双曲线与抛物线的参数方程(教学设计)
双曲线及抛物线的参数方程（含答案）
博文教育讲义课题：双曲线的参数方程学习目标：1、 理解双曲线的参数方程，掌握参数方程的应用2、 通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法.双曲线的参数方程及其应用双曲线的参数方程及其应用学习重点： 学习难点： 学习过程：1、复习回顾1.圆.必+户=产的参数方程为2.圆（、一“）2 + （>，—/02=户的参数方程为.3.椭圆 号+%• = l （a > 8 > 0）的一个参数方程.CT D2、双曲线参数方程的探求类似于探究捕圆掺数方程的方法，我们来探兜双曲线净。
） 的参数方程.ATIyN如图2西点为圆。
心，a A （fe 湘 6>0） 径分别作同心圆C 渣C ” 刀为圆口任一点，作宜 线Q 过点作18的切G 线硼分于点，过建圆巷轴的交点作醐J 切绒与直线划1 点就，分剔徊ft, 时/交于点M.轴的汗行线,设林A 边的角为料点的座 标为（•龄点 的坐标为（X,。
射 的坐标为0 J ）.A 1B'图 2-10OA A f M因为点在圆由圆的畚数方程得点的坐标_为（"o 煽以Asin 。
）Q4 = （“cos 伊 方sin 。
）4/' = （x —“cos 伊,一“sinp ）.因为两痂从而0417 = 0a cos （x — a cos p ） — （a sin <p^ = 0.因为点在角的籍边上，由三角函数定义有lanq = {DBP.r = Atanq.所以，点的轨迹的参数方程为fl"为参蜘解得法金奇*= sec 则x = asec°.因为*~-中 =1 sec ，°-tan ，夕=1cos - ＜p cos* tp所以，从⑤消去参数后得到点的轨迹的普通 方程为②，这是中心在原点，焦点在轴上的双 曲线所以⑧就是双曲线②的畚数方程.在双曲线的参数方程⑧中，通常规定参数前范围为伊伊罪手0#等.由图或通峰动踵演示可以看列, 套数*点丽应 的圈的半径的族 转角称为点的寅 心角）而不是的M 旋转角.3、自主练习•X = 2 sec 01双曲线7 一 次为参数），的渐近线方程为y = tan 。
高中数学 第二章 参数方程 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程教学案 4数学教学案
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，则焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，则焦点在y 轴上．3．若抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.则参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，则B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2，变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t 得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin （θ－φ）|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(广东高考)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．[命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2 一、选择题1．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3（sin 2θ＋cos 2θ）cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 二、填空题5．(陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，则焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，则x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0) 7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48.∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，则中点为M (a2(secα＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a （sec α－sec β）b （tan α－tan β）[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。
高三数学下册《曲线的参数方程》教案、教学设计
5.教学资源：
（1）充分利用多媒体教学资源，如PPT、动画、视频等，增强课堂教学的直观性和趣味性。
（2）提供丰富的课后学习资源，如网络课程、数学软件等，方便学生自主学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂开始时，我将通过一个生动的实例来导入新课。我会向学生展示一个视频，内容是一个摩天轮的运动过程。摩天轮的运动形成了一个圆的轨迹，这个轨迹实际上就是一个曲线。我会引导学生观察摩天轮的运动，并提出问题：“摩天轮的运动轨迹可以用什么方式来描述？”通过这个问题，学生会自然地联想到我们之前学习的坐标系和方程。接着，我会引入曲线参数方程的概念，告诉学生我们将要通过参数方程来描述这样的曲线运动。
