xy e y x f z -= 解：设xy e v y x u =-=,22，于是有x x u 2=∂∂，y y u 2-=∂∂，xy ye x v =∂∂，xu xe yv=∂∂ =∂∂x z 212f ye xf xy + 212f xe yf yzxy +-=∂∂ （3）、)32,ln (y x x y f z +=解：设y x v x y u 32,ln +==，于是有x y x u =∂∂，x y u ln =∂∂，2=∂∂x v ，3=∂∂yv212f f x y x z +=∂∂ 213ln f xf yz+=∂∂ （4）、),(yxx y f z = 解：设y x v x y u ==,，于是有2x y x u -=∂∂，x y u 1=∂∂，y x v 1=∂∂，2yx y v -=∂∂ 2121f y f xy x z +-=∂∂2211f y x f x y z -=∂∂ （5）、),,(y x y x x f z -+=解：设y x v y x u -=+=,，于是有1=∂∂x u ，1=∂∂x v ，1=∂∂y u ，1-=∂∂yv321f f f x z ++=∂∂ 32f f yz -=∂∂ （6）、),,(x y z xy x f u =解：设xyz t xy s ==,，于是有y x s =∂∂，yz x t =∂∂，x y s =∂∂，zx yt=∂∂ 0=∂∂z x ，0=∂∂z s xy zt=∂∂ 321yzf yf f x u ++=∂∂ 32z x f xf yu+=∂∂ 3xyf z u =∂∂ 12、设)(u f 具有连续的导数，)(xyxf xy z += 验证：z xy yz y x z x+=∂∂+∂∂ 验证：)])(()([2xy x y f x x y f y x x z x-'++=∂∂)()(x y f y x y xf xy '-+= ='+=∂∂)])(([xyx y f x x y y z y)(x y f y xy '+左边==+=+=∂∂+∂∂z xy xyxf xy y z y x z x)(2右边 13、设)(22y x f z +=，)(u f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22y z∂∂ 解：设22y x u +=有1f u z=∂∂ 1122f u z =∂∂ x x u 2=∂∂ 222=∂∂x u 0=∂∂∂y x u y y u2=∂∂ 222=∂∂yu 12xf x z =∂∂ x xf f x z 22211122+=∂∂112142f x f += 11112422xyf y xf yx z ==∂∂∂ 12yf y z=∂∂ 11212242f y f yz +=∂∂ 14、设f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22yz∂∂（1）、),(xy y x f z += 解：设xy v y x u =+=,有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z =∂∂ 2222f v z =∂∂ 1=∂∂x u 022=∂∂x u 02=∂∂∂y x u 1=∂∂y u 022=∂∂y u y x v =∂∂ 022=∂∂x v 12=∂∂∂y x v x y v =∂∂ 022=∂∂yv 于是有：22222)(xv v z x u u z z v y u x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f y yf f ++=y x vv z y x u u z z v x u v y u y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂222))((2221211)(f xyf f y x f ++++= 22222)(y vv z y u u z z v x u yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f x xf f ++= （2）、),(yxxy f z =解：设yx v xy u ==, 有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z=∂∂ 2222f v z =∂∂ y x u =∂∂ 022=∂∂x u 12=∂∂∂y x u x y u =∂∂ 022=∂∂yu y x v 1=∂∂ 022=∂∂x v221yy x v -=∂∂∂ 2y x y v -=∂∂ 3222y x y v =∂∂ 于是有：22222)1(x v v z x u u z z v y u y x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2221211212f y f f y ++=yx vv z y x u u z z v y x u x v y u y y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂2222))(1(221223111f y f f y x xyf -+-+=222222)(y v v z y u u z z v y x u x y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂-∂∂=∂∂232242122211222f y x f y x f y x f x ++-=。
高等数学教材第八章
高等数学教材第八章第八章：多元函数的微分学第一节：多元函数的极限与连续性在高等数学中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。
多元函数的微分学则是研究多元函数的导数、极限和连续性的数学分支。
多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，我们也可以讨论多元函数在某一点处的左极限、右极限，以及无穷远处的极限。
根据多元函数极限的定义，我们可以得到一元函数极限的特例。
多元函数的连续性则是指函数在某一点的极限等于函数在该点的函数值。
如果一个多元函数在定义域的每一点都是连续的，我们称其为连续函数。
与一元函数连续性的概念类似，多元函数的连续性包括点连续性和区间连续性两种情况。
第二节：多元函数的偏导数和全微分在研究多元函数的微分学时，最重要的概念之一就是偏导数。
偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。
通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量方向上的变化情况。
与偏导数相关的概念是全导数和全微分。
全导数是指多元函数对于所有自变量的导数，而全微分则是全导数与自变量的微小增量之积。
全微分在多元函数微分学中具有重要的应用价值。
第三节：多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点处的局部线性近似。
通过微分，我们可以求得函数在某点处的切线、法线以及在该点附近的变化情况。
多元函数的微分是通过偏导数和全微分推导而来的。
通过求得多变量的微分，我们可以进一步研究函数的最值、优化问题等。
第四节：多元函数的导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率。
与一元函数的导数类比，多元函数的导数也可以用于求得函数的极值、切线与法线方程等问题。
多元函数的导数是通过偏导数推导而来的。
通过求得各个自变量的偏导数，并将其组合成一个向量，我们可以得到多元函数的导数。
第五节：多元函数的高阶导数多元函数的高阶导数是对多层次的导数求导的结果。
与一元函数的高阶导数类似，多元函数的高阶导数可以用于求函数的高阶变化率，进一步研究函数的性质和行为。
高等数学第八章课件.ppt
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
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例6 设 u e ax cos by , 求二阶偏导数.
u u ax 解 ae cos by， be ax sin by x y
u a 2 e ax cocos by 2 y
2 u 2 u ax ax abe sin by abe sin by， yx xy
xy x2 y2 , 例如,函数 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0) 处， f x (0,0) f y (0,0) 0 .
