数学中的参数方程与曲线绘制技巧
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍曲线与曲面的参数方程，以及它们在实际问题中的应用。
一、曲线的参数方程曲线是平面或空间中的一条连续的线段，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于二维平面曲线，参数方程通常形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，f(t)和g(t)是与参数t有关的函数。
通过不同的参数t取值，可以得到曲线上的各个点，从而描述整个曲线。
举个例子，考虑单位圆的参数方程。
圆的方程为x² + y² = 1，而参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)其中，参数t的取值范围为0到2π。
当t取0时，x = cos(0) = 1，y= sin(0) = 0，即得到圆的右端点；当t取π/2时，x = cos(π/2) = 0，y =sin(π/2) = 1，即得到圆的上端点；依此类推，当t取2π时，又得到圆的右端点，从而完成了整个圆的参数方程描述。
二、曲面的参数方程曲面是空间中的一片连续的平面区域，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲面上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于三维空间中的曲面，参数方程通常形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u和v为参数，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是与参数u和v有关的函数。
通过不同的参数u和v的取值，可以得到曲面上的各个点，从而描述整个曲面。
举个例子，考虑球面的参数方程。
球面的方程为x² + y² + z² = r²，而参数方程为：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r c osθ其中，r为球的半径，θ为极角，范围是0到π，φ为方位角，范围是0到2π。
高考数学中的参数方程解析技巧
高考数学中的参数方程解析技巧高中数学中，参数方程是一个比较重要的知识点，它在高考中也经常出现。
在考场上如何快速解析参数方程是一个必备的技巧。
本文将从以下几个方面探讨高考数学中的参数方程解析技巧。
一、掌握参数方程的基本概念和性质首先，我们需要掌握参数方程的基本概念和性质。
参数方程就是用一个或多个变量来表示一组解的方程，通常是用二元函数表示。
例如，设：x=f(t) , y=g(t) ，则称x，y是由参数t确定的一组函数或者向量。
又如，曲线的参数方程可以表示为：x=cos t, y=sin t。
同时，我们还需要了解参数方程的基本性质。
比如，当参数t取遍一个区间时，对应的点以一定的方式运动，从而构成一个曲线(或者说路径)。
因此，参数方程很适合用来表示一些曲线、轨迹等形状。
二、常见的参数方程解题方法1、画图法：画出参数曲线的关键点和性质，如切线斜率、弧长等，利用图形解决问题。
2、换元法：将复杂的参数方程化简成简单的形式，以便求解。
比如，将参数方程中的sin t，cos t换成tan t，以求得此函数的导数。
3、消元法：当问题中只需求出一种变量的值时，可以通过解方程组，消元得到所求的变量。
例如，已知x=f(t) , y=g(t)，求y=f(x) 时，可以用消元法解得。
4、向量法：参数方程中的x，y一般可以看作是向量的i,j分量。
因此，我们可以构造出向量的形式，利用向量的性质解题。
三、解析参数方程的常见技巧1、化简参数方程：通过变形，将参数方程化为指数函数、三角函数等常见函数形式，以便于求导。
2、求导、求导数：通过求导，可以求出参数曲线的切线斜率、曲率等性质，以便于解析问题。
3、曲率半径：利用曲率半径和曲率公式，可以求出参数曲线上任意一点的曲率半径。
4、求交点、对称点：通过等式联立，求得参数方程下两曲线的交点坐标。
通过在参数方程下的对称关系求得参数曲线下的对称点。
四、例题分析1、设直线 L ： y=x+k（k > 0），曲线 C 的参数方程为 x=cost ，y=sin(t+θ). 试确定θ的取值范围，并解决直线 L 在曲线 C 上的截距。
代数几何中的曲线理论表示方法
代数几何中的曲线理论表示方法曲线理论是代数几何的一个重要研究领域，涉及到曲线的定义、性质以及表示方法等内容。
在代数几何中，曲线是指满足一个或多个多项式方程的点的集合。
曲线的表示方法对于研究曲线的性质和解决相关问题至关重要。
本文将介绍代数几何中常用的曲线理论表示方法，包括参数表示、隐式方程表示和参数方程表示。
一、参数表示参数表示是一种常见的曲线表示方法，通过引入一个参数来描述曲线上的点的位置。
假设曲线为C，参数表示为P(t)，其中t为参数。
曲线C上的每一个点P都可以用参数t来表示，即P(t)=(x(t), y(t))，其中x(t)和y(t)为关于参数t的函数。
参数表示的优势在于可以刻画曲线的变化规律以及参数对应的几何意义。
通过对参数t的取值范围的限制，可以得到曲线的一部分或者完整的曲线。