（2）关注学生的学习反馈，及时调整教学进度和教学方法，提高教学效果。
（3）注重培养学生的数学思维能力，引导学生从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。
4.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、自主学习等方面的表现。
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，评价学生对曲线参数方程知识的掌握程度。
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，以实际生活中的曲线运动为例，引出曲线参数方程的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
（3）通过实例分析和课堂练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的曲线运动为例，如圆周运动、行星运动等，引出曲线参数方程的概念。
5.创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
椭圆、双曲线、抛物线 教学设计
椭圆、双曲线及抛物线一、教学目标： 1.知识目标：（1）了解椭圆、双曲线及抛物线的定义，理解它们的标准方程，能根据已知条件写出它们的方程；（2）由椭圆、双曲线及抛物线的方程知道它们的焦点坐标，了解图形的类型． 2.能力目标：培养学生的数形结合能力和逻辑思维能力. 3.思想品质目标：对学生进行爱国主义教育，并培养学生对新问题勇于探索的精神. 二、教学重点：对椭圆、双曲线及抛物线方程的讨论.三、教学难点：对椭圆、双曲线及抛物线方程的讨论.搞清标准方程中系数的几何意义，是突破难点的关键.四、教学方法：讲授法、图示法、归纳法与练习法相结合. 五、教学过程： （一） 椭圆 1．问题的引入2003年10月15日９时整，我国自行研制的“神舟”五号载人飞船载着航天员杨利伟在中国酒泉卫星发射中心发射升空，飞船在变轨前绕地球运行的轨道是椭圆，见图5-23.图5-23椭圆是一种常见的曲线，如汽车油罐横截面的轮廓，天体中一些行星和卫星运行的轨道等．请同学们准备一条一定长的绳子、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：（1）将绳子的两端固定在画板上的1F 和2F 两点，并使绳长大于1F 和2F 的距离，如图5-24所示；（2）用铅笔尖把绳子拉紧，并在画板上慢慢移动，画出一个椭圆．从上面的画图中，我们可以看出，绳子的长度是保持不变的，椭圆是由到点1F 和2F 的距离的和等于绳长的所有点组成的．我们把平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和是常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．练习题5．4．1.1请同学们按照上述方法用一条一定长的绳子，并改变两定点间的距离在画板画几个图5-24椭圆，并说出随着两定点的距离的变化，椭圆的形状有什么变化，试着找出其中的规律．解答：画图略. 两定点间的距离越大，椭圆越扁；两定点间的距离越接近于0，椭圆越接近于圆. 2 椭圆的标准方程根据上面画椭圆的步骤来研究椭圆的方程．取过焦点1F 、2F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图5-25所示．设),(y x M 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为c 2（c ＞0），椭圆上的点与两个定点1F 、2F 的距离之和为a 2（a ＞0），则1F ，2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -，由条件a MF MF 221=+，可以得到方程12222=+bx a y )0(>>b a ， （5．11） 其中222b c a =-. 可以证明，如果点),(y x M 的坐标满足方程（5．11），那么点M 一定在椭圆上．因此方程（5．11）叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．若如图5-26所示，取过焦点1F 、2F 的直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，用同样的方法可以得到它的方程为12222=+bx a y )0(>>b a ， （5．12） 其中222b c a =-,方程（5．12）叫做焦点在y 轴上的椭圆的标准方程． 想一想：已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？ 回答：一般地，比较x 、y 分母的大小即可判别.例1 已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为8，椭圆上一点到两个焦点距离之和等于10，写出椭圆的标准方程．解 由已知有102,82==a c ，即4=c ，5=a ，所以 9222=-=c a b ， 由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为 1352222=+y x ，即192522=+y x . 