2、双曲线的参数方程
高中双曲线知识点
高中双曲线知识点高中双曲线知识点包括双曲线的定义、性质、图像、方程与参数方程以及应用等方面内容。
1. 双曲线的定义：双曲线是平面上的一个曲线，其定义是一个平面上的点到两个焦点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹。
双曲线有两个分支，它们在两个焦点之间无限延伸，与对称轴相交于两个顶点。
2. 双曲线的性质：- 双曲线的焦点和直角双曲线的焦点一样，离中心越远，曲线越稀疏。
- 双曲线的渐近线是两条直线，它们与双曲线无穷远处的分支趋于平行。
- 双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线，并且是曲线的中心轴。
- 双曲线的顶点是对称轴上与曲线相交的点。
- 双曲线的离心率是一个大于1的实数，用来描述焦点与顶点之间的距离关系。
3. 双曲线的图像：双曲线的图像可以分为三种情况：椭圆双曲线、双曲线、和抛物线双曲线。
椭圆双曲线的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，而抛物线双曲线的离心率等于1。
具体的图像形态取决于双曲线的方程参数。
4. 双曲线的方程与参数方程：通常来说，双曲线的方程可以表示为Ax^2 + By^2 = C，其中A、B、C为常数。
不同的A与B的取值将决定双曲线的形态。
而双曲线的参数方程则可以表示为x = Asec(t)和y = Btan(t)，其中t为参数。
5. 双曲线的应用：双曲线在数学和物理学中有广泛的应用。
它们可以用来描述光学中的折射、电磁场中的电场分布、机械振动中的弹簧系统等等。
在实际生活中，双曲线也常常被用来作为美学设计的元素，例如建筑物的外形、家具的造型等等。
总之，高中双曲线知识点包括双曲线的定义、性质、图像、方程与参数方程以及应用等方面内容。
了解这些知识点有助于学生深入理解双曲线的特性和应用，为进一步学习相关数学和物理学科打下坚实基础。
双曲线一二三定义及推导
双曲线一二三定义及推导双曲线是二维平面上的一类曲线，它的形状类似于一条拉长的长蛋糕。
在数学中，双曲线有三种常见的定义方式，分别是用几何定义、用解析几何定义和用参数方程定义。
下面将详细介绍这三种定义方式及其推导。
一、几何定义：双曲线的几何定义是通过一个焦点和一个确定的准线上的一个点到这个焦点和焦准线之间的距离差的比例来确定的。
设焦点为F，准线为L，准线上的一个点为P，点P到焦点F的距离为d1，到焦准线L的距离为d2，则双曲线的几何定义是d1/d2等于一个常数e（离心率）。
用数学符号表示为：d1/d2 = e其中，e是一个大于1的常数，称为离心率。
通过几何定义，我们可以得到双曲线的一些性质。
首先，双曲线是对称的，即关于焦准线对称。
其次，离心率e越大，双曲线的拉长程度越高。
最后，双曲线的两个分支无限延伸，且与焦准线无限靠近但永远不会相交。
二、解析几何定义：双曲线的解析几何定义是通过代数方程来表示的。
设焦点为F（c, 0），离心率为e，焦准线为x = a/e（a为坐标原点到焦准线的距离），则双曲线的解析几何定义为：(x^2 + y^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1其中，b^2 = a^2 * (e^2 - 1)。
通过解析几何定义，我们可以进一步推导双曲线的一些性质。
首先，双曲线的中心在原点（0, 0）处。
其次，双曲线以x轴和y轴为渐近线，即双曲线的两个分支与x轴和y轴无限靠近但永远不会相交。
最后，双曲线的曲线方程可以写成标准形式：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，其中a为实际顶点到中心的距离，b为顶点到焦准线的距离。
三、参数方程定义：双曲线的参数方程定义是通过参数方程来表示的。
设焦点为F（c, 0），离心率为e，参数为t，则双曲线的参数方程定义为：x = a*cosh(t)y = b*sinh(t)其中，a = 1/e，b = 1。
双曲线方程推导过程
双曲线方程推导过程1. 引言双曲线是代数几何中的一种重要曲线，具有丰富的数学性质和广泛的应用。
在本文档中，我们将推导出双曲线的方程，并介绍一些基本概念和性质。
2. 双曲线的定义双曲线是指平面上满足以下方程的点的集合：$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b是正实数，称为双曲线的半轴长度。