参数表示也方便与其他数学对象进行关联，比如与向量场的曲线积分、参数曲线在平面上的切线等。
二、隐式方程表示隐式方程表示是另一种常见的曲线表示方法，通过一个或多个多项式方程来隐含地定义曲线。
假设曲线为C，隐式方程表示为F(x, y) = 0，其中F(x, y)为定义在平面上的多项式函数。
隐式方程表示通常用于描述一些特殊的曲线，比如圆、椭圆、双曲线等。
通过将(x, y)代入隐式方程中，可以判断某个点是否在曲线上。
隐式方程表示可以通过代数运算推导出曲线的性质，比如曲率、拐点等。
然而，隐式方程表示对于分析和计算曲线上的点的位置和性质可能较为繁琐。
三、参数方程表示参数方程表示是指通过引入两个或多个参数，分别描述曲线上点的x坐标和y坐标的表示方法。
假设曲线为C，参数方程表示为P(u)=(x(u), y(u))，其中u为参数。
参数方程表示的优势在于可以方便地处理具有复杂形状的曲线，比如螺旋线、心型线等。
参数方程表示也可以通过对参数的取值范围的限制，得到曲线的一部分或者完整的曲线。
参数方程表示也方便与其他数学对象进行关联，比如曲线在平面上的切线、曲线的弧长等。
第54讲 参数方程与曲线系
xx x第54讲 参数方程与 曲线系1．参数方程是联系多个变量之间关系的桥梁，在解题过程中引入参数或参数方程，使多个变量单一化，达到简化计算，解决问题的目的．几种常见的参数方程的形式如下：(1)直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ，（t 为参数）．其中θ是直线的倾斜角，参数t 表示有向线段AP →的数量（其中点A 、P 的坐标为A (x 0，y 0)，P (x ，y )），如图1所示．(2)圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ，（θ为参数）．其中r 是半径，圆心是(x 0，y 0)，参数θ表示圆心角，如图2所示．(3)椭圆参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋a cos θ，y ＝y 0＋b sin θ，（θ为参数）．其中椭圆中心是(x 0，y 0)，长半轴长为a ，短半轴长为b (a ＞b )，参数θ表示离心(4)双曲线参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋a sec θ，y ＝y 0＋b tan θ，（θ为参数）．其中双曲线中心是(x 0，y 0)，实半轴长为a ，虚半轴长为b ，θ是参数．(5)抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，（t 为参数）．其中焦点为（p 2，0），准线为x ＝－p 2． 参数或参数方程在求轨迹方程，求极值，求变量取值范围，简化计算或证明方面具有突出的作用．2．常用的直线系方程：(1)过定点(x 0，y 0)的直线系为：λ1(y －y 0)＋λ2(x －x 0)＝0，其中λ1、λ2为参数．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系为：Ax ＋By ＋λ＝0，其中λ≠C ，λ为参数．(3)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系为：Bx －Ay ＋λ＝0，其中λ为参数．(4)当直线l 1与l 2的一般式分别为f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0时，曲线系λ1f1(x，y)＋λ2f2(x，y)＝0，其中λ1、λ2为参数①当l1与l2相交时表示通过l1与l2交点的所有直线；②当l1∥l2时，表示与l1平行的一组平行直线．(5)在两坐标轴上截距和为a的直线系为：xλ＋ya－λ＝1，其中λ为参数．(6)与原点距离等于r(r＞0)的直线系为：x cosθ＋y sinθ＝r，其中θ为参数．3．曲线系与圆系：(1)方程f1(x，y)＋ f2(x，y)＝0表示的曲线一定经过两条曲线f1(x，y)＝0与f2(x，y)＝0的交点．(反过来，经过它们交点的曲线不一定能用此方程表示)．当需要解决“求过两条曲线的交点作的一条曲线”时，常用此曲线系来解题，可以避免解方程组求交点而直接得出结果．(2)圆系：圆系是求圆的方程的一个重要的方法，同时也是证明四点共圆的简捷途径．对于不同圆心的两个圆C i＝x2＋y2＋D i x＋E i y＋F i＝0(i＝1，2)，则C1＋λC2＝0，(λ为参数)表示共轴圆系．当λ≠－1时，表示圆；当λ＝－1时，退化为一条直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，此直线叫两圆的根轴．对于已知圆C1及圆上一点（m，n），则C1＋λ[(x－m)2＋(y－n)2]＝0，(λ为参数)表示与C1相切于点（m，n）的圆系．4．二次曲线系：一般二次曲线的方程由6个参数确定：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A2＋B2＋C2≠0)．但只要5个独立参数即可确定唯一的二次曲线．①给定5个点，如果其中有三点共线，另两点不在此直线上，则经过此5点的二次曲线是唯一的，是二条直线(退化二次曲线)；②给定5个点，无三点共线，则经过此5点的二次曲线是唯一的．