想一想： 如果将例1的已知条件“椭圆的焦点在x 轴上”删去，其余条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？回答：当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为192522=+yx ；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为192522=+x y . 例2 求椭圆191622=+y x 的焦点坐标和焦距．解 这是焦点在x 轴的椭圆的标准方程.故9,1622==b a ， 7222=-=b a c ， 图5-25x图5-26图5-27 x即 7=c .所以焦点坐标为)0,7(),0,7(21F F -，焦距722=c ．如图5-27所示，椭圆12222=+bx a y )0(>>b a 与坐标轴的交点分别为A 1（−a ，0）、A 2（a ，0）、B 1（0，−b ）、B 2（0，b ），线段A 1 A 2和B 1B 1分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长度分别为2a 和2b .练习题5．4．1.21． 求满足下列条件的椭圆标准方程： （1）13=a ，焦点为)0,12(),0,12(21F F -（2）10=b ，焦点为)0,23(),0,23(21F F - （3）13=a ，焦点为)12,0(),12,0(21F F - 2．求下列椭圆的焦点坐标和焦距．134)1(22=+y x ； 1553)2(22=+y x ； 143)3(22=+y x .参考答案：1．125169)1(22=+y x ； 11028)2(22=+y x ； 125169)3(22=+x y ；2 ．（1）焦点坐标)0,1(±，焦距 = 2；（2）焦点坐标)0,2(±，焦距22=； （3）焦点坐标)1,0(±，焦距 = 2． （二） 双曲线 1．双曲线的定义大家知道，反比例函数xy 1=的图像是双曲线（图5-28）；一个发电厂通风塔的纵截面的外部轮廓也是双曲线的一部分（图5-29）.下面我们取一条两边长度不等的拉链，如图5-30所示，将拉链的两边分别固定在两个定点21F F 、（拉链两边的长度之差小于21F F 和的距离）上，把铅笔尖固定在拉链琐口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，就可以画出双曲线的一部分．将拉链的两边交换位置分别固定在12F F 、处，用同样的方法可以画出双曲线的另一部分． 从上面的作图过程，我们可以看出，拉链两边的长度之差是保持不变的定值，双曲线是由与点21F F 、的距离的差等于定值的点组成的． 我们把平面内与两个定点21F F 、的距离的差的绝对值是常图5-28 x 图5-29 图5-30数（小于21F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．2．双曲线的标准方程根据上面所说的双曲线的画法来研究双曲线的方程．取过焦点1F 、2F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图6-31所示．用与求椭圆标准方程相类似的方法，可以求得焦点1F 、2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -的双曲线方程为12222=-bx a y )0,0(>>b a , （5．13） 这是焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．类似的，还可以得到焦点在y 轴的双曲线标准方程为（图5-32） 12222=-bx a y )0,0(>>b a （5．14） 其中a 2为双曲线上的点到焦点距离之差的绝对值，22a c b -=． 方程（5．13）和（5．14）都叫做双曲线的标准方程.例3 已知双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为26，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于10，请写出双曲线的标准方程．解 由已知得102,262==a c ，即13=c ，5=a ， 所以 144222=-=a c b由于双曲线的焦点在x 轴上，因此双曲线的标准方程为 11252222=-y x ，即 11442522=-y x . 想一想：如果将上例中的已知条件“双曲线的焦点在x 轴上”删去，其余条件不变，你能求出双曲线的标准方程吗？回答：与椭圆情况类似，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为11442522=-y x ；焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为11442522=-x y .例4 求双曲线1201622=-y x 的焦点坐标与焦距.解 由已知20,1622==b a ，得36222=+=b a c ，即6=c因为双曲线的焦点在x 轴上，所以焦点坐标为)0,6(),0,6(21F F -，焦距122=c ． 练习题5．4．2图5-31 x 图5-321．求满足下列条件的双曲线标准方程： （1）12=a ，焦点为)0,13(),0,13(21F F -； （2）3=b ，焦点为)0,33(),0,33(21F F -； （3）3=b ，焦点为)33,0(),33,0(21F F -． 2．求下列双曲线的焦点坐标与焦距：1918)1(22=-y x ； 1918)2(22=-x y . 参考答案：1．