高中数学选修2-3 (30)

→ → AA1· BC＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0，
→ → → → ∴AD⊥BC，AA1⊥BC，
∴BC⊥AD，BC⊥AA1. 又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD. 又BC⊂平面BCC1B1，
方法二
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
→ 同方法一建系后，得AA1＝(0,0， 3)，
→ → → AD＝(1,1,0)，BC＝(－2,2,0)，CC1＝(0，－1， 3).
解答
解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点， AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz，
则 D(0，
3，0)，E0，
3 1 ，B(1,0,0)，C(1， 3，0)， 2 ，2
3 1 → → 于是AE＝0， ， ，AC＝(1， 3，0). 2 2
知识点三 两平面平行或垂直的判定及三垂线定理 1.两平面平行或垂直的判定方法 设n1，n2分别是平面±，² 的法向量，则容易得到 ±∥² 或±与² 重合⇔ n1∥n2 ； ±⊥² ⇔ n1⊥n2 ⇔ n1·n2＝0 . 2.三垂线定理 则它也和这条斜线垂直.
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
→ n· AC＝0， 则 → n· AE＝0，
x＋ 3 y＝ 0 ， 即 3 1 y＋ z ＝ 0 ， 2 2
x＝－ 3y， 所以 z＝－ 3y，
令 y＝－1，则 x＝z＝ 3.
所以平面 ACE 的法向量为 n＝( 3，－1， 3).
①
→ 又CE＝(－1，y－1，z)，CE∥平面 PAB， → → ∴CE⊥AD，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0.
1 ∴y＝1，代入①得 z＝2，∴E 是 PD 的中点，
∴存在E点，当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB.
类型三 利用空间向量证明垂直问题 例3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面 为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝ 3，AB＝AC＝2A1C1 ＝2，D为BC的中点.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
1
设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1).
→ n1· DA＝0， 由 → n1· DE＝0，
2x1＝0， 得 2x1＋2y1＋z1＝0.
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2). 同理，平面A1FD1的法向量为n2＝(0,2,1). ∵n1· n2＝(0,1，－2)·(0,2,1) ＝0， ∴n1⊥n2， ∴平面AED⊥平面A1FD1.
引申探究 若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向 量.
解答
解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，
则 P(0,0,1)，C(1， 3，0)， → 所以PC＝(1， 3，－1)即为直线 PC 的一个方向向量.
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z). → 因为 D(0， 3，0)，所以PD＝(0， 3，－1).
跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD， △PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中 点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法 向量.
解答
解 因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB， 又因为平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB. 所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
→ ，B1(2,2,2)， → → F (0,0,1) 所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1).
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
→ → 则 n1⊥DA，n1⊥AE，
→ n1· DA＝2x1＝0， 即 → n1· AE＝2y1＋z1＝0， x1 ＝ 0 ， 得 z1＝－2y1，
→ ―― → → → ∴DA＝ D1A1 ＝(2,0,0)，DE＝(2,2,1)，D1F＝(0,1，－2)．
3 3 3 → → 所以FE＝0， ， ，FD＝－1， ，0. 4 4 2
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z).
→ m· FE＝0， 则 → m· FD＝0， z＝－y， 所以 3 x＝ y， 2 3y＋ 3z＝0， 4 4 即 3 －x＋ 2 y＝0.
解答
解 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系Axyz， ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
→ 设 E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)，
→ PD＝(0,2，－1)，
→ → ∵PE∥PD，
∴(－1)×y－2(z－1)＝0，
→ ∵AD＝(0,2,0)是平面 PAB 的法向量，
→ → (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC.
→ n· AB＝0， (3)列方程组：由 → n· AC＝0 → n· AB＝0， (4)解方程组： → n· AC＝0.
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
令 y＝2，则 x＝ 3，z＝－2.
所以平面 DEF 的法向量为 m＝( 3，2，－2).
类型二 利用空间向量证明平行问题 例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
证明
证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则 有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，
第三章 §3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
学习目标
1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量. 2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直. 3.了解三垂线定理及其逆定理.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 平面的法向量 思考 平面的法向量有何作用？是否唯一？ 答案 平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量 可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系. 平面的法向量不唯一，它们都是共线的.
跟踪训练3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中 点. (1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；
证明
证明 以点D为坐标原点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立 如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为2， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D → ， ―― → → → (0,0,2) ∴DA＝ D1A1 ＝(2,0,0)，DE＝(2,2,1)，D1F＝(0,1，－2).
F(0,0,0)，P0，0，
所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系Fxyz(如图所示).
由题意得
D － 1 ，
3 ， 2
3 3 3 3 ，C0， ，0，E0， ， . 2 ，0 2 4 4
→ n· PC＝0， 由 → n· PD＝0， x＋ 3y－z＝0， 即 3 y－ z ＝ 0 ，
x＝0， 所以 令 y＝1，则 z＝ 3. z＝ 3y，
所以平面 PCD 的法向量为 n＝(0,1， 3).
反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).
设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2).
→ n1· AA1＝0， 由 → n1· AD＝0，
3z1＝0， 得 x1＋y1＝0，
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0， ∴n1＝(1，－1,0).
→ n2· BC＝0， 由 → n2· CC1＝0， －2x2＋2y2＝0， 得 －y2＋ 3z2＝0，
证明
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求 出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行 问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面 所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA 1 ＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若 ＝BC＝ AD 2 存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
[思考辨析 判断正误] × ) 1.已知直线垂直于±，向量a平行直线l，则a是平面±的法向量.( 2.若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一 × ) 定平行.( 3.若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平 √ ) 面平行.(
题型探究
类型一 求平面的法向量 例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平 面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1 3，AD＝ 坐标系，求平面ACE的一个法向量. ，试建立恰当的空间直角
― → ―― → 由 n2⊥ FC1，n2⊥ C1B1 ，
― → n2· FC1 ＝2y2＋z2＝0， 得 → ―― n2· C1B1 ＝2x2＝0， x2 ＝ 0 ， 得 z2＝－2y2.
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
3 令 y2＝1，则 x2＝1，z2＝ 3 ，
∴ n 2 ＝ 1 ， 1 ，
3 . 3
∵n1· n2＝1－1＋0＝0， ∴n1⊥n2， ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.