③若有两个二次曲线——C1：F1(x，y)＝0；C2：F2(x，y)＝0，且C1与C2交于不共线4点．则λF1(x，y)＋μF2(x，y)＝0表示所有经过此4个交点的二次曲线．5．用直线方程构成二次曲线系：①如果两条直线l i：l i(x，y)＝A i x＋B i y＋C i＝0(i＝1，2)与一条二次曲线：F(x，y)＝0有交点，那么，曲线系λF＋μl1·l2＝0经过这些交点，若它们有四个不共线的交点，则此曲线系包含所有的过此四点的二次曲线．②若有不共线4点P i(i＝1，2，3，4)，记直线P i P i＋1(P5＝P1)为l i(x，y)．则曲线系λl1·l3＋μl2·l4＝0包括了所有过此4点的二次曲线系．③若有不共线3点P i(i＝1，2，3)，记直线P i P i＋1(P4＝P1)为l i(x，y)．则曲线系λl1·l2＋μl2·l3＋ηl3·l1＝0包括了所有过此3点的二次曲线系．④与两条直线l i(x，y)＝A i x＋B i y＋C i＝0(i＝1，2)交于两点M1、M2的二次曲线系为λl1·l2＋μl32＝0．(其中l3为经过M1、M2的直线方程)．6．部分常用的二次曲线系：(1)共焦二次曲线系：x2m2－λ＋y2n2－λ＝1；(2)共顶点二次曲线系：x2a2＋y2λ＝1；(3)共离心率二次曲线系：x2a2＋y2b2＝λ(λ＞0)；(4)共渐近线的双曲线系：x2a2－y2b2＝λ．7．极线方程：从二次曲线外一点引二次曲线的切线，过两个切点的直线．利用曲线系解题实质上是取曲线方程中的特征量(如直线方程中的斜率k、截距b，圆的半径R，二次曲线中的a、b等)作为变量，得到曲线系，根据所给的已知量，采用待定系数法，达到解决问题的目的．常常体现的是参数变换的数学观点和整体处理的解题策略．通常的题型有求点的坐标，求曲线的方程，求图形的性质等等． A 类例题 例1．椭圆x 216＋y 24＝1有两点P 、Q ．O 是原点，若OP 、OQ 斜率之积为－14． 求证：|OP |2＋|OQ |2为定值．证明 设P (4cosα，2sinα)，Q (4cosβ，2sinβ)，因为k OP ·k OQ ＝－14，所以2sinα4cosα·2sinβ4cosβ＝－14，即cos(α－β)＝0，则α－β＝±π2＋2k π，k ∈Z ． 所以|OP |2＋|OQ |2＝16cos 2α＋4sin 2α＋16cos 2β＋4sin 2β＝16cos 2(β±π2)＋4sin 2(β±π2)＋16cos 2β＋4sin 2β ＝20cos 2β＋20sin 2β＝20为定值．得证．例2．求经过两直线2x －3y ＝1，3x ＋2y ＝2的交点，且平行于直线y ＋3x ＝0的直线方程．解 设所求的直线方程为(2x －3y －1)＋λ(3x ＋2y －2)＝0， 整理得 (2＋3λ)x ＋(－3＋2λ)y ＋(－1－2λ)＝0． (1)由于已知直线y ＋3x ＝0的斜率为－3，所以－2＋3λ－3＋2λ＝－3 解得λ＝113．将λ＝113代入(1)化简得39x ＋13y －25＝0． 此即为所求的直线方程．说明 本题还可以采用以下两种思路来求直线方程：思路一：设所求的直线方程为y ＋3x ＋λ＝0．解出直线2x －3y ＝1，3x ＋2y ＝2的交点，代入到y ＋3x ＋λ＝0，解出λ即可．思路二：过直线2x －3y ＝1，3x ＋2y ＝2的交点的直线系为(2x －3y －1)＋λ(3x ＋2y －2)＝0，即(2＋3λ)x ＋(－3＋2λ)y ＋(－1－2λ)＝0．与直线y ＋3x ＝0平行的直线系为y ＋3x ＋μ＝0(μ≠0)．比较系数2＋3λ3＝－3＋2λ1＝－1－2λμ，解出μ即可． 例3．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的内接ΔAOB 的垂心为抛物线的焦点F ，O 为原点，求点A 、B 的坐标．解 由题设条件可知AB 与x 轴垂直．设A (2pt 2，2pt )，则B 的坐标为(2pt 2，－2pt )．由于焦点F 的坐标为F (p 2，0)， 则AF 的斜率为k 1＝2pt2pt 2－p 2＝4t4t 2－1； 而OB 的斜率为k 2＝－1t ． 因为AF 与OB 垂直，则k 1k 2＝－1，即4t 4t 2－1·(－1t )＝－1，解得t＝5 2．所以A的坐标为A(52p，5p)、B的坐标为B(52p，－5p)．情景再现1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是．2．椭圆x2＋2y2＝2与直线x＋2y－1＝0交于B、C两点，求经过B、C及A(2，2)的圆的方程．3．若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是（）A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动(1984年全国高中数学联赛)B类例题例4．斜率为3的动直线l和两抛物线y＝x2，y＝2x2－3x＋3交于四个不同的点，设这四个点顺次为A、B、C、D(如图)．求证：|AB|与|CD|之差为定值．证明 设AD 的中点为M (x 0，y 0)，因为直线l 的斜率为3，所以直线l 的参数方程为 ⎩⎨⎧x 0＝x 0＋12t ，y ＝y 0＋32t ．