《双曲线的参数方程》教学案2
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程教学目标：1. 了解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标系下的曲线转换为参数方程；3. 能够利用参数方程分析和解决实际问题。
教学内容：第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义1.2 参数方程的特点1.3 参数方程与直角坐标方程的关系第二章：曲线的参数方程转换2.1 圆的参数方程2.2 椭圆的参数方程2.3 双曲线的参数方程2.4 抛物线的参数方程第三章：参数方程的应用3.1 直线运动的参数方程3.2 曲线运动的参数方程3.3 几何图形的参数方程第四章：参数方程的解法4.1 参数方程的求解方法4.2 参数方程的图像分析4.3 参数方程的优化问题第五章：参数方程的实际应用5.1 参数方程在工程中的应用5.2 参数方程在物理中的应用5.3 参数方程在其他领域的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的基本概念和转换方法；2. 利用数形结合法，分析参数方程的图像特点；3. 结合实例，讲解参数方程在实际中的应用；4. 引导学生进行练习和思考，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对参数方程基本概念的理解；2. 课堂练习：考察学生对参数方程转换方法的掌握；3. 课后作业：评估学生对参数方程应用的熟练程度；4. 小组讨论：评价学生在团队合作中解决问题的能力。
教学资源：1. 教材或教学参考书；2. 投影仪或白板；3. 数学软件或图形计算器；4. 实例素材和练习题。
教学步骤：第一章：参数方程的基本概念1.1 引入参数方程的概念，解释参数方程的定义；1.2 分析参数方程的特点，与直角坐标方程进行对比；1.3 引导学生思考参数方程的应用场景。
第二章：曲线的参数方程转换2.1 讲解圆的参数方程，展示圆的图像；2.2 引导学生推导椭圆的参数方程，展示椭圆的图像；2.3 讲解双曲线的参数方程，展示双曲线的图像；2.4 讲解抛物线的参数方程，展示抛物线的图像。
第三章：参数方程的应用3.1 分析直线运动的参数方程，举例说明；3.2 分析曲线运动的参数方程，举例说明；3.3 引导学生思考几何图形的参数方程应用。
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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18
设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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1
二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
双曲线高中数学教案
双曲线高中数学教案
教学目标：
1. 了解双曲线的定义和性质
2. 能够将双曲线的标准方程转化为一般方程
3. 能够根据给定的信息绘制双曲线的图像
4. 能够求解双曲线的焦点、直线渐近线等相关问题
教学重点：
1. 双曲线的定义
2. 双曲线的图像及性质
3. 双曲线的标准方程及一般方程的转化
4. 双曲线的焦点、渐近线等相关问题
教学过程：
一、导入：
通过展示一个双曲线的图像，引导学生了解什么是双曲线以及其特点。
二、讲解：
1. 双曲线的定义和性质
2. 双曲线的标准方程及一般方程的推导和转化
3. 双曲线的图像及相关参数的含义
三、练习：
1. 练习转化双曲线的标准方程为一般方程
2. 练习绘制双曲线的图像
3. 练习求解双曲线的焦点、渐近线等相关问题
四、总结：
总结本节课所学内容，强化学生对双曲线的理解。
五、作业：
布置相关练习作业以加深学生对双曲线的理解，并要求学生在下节课前完成。
教学反思：
通过本节课的学习，学生能够对双曲线有一个初步的了解，并能够运用所学知识解决相关问题。
在教学中要注意引导学生从图像入手，帮助他们更好地理解双曲线的性质和特点。
双曲线的参数方程课件
通过等价变换，可以保持双曲线的形状和性质不变，从而研究不同 参数方程之间的关系。
参数方程的非线性变换
通过非线性变换，可以将双曲线的参数方程转换为非线性形式，以 揭示更多的数学性质和变化规律。
参数方程与其他数学知识的结合
参数方程与解析几何
结合解析几何的知识，可以更深入地研究双曲线的几何性质和变化 规律。
双曲线参数方程的扩展
参数方程的扩展形式
扩展参数范围
将参数的范围从实数扩展到复数，可以引入更丰富的 数学性质和变化。
引入多个参数
通过引入多个参数，可以描述更复杂的双曲线形状和 变化。
参数的非线性关系
打破参数间的线性关系，可以研究更复杂的双曲线性 质和几何结构。
参数方程的变换
参数方程的坐标变换
通过坐标变换，可以将双曲线的参数方程转换为更易于理解和分 析的形式。
迹和变化规律。
02 参数方程的几何意义有助于理解双曲线的形状和 性质，以及在解决实际问题中的应用。
参数方程与直角坐标系的关系