3. 推导过程为了推导双曲线的方程，我们可以按照以下步骤进行：3.1 将方程改写为标准形式首先，我们可以通过一系列变换将双曲线方程改写为标准形式。
假设我们给定双曲线方程为：$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$$我们可以通过乘以a2和b2，并移项得到：$$x^2 - \\frac{y^2 \\cdot a^2}{b^2} = a^2$$进一步，我们可以通过对方程两边同时取对数，再进行一系列的代换和化简，最终将方程改写为标准形式：$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$$3.2 推导双曲线的基本性质在标准形式下，我们可以推导出双曲线的一些基本性质。
•双曲线的焦点：双曲线有两个焦点，分别位于x轴上方和下方的点F1和F2，满足|F1F2|=2c，其中$c = \\sqrt{a^2 + b^2}$是焦半径。
•双曲线的顶点：双曲线的顶点位于x轴上，距离原点的距离为a。
•双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别是直线$y = \\frac{b}{a}x$和$y = -\\frac{b}{a}x$。
•双曲线的离心率：双曲线的离心率定义为$e = \\frac{c}{a}$，表示焦点与顶点之间的距离与焦半径之比。
3.3 双曲线的参数方程双曲线的参数方程表示双曲线上任意一点的x坐标和y坐标与t的关系。
在双曲线的标准形式下，可以得到双曲线的参数方程：$$\\begin{cases} x = a\\cosh t \\\\ y = b\\sinh t \\end{cases}$$其中，$\\cosh t = \\frac{e^t + e^{-t}}{2}$和$\\sinh t = \\frac{e^t - e^{-t}}{2}$是双曲函数。
双曲线的性质大总结
双曲线的性质大总结双曲线是数学中重要的曲线之一，具有许多独特的性质。
在本篇文档中，我们将对双曲线的性质进行详细总结并进行讨论。
什么是双曲线？双曲线是平面上的一类曲线，它由一对称轴和两个分支组成。
双曲线的定义基于其与两个焦点和到两个焦点的距离之差的关系。
具体地说，对于给定的两个焦点F1和F2以及一个常数c，双曲线是满足以下条件的点P的集合：|PF1 - PF2| = c其中，PF1表示点P到焦点F1的距离，PF2表示点P到焦点F2的距离。
双曲线的一般方程双曲线的一般方程可以表示为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，a和b是与双曲线有关的常数。
这个方程描述了双曲线的形状和大小。
双曲线的性质双曲线具有许多有趣的性质，其中一些将在以下部分进行讨论。
对称轴双曲线有两个对称轴，分别与双曲线的两个分支相切。
对称轴是双曲线的中轴线，过双曲线的焦点。
对称轴是双曲线的一条特殊直线，它将双曲线分成两个对称的部分。
焦点和直线双曲线有两个焦点，每个焦点都位于对称轴上。
焦点是到焦点距离之差与常数c之比的点。
对于给定的双曲线，焦点的位置和数量是固定的。
双曲线的两个焦点和对称轴之间的距离是双曲线的主要特征之一。
另外，双曲线还具有一个特殊的直线，称为渐近线。
渐近线是通过双曲线的两个分支趋向于无限远的点所形成的。
对于双曲线来说，渐近线的斜率接近于对称轴的斜率。
离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。
离心率定义为焦点到对称轴距离与焦点到双曲线上点P的距离之比，可以表示为：e = c / a其中，e是离心率，c是到焦点的距离之差，a是双曲线的半长轴长度。
离心率描述了双曲线的形状，它可以是小于1的实数。
离心率越小，双曲线的形状越扁平；离心率越大，双曲线的形状越窄长。
直角双曲线直角双曲线是离心率为根号2的双曲线。
它是一种特殊类型的双曲线，具有与坐标轴相交于直角的性质。
直角双曲线在自然和物理科学中经常出现，具有许多重要的应用。
双曲线曲线性质一览表
双曲线曲线性质一览表
双曲线是一类常见的数学曲线，具有独特的性质和特点。
下面是双曲线的一览表，总结了其主要的性质和特征。
定义
- 双曲线是一个点到两个给定焦点的距离之差与一个常数的绝对值之比等于一个固定的常数的轨迹。
方程表示
- 双曲线的方程一般形式为：Ax² - By² = C，其中A、B、C为常数，并且A和B的系数异号。
基本特征
- 双曲线具有两个分离的支线，无限延伸。
- 双曲线的两个焦点位于曲线的中心轴上，离中心轴的距离相等。
