专题一:数与式的运算
数与式的运算

解法一:原式=
解法二:原式=
你能评价一下解法一、二的差异吗?
第一讲 习题 A 组 1.二次根式 a 2 a 成立的条件是( ) A. a 0 B. a 0 D. a 是任意实数 2.若 x 3 ,则 9 6 x x 2 | x 6 | 的值是( A.-3 D.9 3.计算: (1) ( x 3 y 4 z ) 2 (2a 1 b) 2 (a b)(a 2b) B.3 ) C.-9 C. a 0
a a( a b) a a( a b) 1 a b 1 a b
( a b) ( a b) ( a b )( a b )
2 a ab
试对本例的解题技巧做一评价: 【例6】设 x
2 3 2 3 ,y 2 3 2 3
,求 x3 y 3 的值.
思考:此题中让你眼前一亮的技巧是?
3abc 3 abc
引申:同学可以探求并证明: a 3 b 3 c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca) 二、根式 式子 a (a 0) 叫做二次根式,其性质如下: 第一讲
2 (1) ( a ) a (a 0)
原式= a
bc ac ab b c bc ac ab
①
a ( a ) b(b) c(c) a2 b2 c2 bc ac ab abc
a 3 b 3 (a b)[(a b) 2 3ab] c(c 2 3ab) c 3 3abc a 3 b 3 c 3 3abc ②,把②代入①得原式=
(2)
(3) (a b)(a 2 ab b 2 ) (a b)3
2023年中考数学专题练——1数与式

2023年中考数学专题练——1数与式一.选择题(共11小题)1.(2022•泉山区校级三模)下列计算正确的是()A.a2+a3=a5B.a2•a3=a6C.(﹣a3)2=a6D.a2÷a3=a 2.(2022•鼓楼区校级二模)下列计算正确的是()A.a+a=a2B.(2a)2÷a=4a C.(﹣ab)2=ab2D.a2⋅a2=2a2 3.(2022•徐州一模)下列运算中,正确的是()A.a2•a3=a5B.(a2)3=a8C.a2+a3=a5D.a3÷a2=1 4.(2022•鼓楼区校级一模)2022的倒数是()A.2022B.﹣2022C.12022D.−120225.(2022•丰县二模)下列无理数中与3最接近的是()A.√5B.√6C.√10D.√12 6.(2021•徐州模拟)下列运算中,正确的是()A.3a+2a=5a2B.a2•a3=a6C.a2+a2=a4D.(﹣a3)2=a6 7.(2022•贾汪区二模)有理数﹣2022的相反数等于()A.2022B.﹣2022C.12022D.−120228.(2022•邳州市一模)下列运算中,正确的是()A.x6÷x2=x3B.(x2)3=x5C.x2+x3=x5D.2x2•x=2x3 9.(2022•徐州一模)数轴上在√3和√10之间的整数有()A.0个B.1个C.2个D.3个10.(2022•邳州市一模)周末小明与同学相约在某餐厅吃饭,如图为此餐厅的菜单.若他们所点的菜单总共为10个汉堡,x杯饮料,y份沙拉,则他们点的B餐份数为()A.10﹣x B.10﹣y C.x﹣y D.10﹣x﹣y 11.(2022•睢宁县模拟)下列计算正确的是()A.2a2﹣a2=2B.(a﹣b)2=a2﹣b2C.(﹣a3b)2=a6b2D.(2a+3)(a﹣2)=2a2﹣6二.填空题(共10小题)12.(2022•鼓楼区校级三模)如图,每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列,依照此规律,第n个图形中三角形的个数比圆的个数多个.(由含n的代数式表示)13.(2022•泉山区校级三模)√4=.14.(2022•丰县二模)太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里,其中数据250000000000000000用科学记数法表示为.15.(2022•丰县二模)计算:(x2)3•x﹣2=.16.(2022•丰县二模)数轴上的点A、B分别表示﹣2、3,则点离原点的距离较近(填“A”或“B”).17.(2022•徐州二模)2021“双十一”全网成交额约9650亿元.