参数方程是在直角坐标系中推导出来的，因此与直角坐标系有密切的联系。
通过参数方程，可以方便地表示双曲线上的点在直角坐标系中的坐标。
参数方程与直角坐标系的关系是相互依存的，参数方程提供了描述双曲 线运动的另一种方式，而直角坐标系则为参数方程提供了具体的数恒等式和双曲线的几何特性， 如焦点到曲线上任一点的距离之差为常数。
03
推导过程展示了参数方程与双曲线标准方程之间的 联系和转换。
参数方程的几何意 义
参数方程中的参数具有明确的几何意义，通常表 01
示双曲线上的点相对于某一基准点的角度或距离。
通过参数的变化，可以描述双曲线上点的运动轨 02
高三数学下册《曲线的参数方程》教案、教学设计
5.教学资源：
（1）充分利用多媒体教学资源，如PPT、动画、视频等，增强课堂教学的直观性和趣味性。
（2）提供丰富的课后学习资源，如网络课程、数学软件等，方便学生自主学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂开始时，我将通过一个生动的实例来导入新课。我会向学生展示一个视频，内容是一个摩天轮的运动过程。摩天轮的运动形成了一个圆的轨迹，这个轨迹实际上就是一个曲线。我会引导学生观察摩天轮的运动，并提出问题：“摩天轮的运动轨迹可以用什么方式来描述？”通过这个问题，学生会自然地联想到我们之前学习的坐标系和方程。接着，我会引入曲线参数方程的概念，告诉学生我们将要通过参数方程来描述这样的曲线运动。
（2）关注学生的学习反馈，及时调整教学进度和教学方法，提高教学效果。
（3）注重培养学生的数学思维能力，引导学生从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。
4.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、自主学习等方面的表现。
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，评价学生对曲线参数方程知识的掌握程度。
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，以实际生活中的曲线运动为例，引出曲线参数方程的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
（3）通过实例分析和课堂练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的曲线运动为例，如圆周运动、行星运动等，引出曲线参数方程的概念。
5.创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
第二讲-4双曲线的参数方程
a cos ϕ ( x − a cos ϕ ) − (a sin ϕ ) = . a 解得 x = .记 cos ϕ
cos ϕ = sec ϕ , 则x = a sec ϕ .
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
因为点B`在角ϕ的终边上,由 y 图 − 三角函数定义有 tan ϕ = , b 即y = b tan ϕ . 所以, 点M的轨迹的参数方程为
S平行四边形MAOB =| OA | ⋅ | OB | sin α xA xB = ⋅ ⋅ sin α cos α cos α
y
A
M
O
x
练习: 练习
1.已知参数方程
1 x = t + t 是参数, 1 (t 是参数 t >0) y = t − t
化为普通方程,画出方程的曲线. 化为普通方程,画出方程的曲线. 画出方程的曲线
x2 y2 与椭圆类似， 与椭圆类似， 2 − 2 = 1双 a b
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
例
图 − , 设M为 曲 如 双
y
x y 线 − = (a,b > ) 上 意 任 a b 一 , O 原 ,过 M 作 曲 点 为 点 点 双 线 渐 线 平 线分 与 两 近 的 行 , 别 两 近 交 A B两 .探 平 渐 线 于, 点 求 行 边 M B 的 积,由 四 形 AO 面 此 可 发 什 结 ? 以 现 么 论
A
M
O
B
x
同理可得点B的横坐标为 a b xB = (sec ϕ − tan ϕ ). 设∠AOx = α , 则 tan α = . a 所以, 平行四边形MAOB的面积为
2020最新人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章-抛物线、双曲线的参数方程 (Word)
y－(tan α＋tan β)
＝－[x－(sec α＋sec β)]．
将P(x0,0)代入上式，得
x0＝(sec α＋sec β)．
∵A，B是双曲线同支上的不同两点，
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．
解：(1)由α∈[0,2π)
得x2＋y＝1，x∈[－1,1]．
(2)由ρsin＝－得
曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0.