- 曲线的中心轴是对称轴，将双曲线分为两个对称的部分。
- 双曲线与两个焦点的距离之差与轴上的点到两个焦点的距离之和相等。
图像特征
- 双曲线的图像通常呈现出两个分离的弧线，与椭圆的图像类
似但更加扁平。
- 图像在中心轴附近很陡峭，在离中心轴越远的位置曲线趋于
平缓。
- 曲线无限延伸，没有封闭的形状。
参数方程
- 双曲线的参数方程表示为：x = a/sec(t)，y = b*tan(t)，其中a
和b是常数，t是参数。
应用领域
- 双曲线的性质和特点使它在许多领域有广泛应用，如物理学、经济学、工程学等。
以上是双曲线的一览表，总结了其定义、方程表示、基本特征、图像特征、参数方程和应用领域。
通过了解双曲线的性质，我们可
以更加深入地理解和应用这一数学概念。
双曲线的知识点
双曲线的知识点双曲线是二次曲线的一种，它有着独特的形状和特点，具有广泛的应用领域。
在数学中，双曲线的研究可以追溯到古希腊时期，一直延续至今。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及几个常见的双曲线方程。
1. 定义双曲线是一个点到两个固定点的距离之差等于一个常数的点集合。
这两个固定点被称为焦点，常数被称为离心率。
双曲线的形状可分为两支，中间没有实际的交点。
它的几何特征是曲线上的每一点到两个焦点的距离之差恒定，这个常数被定义为双曲线的离心率。
2. 性质（1）焦托性质：双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于常数，而且双曲线上的每一点都有两个对称的焦点。
（2）渐近线性质：双曲线的两支曲线分别趋近于两条直线，这两条直线被称为双曲线的渐近线。
（3）对称性质：双曲线具有对称性，即关于原点和两条渐近线对称。
（4）参数方程：双曲线可以用参数方程来描述，例如常见的参数方程为x=a/cosh(t)，y=b*sinh(t)，其中a,b为常数，cosh和sinh分别是双曲函数。
3. 常见的双曲线方程（1）标准方程：双曲线的标准方程可表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1，其中a和b分别为双曲线的半轴。
当常数为1时得到的是右开口的双曲线，当常数为-1时得到的是左开口的双曲线。
（2）焦准方程：双曲线的焦准方程可表示为x^2 - y^2 = a^2 + b^2或x^2 - y^2 = a^2 - b^2，其中a和b分别为双曲线的离心率和半焦距。
4. 应用领域双曲线在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学中，双曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于等高线图、极坐标、椭圆函数等领域。
在物理学中，双曲线常用于描述光学镜面反射、电磁波传播等现象，如光学器件中的抛物和双抛物面等。
总结而言，双曲线是一种独特的二次曲线，具有焦托性质、渐近线性质、对称性质等特点。
它可以通过标准方程或焦准方程进行描述，可用参数方程表示。
双曲线参数方程中参数的几何意义
双曲线参数方程中参数的几何意义双曲线是高等数学中重要的曲线之一，它在几何学和物理学中有着广泛的应用。
双曲线参数方程是描述双曲线的一种常见表达方式。
在双曲线参数方程中，参数起到了至关重要的作用，它们决定了双曲线的形状和特性。
本文将深入探讨双曲线参数方程中参数的几何意义，以便更好地理解双曲线的性质和应用。
1. 双曲线的一般方程双曲线的一般方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是实数，且满足a和b均不等于零。
这个方程可以通过参数方程的方式来表示，即x = a*secθ和y = b*tanθ，其中θ为参数。
2. 参数θ的几何意义参数θ代表了双曲线上每一个点与双曲线的焦点之间的连线与双曲线的主轴之间的夹角。
由于双曲线的焦点和主轴之间的关系是不变的，因此通过改变参数θ的取值，可以得到双曲线上不同点的位置。
当θ=0时，对应的点位于双曲线的右焦点处；当θ=π/2时，对应的点位于双曲线的上焦点处；而当θ=π时，对应的点位于双曲线的左焦点处。
3. 参数a和b的几何意义参数a表示双曲线沿x轴方向的长度，它决定了双曲线离x轴的距离。
当a增大时，双曲线会变得更扁平，离x轴的距离会变小；相反，当a减小时，双曲线会变得更加陡峭，离x轴的距离会变大。
参数b表示双曲线沿y轴方向的长度，它决定了双曲线离y轴的距离。
当b增大时，双曲线会变得更加狭长；相反，当b减小时，双曲线会变得更加宽胖。