(t 为参数) ① 设MA ＝t 1，MD ＝t 2，MB ＝t 3，MC ＝t 4，则t 1＜t 2＜t 3＜t 4，因而|AB |－|CD |＝(t 3－t 1)－(t 2－t 4)＝(t 3＋t 4)－(t 1＋t 2) ②将①式代入y ＝x 2，整理得t 2＋4(x 0－32)t ＋4(x20－y 0)＝0， 由t 1＋t 2＝0，得x 0＝32． 将①式代入y ＝2x 2－3x ＋3，整理得t 2＋(4x 0－3－3)t ＋4(x 20－6x 0－2y 0＋6)＝0，所以t 3＋t 4＝－4x 0＋3＋3，因为x 0＝32，所以t 3＋t 4＝3－3， 代入②得：|AB |－|CD |＝3－3是定值．例5．设直线ax ＋by ＋c ＝0与抛物线y 2＝4px 相交于A 、B 两点，F 是抛物线的焦点，直线AF 、BF 交抛物线(异于A 、B 两点)于C、D两点(异于A、B两点)．求直线CD的方程．解设A(pt21，2pt1)、B(pt22，2pt2)、C(pt23，2pt3)、D(pt24，2pt3)．直线AC的方程为：y－2pt1＝2p(t1－t3)p(t21－t23))(x－pt21)，即2x－(t1＋t3)y＋2pt1t3＝0．因为AC经过焦点F(p，0)，所以t3＝－1t1；同理，t4＝－1t2．①因为点A、B在直线ax＋by＋c＝0上，则apt21＋2pbt1＋c＝0，apt22＋2pbt2＋c＝0，即t1、t2是方程apt2＋2pbt＋c＝0的两根．根据根与系数关系，得t1＋t2＝－2ba，t1t2＝cap．设CD的方程为ex＋fy＋g＝0 ②同理有t3＋t4＝－2fe，t1t2＝gep．所以－2fe＝－(1t1＋1t2)＝－t1＋t2t1t2＝2bpc，则f＝－bpec；gep＝1t1t2＝apc，则g＝ep2ac．把f＝－bpec，g＝ep2ac代入②，并整理得CD的方程为：x－bpy＋ap2＝0．例6．给定曲线族2(2sinθ－cosθ＋3)x2－(8sinθ＋cosθ＋1)y＝0，θ为参数，求该曲线在直线y＝2x上所截得的弦长的最大值．(1995年全国高中数学联赛)解显然，该曲线族恒过原点，而直线y＝2x也过原点，所以曲线族在y＝2x上所截得的弦长仅取决于曲线族与y＝2x的另一个交点的坐标．把y＝2x代入曲线族方程得(2sinθ－cosθ＋3)x2－(8sinθ＋cosθ＋1)x＝0，又2sinθ－cosθ＋3＝5sin(θ－arctan 12)＋3≠0，当x≠0时，就有x＝8sinθ＋cosθ＋12sinθ－cosθ＋3，(1)令sinθ＝2u1＋u2，cosθ＝1－u21＋u2，则x＝8u＋12u2＋2u＋1，得2xu2＋2(x－4)u＋(x－1)＝0．由u∈R知，当x≠0时Δ＝[2(x－4)]2－8x(x－1)＝4(－x2－6x ＋16)≥0，即x2＋6x－16≤0且x≠0，故－8≤x≤2且x≠0，则|x|max＝8由y ＝2x 得|y |max ＝16，所以所求弦长的最大值为82＋162＝85．说明 对于式(1)还可以这样处理：整理得(2x －8)sinθ－(x ＋1)cosθ＝1－3x ，于是只有当(2x －8)2＋(x ＋1)2≥(1－3x )2时方程才有解，即x 2＋6x －16≤0．以下同题中解法．情景再现4．在曲线y ＝51－x 29(－3≤x ≤3)上取一点，使它到直线x ＋y －10＝0的距离最远，并求出这个最远点．5．设a ，b 是两个已知正数，且a >b ，点P 、Q 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，若连结点A (－a ，0)与Q 的直线平行于直线OP ，且与y 轴交于点R ，则|AQ |·|AR ||OP |2＝ ；(O 为坐标原点)(上海市1992年高中数学竞赛)6．已知MN 是圆O 的一条弦，R 是MN 的中点，过R 作两弦AB 和CD ，过A 、B 、C 、D 四点的二次曲线MN 于P 、Q ．求证：R 是PQ 的中点． C 类例题例7．自点P 1向椭圆引两条切线，切点为Q 1、R 1，又自点P 2向这椭圆引两条切线，切点为Q 2、R 2．证明：P 1、Q 1、R 1、P 2、Q 2、R2六点在一条二次曲线上．解设椭圆方程为ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．过切点Q1、R1的直线方程为ax1x＋by1y－1＝0，过切点Q2、R2的直线方程为ax2x＋by2y－1＝0，所以经过Q1、R1、Q2、R2的二次曲线方程可设为(ax1x＋by1y－1)(ax2x＋by2y－1)＋λ(ax2＋by2－1)＝0．令λ＝－(ax1x2＋by1y2－1)，得方程(ax1x＋by1y－1)(ax2x＋by2y－1)－(ax1x2＋by1y2－1)(ax2＋by2－1)＝0．显然点P1、P2的坐标满足此方程，而此方程是二次方程，即：P1、Q1、R1、P2、Q2、R2六点在一条二次曲线上．得证！例8．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，动圆Γ：x2＋y2＝R2，其中b＜R＜a，若A是椭圆上的点，B是动圆Γ上的点，且使直线AB与椭圆和动圆Γ均相切，求A、B两点距离|AB|的最大值．(四川省2004年全国高中数学联赛预赛题)解设A(a cosθ，b sinθ)，则直线AB方程为(b2a cosθ)x＋(a2b sinθ)y＝a2b2即l：(b cosθ)x＋(a sinθ)y＝ab．