初三数学复习_数与式(知识点讲解)

初三数学复习 数与式

第一课时 实数的有关概念

【知识要点】

（一）实数的有关概念

（1）实数的分类

当然还可以分为：正实数、零、负实数。

有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数

（2）数轴：

数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一一对应的，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。

（3）绝对值

绝对值的代数意义：||()()()a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩

⎪0000 绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。

（4）相反数、倒数 实数的相反数记为－，非零实数的倒数记为，零没有倒数。a a a 1a

若a 、b 两个数为互为相反数，则a+b=0。

若m 、n 两个数互为倒数，则m ·n=1。

（5）三种非负数： ||()a a a a ，，都表示非负数。20≥

“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。

（6）平方根、算术平方根、立方根的概念。

如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有 一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作 ．一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作 ．

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧—无限不循环小数

—无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数

（7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。

1.近似数： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．

2.有效数字： 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．

3.科学记数法： 把一个数用 (1≤ ＜10，n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．

【典型例题：】

P2例1、(2012贵州六盘水，5，3分)13，πcos 45︒，0.32 中无理数的个数是（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

点评：此题主要考查了无理数的定义，其中：

（1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．

（2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．

（3）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不环小数不能化为分数，它是无理数．

P2例4、（2012·湖北省恩施市，题号16 分值 4）观察下表：

根据表中数的排列规律，B+D=_________.

例题补充、（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+111

，第2位同学报⎪⎭

⎫ ⎝⎛+121，…

这样得到的20个数的积为_________________.

第二课时：实数的运算及比较大小

【知识要点】

一、实数的运算

1.加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．

2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数．

3.乘法：几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

4.除法：除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．

5.乘方与开方

(1)a n所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．

(3)零指数与负指数

二、实数大小的比较

1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.

3.对于实数a、b，若a-b＞0 a＞b；a-b=0 a=b；a-b＜0 a＜b.

4.对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c.

5.无理数的比较大小：

利用平方转化为有理数：如果a＞b＞0，a2＞b2 则a＞b ；

或利用倒数转化：如比较与.

三、实数运算顺序

加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如

果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．

四、实数的运算律

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

【典型例题：】

P3例3（2012山东省聊城，10，3分）如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）

A. 1+3

B. 2+3

C. 23-1

D. 23+1

P4例 4(2012广东汕头，21，7分)观察下列等式：

第1个等式：a 1==×（1﹣）； 第2个等式：a 2==×（﹣）； 第3个等式：a 3==×（﹣）； 第4个等式：a 4==×（﹣）；

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a 5= = ；

（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n = = （n 为正整数）；

（3）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值．

第三课时：整式与因式分解

（一）：【整式知识梳理】

代数式的分类

1.整式有关概念 （1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中____________叫做这个单项式的系

数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；

（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。____________ 叫做常数项。

多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。多项式中____________的个数，就是这个多

项式的项数。

2.同类项、合并同类项

（1）同类项：________________________________ 叫做同类项；

（2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项；

（3）合并同类项法则：

（4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________

括号前是“－”号，________________________________

（5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“－”号，

括到括号里的各项的符号都 。

3.整式的运算

（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。

（2）整式的乘除法：

4.幂的运算：

同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。即：n m n m a a a

+=⋅（m ,n 都是正整数）。 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：()mn n m a a =（m ,n 都是正整数）

。 积的乘方等于每一个因数乘方的积。即：()n n n b a ab =（n 是正整数）

同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：n m n m a a a -=÷（ ），

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式

5、整式的乘法：

（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

（2）单项式乘以多项式：。

（3）乘法公式：

平方差：。

完全平方公式：。

6.整式的除法：（1）单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里

含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。

（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．7.代数式的化简求值

含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分。再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质，配方法、乘法公式等化简计算。

（二）【因式分解知识梳理】

1．分解因式：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

2．分解困式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

⑵运用公式法：平方差公式: ；

完全平方公式: ；

3．分解因式的步骤：

（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．

（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。

【典型例题：】

P6例4、分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（）

A．（x-1）（x-2） B．x2 C．（x+1）2 D．（x-2）2

P6例5( 2012年浙江省宁波市,20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

第1个第2个第3个第4个

（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？

（2）第几个图形有2013颗棋子？说明理由。

第四课时分式

【整式知识梳理】

1．分式有关概念

（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：

①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且

____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。

（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。

（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。

2．分式性质：

（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个，分式的值．

（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。即：

3.分式的运算：

注意：为运算简便，①若分式的分子与分母的各项系数是分数或小数时，一般要化为整数。

②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。

（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先，化为的分式，然后再按进行计算

（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式：；（3）分式乘方是____________________，公式_________________。

4．分式的混合运算顺序，先，再算，最后算，有括号先算括号内。

5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．

【典型例题：】

类型一：分式的基本性质

例2、（2012浙江省义乌市，8，3分）下列计算错误．．

的是( ) A B C D 类型二：分式化简求值

例、2012广东肇庆，20，7）先化简，后求值：1

)111(2-÷-+

x x x ，其中x =-4． 第五课时 数的开方与二次根式

【知识梳理】

1.

a ≥0）的式子叫做二次根式。

注意：（1）在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0

，等是二次根式，

（2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0

二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

（3

a ≥0）

a ≥0）表示a

a ≥0）是一个

0（a ≥0）。

2.、最简二次根式：同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；

②被开方数中含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。

3.、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。

4.、二次根式的性质

（1

）2a =（a ≥0）

描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注意：

二次根式的性质公式2a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0

，则2a =

，如：22=

，212=。 b a b a b a b a -+=-+727.02.0y x y x y x =32231-=--a b b a c

c c 321=+

（2(0)(0)

a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注意：①a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，

即(0)a a a ==≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即

1.414 1.732

2.236 ≈≈≈；；；

a 的取值范围可以是任意实数，即不论a

③a ，再根据绝对值的意义来进行化简。

（3）2

①不同点：22表示一个正数a

一个实数a 的平方的算术平方根；在2中a 可以是正实数，0，负实数。但2与

20≥0≥。因而它的运算的结果是有差别的，2a =（a ≥0） ，

(0)(0)

a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 、相同点：当被开方数都是非负数，即a ≥0时，2a ＜0时，2

a =-。

5、二次根式的运算

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=；

=a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题：】

类型一：二次根式概念

类型二：二次根式的计算

类型三：二次根式的比较大小类型四：二次根式的非负性