椭圆的参数方程教学设计

椭圆的参数方程
教学目的：
（一）知识：1.椭圆的参数方程.2.椭圆的参数方程与普通方程的关系。

（二）能力：1. 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；
2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联
（三）素质：使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。

教学重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化 教学难点：1椭圆参数方程的建立及应用.2.椭圆参数方程中参数的理解. 教学方法：引导启发式 教学用具：多媒体辅助教学 教学过程： 一、新课引入：
问题1．圆222x y r +=的参数方程是什么？ 是怎样推导出来的？
由圆的方程变形为12
2
=⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛r y r x ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==θ
θsin cos r
y r x
解得：)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨
⎧==r y r x
问题2．设ϕϕ,cos 3=x 为参数，写出椭圆14
92
2=+y x 的标准方程。

代入椭圆方程，得到解：把ϕcos 3=x ϕϕ222sin 4)cos 1(4=-=∴y 即ϕsin 2±=y
.sin 2ϕϕ=y 的任意性，可取由参数
)
(.sin 2,cos 31492
2为参数的参数方程是因此，椭圆ϕϕϕ⎩⎨⎧===+y x y x
探究：能类比圆的参数方程，写出椭圆的参数方程吗？
二、新课讲解：
1、焦点在x 轴上的椭圆参数方程的推导
因为22
()()1x y a b
+=，又22cos sin 1ϕϕ+=
设cos ,sin x y
a b ϕϕ==， 即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨
=⎩
)(为参数ϕ， 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

2.参数ϕ的几何意义
思考：类比圆的参数方程中参数θ的意义，椭圆的参数方程中参数ϕ的意义是什么？
圆的标准方程：2
2
2
r y x =+ 圆的参数方程：⎩⎨
⎧==θθ
sin cos r y r x )(为参数θ
椭圆的标准方程：122
22=+b y a x 椭圆的参数方程：⎩
⎨
⎧==ϕϕsin cos b y a x )(为参数ϕ
圆的参数方程中θ是Ox 轴逆时针旋转到OP 的旋转角即θ=∠AOP ，那么椭圆的参数方程中ϕ是不是上图中Ox 轴逆时针旋转到OM 的旋转角呢？
请大家看下面图片
如图，以原点为圆心，分别以a 、b (0)a b >>为半径作两个圆，点
B 是大圆半径OA 与小圆半径的交点，过点A 作AN O x ⊥，垂足为
N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时
x
y
O
M
ϕ2
M 1
M 2
P 1
P A θ
x
y
O
P
M 的轨迹的参数方程.
分析：动点A 、B 是如何动的？M 点与A 、B 有什么联系？如何选取参数较恰当？ 解：设M 点坐标为(,)x y ，ϕ=∠AOx ，以ϕ为参数， 则ϕϕcos cos a OA ON x === ϕϕsin sin b OB NM y ===，
当半径OA 绕O 点逆时针旋转一周时，就得到点M 的轨迹，它的参数方程是)(sin cos 为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨⎧==b y a x ①
这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆。

所以，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角，参数θ是半径OM 的旋转角。

三、例题解析
例1.在椭圆14
92
2=+y x 上求一点M ，使点M 到直线0102=-+y x 的距离最小，并求出最小距离. 解法一：设直线02=++c y x 与椭圆相切
由⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+0214
92
2c y x y x 得0144918252
2=-++c cx x )1( )1449(254)18(22-⨯⨯-=∆∴c c
由0=∆解得252
=c
由题意知点M 为直线052=-+y x 与椭圆的交点 把5-=c 代入)1(解得点M 坐标为)5
8,59(.
5
51058259=-⨯+=∴d
因此，M 到直线052=-+y x 的最小距离为5. 解法二： 椭圆的参数方程为)(sin 2cos 3为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==y x
∴可设点M 的坐标为.sin 2,cos 3）（ϕϕ
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为5
10
sin 4cos 3-+=
ϕϕd
,10)cos(55
1510
)5
4
sin 53(cos 50--=-⋅+⋅=ϕϕϕϕ
其中0ϕ满足.5
4
sin ,53cos 00==
ϕϕ 由三角函数性质知，当00=-ϕϕ时，d 取最小值. 此时 5
8
sin 2sin 2,59cos 3cos 300===
=ϕϕϕϕ 因此，当点M 位于)5
8
,59(时，点M 与直线0102=-+y x 的距离取最小值5.
变式练习:：与简单的线性规划问题类比，你能在实数y x ,满足
116
252
2=+y x 的前提下，求出y x z 2-=的最大值和最小值？由此可以提出哪些类似的问题？ 解：椭圆的一个参数方程为)(sin 4cos 5为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==y x
设)sin 4,cos 5(ϕϕM 是椭圆上任意一点
)cos(89sin 8cos 50ϕϕϕϕ+=-=∴z
其中0ϕ满足89
8
sin ,895cos 00==
ϕϕ 当00=+ϕϕ时，z 有最大值89. 此时，89
32
)sin(4sin 4;8925)cos(5cos 500-=-==
-=ϕϕϕϕ 即当点M 位于)89
32
,8925(
-时z 有最大值89. 同理，89
32
)sin(4sin 4;8925)cos(5cos 500=-=-
=-=ϕπϕϕπϕ 即当点M 位于)89
32
,8925(-
时z 有最小值89-.
例2：已知椭圆
116
252
2=+y x ，点A 的坐标为)0,3(.在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大. 解：椭圆的参数方程为)(sin 4cos 5为参数ϕϕϕ
⎩
⎨⎧==y x
设)sin 4,cos 5(ϕϕP
2222)5cos 3(25cos 30cos 9)sin 4()3cos 5(-=+-=+-=∴ϕϕϕϕϕPA
当1cos -=ϕ时，PA 最大.
此时，0sin =ϕ，点P 的坐标为)0,5(-.
四、课堂小结：
本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题.
五、课后作业：
1设),(y x P 是椭圆14
622=+y x 上的一个动点，求y x 2+的取值范围. 解：椭圆的一个参数方程为)20(sin 2cos 6πϕϕϕϕ
≤≤⎩
⎨
⎧==为参数，y x )cos(22sin 4cos 620ϕϕϕϕ-=+=+∴y x
[]1,1)cos(0-∈-ϕϕ []
.22,222-∈+∴y x
2.已知椭圆
164
1002
2=+y x 有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积. 解：椭圆的一个参数方程为)(sin 8cos 10为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==y x
∴可设A 点的坐标为)sin 8,cos 10(ϕϕ
则,sin 16,cos 20ϕϕ==AB AD
.2sin 160cos sin 1620ϕϕϕ=⋅⨯==∴AD AB S 矩形
12sin ≤ϕ
∴矩形ABCD 的最大面积为.160
六、板书设计
七、教学反思：
1.由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教学中采用教师讲解的方法，只有学生理解就可以了；
2.通过参数ϕ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。