l也是圆Γ的切线，故OB⊥l，故直线OB的方程为(a sinθ)x－(b cosθ)y＝0．于是点B坐标为B(ab2cosθb2cos2θ＋a2sin2θ，a2b sinθb2cos2θ＋a2sin2θ)．故|AB|2＝(a cosθ－ab2cosθb2cos2θ＋a2sin2θ)2＋(b sinθ－a2b sinθb2cos2θ＋a2sin2θ)2＝a2cos2θ(b2cos2θ+a2sin2θ－b2)2(b2cos2θ+a2sin2θ)2＋b2sin2θ(b2cos2θ+a2sin2θ－a2)2(b2cos2θ+a2sin2θ)2＝(a2－b2)2cos2θsin2θb2cos2θ+a2sin2θ＝(a－b)2·(a+b)2cos2θsin2θb2cos2θ+a2sin2θ．而b2cos2θ＋a2sin2θ≥(a+b)2cos2θsin2θ，等价于b2cos2θ－b2cos2θsin2θ+a2sin2θ－a2sin2θcos2θ≥2ab cos2θsin2θ，即b2cos4θ+a2sin4θ≥2ab cos2θsin2θ．最后一式显然成立．故|AB|2≤(a－b)2，即|AB|≤a－b．当且仅当tan2θ＝ba时等号成立，此时R＝|OB|＝ab．说明本题也可以这样考虑：设AB的斜率为k，由直线AB是椭圆E的切线，则AB方程为y＝kx±a2k2+b2．x 由AB 是圆Γ的切线，则AB 方程为y ＝kx ±R k 2+1．切点A 的横坐标x 1＝－ka 2m ；B 的横坐标x 2＝－kR 2m． 由a 2k 2+b 2＝R k 2+1，得k 2＝R 2－b 2a 2－R 2， 故|AB |2＝k 2m 2(a 2－R 2)2(1＋k 2)＝R 2－b 2a 2－R 2 (a 2－R 2)2R 2 ＝1R2(a 2－R 2)(R 2－b 2) ＝a 2＋b 2－R 2－a 2b 2R 2＝(a －b )2－(R －ab R )2≤(a －b )2． 从而可得上述结果．情景再现7．设P 、Q 为给定二次曲线ax 2＋bxy ＋cy 2＋dx ＋ey ＋f ＝0上任二点，过P 、Q 任作一圆，该圆与所给二次曲线交于另外两点M 、N ，求证：直线MN 有定向．(1978年上海市赛题) 8．如图，过点A (－2，m )作直线l 交椭圆x 22＋y 2＝1于B 、C ．点Q 在弦BC 上，且满足BQ QC ＝AB AC． (1)求m ＝0时，点Q 的轨迹方程；(2)若M 变动，则证明不论m 为何实数，点Q的轨迹恒过一个定点．习题541．设P是抛物线y2＝2x上的点，Q是圆(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PQ|的最小值是；(上海市2001高中数学竞赛)2．与双曲线x29－y216=1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线方程是．(湖南省2001年高中数学竞赛)3．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x＋y＝0和x－y＝0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程．(1979年全国高中数学竞赛)4．当s和t取遍所有实数时，则(s＋5－3|cos t|)2＋(s－2|sin t|)2所能达到的最小值为．(1989年全国高中数学联赛) 5．求证：若轴垂直的两条抛物线如果有4个交点，则此四个交点共圆．(1979年河北省赛题)6．设AB、CD是椭圆x2a2＋y2b2＝1的两条弦，若它们的倾斜角互补，求证：A、B、C、D四点共圆．7．已知二次曲线C：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0与两条直线l1x＋m1y＋n1＝0，l2x＋m2y＋n2＝0有4个不同的交点．求证：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＋λ(l1x＋m1y＋n1)(l2x＋m2y＋n2)＝0（*）是过四个交点的曲线系．8．过不在圆锥圆锥上的一定点一定点P引已知圆锥曲线的任意相互垂直的两弦AB与CD．求证：1P A·PB＋1PC·PD是定值．本节“情景再现”解答：1．－3＜m＜－23．2．圆的方程为6x2＋6y2－9x－14y－2＝0．3．C．4．d max＝722，最远点为（－3，0）．5．2．6．以R为原点，MN为x轴，建立平面直角坐标系．设圆心O的坐标为(0，a)，圆半径为r，则原方程为x2＋(y－a)2＝r2①．设AB、CD的方程分别为y＝k1x和y＝k2x．将它们合成为(y－k1x)(y－k2x)＝0 ②．于是，过①与②的四个交点A、B、C、D的曲线系方程为(y－k1x)(y－k2x)＋λ[x2＋(y－a)2－r2]＝0③．令③中y＝0得，(λ＋k1k2)x2＋λ(a2－r2)＝0④．④的两个根是二次曲线与MN交点P、Q的横坐标．因为x P＋x Q＝0，x 即R 是PQ 的中点．7．以P 为原点，PQ 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，且设Q (l ，0)，则所给二次曲线在此坐标系内的方程可以写为x 2＋b 'xy ＋c 'y 2－lx ＋e 'y ＝0．