[整理]D44有理函数积分.
44有理函数的积分知识讲解
44有理函数的积分知识讲解有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。
有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。
下面将介绍有理函数积分的知识。
一、分式分解要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。
分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。
分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。
若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。
二、基本积分公式有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。
常用的基本积分公式有以下几种：1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$三、换元积分法针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。
具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。
四、分步积分法对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。
具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。
然后，用分部积分法求解原式的积分。
总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。
44有理式的积分
dx _____________；
4、计算
dx
,令t ___,x ___,dx ____ .
ax b m
5、有理函数的原函数都是_________ .
二、求下列不定积分：
1、
x
1
xdx
x 2
x
3
；
3、
1
1 x
4
dx
；
5、
2
sin
x
dx cos
x
5
；
7、
1 x dx ； 1 x x
解决方法 作代换去掉根号.
例9
求积分
1 x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
t 2dt t2 1
2
1
t
2
1
1
dt
2t
ln
t t
1 1
C
2
1
x
x
ln
x
1
x
x
1 2
4、
sin 2 cos 3
x x
dx
；
6、
1
sin x sin
dx x
；
7、
3x
dx ；
x( x 3 x)
8、
(e
xe x x 1)2
dx
；
9、 [ln( x 1 x 2 )]2 dx ； 10、 1 x 2 arcsin xdx ；
高等数学课件D44有理函数积分
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积分的线性性质在解决实际问题中具有广泛的应 用，如求解积分方程、积分不等式等
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积分的线性性质还可以用于简化积分计算，提高 计算效率
积分的可加性
积分的可加性是指两个函数积分的 和等于它们积分的和
可加性可以用于求解一些复杂的积 分问题，例如积分的换元法
分解法
基本概念：将 函数分解为若 干个部分，分
别进行积分
适用范围：适 用于有理函数、 三角函数、指
数函数等
步骤：确定分 解方式，分别 进行积分，最
后合并结果
注意事项：分 解方式要合理， 避免产生不必
要的积分项
换元法
换元法是一种 常用的积分方 法，适用于有
理函数积分
换元法的基本 思想是将复杂 函数转化为简 单函数，从而 简化积分过程
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积分公式可以用于求解积分方程
有理函数的积分方法
第三章
直接积分法
直接积分法是一种常用的积分方法，适用于求解有理函数的积分
直接积分法的基本思想是将有理函数分解为若干个部分，然后分别进行积分
直接积分法需要掌握一些基本的积分公式和技巧，如换元法、分部积分法等
直接积分法在求解有理函数的积分时，需要根据函数的特点选择合适的积分方法，以 提高计算效率和准确性
应用范围：适用于 有理函数积分
积分步骤：先分解 为两个部分，然后 分别积分
注意事项：积分过 程中需要注意符号 的变化，以及积分 限的变化
积分公式的推导
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
其次，对P(x)和Q(x)进行分母有理 化，得到P(x)/Q(x)
有理函数积分表
有理函数积分表有理函数积分表是数学中的一个重要工具，用于求解有理函数的不定积分。
有理函数是指多项式函数与有理函数的商，其积分可以通过分部积分、换元积分等方法来求解。
本文将介绍有理函数积分表的使用方法及一些常见的有理函数积分公式。
有理函数积分表是一个包含各种有理函数积分公式的表格，它可以帮助我们快速求解有理函数的不定积分。
在使用有理函数积分表时，我们只需要查找相应的公式，并根据具体的问题进行运用即可。
下面是一些常见的有理函数积分公式：1. $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$这是最基本的有理函数积分公式之一，其中C为常数。
2. $\int \frac{1}{(x-a)^n}dx = \frac{1}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C$当$n \neq 1$时，其中a为常数，C为常数。
3. $\int \frac{1}{x^2 + a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C$其中a为常数，C为常数。
