高中数学学习必备的初中知识技能(1.数与式的运算)
数与式的运算知识点高一
数与式的运算知识点高一作为数学学科的基础，数与式的运算是高中数学学习的重点之一，也是后续学习的基础。
掌握好数与式的运算知识点，对于理解和应用高中数学知识具有重要意义。
本文将介绍高一数与式的运算知识点，帮助学生更好地掌握数学知识。
一、四则运算四则运算是数学中最基本的运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。
在高一阶段，我们需要巩固和深化对四则运算的掌握和应用。
1. 加法加法是指两个或多个数相加的运算，可以通过竖式或横式进行计算。
在进行加法运算时，需要注意数字的对齐，进位和进位法则等。
2. 减法减法是指两个数中较大的数减去较小的数，得到差的运算。
减法运算中，需要注意借位和退位的方法，特别是在减法竖式中的借位运算。
3. 乘法乘法是指两个或多个数相乘的运算。
在乘法运算中，可以使用竖式、横式或分配律等方法进行计算。
需要掌握好乘法口诀和快速计算技巧。
4. 除法除法是指一个数被另一个数整除的运算。
在除法运算中，需要注意除数、被除数和商之间的关系，以及余数的处理方法。
掌握好除法的基本原理和计算方法对于解决实际问题非常重要。
二、整数的运算整数是正整数、负整数和零的统称，是数学中的重要概念。
在高一数学学习中，我们需要掌握整数的加法、减法和乘法等运算。
1. 整数加法整数加法是指两个或多个整数相加的运算。
在整数加法中，需要注意正数加负数和负数加正数的情况，以及整数加法的运算法则。
2. 整数减法整数减法是指一个整数减去另一个整数，得到差的运算。
与整数加法类似，整数减法中也需要注意正数减负数和负数减正数的情况，以及整数减法的运算法则。
3. 整数乘法整数乘法是指两个整数相乘的运算。
整数乘法的运算法则和正数乘法类似，但需注意乘积的正负关系。
特别是两个负数相乘的结果为正数。
三、代数式的展开与因式分解代数式是由字母和数字按照一定规则组成的式子，是高中数学学习的重点之一。
在高一阶段，我们需要对代数式进行展开和因式分解等运算。
1. 代数式的展开代数式的展开是指将一个由字母和数字组成的式子，按照运算法则展开成一个多项式的过程。
高中数学必考知识点归纳整理
高中数学必考知识点归纳整理高中数学作为考试科目之一，对于学生来说是一个非常重要的内容，考察了数学的基础知识、思维能力和解题技巧。
为了帮助大家整理和回顾高中数学的必考知识点，本文将从代数、几何、概率与统计等方面进行归纳和总结。
一、代数1. 数与式的运算包括实数运算、绝对值、整式的加减乘除等内容。
例如，学生需要掌握实数的性质、绝对值的定义和性质，并能灵活运用整式的基本运算法则。
2. 方程与不等式包括一元一次方程、一元二次方程、一次不等式、二次不等式等内容。
学生需要了解方程和不等式的根与解集的概念，并能运用解方程、解不等式的方法解决问题。
3. 函数包括函数的概念、函数的性质、函数图像等内容。
学生需要掌握常见函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等，并能画出简单函数的图像。
4. 排列组合与二项式定理包括排列、组合的概念和计算方法，以及二项式定理的应用等内容。
学生需要熟悉计算排列组合的方法，并能运用二项式定理解决相关问题。
二、几何1. 直线与曲线包括平面直角坐标系、直线的方程和性质，以及常见曲线的方程和图形特征等内容。
学生需要能够根据条件确定直线的方程，掌握圆的方程和性质，并且能画出简单的曲线图形。
2. 三角函数与解三角形包括三角函数的定义和性质，解三角形的方法和计算等内容。
学生需要了解三角函数的周期性、图像特征和基本关系式，并能灵活运用解三角形的知识解决相关问题。
3. 图形的相似与等腰三角形包括相似的概念和判定条件，以及等腰三角形的性质和判定等内容。
学生需要熟悉相似三角形的性质和判定条件，并能应用相似三角形解决相关问题。
4. 空间几何与立体几何包括点、直线、平面的位置关系，以及常见立体图形的性质和计算等内容。
学生需要了解点、直线、平面的相互关系和位置关系，并能运用空间几何的知识解决相关问题。
三、概率与统计1. 随机事件与概率包括随机事件的概念，以及概率计算的方法和性质等内容。
学生需要了解随机事件的基本概念和性质，并能运用概率方法计算事件发生的可能性。
高中数学必须掌握的初中知识
高中数学必须掌握的初中知识高中数学是数学学科中的一个重要阶段，它是建立在初中数学基础之上的。
因此，高中数学的学习离不开对初中数学知识的掌握。
下面，我们就来回顾一下高中数学必须掌握的初中知识。
一、数与代数在初中数学中，我们学习了数的概念、整数、有理数、无理数、实数等基本知识。
这些知识是高中数学学习的基础，也是我们进行代数运算的基础。
在高中数学中，我们将进一步学习代数中的方程、不等式、函数等概念和运算方法，因此我们必须对初中数与代数的知识进行巩固和掌握。
二、几何与图形在初中数学中，我们学习了平面几何中的基本概念和性质，如点、线、面、角等。
我们还学习了平面图形的分类与性质，如三角形、四边形、圆等。
这些知识为高中数学中的几何学习打下了基础。
在高中数学中，我们将学习更加复杂的几何图形和性质，如向量、立体几何等，因此我们必须对初中几何与图形的知识进行深入理解和掌握。
三、函数与方程在初中数学中，我们学习了一元一次方程、一元二次方程等基本的代数方程。
我们还学习了函数的概念、函数的性质和函数的图像等内容。
这些知识为高中数学中的函数与方程的学习打下了基础。
在高中数学中，我们将学习更加复杂的函数和方程，如指数函数、对数函数、三角函数等，因此我们必须对初中函数与方程的知识进行扎实的掌握。
四、概率与统计在初中数学中，我们学习了概率与统计的基本概念和方法。
我们学习了事件的概率、统计数据的收集和整理等内容。
这些知识为高中数学中的概率与统计学习打下了基础。
在高中数学中，我们将学习更加深入的概率与统计，如随机变量、正态分布等，因此我们必须对初中概率与统计的知识进行牢固的掌握。
五、解决实际问题的能力在初中数学中，我们锻炼了解决实际问题的能力。
通过数学建模和解决实际问题的方法，我们培养了分析问题、抽象问题、解决问题的能力。
这些能力对于高中数学的学习至关重要。
在高中数学中，我们将遇到更加复杂的实际问题，因此我们必须通过初中数学的学习，提高我们解决实际问题的能力。
