精品课件-电路与线性系统分析-第10章

第10章 变换与z域分析
10.1 变换的定义
10.2 变换收敛区及典型序列变换
10.3 变换的性质与定理
10.4 逆
变换
10.5 离散系统的复频域分析
10.6 离散系统的系统函数与系统特性
10.7 离散系统的模拟
习题十
第10章 变换与z域分析
变换的数学理论很早就形成了，但直到20世纪五六十年 代随着计算机的应用与发展，才真正得到了广泛的实际应用。 作为一种重要的数学工具，它把描述离散系统的差分方程变换 成代数方程，使其求解过程得到简化。还可以利用系统函数的 零、极点分布，定性分析系统的时域特性、频率响应、稳定性 等，是离散系统分析的重要方法。 变换在离散系统的作用与 地位，与拉氏变换在连续时间系统的作用相当。
cz <1或| z | 1 | cz |
第10章 变换与z域分析
当n≥0时，
X 2 z
c n xnz n
n0
1 1 cz 1
z zc
cz 1 <1或 c < z
讨论： (1) |c|<1，收敛的c|n|波形如图10.2-4所示。
X(z)=
X1(z)+
X2(z)1
cz cz
z zc
1
z1 c2
z k
z
m
k 0
m1
x k zk
k 0
x
k
z
k
zm
X
z
m1
k 0
xk
z
k
第10章 变换与z域分析
序列左移后的单边 特别的，
变换示意图如图10.3-1所示。
[x(n+1)u(n)]=zX(z) zx(0)
[x(n+2)u(n)]=z2X(z) z2x(0) zx(1)
图10.3-1 序列左移后的单边 变换示意图
变换为
X (z)
xnzn
n n1
当n1<0时，将右边序列的X(z)分为两部分
第10章 变换与z域分析
式中第①项是有限长序列，其收敛区为0≤|z|<∞；第②项只 有z的负幂项，若②收敛，|z| 一定不为0，所以其收敛区为RX≤|z|<∞，是以RX-为半径的圆外，且RX-一定大于零；综合①、
RX-<|z|<∞ (10.2-2)
1 a1z
1
1
1 a
1z
a 1z <1
z za
a>z
第10章 变换与z域分析
X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径的圆
外，而X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。
此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边
变
换， 不同序列的
变换表示式有可能相同，但各自的收
敛区一定不同。所以为了唯一确定
可利用u(n)的
变换，
n0
z n
1 1 z 1
z >1
第10章 变换与z域分析
等式两边分别对z-1
n0
n z 1 n1
n0
nzn1
1 1 z1 2
z2 z 1 2
两边各乘以z-1
n0
n z 1 n
z z 1 2
z >1
第10章 变换与z域分析
4. 实指数序列 (1) anu(n) (2) anu( n 1) 若 a=eb，则
第10章 变换与z域分析
5. 单边正、余弦序列 由指数序列的 变换
可推得
z ebu(n) z eb
e u j0n
n
z z e j0
z > eb z >1
第10章 变换与z域分析
将正、 余弦序列分解为两个指数序列
同理
第10章 变换与z域分析
6. 双边指数序列
x(n)=a n
a <1
X
(z)
式(10.2-2)表明右边序列的收敛区是以RX-为收敛半径的圆外。
第10章 变换与z域分析
当n1≥0时，X(z)的和式中没有z的正幂项，收敛区为RX-
<|z|≤∞。
例10.2-3
已知序列
x(
n)
1
n
u
n
3
， 求X(z)。
解：
第10章 变换与z域分析
此例收敛区是以X(z)的极点1/3 推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则右边
z1 a2
1 azz a
| a || z | 1 a
第10章
10.3
变换与z域分析
变换的性质与定理讨论的是序列时域与复频域之间的 对应关系、变换规律。它们既能揭示时域与复频域之间的内在 联系，又能提供系统分析、简化运算的新方法。
第10章 变换与z域分析
1. 线性
若
x(n) X(z)
RX
z
R X
第10章 变换与z域分析
(2) 若 x(n) u(n) X(z)，则
x(n
m)
u(n)
z
m
X
z
1
km
x
k
z
k
m>0
证
(10.3-4)
[ x(n m) u(n)]＝x n m zn x n m znmzm
n0
n0
令n m=k
z m
k m
x
k
z k
zm
k 0
第10章 变换与z域分析
10.2.1 变换的收敛区
对于任意给定的有界序列，使式(10.1-1)级数收敛的所有
z值称为X(z)的收敛区。我们举例说明式(10.1-1)收敛与否，
以及在什么范围收敛。
例10.2-1
已知序列
x1n
an 0
n0 n0
，x2
n
0 an
n0
n0 ，
分别求它们的 变换及收敛区。
变换存在， 收
RX-<|z|<RX+
(10.2-4)
式(10.2-4)表明双边序列的收敛区是以RX-为内径，以RX+为外径
的环形区；而当RX+<RX-时，X(z)的双边
变换不存在。
第10章 变换与z域分析
例10.2-5 已知双边序列x(n)=c|n|，c为实数，求X(z)。
解：
cn
x(n)=c
n
=
变换是复变量z的幂级数(也称罗朗级数)，其系数是序
列x(n)的样值。连续时间系统中，信号一般是因果的，所以主
要讨论拉氏单边变换。在离散系统分析中，可以用因果系统逼
近非因果系统，因此单边与双边
变换都要涉及。
变换也可用英文缩写ZT或
表示。
第10章 变换与z域分析
10.2 变换收敛区及典型序列
式(10.1-1)是双边 变换的定义， 根据其是否收敛以 及收敛条件， 决定了序列 变换是否存在以及存在的条件， 本节先就此进行讨论。
第10章
10.1
变换与z域分析
双边 变换的定义如下：
(10.1-1)
第10章 变换与z域分析
如果x(n)是因果序列， 则式(10.1-1)的 变换为 (10.1-2)
式(10.1-2)也称单边 变换。 可见因果序列的双边 变换 就是单边 变换，所以单边 变换是双边 变换的特例。
第10章 变换与z域分析
第10章 变换与z域分析
(3) 若x(n)为因果序列，x(n) u(n) X(z)，则
x(n m) u(n) z mX(z) m>0 (10.3-5)
xn
mun
z
m
X
z
m1 k 0
x
k
z k
1
k m
x
k
z
k
z
m
X
z
1 k m
xk zk
第10章 变换与z域分析
序列右移后单边 变换的示意图如图10.3-2所示。
图10.3-2序列右移后的单边 变换
特别的，
[x(n 1)u(n)]= z 1X(z)+x( 1) [x(n 2)u(n)]= z 2X(z)+ z 1x( 1) +x(
第10章 变换与z域分析
解 ：
X1 z an zn
az1 n
n0
n0
lim
n
1 az1 1 az 1
n
1
1 az
1
az 1 <1
z za
a<z
第10章 变换与z域分析
1
X2 z
anzn
a 1z
n
1
a 1z n
n
n1
n0
1 a1z n
1 lim n
第10章 变换与z域分析
例10.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。
解:
N 1
X (z) zn 1 z1 z2 z(N 1)
n0
1 1
zN z 1
收敛区为0<|z|≤∞
第10章 变换与z域分析
2.
右边序列是有始无终的序列， 即n2→∞，如图10.2-2所示。
右边序列的
变换所对应的序列，
双边
变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明
X(z)的收敛区。
第10章 变换与z域分析
任意序列 即
变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，
xnzn
n
(10.2-1)
下面利用式(10.2-1)讨论几类序列的收敛区。
第10章 变换与z域分析
1. 有限长序列
若有限长序列
xn
xn
x(n+m)