中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高）
【考纲要求】
1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．
锐角A 的对边与斜
边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c
∠==的对边斜边
；
锐角A 的邻边与斜
边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即
cos A b
A c
∠=
=的邻边斜边；
锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a
A A b
∠=
=∠的对边的邻边.
同理sin B b B c ∠=
=的对边斜边；cos B a
B c
∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成
，
，
，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记
号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，
、
、
常写成
、
、
．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就
C
a b
c
是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角
．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、
、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，
其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
考点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
考点四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
要点诠释：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点五、解直角三角形的常见类型及解法
已知条件解法步骤
Rt△ABC 两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
要点诠释：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
考点六、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
要点诠释：
1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 考点七、解直角三角形相关的知识
如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， (1)三边之间的关系：2
2
2
a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==
，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c
==，1
tan tan a A b B
=
=
． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则
由△CBD ∽△ABC ，得a 2
＝pc ；
由△CAD ∽△BAC ，得b 2
＝qc ；
由△ACD ∽△CBD ，得h 2
＝pq ；
由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．
(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则 ①CD ＝AD ＝BD ＝
1
2
AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝
1
2
AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c ab
r a b c
+-==
++． 直角三角形的面积： ①如图所示，111
sin 222ABC S ab ch ac B =
==△．（h 为斜边上的高） ②如图所示，1
()2
ABC S r a b c =++△． 【典型例题】
类型一、锐角三角函数的概念与性质
【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例2】
1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．
A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．
10 sin50°
(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝3
5
，求cosA+tanB的值．
(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．
【思路点拨】
(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．
(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．
(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．
【答案与解析】
(1)选B．
(2)在△ABC，∠C＝90°，
3
sin
5 BC
A
AB
==．
设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，
∴
4432 cos tan
5315
k k
A B
k k
+=+=．
(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°
∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝
2
3 AC
AD
=．
【总结升华】
已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；
(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己尝试完成．
举一反三：
【变式】（2015•乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB==，
AD==2
cosA===，
故选：D．
类型二、特殊角的三角函数值
【高清课堂：锐角三角函数综合复习 例1】
2．解答下列各题： (1)化简求值：
tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°
°°°°
；
(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．
【思路点拨】
第(2)题可以先利用关系式sin 2 A+cos 2
A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式． 【答案与解析】
解 (1)
tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°
°°°°
(2)∵12sin cos A A -
2(sin cos )|sin cos |A A A A =-=-，
∴12sin cos A A -cos sin (045)
sin cos (4590)
A A A A A A -<⎧=⎨
-<<⎩°≤°°°．
【总结升华】
由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2
． 例如，若设sin α+cos α＝t ，则2
1sin cos (1)2
t αα=-． 举一反三：
【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例1】 【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2
tan()3
β的值. 【答案】
∵3
sin 22
α
，且2α为锐角， ∴2α＝60°，α＝30°． ∴12cos sin 22
βα=
=
=， ∴β＝45°． ∴2
3tan()tan 3033
β==
°． 3．（2015春•凉州区校级月考）如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求： （1）tanC 的值；（2）sinA 的值．
【思路点拨】
（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ，利用面积公式求出高AD 的长，从而求出BD 、CD 、AC 的长，此时再求tanC 的值就不那么难了．
（2）同理作AC 边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA 的值． 【答案与解析】 解：（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ． ∵S △ABC =BC •AD=84， ∴
×14×AD=84，
∴AD=12． 又∵AB=14， ∴BD=
=9．
∴CD=14﹣9=5． 在Rt △ADC 中，AC==13，
∴tanC=
=
；
（2）过B 作BE ⊥AC 于点E ． ∵S △ABC =AC •EB=84， ∴BE=
，
∴sin ∠BAC===．
【总结升华】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，以及解直角三角形公式的灵活应用． 举一反三：
【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到)
【答案】过点C 作CD ⊥AB 于点D.
E
A
B
C
CD 就是连接两岸最短的桥.设CD=x （千米）. 在直角三角形BCD 中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.