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
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4. 偏导数的几何意义
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
0,
x2 y2 0
f x (0, y ) f x (0, 0) y 1 lim f xy (0, 0) lim y 0 y y 0 y
f yx (0, 0) lim f y ( x , 0) f y (0, 0) x
x 0
x lim 1 x 0 x
数可以选择方便的求导顺序.
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例7 验证函数z ln x 2 y 2 满足方程
2 z 2 z 2 0. 2 x y 1 2 2 证 因 z ln x y ln( x 2 y 2 ) 2 z x z y 所以 2 , 2 2 x x y y x y 2
例如, 设z f ( x, y) | xy |, 求 f x (0, 0), f y (0, 0).
| x0|0 解 f x (0,0) lim 0 x 0 x 同理可求 f y (0,0) 0.
9
３. 偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续， 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
2 z 2 z y2 x2 x2 y2 故 2 2 2 0 2 2 2 2 2 x y (x y ) (x y )
1 例8 验证函数u = 满足方程 r 2u 2u 2u 2 2 0, 2 x y z x2 y2 z2 . 1 分析:u可看成是 与r = x 2 y 2 z 2 的复合函数. r 1 2x u 1 r x 2 证 2 3 2 2 2 x r 2 x y z r x r
2 2 2
2
0.
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方程 和
2z 2z 2 0 2 x y 2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
都叫拉普拉斯方程.
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内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法
p V T RT R V RT 1. 2 V T p p R pV V
.
此例表明: 偏导数记 号是一个整体记号,不 能看作分子与分母的 商!
8
有关偏导数的几点说明：
u 1. 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
2. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.
如果
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x
存在, 则称此极限为函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x的偏导数, 记为
2
z f zx x x0 或 x x x0 或 x y y y y
设 M0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点.
如图
x0
y0
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偏导数的几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截 得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截
2 2
u 1 3z 3 5 2 z r r
2
2
1 3 x 2 1 3 y 2 1 3z 2 2u 2u 2u 故 2 2 2 3 5 3 5 3 5 r r r r r r x y z
3 3r 3 3( x y z ) 3 3 5 5 r r r r
2 z ( x2 y2 ) x 2x y2 x2 2 2 2 2 2 2 2 x (x y ) (x y ) x2 y2 2 z ( x 2 y 2 ) y 2 y 2 2 2 2 2 ( x y 2 )2 y (x y )
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得的曲线在点 M 0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的斜率.
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y) 在区域D内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y) , f y ( x, y) x y 则称它们是 z = f ( x , y ) 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数. 按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导 数: 2 z 2 z z z 2 f yy ( x , y ) 2 f xx ( x , y ), y y y x x x
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问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
x2 y2 ) xy ( 2 2 例 z f ( x, y) x y 0 x2 y2 0 x2 y2 0
f (x , 0) f (0, 0) f x (0, 0) lim 0 x 0 x
y
例2 设 z x
的偏导数. 例3 求 2x r x 解 x 2 x2 y2 z2 r
r z z r
7
例4 已知理想气体的状态方程 pV RT (R为常数),
求证：
p V T 1 V T p
RT p RT 证 p 2 ; V V V RT V R T V pV V ; ; T p T p p R R
0 0
x x0 y y0
或 f x ( x0 , y0 )
同理可定义函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 的偏导数，为
y
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y
记为
z y
x x0 y y0
f (0, y ) f (0, 0) f y (0, 0) lim 0 y 0 y
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f x ( x, y )
x4 4 x2 y2 y4 y , x2 y2 0 ( x 2 y 2 )2
f y ( x, y)
0, x2 y2 0 4 2 2 4 x 4x y y x , x2 y2 0 ( x 2 y 2 )2
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(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
偏导函数也可简称偏导数.
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偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y
f , y
x x0 y y0
, zy
x x0 y y0
或 f y ( x0 , y0 )
3
如果函数 z = f (x, y) 在区域D内任一点 (x, y) 处 对 x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是 x, y 的 函数, 它就称为函数 z = f (x, y)对自变量 x 的偏导函 数,记作 z f , , z x 或 f x ( x , y ), f1 ( x , y ) x x 同理可以定义函数 z = f (x, y)对自变量 y 的偏导 函数，记作 z f , , z y 或 f y ( x, y ), f 2 ( x, y ) y y
z 2 z z 2 z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ) y x xy x y yx
混合偏导数
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类似可以定义更高阶的偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 例5 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1, 求
2 z 2 z 2 z 2 z 3 z , , , 及 . 2 2 3 yx xy y x x
2 z 3 z 解 3 x 2 y 2 3 y 3 y ， z 6 xy 2， 3 6 y 2 x x x 2 2 z z 3 2 2 x y 9 xy x， 2 x3 18 xy 2 y y 2 2 z 6 x 2 y 9 y 2 1， z 6 x 2 y 9 y 2 1 xy yx 14
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其中r
r r x 3r 2 u x x ( 3 ) 6 x 2 x r r
3 2
1 3x r 1 3x x 1 3x 2 3 4 3 4 3 5 r r x r r r r r
同理 u 1 3y 3 5 , 2 y r r
将(1, 2)代入上面式子, 得
z x
z y
x 1 y2
2 1 3 2 8,
31 2 2 7
6
x 1 y2
( x 0, x 1), 求证 x z 1 z 2z y x ln x y z z y 1 证 yx , x y ln x x y x z 1 z 所以 x y x y 2z y x ln x y