欧拉公式流体
4-2流体流动的控制方程 - N-S及欧拉方程
牛顿型流体的控制方程
N-S方程 方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂p ∂u ∂u ∂u 2 + 2 + 2 = +ν fx − ∂t + u ∂x + v ∂y + w ∂z ρ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ∂v 1 ∂p ∂v ∂v ∂v f y− +ν 2 + 2 + 2 = + u + v + w ρ ∂y ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ∂w 1 ∂p ∂w ∂w ∂w fz − +ν 2 + 2 + 2 = ∂x ∂t + u ∂x + v ∂y + w ∂z ρ ∂z ∂y ∂z
牛顿型流体的控制方程
重力场中理想流体的伯努利方程（能量方程） 重力场中理想流体的伯努利方程（能量方程）
2 2 U1 p U2 p2 + 1 + z1 = + + z2 2g ρg 2g ρg
U p + + z = con st 2g ρg
2
牛顿型流体的控制方程
重力场中理想流体的伯努利方程 位置水头 压强水头 测压管水头 速度水头 总水头
z
p ρg
p z+ ρg
U2 2g
U2 p H0 = + +z 2g ρg
流体仿真与应用型流体的控制方程
不可压缩流体， 不可压缩流体，根据连续方程
∂u k =0 ∂x k
∂ (ρui ) ∂ (ρui u j ) ∂p ∂ ∂ui µ + = ρf i − + ∂x ∂t ∂x j ∂xi ∂x j j
流体力学欧拉方程公式
流体力学欧拉方程公式流体力学中的欧拉方程公式可是个相当重要的家伙！它就像是流体世界的密码，能帮我们解开很多关于流体运动的谜团。
欧拉方程公式描述了无黏性流体的运动规律。
咱们先来说说它的表达式：$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{g}$ 。
这里面的每一项都有它独特的含义。
$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}$ 这一项表示的是流体速度随时间的变化率，就好比你在操场上跑步，速度一会儿快一会儿慢，这个变化率就是在描述这种快慢的改变。
$(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$ 这部分稍微有点复杂，它描述的是流体速度的空间变化对速度本身的影响。
想象一下河里的水，水流在不同位置速度不一样，这种速度的差异会影响整体的流动。
$-\frac{1}{\rho} \nabla p$ 这里的 $p$ 是压强，这一项表示压强梯度对流体运动的作用。
比如说，高压区的流体就会往低压区跑。
$\vec{g}$ 就是重力啦，很容易理解，在地球上，流体都会受到重力的影响。
给您讲讲我之前的一次经历，那回我去参观一个大型的水坝。
站在水坝边上，看着那汹涌奔腾的水流，我就在想，这背后不就是欧拉方程在起作用嘛！水从高处冲下来，速度越来越快，这就是重力在发挥作用。
而且不同位置的水速不同，也是因为水流所受的压力不同。
在实际应用中，欧拉方程公式可是大有用处。
比如说在航空领域，设计飞机的外形时，就得考虑空气这个流体的流动情况，通过欧拉方程来计算和优化，让飞机飞得更稳更快。
在水利工程中，像修建渠道、水闸，也得靠它来预测水流的情况，保证工程的安全和效率。
在研究气象的时候，欧拉方程也能帮上大忙。
预测风的走向、风速的变化，都离不开对流体力学的深入理解和运用欧拉方程公式进行的精确计算。
临界力和欧拉公式定理
临界力和欧拉公式定理临界力（Critical Force）是指在材料中引发塑性变形的最小应力，它与材料的抗拉强度有关。
当材料受到应力作用时，当应力超过临界力时，材料会发生塑性变形。
在此之前，材料只会发生弹性变形。
对于许多材料来说，临界力与其抗拉强度成正比。
然而，对于一些材料，特别是在高温或非常脆弱的情况下，临界力可能更低。
欧拉公式定理（Euler's formula）是数学上的一条公式，它描述了一个复数的幂函数与三角函数之间的关系。
这个公式可以用于解决许多复杂的数学问题，特别是在微积分和工程中常见的问题。
欧拉公式定理可以表示为：e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，即i^2 = -1，x是任意实数。
这个公式将复杂的指数函数转化为了简单的三角函数，从而方便了复杂的计算。
临界力在工程中被广泛用于确定结构材料的负荷能力。
通过了解材料的抗拉强度和临界力，工程师可以确保结构在预期负荷下能够保持安全。
在材料科学中，临界力还可用于开发新的高强度材料。
通过调整材料的组分和处理过程，可以增加材料的临界力，从而提高材料的抗拉强度。
欧拉公式定理在工程和物理学中也有着广泛的应用。
在电路分析中，欧拉公式定理可以用来描述交流电路中的电压和电流之间的关系。
在流体力学中，欧拉公式定理可以用来描述流体的运动。
例如，欧拉公式定理可以用来描述液体或气体的流动速度和压力之间的关系。
另外，欧拉公式定理在信号处理和图像处理中也有广泛的应用。
例如，通过将复数表达为幅度和相位的形式，可以更方便地对信号进行处理和分析。
总之，临界力和欧拉公式定理在物理学和工程学中都有重要的应用。
通过了解临界力，我们可以更好地了解材料的负荷能力和强度，从而保证结构的安全性。
而欧拉公式定理则为解决复杂的数学问题提供了一个便捷的工具，可以应用于各种领域，包括物理学、工程学和信号处理等。
流体力学计算公式
流体力学计算公式流体力学是研究流体的运动规律和性质的一门学科，广泛应用于工程和科学领域中。
在流体力学的研究过程中，有许多重要的计算公式和方程被提出和应用。
下面是一些重要的流体力学计算公式。
1.压力力学方程:压力力学方程是描述流体力学中流体静压力分布和变化的方程。
对于稳定的欧拉流体，方程为:∇P=-ρ∇φ其中，P是压力，ρ是流体的密度，φ是流体的势函数。
2.欧拉方程:欧拉方程用于描述流体的运动,它是流体运动的基本方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+g其中，v是流体的速度，P是压力，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