在直角三角形ACD 中，∠ACD=30°，所以AD=CD ×tan ∠ACD=x ·tan30°=
x.
因为AD+DB=AB ，所以x+x=3，x=≈
答：从C 处连接两岸的最短的桥长约为. 类型三、解直角三角形及应用
4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5
DCB ∠=
， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长． 【思路点拨】
解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程． 【答案与解析】
解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°．
∵
4
cos 5
CD DCE CE =∠=， 设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ．
∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高相同，
∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△．
即55
3533
AC DE k k =
=⨯=． ∴44
tan 55
CD k A AC k ===．
∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k =
+==．
∴AB ＝AD+DB ＝AD+3
2
AD ＝541． 【总结升华】
在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等． 5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到)．(参考数据：sin10°≈°≈°
≈°≈°≈°≈ 【思路点拨】
本题是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解． 【答案与解析】
解：如图所示，延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝DB ·sinl5°≈50× CE ＝BF ＝DB ·cos15°≈50× ∴AE ＝CE ·tan10°≈× ∴≈
答：树高约为． 【总结升华】
一些特殊的四边形，可以通过切割补图形的方法将其转化为若干个直角三角形来解． 举一反三：
【变式】如图所示，正三角形ABC 的边长为2，点D 在BC 的延长线上，CD ＝3．
(1)动点P 在AB 上由A 向B 移动，设AP ＝t ，△PCD 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，设PC ＝z ，求z 与t 之间的函数关系式． 【答案】
解：(1)作PE ⊥BC 于E ，则BP ＝AB-AP ＝2-t(0≤t ＜2)． ∵∠B ＝60°， ∴113
3
sin (2)2222
PCD S CD PE CD BP B t =
==-△， 即3333
(02)42
y t t =-
+≤<． (2)由(1)不难得出，3(2)2PE t =-，1
(2)2
BE t =-． ∴11
2(2)(2)22EC BC BE t t =-=-
-=+． ∵222222
31(2)(2)2444
PC PE EC t t t t =+=-++=-+．
∴224(02)z t t t =-+≤<．
6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子与地面的倾斜角α
为60°．
(1)求AO 与BO 的长．
(2)若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．
①如图(2)所示，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD ＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑了多少米；
②如图(3)所示，当A 点下滑到A ′点，B 点向右滑行到B ′点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ′
点，若∠POP ′＝15°，试求AA ′的长．
【思路点拨】
（1）在直角△AOB 中，已知斜边AB ，和锐角∠ABO ，即可根据正弦和余弦的定义求得OA ，OB 的长；
（2）△APO 和△P′A′O 都是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等，即可求得∠PAO 的度数， 和∠P′A′O 的度数，在直角△ABO 和△A′B′O 中，根据三角函数即可求得OA 与OA′，即可求得AA′的长．
【答案与解析】
解：(1)Rt △AOB 中，∠O ＝90°，α＝60°，
∴∠OAB ＝30°．又AB ＝4米，
∴OB ＝12
AB ＝2米．
OA ＝AB ·sin 60°＝4×
2＝米)． (2)①设AC ＝2x ，BD ＝3x ，
在Rt △COD 中，
OC ＝2x ，OD ＝2+3x ，CD ＝4，
根据勾股定理：OC 2+OD 2＝CD 2
，
∴2222)(23)4x x ++=．
∴213(120x x +-=．
∵x ≠0，∴13120x +-=．
∴1213
x =．
24213
AC x ==．
即梯子顶端A 沿NO 下滑了
2413米． ②∵点P 和点P ′分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A ′OB ′的斜边A ′B ′的中点，
∴PA ＝PO ，P ′A ′＝P ′O ．
∴∠PAO ＝∠AOP ，∠P ′A ′O ＝∠A ′OP ′．
∴∠P ′A ′O-∠PAO ＝∠POP ′＝15°．
∵∠PAO ＝30°，
∴∠P ′A ′O ＝45°．
∴A ′O ＝A ′B ′·cos 45°＝42
⨯=
∴AA ′＝OA-A ′O ＝米．
【总结升华】
解答本题的关键是理解题意．此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠P′A′O=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版锐角三角函数