将数据“9650亿”用科学记数法表示.18.(2022•邳州市一模)因式分解:b2﹣4b+4=.19.(2022•徐州一模)新型冠状病毒呈球形或椭圆形有包膜,直径大约是80~160纳米,1纳米=10﹣9米.用科学记数法表示160纳米=米.20.(2021•徐州模拟)分解因式:m2+6m=.21.(2022•贾汪区二模)已知√a+2有意义,则a的取值范围为.三.解答题(共9小题)22.(2022•鼓楼区校级三模)计算:(1)20220﹣(−12)﹣1﹣|3−√8|;(2)(1+1x−2)÷x−1x−2.23.(2022•丰县二模)计算:(1)(﹣1)2022+|﹣4|+(12)﹣1−√273;(2)(1−1a)÷a2−2a+1a.24.(2022•徐州二模)(1)计算:(12)−2−tan45°−(π−3)0+√4; (2)化简:(1−1x+2)÷x 2−1x+2. 25.(2022•贾汪区二模)计算: (1)20220+(12)−1−|−3|+√−83; (2)(x −1x )÷x 2−2x+1x . 26.(2022•睢宁县模拟)计算: (1)(−2)3−(−3)−(13)−1+√8; (2)a a 2−4÷(1−2a+2). 27.(2022•邳州市一模)计算:(1)(﹣1)2022+|﹣5|﹣(13)﹣1+√12;(2)a−1a 2÷(1−1a 2). 28.(2022•徐州一模)计算:(1)|−√3|﹣(4﹣π)0+2sin60°+(12)﹣1;(2)(1x+1−1x−1)÷2x 2−1. 29.(2022•徐州一模)计算: (1)√12+4﹣1﹣(12)﹣1+|−√3|;(2)(1x+3−1)×x 2+6x+9x 2−4.30.(2022•鼓楼区校级二模)计算: (1)|−4|−20220+√273−(13)−1;(2)(a +2a+1a )÷a 2−1a.2023年江苏省徐州市中考数学专题练——1数与式参考答案与试题解析一.选择题(共11小题)1.(2022•泉山区校级三模)下列计算正确的是()A.a2+a3=a5B.a2•a3=a6C.(﹣a3)2=a6D.a2÷a3=a 【解答】解:A、a2与a3不属于同类项,不能合并,故A不符合题意;B、a2•a3=a5,故B不符合题意;C、(﹣a3)2=a6,故C符合题意;D、a2÷a3=a﹣1,故D不符合题意;故选:C.2.(2022•鼓楼区校级二模)下列计算正确的是()A.a+a=a2B.(2a)2÷a=4a C.(﹣ab)2=ab2D.a2⋅a2=2a2【解答】解:a+a=2a,故A错误,不符合题意;(2a)2÷a=4a,故B正确,符合题意;(﹣ab)2=a2b2,故C错误,不符合题意;a2⋅a2=a4,故D错误,不符合题意;故选:B.3.(2022•徐州一模)下列运算中,正确的是()A.a2•a3=a5B.(a2)3=a8C.a2+a3=a5D.a3÷a2=1【解答】解:A、a2•a3=a5,故A符合题意;B、(a2)3=a6,故B不符合题意;C、a2与a3不属于同类项,不能合并,故C不符合题意;D、a3÷a2=a,故D不符合题意;故选:A.4.(2022•鼓楼区校级一模)2022的倒数是()A.2022B.﹣2022C.12022D.−12022【解答】解:2022的倒数是12022.故选:C.5.(2022•丰县二模)下列无理数中与3最接近的是()A.√5B.√6C.√10D.√12【解答】解:∵5<6<9<10<12<16,∴√5<√6<3<√10<√12<4,与3最接近的是√10,故选:C.6.(2021•徐州模拟)下列运算中,正确的是()A.3a+2a=5a2B.a2•a3=a6C.a2+a2=a4D.(﹣a3)2=a6【解答】解:A、3a+2a=5a,原计算错误,故此选项不符合题意;B、a2•a3=a5,原计算错误,故此选项不符合题意;C、a2+a2=2a2,原计算错误,故此选项不符合题意;D、(﹣a3)2=a6,原计算正确,故此选项符合题意.故选:D.7.(2022•贾汪区二模)有理数﹣2022的相反数等于()A.2022B.﹣2022C.12022D.−12022【解答】解:有理数﹣2022的相反数等于2022,故选:A.8.(2022•邳州市一模)下列运算中,正确的是()A.x6÷x2=x3B.