而过PQ 两点的圆方程为x 2＋y 2－lx ＋ky ＝0．于是曲线x 2＋b 'xy ＋c 'y 2－lx ＋e 'y ＋λ(x 2＋y 2－lx ＋ky )＝0过此二曲线交点．故必过另两个交点M 、N ．取λ＝－1代入得，b 'xy ＋(c '－1)y 2＋(e '－k )y ＝0，即y ＝0表示直线PQ ．方程b 'x ＋(c '－1)y ＋(e '－k )＝0表示直线MN ，由于b '、c '－有定向．8．设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cosαy ＝m ＋t sinα，（t 为参数）．①代入椭圆方程，并整理得，(2sin 2α＋cos 2α)t 2＋4(m sinα－cosα)t ＋2(m 2＋1)＝0．所以，t 1＋t 2＝－4(m sinα－cosα)2sin 2α＋cos 2α，t 1t 2＝2(m 2＋1)2sin 2α＋cos 2α②． 设AB ＝t 1，AC ＝t 2，AQ ＝t ，则由BQ QC ＝AB AC ，得t －t 1t 1－t ＝t 1t 2，整理得，t (t 1＋t 2)＝2t 1t 2 ③，②代入③，得－t (m sinα－cosα)＝m 2＋1．t ＝m 2＋1cosα－m sinα④．将④代入①，得点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋(m 2＋1)cosαcosα－m sinα，y ＝m ＋(m 2＋1)sinαcosα－m sinα，(α为参数)．消去α，得ym －(x ＋1)＝0． (1)当m ＝0时，所求轨迹是x ＝－1(过左焦点)被椭圆截下的弦；(2)当m 变动时，点Q 的轨迹恒过定点F 1(－1，0)．本节“习题4”解答：1．2． 2．x 29－y 216＝14． 3．双曲线方程为x 2－y 2＝±1． 4．2．5．设两条抛物线的方程分别为y 2＝2p (x －m )及x 2＝2q (y －n )．则曲线y 2－2p (x －m )＋λ[x 2－2q (y －n )]＝0必经过两条抛物线的交点，取λ＝1，即得一圆方程，由已知，此圆经过两条抛物线的四个交点．即此四个交点共圆．6．设AB 、CD 的倾斜角分别为θ与π－θ，直线AB 、CD 的交点坐标为P (x 0，y 0)，则AB 方程可写为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cosθ，y ＝y 0＋t sinθ．(θ为参数) 代入方程得：(b 2cos 2θ＋a 2sin 2θ)t 2＋2(b 2x 0cos θ＋a 2y 0sin θ)t ＋b 2x 02＋a 2y 02－a 2b 2＝0．由韦达定理知|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2|b 2cos 2θ＋a 2sin 2θ．以π－θ代替θ，即可得|PC |·|PD |＝|b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2|b 2cos 2θ＋a 2sin 2θ，即|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |，故A 、B 、C 、D 共圆．7．设P i (x i ，y i )（i ＝1，2，3，4）为二次曲线C 与两条直线的四个交点，则Ax i 2＋Bx i y i ＋Cy i 2＋Dx i ＋Ey i ＋F ＝0（i ＝1，2，3，4），同时也有，l 1x i ＋m 1y i ＋n 1＝0，或l 2x i ＋m 2y i ＋n 2＝0．因此，这四个点的坐标满足（*），即（*）表示的曲线过曲线C 与直线的四个交点；在过已知四点P 1，P 2，P 3，P 4的任意一条二次曲线上取一点Q (x 0，y 0)，Q 与已知四点不同（它不在两已知直线上）．令λ0＝－Ax 02＋Bx 0y 0＋Cy 02＋Dx 0＋Ey 0＋F (l 1x 0＋m 1y 0＋n 1)(l 2x 0＋m 2y 0＋n 2)，方程（*）变形为Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ0(l 1x ＋m 1y ＋n 1)(l 2x ＋m 2y ＋n 2)＝0．这个方程表示过P 1，P 2，P 3，P 4，Q 五个点的曲线，故可用方程（*）表示已知二次曲线和两条直线交点的二次曲线系．8．以P 为原点建立直角坐标系，在此坐标系内圆锥曲线的方程为 Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0． (1)P AB 的方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cosθ，y ＝y 0＋t sinθ．(θ为参数)， 代入⑴得：t 2(A sin 2θ＋B sin θcos θ＋C cos 2θ)＋t (D sin θ＋E cos θ)＋F ＝0，由于P 不在圆锥曲线上，故F ≠0．则1P A ·PB ＝A sin 2θ＋B sin θcos θ＋C cos 2θF． PCD 的方程⎩⎨⎧x ＝－t sinθ，y ＝t cosθ．(θ为参数)， 代入(1)得：t 2(A cos 2θ－B sin θcos θ＋C sin 2θ)＋t (－D cos θ＋E sinθ)＋F＝0，同理，得，1PC·PD＝A cos2θ－B sinθcosθ＋C sin2θF．从而可得1P A·PB＋1PC·PD＝A＋CF为定值．第21 页共21 页。