锐角三角函数 ◆ 课前热身 1．sin30°的值为（ ） A B C ． 12 D 2.在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90o，则sin A 等于（ ） A ． 12 B C D ．1 3.在Rt ABC △中，9032C AB BC ∠===° ，，，则cos A 的值是 ． 4．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA= 4 3 ，则AC 的长是 5.计算：tan 60°=________． ◆考查重点与常见题型 1.求三角函数值，常以填空题或选择题形式出现； 2.考查互余或同角三角函数间关系，常以填空题或选择题形式出现； 3.求特殊角三角函数值的混合运算，常以中档解答题或填空题出现. ◆典例精析 例1：已知在Rt ABC △中，3 90sin 5C A ∠==° ，，则tan B 的值为（ ） A ． 4 3 B ． 45 C ．54 D ． 3 4 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c = ，tan b B a = 和222a b c +=；由3s i n 5 A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222 a b c +=得 4b x =；∴44 tan 33b x B a x ===，所以选A ． 例2：104cos30sin60(2)2008)-??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 10 4cos30sin60(2)2008)-??+--=13 4122 ??+--= ???，故填32．
例3：先化简．再求代数式的值．22 ()211 1a a a a a ++÷ +-- 其中a ＝tan60°－2sin30°． 【分析】此题考查了分式的混合运算，计算时，可以先算括号里的，也可利用乘法分配律进行计算，注意约分.另外在计算a 的值时，特殊的三角函数要记准确. 【答案】原式2(1)(2)13(1)(1)1 a a a a a a a -++-= = +-+ 当1 tan 602sin 30212a =-=?=°° 时，原式== 一、选择题 1.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ． sin 2A = B ．1tan 2A = C ．cos 2 B = D ．tan B = 2．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ） A ． 3 4 B ． 43 C ．35 D ．45 3．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ） A ．2cm 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ． 2 2 5 60° P Q 2cm α B C A
中考复习： 锐角三角函数
中考复习：锐角三角函数 知识梳理 一、 锐角三角函数（正弦、余弦、正切） 1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边。 把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即 ； 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即 。 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。 当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。 2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。 3、取值范围： 当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。 4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。 5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 二、300、450、600 的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三、解直角三角形 b cos c A A ∠= =的邻边斜边a tan b A A A ∠= ∠的对边＝ 的邻边C ∠A 的邻边b ∠A 的对边a
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。 1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是： （1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝b c ，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a 。 （2）两锐角之间的关系： A ＋B ＝90°。 （3）三条边之间的关系： 。 2、解直角三角形的基本类型和方法： 已知条件 解法 一边及 一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c=sin a A 斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA 两边 两条直角边a 和b ，B ＝90°-A ， 直角边a 和斜边c sinA= a c ，B ＝90°-A ， 典型例题及变式 1、【2013●兰州】△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、△C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ） A ．csinA =a B ．bcosB =c C ．atanA =b D ．ctanB =b 考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义。 分析：由于a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，且△C =90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项。 解答：解：△a 2+b 2=c 2， △△ABC 是直角三角形，且△C =90°。 A ．sinA = ，则csinA =a ．故本选项正确； B ．cosB = ，则cosBc =a ．故本选项错误； a c a c
初中数学锐角三角函数综合复习讲义