(x2)3=x5C.x2+x3=x5D.2x2•x=2x3【解答】解:x6÷x2=x4≠x3,故选项A计算错误;(x2)3=x6≠x5,故选项B计算错误;x2与x3不是同类项,不能加减,故选项C计算错误;2x2•x=2x3,故选项D计算正确.故选:D.9.(2022•徐州一模)数轴上在√3和√10之间的整数有()A.0个B.1个C.2个D.3个【解答】解:∵1<3<4,9<10<16,∴1<√3<2,3<√10<4,∴在√3和√10之间的整数有2,3共2个,故选:C.10.(2022•邳州市一模)周末小明与同学相约在某餐厅吃饭,如图为此餐厅的菜单.若他们所点的菜单总共为10个汉堡,x杯饮料,y份沙拉,则他们点的B餐份数为()A.10﹣x B.10﹣y C.x﹣y D.10﹣x﹣y【解答】解:∵x杯饮料则在B和C餐中点了x份汉堡,∴点A餐为10﹣x,∴y份沙拉,则点C餐有y份,∴点B餐的份数为:10﹣(10﹣x)﹣y=x﹣y,故选:C.11.(2022•睢宁县模拟)下列计算正确的是()A.2a2﹣a2=2B.(a﹣b)2=a2﹣b2C.(﹣a3b)2=a6b2D.(2a+3)(a﹣2)=2a2﹣6【解答】解:∵2a2﹣a2=a2≠2,∴选项A不符合题意;∵(a﹣b)2=a2﹣2abb+2≠a2﹣b2,∴选项B不符合题意;∵(﹣a3b)2=a6b2,∴选项C符合题意;∵(2a+3)(a﹣2)=2a2﹣a﹣6≠2a2﹣6,∴选项D不符合题意;故选:C.二.填空题(共10小题)12.(2022•鼓楼区校级三模)如图,每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列,依照此规律,第n个图形中三角形的个数比圆的个数多(2n+1)个.(由含n的代数式表示)【解答】解:根据题意有,第1个图形,圆的个数为:1;正三角形的个数为:1×3+1;第2个图形,圆的个数为:2;正三角形的个数为:2×3+1;第3个图形,圆的个数为:3;正三角形的个数为:3×3+1;……,第n个图形,圆的个数为:n;正三角形的个数为:n×3+1;n×3+1﹣n=3n﹣n+1=2n+1,∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多(2n+1)个.故答案为:(2n+1).13.(2022•泉山区校级三模)√4=2.【解答】解:∵22=4,∴4的算术平方根是2,即√4=2.故答案为:2.14.(2022•丰县二模)太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里,其中数据250000000000000000用科学记数法表示为 2.5×1017.【解答】解:数据250000000000000000用科学记数法表示为2.5×1017.故答案为:2.5×1017.15.(2022•丰县二模)计算:(x2)3•x﹣2=x4.【解答】解:(x2)3•x﹣2=x6•1x2=x4,故答案为:x4.16.(2022•丰县二模)数轴上的点A、B分别表示﹣2、3,则点A离原点的距离较近(填“A”或“B”).【解答】解:∵|﹣2|=2,|3|=3,∴点A离原点的距离较近,故答案为:A.17.(2022•徐州二模)2021“双十一”全网成交额约9650亿元.将数据“9650亿”用科学记数法表示9.65×1011.【解答】解:9650亿=965000000000=9.65×1011.故答案为:9.65×1011.18.(2022•邳州市一模)因式分解:b2﹣4b+4=(b﹣2)2.【解答】解:b2﹣4b+4=(b﹣2)2.故答案为:(b﹣2)2.19.(2022•徐州一模)新型冠状病毒呈球形或椭圆形有包膜,直径大约是80~160纳米,1纳米=10﹣9米.用科学记数法表示160纳米= 1.6×10﹣7米.【解答】解:∵1纳米=10﹣9米,∴160纳米=160×10﹣9米=1.6×10﹣7米.故答案为:1.6×10﹣7.20.(2021•徐州模拟)分解因式:m2+6m=m(m+6).【解答】解:原式=m(m+6).故答案为:m(m+6).21.(2022•贾汪区二模)已知√a+2有意义,则a的取值范围为a≥﹣2.【解答】解:∵√a+2有意义,∴a+2≥0,解得a≥﹣2,即a的取值范围为a≥﹣2.