高中数学必须掌握的初中知识
高中数学必须掌握的初中知识高中数学是一个相对较高难度的学科，但是在学习高中数学之前，必须先掌握好初中数学的知识。
初中数学是数学学科的基础，是高中数学的重要前提。
下面将介绍高中数学必须掌握的初中知识。
一、初中数学的基础知识1.数的性质：初中数学要求掌握整数、有理数、无理数、实数等数的性质，如大小关系、运算性质等。
2.代数运算：初中数学要求掌握加减乘除等基本的代数运算规则，如交换律、结合律、分配律等。
3.整式与分式：初中数学要求掌握整式与分式的概念及其运算规则，如同底数幂的乘法、除法等。
4.方程与不等式：初中数学要求掌握一元一次方程、一元二次方程以及一元一次不等式的解法，如解方程的基本操作、求根公式等。
5.平面几何：初中数学要求掌握平面图形的性质、面积和周长的计算等，如三角形、四边形、圆等的性质和计算公式。
6.空间几何：初中数学要求掌握空间图形的性质、体积和表面积的计算等，如立体几何的基本图形、体积计算公式等。
7.函数：初中数学要求掌握函数的概念、函数的图像、函数的性质等，如一次函数、二次函数等的图像和性质。
二、初中数学的解题方法1.列式解题：初中数学要求掌握列式解题的方法，即将问题转化为一个或多个方程或不等式，然后求解得出答案。
2.图形解题：初中数学要求掌握图形解题的方法，即通过画图、几何关系等方法解决问题，如通过画图解决几何问题、利用图形关系解决代数问题等。
3.逻辑推理：初中数学要求掌握逻辑推理的方法，即通过逻辑关系、推理等方法解决问题，如通过逻辑关系解决排列组合问题、通过推理解决函数问题等。
三、初中数学的应用能力1.数学建模：初中数学要求掌握数学建模的方法，即通过数学知识解决实际问题，如通过数学模型解决实际生活中的问题，如物理问题、经济问题等。
2.数学思维：初中数学要求培养数学思维能力，即通过数学的逻辑推理、分析能力等思维方式解决问题，如通过归纳、演绎等方法解决数学问题。
3.数学运算：初中数学要求掌握快速准确的数学运算能力，如口算能力、计算速度等。
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算
【例 8】计算：
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解： 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解： 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
3/7
解：（ ）原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
（ ）原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
（ ）原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
（ ）原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
4/7
数与式的运算
数与式的运算数与式的运算是数学中的基础内容之一，它涉及到数的运算和式的运算。
数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法，而式的运算则是对含有未知数的表达式进行计算和化简。
在日常生活和学习中，我们经常会遇到各种数与式的运算问题，因此掌握这方面的知识对于我们的数学学习和实际应用都具有重要意义。
一、数的运算数的运算是数学的基础，它包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
这些运算符号和规则在我们的日常生活中随处可见，我们经常会用到它们来解决各种实际问题。
1. 加法加法是最简单的数的运算之一，它的运算符号是“+”。
当我们需要将两个或多个数进行相加时，可以使用加法。
例如，计算2 + 3的结果为5，表示两个数相加的和是5。
在加法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a + b = b + a。
2. 减法减法是数的运算中常用的一种，它的运算符号是“-”。
减法是加法的逆运算，它表示从一个数中减去另一个数。
例如，计算5 - 3的结果为2，表示从5中减去3的差是2。
3. 乘法乘法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“×”或“*”。
乘法表示将两个或多个数相乘的结果。
例如，计算2 ×3的结果为6，表示两个数相乘的积是6。
在乘法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a × b = b × a。
4. 除法除法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“÷”或“/”。
除法表示将一个数分成若干等份的运算。
例如，计算6 ÷ 2的结果为3，表示将6分成2等份，每份的值是3。
在除法中，被除数除以除数得到商，商可以是整数或小数。
二、式的运算式的运算是对含有未知数的表达式进行计算和化简的过程。
式是数学中的一种基本表达形式，它由数和运算符号组成，可以用来表示数与数之间的关系。
1. 合并同类项合并同类项是对式进行化简的一种常用方法。
同类项是指具有相同的字母部分和相同的指数的项。
例如，对于表达式3x + 2x - 5x，我们可以将其中的同类项3x、2x和-5x合并得到x，即3x + 2x - 5x = x。
初高中数学衔接知识总汇
初高中数学衔接知识总汇(总68页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 数与式的运算1、1 绝对值知识清单1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
3.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离。