高中数学含参数方程的解题技巧及应用实例
高中数学含参数方程的解题技巧及应用实例数学中的参数方程是一种常见的表达方式，它可以描述一条曲线或者一个平面的方程。
在高中数学中，我们经常会遇到含有参数方程的问题，因此掌握解题技巧对于学生们来说非常重要。
本文将介绍一些解题技巧，并通过实例来说明其应用。
一、参数方程的基本概念在开始介绍解题技巧之前，我们首先来了解一下参数方程的基本概念。
参数方程是由参数表示的一组方程，通常用来描述曲线或者平面上的点的位置。
一个参数方程通常由两个或多个参数方程组成，例如：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过给定不同的参数值，我们可以得到曲线上的不同点。
二、解题技巧及应用实例1. 求参数方程的交点当我们需要求解两个参数方程的交点时，可以将两个参数方程联立起来，解得参数的值，再代入其中一个参数方程中求得交点的坐标。
例如，考虑以下两个参数方程：x = ty = t^2我们需要求解这两个参数方程的交点。
将第一个参数方程代入第二个参数方程中，得到：t^2 = t解这个方程，我们可以得到t=0或t=1。
将这两个t值代入第一个参数方程中，我们可以得到两个交点坐标：(0,0)和(1,1)。
2. 求参数方程的导数在一些问题中，我们需要求参数方程的导数。
对于参数方程x=f(t)和y=g(t)，它们的导数可以通过对x和y分别关于t求导得到。
例如，考虑以下参数方程：x = t^2y = 2t我们需要求解这个参数方程的导数。
对x和y分别关于t求导，我们可以得到：dx/dt = 2tdy/dt = 2这样，我们就得到了参数方程的导数。
3. 求参数方程的弧长在一些问题中，我们需要求解参数方程所描述的曲线的弧长。
为了求解弧长，我们可以使用积分的方法。
对于参数方程x=f(t)和y=g(t)，它们的弧长可以通过积分公式得到：L = ∫[a,b] √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt其中，[a,b]表示积分区间，dx/dt和dy/dt分别是参数方程的导数。
数学中的参数方程与曲线绘制技巧
数学中的参数方程与曲线绘制技巧数学中的参数方程是描述曲线的一种常用方法，通过给定参数的取值范围来确定曲线上的点。
在数学与工程学科中，参数方程被广泛应用于曲线绘制、物理模型建立等领域。
本文将介绍数学中的参数方程以及相关的曲线绘制技巧。
一、参数方程的基本概念参数方程是一种用参数来表示自变量与因变量之间关系的方程。
一般形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示平面直角坐标系中的横纵坐标，t为参数，f(t)和g(t)为参数的函数。
二、参数方程的绘制方法1. 确定参数范围在进行曲线绘制之前，首先要确定参数t的取值范围。
根据具体情况，选择使得曲线完整呈现的参数范围。
2. 计算曲线上的点坐标根据给定的参数方程，计算参数t对应的x和y的值，得到曲线上的点坐标。
3. 绘制曲线将计算得到的点依次连接起来，并绘制出曲线。
可以使用数学绘图工具、图形软件或者编程语言来完成曲线绘制。
三、常见的参数方程和曲线类型1. 抛物线参数方程：x = t, y = t^22. 圆参数方程：x = r*cos(t), y = r*sin(t)3. 椭圆参数方程：x = a*cos(t), y = b*sin(t)4. 螺旋线参数方程：x = cos(t)*t, y = sin(t)*t5. 心形线参数方程：x = 16*sin^3(t), y = 13*cos(t) - 5*cos(2*t) - 2*cos(3*t) - cos(4*t)四、曲线绘制技巧1. 参数范围选择根据需要绘制的曲线形状，选择适当的参数取值范围，保证曲线的完整性。
2. 曲线平滑处理如果参数方程得到的曲线有锯齿状或较为粗糙，可以通过增加参数的步长或者增加计算点的数量来获得更加平滑的曲线。
3. 参数方程与直角坐标系之间的转换有些情况下，给定的曲线是由直角坐标系方程得到的，需要将其转换为参数方程进行绘制。
这时可以通过直角坐标与参数方程之间的关系进行转换。
曲线的参数方程PPT
x y
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数）
(*)
t的几何意义：|t|=|M0M|
探究
直线与曲线y
f
(
x)交于M1,
M
两点，对应的参数
2
分别为t1 , t2 .
(1)曲线的弦M1M
的长是多少？
2
（2）线段 1：设直线的参数方程：
A、一个定点
B、一个椭圆
C、一条抛物线
D、一条直线
4．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀角速运动，
角速度为 rad / s .试以时间 t 为参数，建立质点运动轨
60
迹的参数方程。
直线的参数方程
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，
倾斜角，求这条直线的方程.