125144)1(22=-y x ；1930)2(22=-y x ； 1930)3(22=-x y ； 2．（1）焦点坐标)0,33(± ，焦距36=；（2）焦点坐标)33,0(± ，焦距36=． （三） 抛物线 1．抛物线的定义我们知道，一元二次函数的图像是抛物线；在现实生活中我们推铅球，抛出的铅球在空中运行的轨道是抛物线的一段；很多拱桥的桥孔是抛物线等等．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（图5-33），．定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线．2．抛物线的标准方程取过焦点F ，且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于点E ，以线段EF 的垂直平分线为y 轴，如图5-34．设p EF =)0(>p ，那么焦点F 的坐标为)0,2(p ，准线l 的方程为2p x -=．设抛物线上的点),(y x M 到l 的距离为d ，那么d MF =所以 2)2(22px y p x +=+-．两边平方并化简得px y 22= )0(>p （5．15） 方程（5．15）叫做抛物线的标准方程.物线的焦点在x 的正半轴上，它坐标为)0,2(p ，准线方程为2px -=．用同样的方法我们还可以得到抛物线的另外三种形式的标准方程，下面我们把抛物线的方程、焦点、准线方程和图形列表（表5-1）.图5-34 l 图5-33)0,2(-解 已知得抛物线的焦点在x 的负半轴上，并且22-=-p，4=p ，所以抛物线的标准方程为x y 82-=例6 求抛物线x y 212=的焦点坐标和准线方程．解 已知得212=p ，41=p ，焦点坐标x 的正半轴上，所以焦点坐标为)0,81(，准线方程为81-=x ．练习题5．4．31．求符合下列条件的抛物线的标准方程 （1）准线方程是3=y ；（2）焦点在x 的负半轴上，焦点到准线间的距离是8． 2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：x y 4)1(2= y x 31)2(2-=24)3(y x = 043)4(2=+y x ．3．请你填加一个适当的条件，得到抛物线的方程为x y 82-=．参考答案：1．y x 12)1(2-=； x y 12)2(2-=；2．（1）（1，0），1-=x ； ),121,0()2(-121=y ； ),0,161()3(161-=x ； ),31,0()4(-31=y .3．略．六、小结： 1. 本节知识内容2．需要注意的问题(1)无论已知椭圆方程还是确定椭圆方程，都要首先确定焦点位置，然后再研究下一步问题；已知一个椭圆的标准方程时，比较含x 、y 项的分母的大小即可判别焦点所在轴；在椭圆的标准方程中，222c b a += )0(>>b a 恒成立.(2) 无论已知双曲线标准方程还是确定双曲线标准方程，都要首先确定焦点位置，然后再研究下一步问题；已知一个双曲线的标准方程时，比较含x 、y 项的分母的大小即可判别焦点所在轴；在双曲线的标准方程中，222a a c +=)0,0(>>b a 恒成立.(3)无论已知抛物线方程还是确定抛物线方程，都要首先确定焦点位置及开口方向，然后再研究下一步问题；已知一个抛物线的标准方程时，分析一次项的系数及平方项（或一次项）的变量名称，即可判别焦点所在轴及开口方向；在抛物线的标准方程中，0>P 恒成立.七.练习与作业：练习：习题 5.4第1、2、3题.达标训练5.4第1题. 作业：习题 5.4第4、6、7题.达标训练5.4第2、3题.。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
2020最新人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章-抛物线、双曲线的参数方程 (Word)
y－(tan α＋tan β)
＝－[x－(sec α＋sec β)]．
将P(x0,0)代入上式，得
x0＝(sec α＋sec β)．
∵A，B是双曲线同支上的不同两点，
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．
解：(1)由α∈[0,2π)
得x2＋y＝1，x∈[－1,1]．
(2)由ρsin＝－得
曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0.
由得x2－x－3＝0.
解得x＝∉[－1,1]，故曲线C与曲线D无公共点.
双曲线参数方程的应用
[例2] 在双曲线x2－y2＝1上求一点M，使M到直线y＝x的距离为.
二、填空题
5．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线上，则|PF|＝________.
解析：抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
答案：4
6．已知抛物线C：设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹的普通方程为________．
[精解详析] ∵－＝1，
∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)．
设椭圆＋＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.
∴方程为＋＝1.
设椭圆上一点P(5cos θ，3sin θ)，
双曲线一渐近线为3x－4y＝0，
∴点P到直线的距离d＝
＝.
∴dmax＝.