4. $\int \frac{1}{(x-a)(x-b)}dx = \frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{x-a}{x-b}\right| + C$其中a、b为常数，C为常数。
5. $\int \frac{ax+b}{x^2 + px + q}dx = \frac{a}{2} \ln |x^2 + px + q| + (b-ap) \int \frac{1}{x^2 + px + q}dx$其中a、b、p、q为常数。
这些公式只是有理函数积分表中的一小部分，实际上有理函数积分表中还包含许多其他的公式。
在使用有理函数积分表时，我们需要根据具体的问题选择合适的公式，并注意进行适当的变量代换或分部积分等运算。
有理函数积分表的使用方法并不复杂，但需要一定的数学基础和熟练的运算技巧。
在使用有理函数积分表时，我们需要先对给定的有理函数进行分解或化简，然后根据分解后的形式选择合适的公式进行求解。
高等数学课件上第44有理函数积分
积分公式的应用场景
物理、工程等领域的计算
解决实际问题，如计算面 积、体积等
数学建模，如微分方程、 积分方程等
科学研究，如统计、概率 等
计算机科学，如数值计算、 算法设计等
积分公式的推导过程
积分的定义：将函 数在某一区间上的 值进行求和，得到 该区间上的积分值
积分的性质：积分 具有线性性、可加 性、可乘性等性质
积分变换：用于进行有理函数的积分变 换
积分不等式证明：用于证明有理函数的 积分不等式
积分估计：用于估计有理函数的积分值
在其他数学分支中的应用
微积分：有理 函数积分是微 积分的重要内 容之一，广泛 应用于求解微 分方程、积分
方程等
概率论与数理 统计：有理函 数积分在概率 论与数理统计 中用于求解概 率密度函数、 概率分布函数
结果相加
注意事项：在分 解被积函数时， 需要注意分解后 的部分能否进行 积分，以及分解 后的部分能否相 加得到原被积函
数
三角换元法
基本思想：将复杂函数转化为简单函数，便于积分 步骤：选择适当的三角函数，将原函数进行变换 注意事项：选择合适的三角函数，注意变换后的函数形式 应用：适用于有理函数积分的计算，特别是含有三角函数的有理函数
适用条件：f(x)为有理函数，且积分区间为[a, b]
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
注意事项： a. 确保f(x)为有理函数 b. 积分区间[a, b]必须正 确 c. 计算过程中可能出现误差，需要多次计算以验证结果
《有理函数的积分》课件
有理函数积分的应
04
用
在微积分中的应用
计算定积分
证明数学定理
有理函数的积分可以用来计算定积分 ，特别是当被积函数为有理函数时。 通过计算有理函数的积分，可以得到 定积分的值。
有理函数积分在数学证明中也有广泛 应用。例如，可以通过有理函数积分 证明一些数学定理，如定积分的几何 意义等。
解决微分方程
详细描述
三角函数有理式是指分母和分子都包含三角函数的代数式，如 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$ 。求解这类有理函数的积分需要利用三角恒等式和有理函数的性质，如部分分式分解、三 角函数的倍角公式等。
举例说明
对于有理函数 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$，可以先将其转化为部分分式形式，然后利用三 角恒等式进行化简，最终得到其原函数。
有理函数的性质
总结词
有理函数具有一些重要的性质，如连续性、可微性等。
详细描述
有理函数在其定义域内是连续的，并且大部分情况下也是可微的。这意味着它们 的行为可以通过其导数来描述，这使得它们在微积分中有广泛的应用。
有理函数的分类
总结词
有理函数可以根据分子和分母的次数进行分类。
详细描述
有理函数可以根据分子和分母的次数被分为不同的类型。例如，如果分子和分母都是一次多项式，那么这个有理 函数被称为线性函数；如果分子和分母都是二次多项式，那么这个有理函数被称为二次函数，以此类推。此外， 根据分子和分母的符号，有理函数还可以被分类为正有理函数、负有理函数和无理函数等。
举例说明
对于有理函数 $frac{x^2+1}{x}$，可以先将其化为部分分式形式 $frac{x}{1} + frac{1}{x}$，然后分别对 每一部分进行积分，得到其原函数。
高等数学课件D44有理函数积分
对于假分式，可以通过 长除法将其化为多项式 与真分式的和，再对真 分式进行部分分式分解 和积分。
避免计算过程中常见错误
忽略定义域
在进行有理函数积分时，需要注 意函数的定义域，避免出现无意 义的积分结果。
计算错误
部分分式分解、长除法等计算过 程中，需要注意运算的准确性和 细节，避免因为计算错误导致最 终结果错误。
t$进行求解。
解答
原式$= arctan x + C$
03
实例2
04 求解$int
frac{3x+2}{x^2+4x+5} dx$
思路
05 将分子拆分为与分母相关的项
，再利用基本积分公式求解。
解答
06 原式$= frac{3}{2}
ln(x^2+4x+5) - arctan(x+2) + C$
假分式积分实例
策略1：因式分解
对于形如$frac{P(x)}{Q(x)}$的有理函数，其中$Q(x)$可因式分解，可将其拆分为多个简单真分式的和 进行积分。
复杂有理函数积分策略
策略2
部分分式分解
策略3
三角换元法或根式换元法
复杂有理函数积分策略
• 对于含有$\sqrt{a^2-x^2}$、 $\sqrt{x^2+a^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 等项的有理函数，可尝试使用三角换元法 或根式换元法进行积分。
部分分式分解法
01
将有理函数分解为部分分式的和。
02
对每个部分分式进行积分，利用基本积分公式和积分法则。
03
将积分结果相加，得到原函数的积分表达式。
长除法求余数法
高等数学课件D44有理函数积分
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例8. 求
1
2
解: 原式
cos x
dx
2
a tan x b
2
2
1 d tan x 2 2 a tan 2 x ( b ) a
1 a arctan( tan x ) C ab b