初中数学锐角三角函数综合复习讲义 一、研究概念 1、产生的背景：直角三角形的边与角之间的关系 2、明确概念：正弦 阐述概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦，记作sinA 3、本质：特殊的实数 4、知识点产生的条件： [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角 5、特征： 正弦 [定义] 在△ABC 中， ∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的 比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA= ∠A 的对边 斜边 [特殊字母] sinA= a c sinB=b c (∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→ [表示法] cosA= ∠A 的邻边 斜边 [特殊字母] cosA= b c cosB=a c (∠A+∠B=90°) sinA= a c = cosB= cos (90°—∠A) cosA=b c = sinB= sin (90°—∠A) 定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表 示法] tanA= ∠A 的对边 邻边 特殊字母] tanA= a b tanB=b a (∠A+∠B=90°) 余切 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切 →[表示法] cotA= ∠A 的邻边 对边 [特殊字母] cotA= b a cotB= a b (∠A+∠B=90°) tanA= a b = cotB= cot (90°—∠A) C B A c b a
中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附详细答案
中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附详细答案 一、锐角三角函数 1．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数： （1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为； （2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数． （3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析. 【解析】 分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； 详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF， ∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC． ∵∠FAC=∠C=90°，
∴△FAE ≌△ACD ， ∴EF=AD=BF ，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF ， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°． （2）（1）中结论不成立，理由如下： 如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ， ∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF ，BF=AD ． ∵3BD ，3AE ， ∴ 3AC CD BD AE ==． ∵BD=AF ， ∴ 3AC CD AF AE ==． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE ∽△ACD ， ∴ 3AC AD BF AF EF EF ===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． 在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=3 EF BF = ∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°， （3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，
中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)含详细答案
中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)含详细答案 一、锐角三角函数 1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC． (1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°； (3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长. 图1 图2 【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析 （2）证明见解析 （3）=2π 【解析】 试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH （2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明 （3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：（1）BE=FH．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°， ∵FH⊥BC ∴∠FHE=90° 又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF ∴△ABE≌△EHF（SAS） ∴BE=FH (2)∵△ABE≌△EHF ∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH" ∴CH=FH ∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45° ∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45° ∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90° （3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形 △AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
中考数学专题复习10锐角三角函数及其运用(解析版)
锐角三角函数及其运用复习考点攻略 考点一 锐角三角函数 1. 锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中.∠C =90°.AB =c .BC =a .AC =b . 正弦：sin A = ∠的对边=斜边A a c ； 余弦：cos A = ∠的邻边=斜边A b c ； 正切：tan A = ∠的对边=邻边A a b ． 【注意】根据定义求三角函数值时.一定要根据题目图形来理解.严格按照三角函数的定义求解.有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 2