4. 参数a和b的关系参数a和b之间存在一定的关系，即a^2 - b^2 = 1。
这个关系表明，当a大于b时，双曲线是纵向的，焦点在y轴上；当a小于b时，双曲线是横向的，焦点在x轴上。
当a和b相等时，双曲线变成了一个对等的圆。
5. 双曲线的性质和应用双曲线具有许多有趣的性质和应用。
双曲线是一种非切线连续曲线，它在无穷远处与两条渐近线相交。
双曲线还具有对称性，关于原点对称和关于x轴和y轴对称。
双曲线的焦点和离心率等性质也是双曲线独特的特征。
高等数学特殊参数曲线
高等数学特殊参数曲线1、特殊参数曲线的定义特殊参数曲线是指由参数方程表示的曲线，其中参数的取值范围或取值特点与曲线的性质密切相关。
特殊参数曲线常见的类型有直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
2、直线的参数方程直线的参数方程一般表示为：x = a + mty = b + nt其中a、b为直线上的一点坐标，m、n为方向向量，t为参数。
通过给定的参数方程，可以确定直线上的所有点。
3、抛物线的参数方程抛物线的参数方程一般表示为：x = a + bty = c + dt + et^2其中a、b、c、d、e为常数，t为参数。
抛物线的参数方程可以描述抛物线的形状、开口方向等特征。
4、椭圆的参数方程椭圆的参数方程一般表示为：x = a + rcos(t)y = b + rsin(t)其中a、b为椭圆中心的坐标，r为椭圆的半长轴、半短轴的比值，t为参数。
通过给定的参数方程，可以确定椭圆上的所有点。
5、双曲线的参数方程双曲线的参数方程一般表示为：x = a + rsec(t)y = b + rtan(t)其中a、b为双曲线中心的坐标，r为双曲线的半长轴、半短轴的比值，t为参数。
双曲线的参数方程可以描述双曲线的形状、开口方向等特征。
特殊参数曲线是描述曲线形状的一种方式。
通过给定的参数方程，可以准确地确定曲线上的各个点。
不同类型的曲线有不同的参数方程，每个参数曲线都有其独特的性质。
掌握特殊参数曲线的参数方程是研究曲线性质和解题的重要基础。
在数学学习中，我们需要通过参数方程的形式，深入理解曲线的性质，运用相关知识解决实际问题。
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C1 A C2 O B
B M A
图2 10
所以，点M的轨迹的参数方程为 x a sec 为参数 ③ y b tan
2 sin 2 2 1 因为 2 1，即sec tan 1， 2 cos cos
所以，从③消去参数 后得到点M的轨迹的普通 方程为②，这是中心在原点，焦点在x轴上的双 曲线. 所以③就是双曲线②的参数方程 .
y
xA xB sin2 cos cos
a sec tan
2 2 2
A
M
4cos
2
sin 2
O
B
x
a tan a b ab . 2 2 a 2
2
2
图2 11
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值， 与点M在双曲线上的位置无关.
1 cos
r 1 y sin csc a __________
二、双曲线的参数方程
类似于探究椭圆参数方程的方法，我们来探究 2 2 y 双曲线 x2 2 1 a 0， b 0 ② a b B M 的参数方程. C1 A
如图2 10，以原点O为圆 B A 心，a ， b a 0， b 0 为半 径分别作同心圆C1 ， C2 . 设 A为圆C1上任一点，作直 图2 10 线OA，过点A作圆C1的切 线AA与x轴交于点A，过 圆C 2与x轴的交点B作圆C 2的切线BB 与直线OA交于 点 B . 过点 A，B 分别作 y 轴，x 轴的平行线A M， B M 交于点M .
y
A
M
O
B
x
同理可得点B 的横坐标为 图2 11 x B a sec tan . 2 设AOx ，则 tan b . a 所以，平行四边形MAOB的面积为
S平行四边形MAOB | OA | | OB | sin2
S平行四边形MAOB | OA | | OB | sin2
y
A
M
O
B
x
图2 11
解：双曲线的渐近线方程为 y b x . 不妨设 M 为 a 双曲线右支上一点，其坐标为 a sec ，b tan ，
则直线MA的方程为 y b tan b x a sec . ④ a 将y b x代入④，解得点A 的横 a 坐标为x A a sec tan . 2
因为OA AA，所以OA AA 0，从而
a cos x a cos a sin 0.