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同．当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
《抛物线的参数方程》教学案1
1.13《双曲线和抛物线的参数方程》教学案一、学习目标(1).双曲线、抛物线的参数方程.(2).双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系.(3).通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力二、学习重难点学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导学习难点：(1)双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2)双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习四、知识链接:焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________五、学习过程(阅读教材29-34完成)(一)双曲线的参数方程1双曲线),(0012222>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________注：(1)ϕ的范围__________________________(2)ϕ的几何意义___________________________2双曲线),(0012222>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________(二)抛物线的参数方程抛物线)(022>=p px y 的参数方程___________________________(三)典型例题六、课堂练习：、 的轨迹方程。
，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12___________的两个焦点坐标tan sec {、求双曲线αα34321==y x ______________的渐近线方程为)为参数(tan sec {、双曲线ϕϕϕ==y x 32的轨迹方程。
高中高三数学《曲线的参数方程》教案、教学设计
2.联系实际：介绍曲线参数方程在现实生活中的应用，如机器人运动、航空航天等领域。激发学生的兴趣，使他们认识到学习曲线参数方程的重要性。
3.教师点评：对各小组的讨论成果进行点评，强调重点，纠正错误，引导学生深入理解曲线参数方程。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的教学内容，让学生独立完成。
2.针对不同层次的学生，设计难易程度不同的题目，使每个学生都能得到锻炼和提高。
3.教师巡回指导，解答学生的疑问，及时发现问题，进行个别辅导。
-利用数学软件进行曲线绘制和计算，提高学生运用现代技术解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）导入新课：通过一个实际问题，如圆的滚动，引出曲线参数方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察曲线图形，探索参数方程的规律，理解参数的几何意义。
（3）巩固知识：通过例题讲解和练习，使学生掌握参数方程的常见形式及其应用。
-例如，一辆汽车沿着一个半径为500米的圆形道路行驶，求汽车行驶半圈（π弧度）时的位移和路程。
3.提高拓展题：
-探讨曲线参数方程在物理学、工程学等领域的应用，举例说明，并简要阐述其原理。
-研究参数方程与极坐标方程之间的联系与区别，给出具体的例子进行说明。
4.创新思维题：
-假设你是一名科学家，请运用曲线参数方程解决一个尚未解决的物理或几何问题，并描述你的思考过程。
-理解参数方程中参数的几何意义，如极径、角度等。
-将曲线参数方程应用于实际问题，培养学生学以致用的能力。
（二）教学设想
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2.2.2双曲线与抛物线的参数方程（教学设计）
教学目标：
知识与技能目标：掌握双曲线与抛物线的参数方程，理解参数的几何意义。
会用曲线的参数方程解决一些实际问题。
过程与方法：通过双曲线与抛物线参数方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法。
情感态度价值观：数学问题解法的多样性，思维多样性。
教学重点：双曲线与抛物线参数方程的应用。
教学难点：双曲线与抛物线参数方程的推导。
教学过程：
一、复习回顾：
1、椭圆的参数方程： 椭圆122
22=+b y a x （a>b>0）参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）； 椭圆2
2221(0)y x a b b a +=>>的参数方程是cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 二、师生互动，新课讲解：
1、双曲线的参数方程的推导：
1）双曲线122
22=-b y a x 参数方程 ⎩
⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数） 双曲线 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）
2、判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法．
如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上．
如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上．
例1：如图，设M 为双曲线122
22=-b
y a x （a>0,b>0）任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？
2a 222y x -=1(a>0,b>0)的参数方程为：b
变式训练1：化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法？
小结：参数方程的表示不唯一，如何判断是哪种曲线，必须化为普通方程。
4、抛物线的参数方程的推导：
1）抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数).