【例2】A ． B C D ．1 【答案】C 【解析】把sin45° =代入原式得：原式 =2× ．故选C ． 考点三 解直角三角形 1．在直角三角形中.求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中.∠C =90°.则： （1）三边关系：a 2+b 2=c 2； （2）两锐角关系：∠A +∠B =90°； （3）边与角关系：sin A =cos B =a c .cos A =sin B =b c .tan A =a b ； （4）sin 2A +cos 2A =1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边.正弦、余弦很方便； 已知直边求直边.理所当然用正切； 已知两边求一边.勾股定理最方便； 已知两边求一角.函数关系要记牢； 已知锐角求锐角.互余关系不能少； 已知直边求斜边.用除还需正余弦. 【例3】如图.我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD .DC ∥AB ,BC 长为6米.坡角β为45°.AD 的坡角α为30°.则AD 的长为 ________ 米 （结果保留根号） 2sin 2 22
初中数学锐角三角函数的知识点总复习有答案解析(1)
初中数学锐角三角函数的知识点总复习有答案解析(1) 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（83，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时△BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积，即可得出本题的答案； 【详解】 解：当0 ∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°， ∴CP=BC×sin60°=8× 3 2 =43，BP=4， BN=4x，BM=2x， 2 42 BM x x BP ==， 2 BN x BC =， ∴= BM BN BP BC ， 又∵∠NBM=∠CBP， ∴△NBM∽△CBP， ∴∠NMB=∠CPB=90°， ∴ 11 44383 22 CBP S BP CP =??=??= V ； ∴ 2 NBM CBP S BN S BC ?? = ? ?? V V ， 即y= 22 2 83=23 2 NBM CBP BN x S S x BC ???? =?=? ? ? ???? V V ， 当2 中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解锐角三角函数是初中数学中的一个重要内容，也是中考数学考试中常考的内容之一、掌握了锐角三角函数的定义、性质和相关的计算方法，可以帮助我们解决与角度有关的各种问题，如计算角度的大小、求角的三角函数值等。下面是锐角三角函数的综合复习知识讲解。 1.弧度制和角度制 在介绍锐角三角函数之前，我们首先要了解弧度制和角度制。在角度制中，一个圆的周长被定义为360度，而在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。所以可以得到以下关系： 360度=2π弧度 180度=π弧度 90度=π/2弧度 2.定义 对于任意一个锐角A，我们可以在一个单位圆上面取点P，使得∠POA 的顶点为O，点O为圆心，点P在单位圆上。这样，我们可以定义以下几个锐角三角函数：正弦函数sinA、余弦函数cosA、正切函数tanA、余切函数cotA。 3.性质 (1) 正弦函数sinA：在单位圆上，点P的纵坐标就是正弦值sinA。 (2) 余弦函数cosA：在单位圆上，点P的横坐标就是余弦值cosA。 (3) 正切函数tanA：tanA的值等于sinA/cosA。 (4) 余切函数cotA：cotA的值等于cosA/sinA。 (5) 错位现象：sinA等于cos(90度-A)，cosA等于sin(90度-A)。 4.基本关系式 (1) sin²A + cos²A = 1，即sin²A = 1 - cos²A，cos²A = 1 - sin²A。 (2) tanA = sinA/cosA，cotA = 1/tanA = cosA/sinA。 (3) sin(180度 - A) = sinA，cos(180度 - A) = -cosA。 (4) cos(360度 - A) = cosA，sin(360度 - A) = -sinA。 5.锐角三角函数的值 (1)0度、30度、45度、60度、90度的正弦、余弦、正切值是特殊的，需要进行熟记。 (2)根据基本关系式，可以推导出其他角度的三角函数值，利用这些角度的三角函数值可以进一步求出其它任意角度的三角函数值。 6.角度的计算 (1)已知三角函数值，求角度：根据三角函数的定义和性质，可以得到一些角度的三角函数值，进而求得这个角度的数值。 (2)已知两个角度的三角函数值，求这两个角度的关系：根据三角函数的定义和性质，可以得到两个角度的三角函数值，根据这些三角函数值的关系，可以得到这两个角度之间的关系。 7.三角函数的图像 初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90 B 90∠-︒=∠︒ =∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90 B 90∠-︒=∠︒ =∠+∠得由B A 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 9、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 :i h l =h l α 初中数学 锐角三角函数要点集锦 考点考纲要求分值考向预测 锐角三角函数要点1. 理解正弦、余弦、正切的定义及计 算公式； 2. 能够推导并掌握特殊角的三角函 数值； 3. 能够理解与锐角三角函数有关的 公式。 3~5分 主要考查为利用三角函数 的定义求值，利用特殊角的三角 函数值进行计算，难度不大，分 值也不高，理解定义是解决问题 的关健。 一、锐角三角函数基本定义： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A；把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A。即： sinA＝；cosA＝；tanA＝。 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。 A B C a b c对边邻边 斜边 【随堂练习】 （贵阳）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为（） A. B. C. D. 思路分析：首先画出图形，进而求出AB的长，再利用锐角三角函数求出即可。 答案：解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB＝＝＝13，则sinA＝＝，故选：D。 