故答案为:a≥﹣2.三.解答题(共9小题)22.(2022•鼓楼区校级三模)计算:(1)20220﹣(−12)﹣1﹣|3−√8|;(2)(1+1x−2)÷x−1x−2.【解答】解:(1)20220﹣(−12)﹣1﹣|3−√8|=1﹣(﹣2)﹣(3﹣2√2)=1+2﹣3+2√2=2√2;(2)(1+1x−2)÷x−1x−2=x−1 x−2⋅x−2 x−1=1.23.(2022•丰县二模)计算:(1)(﹣1)2022+|﹣4|+(12)﹣1−√273;(2)(1−1a)÷a2−2a+1a.【解答】解:(1)(﹣1)2022+|﹣4|+(12)﹣1−√273=1+4+2﹣3=4;(2)(1−1a)÷a2−2a+1a=a−1a⋅a(a−1)2 =1a−1.24.(2022•徐州二模)(1)计算:(12)−2−tan45°−(π−3)0+√4;(2)化简:(1−1x+2)÷x2−1x+2.【解答】解:(1)原式=4﹣1﹣1+2=4;(2)原式=x+2−1x+2•x+2(x+1)(x−1)=x+1 x+2•x+2 (x+1)(x−1)=1x−1.25.(2022•贾汪区二模)计算:(1)20220+(12)−1−|−3|+√−83;(2)(x−1x)÷x2−2x+1x.【解答】解:(1)20220+(12)−1−|−3|+√−83=1+2﹣3+(﹣2)=﹣2; (2)(x −1x)÷x 2−2x+1x=x 2−1x ⋅x (x−1)2=(x+1)(x−1)(x−1)2=x+1x−1. 26.(2022•睢宁县模拟)计算: (1)(−2)3−(−3)−(13)−1+√8; (2)a a 2−4÷(1−2a+2). 【解答】解:(1)原式=﹣8+3﹣3+2√2 =﹣8+2√2.(2)原式=a(a+2)(a−2)÷a+2−2a+2 =a(a+2)(a−2)•a+2a=1a−2. 27.(2022•邳州市一模)计算:(1)(﹣1)2022+|﹣5|﹣(13)﹣1+√12;(2)a−1a 2÷(1−1a 2). 【解答】解:(1)(﹣1)2022+|﹣5|﹣(13)﹣1+√12 =1+5﹣3+2√3 =3+2√3; (2)a−1a 2÷(1−1a 2) =a−1a2⋅a 2(a−1)(a+1)=1a+1.28.(2022•徐州一模)计算:(1)|−√3|﹣(4﹣π)0+2sin60°+(12)﹣1;(2)(1x+1−1x−1)÷2x 2−1. 【解答】解:(1)原式=√3−1+2×√32+2=√3−1+√3+2=2√3+1;(2)原式=[x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)]•(x+1)(x−1)2 =x−1−x−1(x+1)(x−1)•(x+1)(x−1)2=﹣1. 29.(2022•徐州一模)计算:(1)√12+4﹣1﹣(12)﹣1+|−√3|; (2)(1x+3−1)×x 2+6x+9x 2−4. 【解答】解:(1)√12+4﹣1﹣(12)﹣1+|−√3| =2√3+14−2+√3=3√3−74;(2)(1x+3−1)×x 2+6x+9x 2−4=1−x−3x+3•(x+3)2(x+2)(x−2)=−2−x x+3•(x+3)2(x+2)(x−2) =−x+3x−2.30.(2022•鼓楼区校级二模)计算:(1)|−4|−20220+√273−(13)−1;(2)(a +2a+1a )÷a 2−1a. 【解答】解:(1)|−4|−20220+√273−(13)−1=4﹣1+3﹣3=3;(2)(a +2a+1a )÷a 2−1a=a 2+2a+1a •a (a+1)(a−1) =(a+1)2a •a (a+1)(a−1) =a+1a−1.。
期末专项训练 专题一 探索数与式的运算性质及规律

C.a、b 为有理数,则 a+b>a-b
D.a、b 为不等于零的有理数,则 ab 与ab同号
7.如果在数轴上表示 a、b 两个实数的点的位置如图所示,那么化简|a-b| +|a+b|的结果等于( B )
A.2a
B.-2a
C.0
D.2b
8.已知多项式 ax5+bx3+cx-1,当 x=-2 时,其值为 5,那么当 x=2 时,
23.在求两位数的平方时,可以用“列竖式”的方法进行速算,求解过程如 图 1 所示.