2）抛物线方程x 2
=2py(p>0)的参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩ （t 为参数） 3）抛物线方程y 2
=-2px (p>0)的参数方程为2
22x pt y pt ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）
4）抛物线方程x 2
= -2py (p>0)的参数方程为222x pt y pt =-⎧⎨=-⎩
例2：如图O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y 2=2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB 并
于AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。
变式训练2（探究）在本例中，点A 、B 在什么位置时，∆AOB 的面积最小？最小值是多少？
课堂练习：
a 1(2()1()2x t t t
b y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
）为参数,a>0,b>0()2(b )()2t t t t a x e e t b y e e --⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数,a>0,>02
1212121212121221(),,211x pt t M M t t M M y pt A t t B t t C D t t t t ⎧=⎨=⎩+-+-、若曲线为参数上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是（ ）、，、，、，、20022(1,0)M y x M P M M P =-、设为抛物线上的动点，给定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。
三、课堂小结，巩固反思：、
1、双曲线的参数方程；
2、抛物线的参数方程。
3.对同一条曲线选取不同的参数，就得到不同形式的参数方程，对圆锥曲线的参数方程，只要求掌握上述几种
4.在研究圆锥曲线上的动点或未知点的有关问题时，可利用其参数方程设出点的坐标，从而拓广了解决问题的途径，优化了解题思路.
形式.
5.利用圆锥曲线的参数方程解题时，一般不考虑参数的几何意义，只利用参数方程的外在形式.
四、课时必记：
1、双曲线的参数方程
1）双曲线122
22=-b y a x 参数方程 ⎩
⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数） 2）双曲线 ⎩⎨⎧==θ
θtan sec b y a x （θ为参数） 2、抛物线的参数方程：
1）抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数).
2）抛物线方程x 2=2py(p>0)的参数方程为222x pt y pt
=⎧⎨=⎩ （t 为参数） 3）抛物线方程y 2
=-2px (p>0)的参数方程为2
22x pt y pt ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）
4）抛物线方程x 2
= -2py (p>0)的参数方程为222x pt y pt =-⎧⎨=-⎩
五、分层作业：
1．双曲线⎩
⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0)
C ．(0，－3)，(0，3)
D ．(－3，0)，(3，0)
解：A
2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α
(α为参数)的普通方程为( ) 2a 222y x -=1(a>0,b>0)的参数方程为：b
A ．y 2－x 2＝1
B ．x 2－y 2＝1
C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)
D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)
解：C
3．点P (1，0)到曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( ) A ．0 B ．1 C.2 D ．2
解：B
4．若曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )
A ．t 1＋t 2
B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 2
解：A
5．双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec 2，y ＝tan 2
的顶点坐标为________． 解：(－3，0)、(3，0)
6．圆锥曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________． 解：(1，0)
B 组：
1、（课本P34习题3.2 NO:3）
证明：设等轴双曲线的普通方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a tan φ
(φ为参数)，设M ⎝⎛⎭
⎫a cos φ，a tan φ是双曲线上任意一点，则点M 到两渐近线y ＝x 及y ＝－x 的距离之积是⎪⎪⎪⎪a cos φ－a tan φ12＋12·⎪⎪⎪⎪a cos φ＋a tan φ12＋12＝|a 2cos 2 φ－a 2tan φ|2
＝a 2
2
(常数)．
2、（课本P34习题3.2 NO:4） 证明：设点A ，B 的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，则点C 的坐标为(2pt 22，－2pt 2)．直线AB 的
方程为y －2pt 1＝1t 1＋t 2(x －2pt 21)，所以点D 的坐标为(－2pt 1t 2，0)．直线AC 的方程为y －2pt 1＝1t 1－t 2
(x －2pt 21)，所以E 的坐标为(2pt 1t 2，0)．因为DE 的中点为原点O (0，0)，所以抛物线的顶点O 平分线段DE .
3、（课本P34习题3.2 NO:5）
解析：直线OA 的方程为y ＝kx ，直线OB 的方程为y ＝－1k x .解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px 得点B 的坐标是(2pk 2，－2pk )．设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝2p
k 2＋2pk 22＝p k 2＋pk 2，y ＝2p k －2pk 2＝p k －pk ，所以线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程是⎩
⎨⎧x ＝p k 2＋pk 2，y ＝p k －pk (k 为参数)．。