说明: 通常求含 sin x , cos x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p) N
Mp 2
再分项积分
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例2. 求 解: 已知
1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
b
2 2
cos
a sin x b cos x cos sin b 2 2 1 a a sin x cos x a b tan( x arctan ) C 2 2 2 2 2 2b a a b b a b
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(2) 用赋值法
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x3 A ( x 2) 原式 5 x 2 x 3 x 2 x3 6 B ( x 3) 原式 x 3 x2 x 3
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D44有理函数积分[同济大学高等数学]
cos
a2
b2 a
2
1ab22atabn2(
xsinaxrctanaba2b)bC2
cos
x
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例10. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
.
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 t sin x,
xa
C
2.
(x
A a)n
dx
A 1 n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
MxN 2 px
q
dx
4.
(
M x2
x px
N q)
n
dx
变分子为
M 2
(2x
p)
N
Mp 2
再分项积分
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例2. 求
解: 已知
1 (1 2x)(1 x2 )
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
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例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
4 2 22
2
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例8. 求
解:
原式
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第四章 不 定 积 分
一、 有理函数的积分
有理函数:
()()()P x R x Q x =101101n n n m m m
a x a x a
b x b x b --+++=+++ m n ≤时,()R x 为假分式;m n >时,()R x 为真分式
分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式，真分式可以分解成若干部分分式之和，其中部分分式的形式为
22;(N ,40)
()()k k A M x N k p q x a x p x q ++∈-<-++ 例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
222131(1);(2);(3).(1)56(12)(1)
x x x x x x x +--+++: (1) 用拼凑法
22211
1(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x ==----- 21(1)(1)
x x x =--- 2111(1)1x x x =
-+-- (2) 用赋值法 23356(2)(3)23
x x A B x x x x x x ++==+-+---- (2)A x ∴=-⋅|352
23x x x x +==-==-原式 (3)B x =-⋅3633
2x x x x +====-原式
故
(3) 混合法 21(12)(1)x x =++2121A Bx C x x
++++
(12)A x =+⋅4152
x ==-原式 0,1x =分别令代入等式两端得
2155
B C =-=， 原式 =214215121x x x ⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦
四种典型部分分式的积分:
1.
d ln A x A x a C x a =-+-⎰ 12.d ()(1)()1n n A A x x a C n x a n
-=-+≠--⎰ 23.d M x N x x px q +++⎰
24.
d ()n M x N x x px q +++⎰2(40,1)p q n -<≠ 例2. 求2d .(12)(1)x x x ++⎰
解: 已知22211421(12)(1)51211x x x x x x ⎡⎤=-+⎢⎥+++++⎣⎦ 222
2d(12)1d(1)1d 5125151x x x x x x ++∴=-++++⎰⎰⎰原式 2211ln 12ln (1)arctan 555
x x x C =
+-+++ 例3. 求22d .23x x x x -++⎰ 解: 原式dx x x x x x )3
213322221(22++-+++=⎰ dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=3
21332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)
2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=2
1arctan 23)32ln(212
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.
