双曲线的参数方程

设Ox为始边，OA为终
边的角为，点M的坐
标为 x，y . 那么点A 的坐标为 x，0，点B 的坐标为b，y .
B M C1C2 A
O B A
因为点A在圆C1上，由圆
图2 10
的参数方程得点A 的坐标uuur
为 uuura cos ，bsin ，所以OA a cos，bsin ， AA x a cos ， a sin .
2
a2 sec2 tan2
4cos2
sin 2
y
A
M
O
x
B
a2 tan a2 b ab .
2
2a 2
图2 11
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值， 与点M在双曲线上的位置无关.
用双曲线的普通方程直接求解例2，并由 此体会参数方程的作用.
例3、已知圆O : x2 ( y 2)2 1上一点P与双曲线 x2 y2 1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值
解：设双曲线上点的坐标为Q(sec , tan )
先求圆心到双曲线上点的最小距离
OQ 2 sec2 (tan 2)2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1)2 3
当tan 1,即 或5 时, OQ 3
44
m in
PQ 3 1 m in
小 结： 1、双曲线参数方程的形式 2、双曲线参数方程中参数的意义
余切:
x
cota ___y______
seca _____x____
1
cos
余割:
csca
___ry____s_in1__
二、双曲线的参数方程
类似于探究椭圆参数方程的方法，我们来探究
双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0
的参数方程.
如图2 10，以原点O为圆
心，a，b a 0，b 0 为半
的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,通常规定参数的取值范围
是：
[0, 2)
3、椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:y
椭圆的标准方程:
Aφ
BM O Nx
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
4、从几何变换角度看椭圆参数方程的推导
通过伸缩变换
x {
y
1 a 1
x y
则椭圆的方程x2 a2
tan
.
A
M
O
x
B
同理可得点B的横坐标为
xB
a 2
sec
tan .
图2 11
设AOx ，则tan b .
a
所以，平行四边形MAOB的面积为
S平行四边形MAOB | OA | | OB | sin 2
S平行四边形MAOB | OA | | OB | sin 2
xA
cos
xB
cos
sin
b
y2 b2
1可以变成
x2＋y2 1.利用圆的参数方程
{x y
scions(为参数)可以得到椭圆的参数
x 方程为{
acos
y bsin
5、三角函数的定义的补充：
y
sin a ____r____
x
cosa ___r_____
y
1 tan2 sec2
tan a ___x______ 正割: r
围为
0，2
，且
2
，
3
2
.
思考 类比椭圆的参数方程，从双曲线的参数方 程中可以得出哪些结论?
由图2 10或通过动画演示 可以看到，
参数 是点M 所对应
的圆的半径 OA的旋 转角 (称为点 M 的离 心角)，而不是OM的 旋转角.
B M C1C2 A
O B A
与椭圆类似，双曲线
图2 10
x2 a2
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
张家界市一中 高二数学组
一、复 习
1、椭圆的参数方程
椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
椭圆的参数方程：
x2 b2
y2 a2
1
焦点在X轴
x y
a cos b sinΒιβλιοθήκη , .焦点在Y轴 xy
b cos , asin .
2、在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆
②
B M C1C2 A
O B A
径分别作同心圆C1 ，C2 . 设 A为圆C1上任一点，作直 线OA，过点A作圆C1的切 线AA与x轴交于点A，过
图2 10
圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于 点 B. 过点 A，B分别作 y 轴，x 轴的平行线AM，
BM交于点M .
双曲线的参数方程推导1
图2 10
所以，点M的轨迹的参数方程为
x y
a b
sec tan
为参数
③
因为 1
cos2
sin2 cos2
1，即sec2
tan2
1，
所以，从③消去参数 后得到点M的轨迹的普通
方程为②，这是中心在原点，焦点在x轴上的双 曲线. 所以③就是双曲线②的参数方程.
在双曲线的参数方程③中，通常规定参数的范
φ， φ.
作业
P34 习题2.2 第3题
y2 b2
1上任意一点的坐标可以设为
a sec，b tan ，这是解决与双曲线有关
的问题的重要方法 .
双曲线的参数方程推导2
y
设M (x, y)
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | a a •sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
x2 y2 1
与三角恒等式
sec2 1 tan2 相比较而得到a2，所b2以双曲线的参数方
程
的实质是三角代换.
例1、（1）求双曲线
x
2
3 sec 的两个焦点坐标。
y 4 3 tan
uuur uuur
uuur uuur
因为OA AA，所以OA AA 0，从而
a cos x a cos a sin 2 0.
解得
x
a
cos
.
记
1
cos
sec ，则x
a sec .
因为点B在角的终边上，由
三角函数定义有 tan
y， b
即y b tan .
B M C1C2 A
O B A
双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参
数方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
且 φ≠π2，φ≠32π. (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ay22－xb22＝1 的参
数方程是yx＝＝absteacn
(2 15 ,0)
（2）双曲线
x y
3 sec tan
(为参数)的渐近线
方程为 ______________
y 1 x 3
例2 如图 2 11，设 M 为双曲
y
线 x2 a2
y2 b2
1a，b
0上任意
一点，O为原点，过点M 作双曲
线两渐近线的平行线 ，分别与
两渐近线交于A，B两点. 探求平
行四边形 MAOB 的面积 ，由此
可以发现什么结论?
A
M
O
x
B
图2 11
解：双曲线的渐近线方程为 y b x. 不妨设 M为 a
双曲线右支上一点，其坐标为a sec ，btan ，
则直线MA的方程为
y
y
b
tan
b a
x
a
sec
.
④
将y b x代入④，解得点A的横 a
坐标为xA
a 2
sec
所以M的轨迹方程是
x
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a b
sec tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且