所以，该直线的参数方程为
那么方程(1)就叫做这条曲线的参数方程，其中变
量t叫做参数．
练习1：
以初速度v0发射炮弹，炮弹的发射角为，不
计空气阻力，试写出炮弹曲线的参数方程。
y v0
o
x
例1、已知曲线C的参数方程{ y
x
3t 2t 2
(t为参数) 1
(1)、判断点M1(0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)、已知点M3(6, a)在曲线C上，求a的值。
y
A
M(x,y)
o
x
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的
函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯
一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标
x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是
学习数学中的曲线和直方绘制
学习数学中的曲线和直方绘制数学是一门充满魅力的学科，而学习曲线和直方图的绘制是数学学习中的重要部分。
掌握这些技巧不仅能够帮助我们更好地理解和分析数学问题，还能提高数学思维和问题解决能力。
本文将介绍学习数学中曲线和直方绘制的基本原理和方法，帮助读者巩固和提高数学学习的能力。
一、曲线绘制1. 直线的绘制直线是曲线绘制的基础，我们可以通过两个点确定一条直线。
给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用直线的斜截式方程y = kx + b进行绘制。
其中，k为直线的斜率，可以通过斜率公式k = (y2 - y1) / (x2 - x1)计算得到；b为直线在y轴上的截距，可以通过将其中一个点的坐标代入斜截式方程求解得到。
2. 抛物线的绘制抛物线是一种常见的曲线形式，其图像是一个U形。
我们可以通过一些特定的点或者用二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c来绘制抛物线。
其中，a决定了抛物线的开口方向和形状，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
3. 正弦曲线和余弦曲线的绘制正弦曲线和余弦曲线是周期性的曲线形式，它们在数学和物理中都有广泛的应用。
通过调整正弦曲线和余弦曲线的振幅和周期，我们可以绘制出各种不同的波形图像。
二、直方图绘制直方图是用于表示数据分布的一种图形表达方式。
绘制直方图需要将数据进行分组，并统计每个组的频数或频率。
下面介绍直方图绘制的基本步骤：1. 数据分组根据数据的范围和精度，将数据划分为若干组。
每组的数值范围可以根据实际情况确定，但要保证每个数据都能够被正确分类到某一个组中。
2. 统计频数或频率统计每个组中数据的频数或频率。
频数是指该组中数据的个数，频率是指该组中数据的个数与总数据个数之比。
3. 绘制直方图将每个组的频数或频率绘制到纵坐标上，将组的区间绘制到横坐标上，然后用矩形的高度表示频数或频率。
各个矩形的宽度可以相等，也可以根据组的宽度进行调整。
直方图可以直观地反映数据的分布情况，帮助我们更好地理解数据的特征和规律。
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数学中的参数方程与曲线绘制技巧数学中，参数方程是描述一条曲线的数学方程形式之一。
与普通的直角坐标系方程（也称为直角坐标系方程）相比，参数方程可以更灵活地描述曲线的形状和运动。
通过掌握参数方程与曲线绘制技巧，我们能够更加深入地理解数学中的曲线概念，并在实际问题中运用到这一技巧。
一、参数方程的基本概念与特点
参数方程是一种用参数的形式表示的方程。
一般而言，参数方程由一系列参数表示，通过改变参数的取值范围，可以得到一条或多条曲线。
比如，对于平面上一条曲线，可以用x和y分别表示，参数方程则是将x和y视为参数，用t表示，即x=f(t)，y=g(t)。
参数方程的主要特点在于其表示的曲线可以包含更多的信息。
通过调整参数的取值范围，我们可以绘制出一条曲线上的所有点，从而完整地描述曲线的形状和特征。
另外，参数方程也可以用来表示一些无法用直角坐标系方程表示的曲线，比如螺旋线、星形线等。
二、参数方程与曲线绘制技巧
1. 根据问题确定参数的取值范围
在使用参数方程绘制曲线时，我们首先需要根据问题的具体要求，确定参数的取值范围。
不同的参数取值范围可能会导致不同的曲线形状，因此在确定参数的取值范围时要慎重选择，以确保绘制出符合需求的曲线。
2. 利用参数方程求得曲线上的点
通过参数方程，我们可以确定曲线上的点的坐标，进而绘制出
整条曲线。
具体地，我们可以选择一组合适的参数值，代入参数方程，计算得到对应的曲线上的点的坐标。
然后，根据这些点的坐标可以绘
制出曲线。
3. 注意特殊曲线与画出的曲线
有些参数方程所对应的曲线具有特殊性质，比如对称性、周期
性等。
在绘制这类曲线时，我们需要特别留意这些特殊性质，以确保
绘制出的曲线能够准确反映出这些特点。
另外，绘制曲线时也需要注意曲线的平滑性和连续性。
当参数
取值发生变化时，曲线上的点应该能够顺利过渡，不应该出现突变或
间断的情况。
因此，在绘制曲线时，我们需要仔细分析参数方程，确
保曲线的连续性和平滑性。
三、参数方程在实际问题中的应用
参数方程在实际问题中有着广泛的应用。
比如，可以用参数方
程来描述物体的运动轨迹，比如抛物线运动、圆周运动等。
另外，参
数方程还可以用来描述一些几何形状，比如椭圆、双曲线、螺旋线等。
例如，对于一个物体在空中进行自由落体运动的问题，可以用
参数方程来描述物体的位置。
设t为时间，g为重力加速度，则物体下
落的方程可以表示为：x=0，y=gt²/2。
通过改变t的取值范围，我们可
以得到物体下落的整个轨迹。
在工程设计中，参数方程也有一定的应用。
比如，某个机械零件的曲线形状可能需要满足某些特定的要求，可以利用参数方程来描述机械零件的形状，进而实现准确的设计与制造。
结语
参数方程作为一种灵活、强大的描述曲线的数学工具，在数学研究和实际应用中都具有重要意义。
通过掌握参数方程与曲线绘制技巧，我们可以更好地理解数学中的曲线概念，拓展数学思维，并在实际问题中灵活应用这一技巧。
希望本文的介绍对您对数学中的参数方程与曲线绘制技巧有所帮助。