三角函数 角度α sinαcosαtanα 30° 45° 1 60° 【重要提示】 1. 各三角函数值可通过直角三角形性质及勾股定理求出边长从而求出比值； 2. 锐角三角函数值的取值范围及增减情况： ①∠A的正弦函数、余弦函数的取值范围是：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，即任意锐角的正弦、余弦值都大于0而小于1；而正切是两直角边的比，所以∠A的正切函数取值范围是：tanA＞0，即任意锐角的正切值都大于0。 ②当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。 三、同角、互余两角的锐角三角函数值的关系： 1. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值； 即：。 2. 任意锐角的正切值等于它的正弦与余弦的比值； 即：tanA＝。 3. 同角的正、余弦的平方和等于1（可通过定义及勾股定理证明得出） 即：sinA2＋cosA2＝1 sinB2＋cosB2＝1。 例题1 （苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8。若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝。 思路分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE＝∠BAC，故∠BPC＝∠BAE，再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC＝tan∠BAE＝＝。 答案：解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC＝5，∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC， ∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE。 在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝＝＝3， ∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝＝。故答案为：。 第二十八讲 锐角三角函数 一.考点分析 考点一.特殊角的三角函数值的计算 例题1.先化简，再求代数式429 6)211(2-+-÷ --a a a a 的值，其中︒+︒=45tan 330cos 4a . 例题2.已知α为锐角，且2 3 )15sin(= ︒+α，计算απαtan )14.3(cos 480+---的值. 考点二.直角三角形的边角关系 例题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD 的是（ ） A.BC BD B.AB BC C.BC CD D.AC CD 例题2.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，则CB 的长为 . 例题3.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=3 1 ，AD=1. （1）求BC 的长； （2）求tan ∠DAE 的值. 例题4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=33，解这个直角三角形. 考点三.锐角三角函数的实际应用 例题1.如图,小明想测量塔CD 的高度，他在A 处仰望塔顶,测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处，测得仰角为60°，那么该塔有多高?(结果保留根号). 例题 2.为了做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE 的坡度i=1:1（即DB ：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）. 例题3.如图所示，在一次实践活动中，小兵从A 地出发，沿东北方向行进了35千米到达B 地，然后再沿西北方向行进了5千米到达目的地C. （1）A ，C 两地的距离为 千米； （2）试确定目的地C 在A 地的什么地方？ 二.同步练习 1.把△ABC 三边的长度都缩小为原来的1 3 ，则锐角A 的正弦值（ ） A. 不变 B.缩小为原来的1 3 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 2.如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点A （2，1），则 cos 的值是（ ） A. 55 B.5 52 C.21 D.2 3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若2 3 ，则cosB 的值等于（ ） A. 1 22223 D.1 图形的变化——锐角三角函数1 一．选择题（共9小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（） A．B．C．D． 2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（） A．B． C． D． 3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（） A．2 B．8 C．2 D．4 4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（） A． B． C． D． 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A．B．C．D． 6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（） A．2 B．1 C． D． 7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（） A．45° B．60° C．75° D．105° 8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（） A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2， 9在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（） A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50° 二．填空题（共8小题） 10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是 _________ ． 11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是_________ ． 