(1)仿照图 1,在图 2 中补全 672 的“竖式”; (2)仿照图 1,用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方,部分过程如图 3 所示.若这个两位数的个位数字为 a,则这个两位数为 a+50 (用含 a 的代 数式表示).
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己,这是成功的秘诀。
•
13.某音像社对外出租光盘的收费方法是:每张光盘在租出后的头两天收 0.8 元,以后每天收 0.5 元,那么一张光盘在租出的第 n 天(n 是大于 2 的自然数), 应收租金 0.5n+0.6 元. 14.如图,已知 a=4,b=3,则阴影部分的面积为 8-89π .
解:(1)厂家直销利润:30x-20x-1200=10x-1200 委托商场销售利润:24x -20x=4x (2)当 x=300 时,直销 300×10-1200=1800(元);批发 4×300=1200(元), ∵1800>1200,故选择直销获利较多. (3)当 x=200 时,两种销售方式都可以,获利一样多.
•9、要学生做的事,教职员躬亲共做;要学生学的知识,教职员躬亲共学;要学生守的规则,教职员躬亲共守。2021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 7:56:38 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上,而留下许多自由支配的时间,他才能顺利地学习……(这)是教育过程的逻辑。2021/8/262021/8/262021/8/26Aug-2126-Aug-21 •12、要记住,你不仅是教课的教师,也是学生的教育者,生活的导师和道德的引路人。2021/8/262021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021
数与式的运算

(4)必会乘法公式
平方差公式 完全平方公式 立方和公式 立方差公式
(a b)(a b) a2 b2
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
三数和平方公式 (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) 两数和立方公式
4、 0.01 10 2 2 2 (32 23 )
8 x 27
1 3 1 1 1 2 1 1 1 (3) m ( m m ) m 3 4 6 9 8 27 2
(4) a b(a 2 ab b 2 )(a b)(a 2 ab b 2 )
a b
6
6
(1) (4 m)(16 4m m 2 )
x ( x 1) x 1 2 x x
练习
1、如果分式 A. 5
2、分式 x6 ,当 x x 8
x 5 x
2
0 , 则x的值为( B. 5
D
) C. 1或5 D. 5或5
8
时无意义,当 x
6
时值为零。
a3 a2 b 2 3、 ( ) ( ) ( ) 2b b 2
x2 y2 5、 ax bx ay by
2x x2 4、 x 2 x 1 x 1
幂的运算法则
a m a n a m n a m a n a m n (a ) a 1 p a p a
m n 0 mn
(m, n为正整数) (m, n为正整数,且 m n,a 0) (m, n为正整数 )
1 1 1 2 1 1 2 (2) ( m n)( m mn n ) 5 2 25 10 4
初高衔接第一课时数与式的运算

Hale Waihona Puke 典例题例4.1 简化:1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150;
2
30 ×
3
2
2
3
2 ÷ −2 2
1
2
.
解:
1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150 = 8 6 − 18 6 + 12 6 − 10 6 = −8 6.
2
30 ×
8
3
3
2
2
5
2
2
3
÷ −2
30 × × = −
所以 −
+
2 2 − 2.
=
+ − 2
+ − 2 −2+ −2
+ −
= 2 + 1.
= 2 − 2 + −2 = 2 + 1 − 2 + 2 − 1 =
初高衔接
行,运算中要运用公式 = ≥ 0, ≥ 0 .而对于二次根式的除法,
通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法
与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。
2 二次根式 2 的意义:
, ≥ 0
2
= =
−, < 0
初高衔接
2 完全平方 ± 2 = 2 ± 2 + 2 .