例4. 求32422255d .54
x x x I x x x +++=++⎰ 解:3242422525d d 5454
x x x I x x x x x x ++=+++++⎰⎰ 42242221d(55)25d 254(1)(4)
x x x x x x x x +++=+++++⎰⎰ 4211ln 54arctan arctan 222
x x x x C =+++++
例5. 求2
22d .(22)
x x x x ++⎰ 解: 原式22(22)(22)d (22)
x x x x x x ++-+=++⎰ 2222
d d(22)(1)1(22)x x x x x x ++=-++++⎰⎰ 21arctan(1)22x C x x =++
+++ 例6. 求4d 1x x +⎰
解: 原式224(1)(1)d 1
x x x x +--=+⎰ 2222
1122111111d d 22x x x x x x x x +-=-++⎰⎰ 112211d()d()112()22()2
x x x x x x x x -+=--++-⎰⎰
2C =+(0)x ≠ 二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
设(sin ,cos )R x x 表示三角函数有理式 ,令2tan x t =，则(sin ,cos )d R x x x ⎰
可表示为t 的
有理函数的积分。
例7. 求1sin d .sin (1cos )x x x x ++⎰
解: 令tan ,2
x t =则 22222222222sin cos 2tan 2sin sin cos 1tan 1x x x x x x t x t
===+++ 2
222
2222222222cos sin 1tan 1cos sin cos 1tan 1x x x x x x t x t
---===+++ 2
2d d 1x t t =+ 1sin d sin (1cos )x x x x ++⎰
2
222221*********d 2d 2 (1) t t t
t t t t t t t t ++-+++⎛⎫=⋅=++ ⎪+⎝⎭
⎰⎰ 2112ln 22t t t C ⎫⎛=+++⎪ ⎝⎭ 211tan tan ln tan 42222
x x x C =+++ 例8. 求2222d (0).sin cos x a b a x b x ≠+⎰
解: 21
cos 222222d 1d tan tan tan ()x
b a
x x a x b a x ==++⎰⎰原式 1arctan(tan )a x C a b b
=+ 说明: 通常求含22sin ,cos sin cos x x x x 及的有理式积分时, 用代换tan t x =往往更方
便 .
例9. 求21d (0).(sin cos )x ab a x b x ≠+⎰
解法 1
令tan t x = 原式2d (tan ) x a x b =+⎰
2d ()t a t b =+⎰
1()C a a t b =-++ cos (sin cos )
x C a a x b x =-++ 例10. 求324cos 2cos d .1sin sin x x x x x
-++⎰ 解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令sin ,t x = 原式222424(cos 2)cos d (sin 1) 1sin sin 1sin sin x x x x x x x x
-+==-++++⎰⎰ 221212422111d()(1)d d 1t 1()3t t t t
t t t t t t t +-+=-=-=-++++-+⎰⎰⎰
1t C =+
2C =+
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分.
例如:
(,R x x ⎰
令t =
(,R x x ⎰
令t =
(,R x x ⎰
令t =,.p m n 为的最小公倍数 例11.
求
⎰
解:
令,u =
322,d 3d x u x u u =-=
则原式223(1)1d 3d 11u u u u u u
-+==++⎰⎰ 13(1)d 1u u u
=-+
+⎰ 2123ln 1u u u C ⎡⎤=-+++⎣⎦
3233ln 1C =++
例12. 求
.
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有 原式5326d t t t t =
+⎰
216(1)d 1t t t t
=-+-+⎰ []3
211326ln 1t t t t C =-+-++
6ln (1C =+
例13. 求.x
解: 令,t =则22212d ,d 1(1)t t x x t t -==-- 原式2222(1)d (1)
t t t t t -=-⋅
-⎰ 2212d 2ln 11
t t t t C t t -=-=--+-+⎰
2
ln 221x C =-++ 内容小结
1. 可积函数的特殊类型
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定简便, 要注意综合使用基本积分法简便计算。