12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= _________ ． 13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=_________ ． 14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= _________ ． 28锐角三角函数 一、知识性专题 专题1：锐角三角函数的定义 【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主． 例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A．sin A＝3 B．tan A＝ 1 2 C．cos B＝ 3 2 D．tan B＝3 专题2 特殊角的三角函数值 【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．例4 计算|－3|＋2cos 45°－31)0． 例5 计算－ 1 2 ⎛⎫ - ⎪ ⎝⎭ 9(－1)2007－cos 60°． 例6 计算|2|＋(cos 60°－tan 30°)08 例7 计算 3 1 2 - ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ －(π－3.14)0－|1－tan 60°| 32 - . 专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用 【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力. 例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC 边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝4 5 ． (1)求线段DC的长； (2)求tan∠EDC的值. 例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos ∠DAC. (1)求证AC＝BD； (2)若sin C＝12 13 ，BC＝12，求AD的长． 例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC ＝30＋3AB的长． 专题4 用锐角三角函数解决实际问题 【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法．例11 如图28－127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种 测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到 水平地面上的距离AB． (1)画出测量示意图； (2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)； (3)根据(2)中的数据计算AB． 中考数学专题训练（附详细解析） 锐角三角函数 1、（专题•天津）tan60°的值等于（ ） A. 1 B. V2 C. V3 D. 2 考点：特殊角的三角函数值. 分析：根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案. 解答：解：伽60。=/5. 故选C. 点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内 容. 2、（专题•温州）如图，在Z\ABC 中，ZC=90°, A. 3 1 考点：锐角三角函数的定义 分析：利用正弦函数的定义即可直接求解. 解峯解：sinA 盘更. AB 5 故选C. 点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的止弦为对边比斜边, 余弦 为邻边比斜边，正切为对边比邻边. 3、（专题•雅安）如图，AB 是OO 的直径，C 、D 是。O 上的点，ZCDB=30%过点C 作。O 的 切线交AB 的延长线于E,则sinZE 的值为（ ） 考点：切线的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值. AB=5, BC=3,则 sinA 的值是( B. 4 D. _4 A. B. C. D. B 分析：首先连接0C,由CE是（DO切线，可得OC丄CE,由圆周角定理，可得ZBOC=60°, 继而求得ZE的度数，则可求得sinZE的值. 解答：解：连接OC, VCE是OO切线， AOC I CE, 即ZOCE 二90。， •・• ZCDB=30°, /. ZCOB=2ZCDB=60°, /. ZE=90°・ ZCOB=30°, ・ *.sinZE=. 故选A. 点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用. 4、（专题•包头）3tan3O°的值等于（） A. V3 B. 3^3 C・勺@ D・3 考点：特殊角的三角函数值. 分析：直接把tan30。二亚代入进行计算即可. 3 解答：解：原式二3垃沁. 3 故选A. 点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键. 5、（专题•孝感）式子2cos30° - tan45° - —的值是（） A. 2忑_2 B. 0 C. 2品 D. 2 考点：特殊角的三角函数值. 分析：将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案. 解答：解:原式=2恣・1 ■（后1） 2 =V3- 1 - V3+1 =0. 中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高） 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠= =∠的对边的邻边． 