通过证明得到的乘法公式:
1 立方和公式 + 2 − + 2 = 3 + 3 ;
2 立方差公式 − 2 + + 2 = 3 − 3 ;
3 三数和平方公式 + + 2 = 2 + 2 + ��2 + 2 + + ;
初三升高一数学暑假班衔接课:01—数与式的运算-教师版

高一数学暑假班(教师版)高一数学暑假课程数与式的运算(教师版)1 / 27在初中,我们已经学习了实数,知道字母可以表示数,用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式、分式、根式,它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型,它们都具有实数的属性,可以进行运算.由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算,因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助,比如:绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等.一、绝对值1、绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍高一数学暑假课程数与式的运算(教师版)3 / 274 / 27高一数学暑假课程数与式的运算(教师版) 是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.3、两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离.【例1】解不等式:13x x -+->4.【难度】★★【答案】0<x 或4>x【解析】解法一:由01=-x ,得1=x ;由30x -=,得3x =;①若1<x ,不等式可变为(1)(3)4x x ---->, 即24x -+>4,解得x <0, 又x <1, ∴x <0;②若12x ≤<,不等式可变为(1)(3)4x x --->, 即1>4,∴不存在满足条件的x ;③若3x ≥,不等式可变为(1)(3)4x x -+->, 即24x ->4, 解得x >4. 又x ≥3,∴x >4. 综上所述,原不等式的解为 x <0,或x >4.解法二:如图1.1-1,1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |,5 / 27高一数学暑假课程数与式的运算(教师版)即|P A |=|x -1|;|x -3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |,即|PB |=|x -3|.所以,不等式13x x -+->4的几何意义即为 |P A |+|PB |>4. 由|AB |=2,可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧. x <0,或x >4.【例2】(1)当x 取何值时,3-x 有最小值?这个最小值是多少?(2)当x 取何值时,25+-x 有最大值?这个最大值是多少?(3)求54-+-x x 的最小值.(4)求987-+-+-x x x 的最小值.【难度】★★【答案】(1)当x=3时,3-x =0为最小值;(2)当x=-2时,25+-x =5为最大值;(3)当54≤≤x 时取最小,则54-+-x x =1为最小值;(4)当x=8时取最小,则987-+-+-x x x =2为最小值.【例3】(1)阅读下面材料:点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,,A 、B 两点这间的距离表示为AB ,6 / 27高一数学暑假课程数与式的运算(教师版)当A 、B 两点中一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图1,b a b OB AB -===;当A 、B 两点都不在原点时,①如图2,点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=; ②如图3,点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=; ③如图4,点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=.综上,数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.图1 图2 图3 图4 (2)回答下列问题:①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ;②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ,如果2=AB ,那么x 为 ;③当代数式21-++x x 取最小值时,相应的x 的取值范围是 ;④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值.【难度】★★★【答案】①3,3,4;②|x+1|,1或-3;③21≤≤-x ;④找到1~1997的中间数999,当x=999时取得.B AO B (A)O B A O oA O o7 / 27高一数学暑假课程数与式的运算(教师版)【巩固训练】1.解绝对值方程:321-=---x x x . 【难度】★★ 【答案】4=x【解析】分类讨论:x <1,1≤x <2,x ≥2,根据绝对值的意义,可化简绝对值,根据解方程,可得答案.解:当x <1时,原方程等价于1﹣x ﹣(2﹣x )=x ﹣3.解得x=2(不符合范围,舍); 当1≤x <2时,原方程等价于x ﹣1﹣(2﹣x )=x ﹣3.解得x=0(不符合范围,舍); 当x ≥2时,原方程等价于x ﹣1﹣(x ﹣2)=x ﹣3.解得x=4, 综上所述:x=4.本题考查了含绝对值符号的一元一次方程,分类讨论是解题关键,此外也可以通过数形结合来解题.二、乘法公式(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+; (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;(5)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (6)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++;8 / 27高一数学暑假课程数与式的运算(教师版) (7)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-.引申:n 次方差公式;()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a ab a b a b ab a b a b a b a b a b a根据以上规律,可以归纳出乘法公式:()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 (n 为非零自然数)将等号左右两边倒一下得:()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a (n 为非零自然数)这个公式称为n 次方差公式; 由这个公式易得())(n n b a b a --;定理:若n 为正偶数,则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立;【例4】计算:(1)22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++;(2)22222))(2(y xy x y xy x +-++;(3)22312(+-x x ;(4)()()()()1111842++++a a a a .【难度】★★【答案】(1)解法一:原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -.9 / 27高一数学暑假课程数与式的运算(教师版)解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -.