椭圆和双曲线的参数方程
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
椭圆双曲线抛物线的参数方程课件
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
AB (2 p( t t ), 2 p( t 2 t1 ))
2 2 2 1
因为 OA OB , 所以 OA OB 0, 即 (2 pt1t 2 )2 (2 p)2 t1t 2 0, 所以t1t 2 1...........(8)
因为 OM AB, 所以 OM OB 0, 即
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
抛物线的参数方程
y
M(x,y)
o
(
x
, ) 2 2
设抛物线的普通方程为 y 2 2 px ...........(5) 因为点M 在的终边上，根据三角函数的 y 定义可得 tan ..................................(6) x 2p x tan 2 由(5),(6)解出x , y，得到 ( 为参数） y 2p tan 这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程
cfd椭圆型方程 双曲线方程
椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。
它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。
本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。
一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。
具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。
当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。
1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。
（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。
（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。
1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。
在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。
二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。
具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。
当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。
2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。
（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。
2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。
在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。
椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全双曲线是一种数学曲线,与椭圆和抛物线类似,双曲线也是由参数方程描述的。
以下是双曲线的一些常见公式和参数方程:1. 椭圆参数方程:a =b * sqrt(5),c = b * sqrt(5), e = c / sqrt(a^2 + b^2)2. 抛物线参数方程:a =b * sqrt(3),c = b * sqrt(3), e = c / sqrt(a^2 + b^2)3. 双曲线的一般参数方程:x = a * sin(t), y = b * cos(t), t = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)4. 双曲线的切线公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。
5. 双曲线的离心率公式:e = c / a,其中a, b是双曲线的参数。
6. 双曲线的向量参数方程:x = a * cos(t), y = b * sin(t), v = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)7. 双曲线的切线向量公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。
这些公式只是双曲线的一小部分,实际上还有许多其他的公式和参数方程可以用来描述双曲线。
了解这些公式可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和应用。
拓展:1. 双曲线的对称性:双曲线有两个对称轴,即x轴和y轴。
在对称轴的两侧,双曲线具有相同的形状。
2. 双曲线的渐近线:双曲线的渐近线是双曲线上的一条直线,它的斜率等于双曲线的离心率。
3. 双曲线的极值:双曲线有许多可能的极值,包括最大值和最小值。
极值点通常也是双曲线的对称轴的交点。
4. 双曲线的离心率公式的应用:在工程和科学领域,双曲线的离心率公式可以用来计算双曲线的极值、形状、对称性等。
双曲线是一种非常重要的数学曲线,它的参数方程和性质可以用来描述许多物理和工程问题。
了解双曲线的公式和参数方程,可以帮助我们更好地理解和应用双曲线。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
数学的参数方程公式有哪些
数学的参数方程公式有哪些一般在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
圆的参数方程x=a+r cos y=b+r sin (a,b)为圆心坐标 r为圆半径为参数椭圆的参数方程x=a cos y=b sin a为长半轴长 b为短半轴长为参数双曲线的参数方程x=a sec (正割) y=b tan a为实半轴长 b为虚半轴长为参数抛物线的参数方程x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数直线的参数方程x=x+tcosa y=y+tsina , x, y和a表示直线经过(x,y),且倾斜角为a,t为参数.数学学习技巧一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，对于有些题目，由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题目是必须的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程。
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椭圆和双曲线的参数方程
一、选择题
1．椭圆⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ
(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( ) A ．π B.π2 C ．2π D.3π2
2．椭圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ
(θ为参数)的焦距为( ) 21 B ．221 C.29 D ．229
3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )
A ．点(2，3)
B ．点(2，0)
C ．点(1，3)
D ．点⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2 4．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α
(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0)
C ．(0，－3)，(0，3)
D ．(－3，0)，(3，0)
5．点(2，33)对应曲线⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝6sin θ
(θ为参数)中参数θ的值为( ) A ．k π＋π6(k ∈Z) B ．k π＋π3
(k ∈Z) C ．2k π＋π6(k ∈Z) D ．2k π＋π3
(k ∈Z)
6．参数方程⎩⎨⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α
(α为参数)的普通方程为( )
A ．y 2－x 2＝1
B ．x 2－y 2＝1
C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)
D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)
7．设O 是椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ
(φ为参数)的中心，P 是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )
A.33
B. 3
C.332
D.239
8．参数方程⎩⎨⎧x ＝e t －e －t ，y ＝e t ＋e
－t (t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支 D ．圆
二、填空题
9．二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)的左焦点的坐标是________． 10．曲线⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ
(θ为参数)上一点P 到点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为________． 三、解答题
11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 3 cos α，y ＝sin α
(α为参数)．
(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极
轴)中，点P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
12．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点，
(1)求2x ＋y 的取值范围；
(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．
13．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和 焦点坐标；
(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．
椭圆和双曲线的参数方程答案
1．A 2.B 3.B 4．A 5．D 6.C 7.D 8．C9．(－4，0) 10．8
11．解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)． 因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．
(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，
从而点Q 到直线l 的距离
d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.
解 (1)设圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ， 2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1
∴－5＋1≤2x ＋y ≤5＋1.
(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0.
∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1， ∴a ≥2－1.
13解 (1)由椭圆上点A 到F 1、F 2的距离之和是4，
得2a ＝4，即a ＝2. 又点A ⎝⎛⎭
⎫1，32在椭圆上， 因此14＋⎝⎛⎭⎫322
b
2＝1，得b 2＝3， 于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1， 焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．
(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，
线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，
则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02
， 所以x ＋12＝cos θ，2y 3
＝sin θ. 消去θ，得⎝⎛⎭
⎫x ＋122＋4y 23＝1，这就是线段F 1P 的中点的轨迹方程．。