4.两个重要绝对值不等式：a x a x a a x a x ＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0a x 0a a问题导入：问题1：化简：（1）：12-x （2) : 31-+-x x问题2：解含有绝对值的方程（1）642=-x ; （2）: 5223=--x问题3：至少用两种方法解不等式 41＞-x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：（1）x y =; （2）32+-=x y .例2：解不等式：431＞-+-x x巩固拓展：1.（1）若等式a a -= , 则成立的条件是----------（2）数轴上表示实数 x 1,x 2 的两点A,B 之间的距离为--------2.已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a表示（ ）A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和3.如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______ 4.化简：（1）3223+=-x x ; （2）31--x5.已知 x= -2是方程612-=--m x 的解，求m 的值。
6.已知a ，b ，c 均为整数，且 1=-+-a c b a ,求: c b b a a c -+-+-的值方法指导学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。
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第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x 解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知0132==-x x ，求331x x +的值． 解：0132==-x x 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅abcc b a ab c c ac b b bc a a 222)()()(++-=-+-+-= ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1)+ (2)1)x ≥解：(1) 原式=|2|1|211-+-=-+=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)(3) -解：(1) 原式623==--(2) 原式=(3) 原式=-+==- 说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母(．形式() ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(，其中2+2-)．【例8】计算：(1) 21)(1+-+(2)+解：(1) 原式=22(1()21a b a +--++=--(2) 原式+=+==说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x y ==，求33x y +的值．解：22(277 14,123x y x y xy +===+=-⇒+==-原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简11xx x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简222396162279x x x xx x x x++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3) (3)(39)(9)x x x x xx x x x xx x x x x++--+-=--+-+---++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x xx x x x x+-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．A 组1a=-成立的条件是( )A．0a>B．0a<C．0a≤D．a是任意实数2．若3x<|6|x-的值是( )A．－３B．３C．－９D．９3．计算：(1) 2(34)x y z--(2) 2(21)()(2)a b a b a b+---+(3) 222()()()a b a ab b a b+-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab-++4．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：(1) (2) a(3) (4) +-5．化简：(1) 102m(2) 0)x y>>B 组1．若112x y-=，则33x xy yx xy y+---的值为( )：A．35B．35-C．53-D．532．计算：(1) +(2) 1÷-3．设x y ==22x xy y x y +++的值．4．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．5．设x 、y 为实数，且3xy =，求 6．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．7．设x =，求4221x x x ++-的值． 8．展开4(2)x -9．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----10．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 11．化简或计算：(1)-(2)(3)-(4)+÷+-第一讲 习题答案 A 组1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b -4．2 1----5．B 组1． D 2．a c b +--+ 3．4．3,2-5．± 6． 37．3-8．4328243216x x x x -+-+ 9．43210355024x x x x -+-+10．444222222222x y z x y x z y z ---+++11．3,3-。