2
解得 x
a . 记 cos
1 sec ，则x a sec . cos
因为点B在角的终边上，由 y 三角函数定义有 tan ， b 即y b tan .
在双曲线的参数方程③中，通常规定参数的范 3 围为 0， 2 ，且 ， . 2 2
思考 类比椭圆的参数方程，从双曲线的参数方 程中可以得出哪些结论 ?
由图 2 10 或通过动画演示 可以看到， 参数 是点M 所对应 B M 的圆的半径 OA 的旋 C1 A 转角 (称为点 M 的离 C2 心角)，而不是OM的 O B A 旋转角.
5、三角函数的定义的补 充：
y x tan a _________
余切:
y r sin a ________ x r cos a ________
1 tan sec
2 2
正割: 余割:
r sec a _________ x
x y cot a _________
双曲线的参数方程
x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
x＝asec φ， 数方程是 y＝btan φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
π 3π 且 φ≠ ，φ≠ . 2 2 y2 x2 (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
1 y x 3
例 2 如图 2 11，设 M 为双曲 2 2 y 线 x2 2 1 a ，b 0 上任意 a b 一点， O为原点， 过点M 作双曲 线两渐近线的平行线，分别与 两渐近线交于A， B两点. 探求平 行四边形 MAOB 的面积，由此 可以发现什么结论 ?
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
张家界市一中 高二数学组
一、复 习
1、椭圆的参数方程
x y 椭圆的标准方程： 2 2 1 a b
2 2
x2 y2 2 1 2 b a
椭圆的参数方程：
x acos , x bcos , 焦点在X轴 焦点在Y轴 y bsin . y asin .
b
•M
A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
2、在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆 的长半轴长和短半轴长. a>b
另外,
称为离心角,通常规定参数的取值范围
是：
[0, 2 )
3、椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:y
A
φ
x
椭圆的标准方程:
O
B
M N
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
4、从几何变换角度看椭圆 参数方程的推导
与椭圆类似，双曲线 图2 10 2 2 y x 1上任意一点的坐标可以设为 2 2 a b a sec ，b tan ，这是解决与双曲线有关 的问题的重要方法 .
双曲线的参数方程推导2
设M ( x, y)
a
y
A o B
B'
在OAA '中，x
| OA | a | OA ' | a sec , cos cos
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
的实质是三角代换.
x 2 3 sec 例1、（1）求双曲线 的两个焦点坐标。 y 4 3 tan
(2 15,0)
x 3sec （2）双曲线 (为参数)的渐近线 y tan 方程为 ______________
C2 O
双曲线的参数方程推导1
设Ox为始边，OA为终 边的角为，点M的坐 标为 x， y . 那么点A 的坐标为 x， 0 ，点B 的坐标为 b， y.
C1 A C2 O B
B M A
图2 10 因为点A在圆C1上，由圆 的参数方程得点A 的坐标 为 a cos ， b sin ，所以OA a cos ，b sin ， AA x a cos ， a sin .
通过伸缩变换 1 x x 2 2 x y a { 则椭圆的方程 2 2 1可以变成 1 a b y y b 2 2 x ＋y 1.利用圆的参数方程 x cos { (为参数)可以得到椭圆 的参数 y sin x acos 方程为{ y bsin
用双曲线的普通方程直接求解例2，并由 此体会参数方程的作用.
例3、已知圆O : x ( y 2) 1上一点P与双曲线
2 2
x 2 y 2 1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值
解：设双曲线上点的坐 标为Q (sec , tan ) 先求圆心到双曲线上点 的最小距离 OQ sec (tan 2)
双曲线的参数方程
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
a
y
A B' o B
•M
A' x
说明：
3 通常规定 [o,2 )且 ， 。 2 2
x a sec (为参数) y b tan
b
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 2 1 与三角恒等式 a b 2 2
2 2 2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1) 2 3 5 当tan 1, 即 或 时, OQ min 3 4 4 PQ min 3 1
小 结：
1、双曲线参数方程的形式
2、双曲线参数方程中参数的意义
x＝btan φ， 数方程是 y＝asec φ.
作 业
P34
习题2.2 第3题