要点诠释： C a b (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、 、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就 是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： ︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、s i n0 、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大， 其变化规律可以总结为： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 考点三、锐角三角函数之间的关系 2020年中考数学考点提分专题十二锐角三角函数（解析版） 必考点1 锐角三角函数：在直角三角形ABC 中，∠C 是直角， 1、正弦：把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作c a A = sin 2、余弦：把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作c b A =cos 3、正切：把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作b a A =tan 4、余切：把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作a b A =cot 说明：由定义可以看出tanA ·cotA ＝l （或写成A A cot 1tan =） 5、锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 说明：锐角三角函数都不能取负值。 0＜ sinA ＜ l ； 0＜cosA ＜；l 6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 即sinA ＝cos （90°一 A ）＝cosB ；cosA ＝sin （90°一A ）＝sinB 7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 即tanA ＝cot （90°一 A ）＝cotB ；cotA ＝tan （90°－A ）＝ tanB 说明：式中的90°一A = B 。 8、三角函数值的变化规律 （1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 9、同角三角函数关系公式 （1）1cos sin 22=+B A ；（2）A A cot 1tan = ；（3） tanA ＝A A cos sin 10．一些特殊角的三角函数值 备战中考数学一一锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案 —、锐角三角函数 1•图1是一种折叠式晾衣架•晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚0C= 0D= 10分米，展开角 / COD= 60°晾衣臂0A= OB= 10分米，晾衣臂支架HG =FE= 6分米，且H0= F0= 4分米.当/ AOC= 90°时，点A离地面的距离AM为______________ 分米；当OB从水平状态旋转到OB （在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB上 【解析】 【分析】 如图，作OP丄CD于P, OQ丄AM于Q, FK丄OB于K, FJL OC于J.解直角三角形求出MQ , AQ 即可求出AM，再分别求出BE, B'即可. 【详解】 解：如图，作OP丄CD于P, OQ丄AM于Q, FK丄OB于K, FJ丄OC于J. •/ AM 丄CD, ••• / QMP= / MPO = / OQM = 90 ° •••四边形OQMP是矩形， •- QM = OP, •/ OC= OD= 10, / COD= 60； •△ COD是等边三角形， T OP 丄CD, 1 •/ COP= / COD= 30 ； 2 • QM = OP= OC?cos30 =°、、3 （分米）， •/ / AOC= / QOP= 90 ； •/ AOQ= / COP= 30 : 1 • AQ= — OA= 5 （分米）， 2 • AM = AQ + MQ = 5+ 5 ■::. •「OB// CD, •/ BOD= / ODC= 60 ° 在Rt A OFK中，KO= OF?cos60= 2 （分米），FK= OF?sin60°= 2 3 （分米）， 在Rt A PKE中，EK= EF2―FK2 = 2、百（分米）， BE= 10-2-2,6 =（ 8-2 6 ）（分米）， 在Rt A OFJ中，OJ= OF?cos60= 2 （分米），FJ= 2 3 （分米）， 在Rt A FJE中，E J62（2后=2晶, ••• B' =10- （2 .6 -2）= 12-2 6 , • B' E'=4E r 故答案为：5 + 5 3 , 4. M F ,0 ⎪ ， F (5,0) ；② 的最大值为 . 【答案】（1）见解析；（2）① 1 ⎝ 31 ⎭ CF 2 ②作 GM ⊥ BC 于点 M ，证明 ∆ANF ~ ∆ABC ，得 中考数学锐角三角函数的综合复习含详细答案 一、锐角三角函数 1．已知在平面直角坐标系中，点 A (3,0 ), B (-3,0 ), C (-3,8 )，以线段 BC 为直径作圆， 圆心为 E ，直线 AC 交 e E 于点 D ，连接 OD . （1）求证：直线 OD 是 e E 的切线； （2）点 F 为 x 轴上任意一动点，连接 C F 交 e E 于点 G ，连接 BG ： ①当 tan ∠ACF = 1 7 时，求所有 F 点的坐标 （直接写出） ； ②求 BG CF 的最大值. ⎛ 43 ⎫ BG 1 2 【解析】 【分析】 （1）连接 DE ，证明∠ EDO=90°即可； （2）①分“ F 位于 AB 上”和“ F 位于 BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； 【详解】 （1）证明：连接 DE ，则： 1 BG 1 ≤ ，从而得解. CF 2 ∵ BC 为直径 ∴ ∠BDC = 90︒ ∴ ∠BDA = 90︒ ∵ OA = OB ∴ OD = OB = OA ∴ ∠OBD = ∠ODB ∵ EB = ED ∴ ∠EBD = ∠EDB 31 31 F ,0 ⎪ 即 1 ∴ ∠EBD + ∠OBD = ∠EDB + ∠ODB 即： ∠EBO = ∠EDO ∵ CB ⊥ x 轴 ∴ ∠EBO = 90︒ ∴ ∠EDO = 90︒ ∴ 直线 OD 为 e E 的切线. （2）①如图 1，当 F 位于 AB 上时： ∵ ∆ANF ~ ∆ABC 1 ∴ AN NF AF = 1 = 1 AB BC AC ∴ 设 AN = 3x ，则 NF = 4 x , AF = 5x 1 1 ∴ CN = CA - AN = 10 - 3x ∴ tan ∠ACF = F N 4 x 1 10 1 = = ，解得： x = CN 10 - 3x 7 31 ∴ AF = 5x = 1 50 31 50 43 OF = 3 - = 1 ⎛ 43 ⎫ ⎝ 31 ⎭ 如图 2，当 F 位于 BA 的延长线上时： ∵ ∆AMF ~ ∆ABC 2 ∴ 设 AM = 3x ，则 MF = 4 x , AF = 5x 2 2 ∴ CM = CA + A M = 10 + 3x ∴ tan ∠ACF = F M 4x 1 2 = = CM 10 + 3x 7 解得： x = 2 5中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解
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