(2)原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=.(3)原式2231)2([+-+=x x222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯4328139x x x =-++.(4)1116--=a a 原式.【例5】已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值. 【难度】★★【答案】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.【例6】分解因式:(1)2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++; (2)432673676x x x x +--+.【难度】★★【答案】(1)原式=22[(48)2][(48)]x x x x x x ++++++ =22(68)(58)x x x x ++++ =2(2)(4)(58)x x x x ++++10 / 27高一数学暑假课程数与式的运算(教师版)(2)原式=4226(1)7(1)36x x x x ++--=422226[(21)2]7(1)36x x x x x x -+++-- =22226(1)7(1)36x x x x -+-- =22[2(1)3][3(1)8]x x x x ---+ =22(232)(383)x x x x --+- =(21)(2)(31)(3)x x x x +--+.【巩固训练】1.已知335252-++=x ,求533-+x x 的值.【难度】★★ 【答案】1- 【解析】()()()()()1552525131353333531152,52,52,52332233333333-=-++-=-+++++=-+++++=-+++=-=⇒-=⇒+=-==+=-ab b ab a b a b a ab b a b a b a b a ab ab b a b a 原式即令2.已知96333=-+z y x ,4=xyz ,12222=++-++xz yz xy z y x ,求z y x -+的值.【难度】★★★ 【答案】911 / 27高一数学暑假课程数与式的运算(教师版)【解析】()()()()[]()()()()9123333310812963222222222233333333=-+∴=-++++-++++-+=-+-++++-+=+---+=+-+=+=+-+z y x xy yz xz z y x xy yz xz z y x z y x z y x xy z y x z y x z y x xyzxy y x z y x xyzz y x xyz z y x 解:3.分解因式:2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-. 【难度】★★【答案】令a x y =+,b xy =,则原式=2(1)(2)(2)b a a b -+-- =221222a b a b ab ++-+- =2(1)a b -- =2(1)x y xy +-- =2[(1)(1)]x y --- =22(1)(1)x y --三、二次根式1、分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程.2a==,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩【例7】试比较下列各组数的大小:(1;(2和【难度】★★【答案】见解析【解析】(11===,===,>,.(2)∵===又4>22,∴6+4>6+22,<【例8】化简:(1(21)x<<.12 / 27高一数学暑假课程数与式的运算(教师版)13 / 27【难度】★★ 【答案】见解析【解析】(1)原式===2=2=.(2)原式1x x=-, ∵01x <<,∴11x x>>, 所以,原式=1x x-.【例9】化简22)1(111+++n n ,所得的结果为( ) A .1111+++n nB .1111++-n nC .1111+-+n n D .1111+--n n 【难度】★★ 【答案】C【解析】方法一:通过通分,然后整理配平方来解题1111)()1(2222+-+=+++=n n n n n n数与式的运算(教师版)方法二:可利用特值法将A、B、D一一排除。
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)

专题一、数与式的运算课时一:乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律:加法交换律,加法结合律,乘法交换律,乘法结合律,乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式: (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式: (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数,代数式也可以表示数,并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用,理解立方和与差公式,两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式(1)(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab(2)(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd(3)立方和公式: (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3(4)立方差公式: (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3(5)两数和的立方公式:(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3(6)两数差的立方公式:(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3(7)三数和的平方公式:(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算:(1)(x + 2)(x - 5) (3)(2x -1)3(2)(2x + 3)(3x - 2) (4)(2a +b -c)2例2:已知x +y = 3 ,xy = 8 ,求下列各式的值(1)x 2y 2;(2)x 2xy y 2;(3)( x y)2;(4)x 3y 3分析:(1)x 2y 2( x y)2 2 xy(2)x 2xy y 2( x y)2 3 xy(3)( x y)2( x y)2 4 xy(4)x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3:已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析: a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式:已知:x2- 3x +1= 0 ,求x3+1x3的值。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算

【例 8】计算:
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解: 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解: 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
3/7
解:( )原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
( )原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