由得x2－x－3＝0.
解得x＝∉[－1,1]，故曲线C与曲线D无公共点.
双曲线参数方程的应用
[例2] 在双曲线x2－y2＝1上求一点M，使M到直线y＝x的距离为.
二、填空题
5．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线上，则|PF|＝________.
解析：抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
答案：4
6．已知抛物线C：设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹的普通方程为________．
[精解详析] ∵－＝1，
∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)．
设椭圆＋＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.
∴方程为＋＝1.
设椭圆上一点P(5cos θ，3sin θ)，
双曲线一渐近线为3x－4y＝0，
∴点P到直线的距离d＝
＝.
∴dmax＝.
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同．当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
高中高三数学《曲线的参数方程》教案、教学设计
2.联系实际：介绍曲线参数方程在现实生活中的应用，如机器人运动、航空航天等领域。激发学生的兴趣，使他们认识到学习曲线参数方程的重要性。
3.教师点评：对各小组的讨论成果进行点评，强调重点，纠正错误，引导学生深入理解曲线参数方程。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的教学内容，让学生独立完成。
2.针对不同层次的学生，设计难易程度不同的题目，使每个学生都能得到锻炼和提高。
3.教师巡回指导，解答学生的疑问，及时发现问题，进行个别辅导。
-利用数学软件进行曲线绘制和计算，提高学生运用现代技术解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）导入新课：通过一个实际问题，如圆的滚动，引出曲线参数方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察曲线图形，探索参数方程的规律，理解参数的几何意义。
（3）巩固知识：通过例题讲解和练习，使学生掌握参数方程的常见形式及其应用。
-例如，一辆汽车沿着一个半径为500米的圆形道路行驶，求汽车行驶半圈（π弧度）时的位移和路程。
3.提高拓展题：
-探讨曲线参数方程在物理学、工程学等领域的应用，举例说明，并简要阐述其原理。
-研究参数方程与极坐标方程之间的联系与区别，给出具体的例子进行说明。
4.创新思维题：
-假设你是一名科学家，请运用曲线参数方程解决一个尚未解决的物理或几何问题，并描述你的思考过程。
-理解参数方程中参数的几何意义，如极径、角度等。
-将曲线参数方程应用于实际问题，培养学生学以致用的能力。
（二）教学设想
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《双曲线的参数方程》教学案2
一、教学目标
(1). 双曲线、抛物线的参数方程.
(2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。
(3)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力
二、教学重难点
学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导
学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化
三、教学指导：
认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习
四、知识链接:
焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________
焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________
五、教学过程
（阅读教材29-34完成）
(一)双曲线的参数方程
1双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的参数方程___________________________ 注：（1）ϕ的范围__________________________
（2）ϕ的几何意义___________________________
2双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程
抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________
(三)典型例题
、
的轨迹方程。
，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 B x y o
A M
六、课堂练习：
七、教后反思 ___________tan 34sec 32{1的两个焦点坐标、求双曲线αα==y x ______________)(tan sec 3{2的渐近线方程为为参数、双曲线ϕϕϕ==y x 的轨迹方程。
的中点，求点线段为，点上的动点，给定点为抛物线、设P M M P M x y M 002)0,1(23-=。