( )原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
( )原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
4/7
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★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】 1.绝对值[1]绝对值的代数意义: .即||a = .[2]绝对值的几何意义: 的距离. [3]两个数的差的绝对值的几何意义:a b -表示 的距离. [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔;||(0)x a a >>⇔.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:[1]平方差公式: ; [2]完全平方和公式: ; [3]完全平方差公式: . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式[1]0)a ≥叫做二次根式,其性质如下:(1) 2= ;(2)= ;(3) = ; (4)= . [2]平方根与算术平方根的概念: 叫做a 的平方根,记作0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根.[3]立方根的概念: 叫做a 的立方根,记为x =4.分式[1]分式的意义 形如A B 的式子,若B 中含有字母,且0B ≠,则称AB为分式.当M ≠0时,分式AB具有下列性质: (1) ; (2) . [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时,A B就叫做繁分式,如2m n pm n p+++,说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式:(1)21x -< (2)13x x -+->4. 例2 计算: (1)221()3x +(2)2211111()()5225104m n m mn n -++ (3)42(2)(2)(416)a a a a +-++ (4)22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==,求331x x +的值. 例4 已知0a b c ++=,求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值.例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):(1)(2)1)x ≥(3)(4)例6设x y ==33x y +的值. 例7 化简:(1)11xx x x x-+- (2)222396127962x x x x x x x x ++-+---+ (1)解法一:原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-++--+-++ 解法二:原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ (2)解:原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.【巩固练习】1. 解不等式327x x ++-<2.设x y ==22x xy y x y +++的值.3. 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠,求22a b a b b a ab+--的值.4.设x =,求4221x x x ++-的值. 5. 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6.化简或计算:(1) 3÷(2)(4) ÷1 A 0 C |x -1||x -3|答案:例1 (1)解法1:由20x -=,得2x =;① 若2x >,不等式可变为21x -<,即3x <;② 若2x <,不等式可变为(2)1x --<,即21x -+<,解得:1x >. 综上所述,原不等式的解为13x <<.解法2: 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离,所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1,观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧,在坐标为1的点的右侧.所以原不等式的解为13x <<.解法3:2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,所以原不等式的解为13x <<.(2)解法一:由10x -=,得1x =;由30x -=,得3x =;①若1x <,不等式可变为(1)(3)4x x ---->,即24x -+>4,解得x <0,又x <1,∴x <0;②若12x ≤<,不等式可变为(1)(3)4x x --->,即1>4,∴不存在满足条件的x ; ③若3x ≥,不等式可变为(1)(3)4x x -+->,即24x ->4, 解得x >4.又x ≥3,∴x >4.综上所述,原不等式的解为x <0,或x >4.解法二:如图,1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |,即|PA |=|x -1|;|x -3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |,即|PB |=|x-3|.所以,不等式13x x -+->4的几何意义即为|PA |+|PB |>4.由可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧.所以原不等式的解为x <0,或x >4. 例2(1)解:原式=221[()]3x ++222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯43281339x x x =-+-+ 说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. (2)原式=33331111()()521258m n m n -=- (3)原式=24222336(4)(44)()464a a a a a -++=-=- (4)原式=2222222()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3326336()2x y x x y y =+=++例3 解:2310x x -== 0x ∴≠ 13x x∴+= 原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x +-+=++-=-=例4 解:0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab +++⋅+⋅+⋅222()()()a ab bc c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ① 33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+3333a b c abc ∴++= ②,把②代入①得原式=33abcabc-=-例5 解:(1)原式6==-(2)原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.(3)原式=(4) 原式===例6 解:77 14,1x y x y xy ===+=-⇒+== 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.【巩固练习】1.43x -<< 2. 3.3-或2 4.35.444222222222x y z x y x z y z ---+++6.()(((13,23,4-。