3.奇异体流动方程:奇异体流动是流体与孤立涡流动的一种类型，其方程为:D(D/u)/Dt=0其中，D/Dt是对时间的全导数，u是速度向量。
4.麦克斯韦方程:5.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程是描述流体的动力学行为的方程，它是流体力学中最重要的方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+μ∇²v其中，v是速度矢量，P是压力，ρ是密度，μ是动力黏度。
6.贝努利方程:贝努利方程描述了在不可压缩流体中流体静力学的变化。
贝努利方程给出了伯努利定律，即沿着一条流线上的速度增加，压力将降低，反之亦然。
贝努利方程的公式为:P + 1/2ρv^2 + ρgh = const.其中，P是压力，ρ是密度，v是流体速度，g是重力加速度，h是流体高度。
7.流量方程:流量方程用于描述流体在管道或通道中的流动。
Q=A·v其中，Q是流量，A是截面积，v是流速。
8.弗朗脱方程:弗朗脱方程是描述管道中流体流动的方程，其中考虑了摩擦阻力的影响:hL=f(L/D)(v^2/2g)其中，hL是管道摩擦阻力头损失，f是阻力系数，L是管道长度，D 是管道直径，v是流速，g是重力加速度。
以上是一些重要的流体力学计算公式。
这些公式和方程在流体力学中具有广泛的应用，是工程和科学领域中进行流体流动分析和计算的基础。
流体力学中的理论模型
流体力学中的理论模型引言流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，是物理学的一个重要分支。
在流体力学中，理论模型是研究和解决流体问题的基础。
理论模型的建立可以帮助我们理解和预测流体行为，对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍流体力学中常用的一些理论模型及其应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述不可压缩流体力学的基本方程之一。
它是从质量守恒和动量守恒的原理出发推导而来。
欧拉方程可以用来描述流体的运动速度和压力分布。
其基本形式如下：$$\\frac{\\partial \\mathbf{v}}{\\partial t} + (\\mathbf{v} \\cdot \abla)\\mathbf{v} = -\\frac{1}{\\rho}\ abla p + \\mathbf{g}$$其中，$\\mathbf{v}$表示速度矢量，t表示时间，$\\rho$表示流体密度，p表示压力，$\\mathbf{g}$表示重力加速度。
欧拉方程的应用非常广泛，例如在航空航天领域中用于计算飞行器的气动力、在水力工程中用于设计水电站的水轮机等。
二、雷诺方程与欧拉方程相对应的是雷诺方程，它是描述可压缩流体力学的基本方程之一。
雷诺方程是通过在欧拉方程中引入粘性效应而得到的。
其基本形式如下：$$\\frac{\\partial \\mathbf{v}}{\\partial t} + (\\mathbf{v} \\cdot \abla)\\mathbf{v} = -\\frac{1}{\\rho}\ abla p + \\mu \ abla^2 \\mathbf{v} +\\mathbf{g}$$其中，$\\mu$表示动力粘度。
雷诺方程可以用于研究流体的湍流行为和边界层分离等问题。
它在航空航天、汽车工程、海洋工程等领域中都有重要应用。
三、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述不可压缩流体力学的基本方程。
它是通过在欧拉方程中引入粘性效应并考虑不可压缩条件得到的。
第04章理想流体动力学
y
2 t
（4-3）
(U p v2 ) 0
z
2 t
括弧内函数不随空间坐标(ｘ，ｙ，ｚ)变化,
只可能是时间的函数。
所以
p v2
U F (t)
2 t
（4 - 4）
若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，
有U＝－ｇｚ，故
gUz
p
v2 2
t
F (t)
（4
- 4'）
7
t
为书写简单，引入 F (t)dt 0
分常数Ｃ 只在同一条流线上不变，不同流线取 l
值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空 间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。
18
为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到 有限大的流束。
渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否则称为急变流动。
渐变流动特点：(z p) 项在整个过水（过流） 断面上为常数。
z p 称为静压
v2 称为动压
2
28
伯努利方程的应用
实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞） 图示容器装有液体，在重力作 用下从小孔流出。求流量。
设小孔面积比容器中液面 面积小很多，液面高度ｈ近似 认为不变（近似为定常流），
不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力。满足伯氏方程来求解的前提。
29
取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管 取容器液面为截面
将Φ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影
x
x
Vx
y
y
Vy
z
z
Vz
引入Φ后，式（４-４）可改写成：
U p V 2
2
t
（４-5）
8
若流体的质量力只有重力，式（4 - 4'）可写成：
理想流体动量传输方程——欧拉方程
pxx dx x
xz dx y
x
xy dx
x
0
实际流体微小平行六面体
x
3.4 实际流体动量传输方程——纳维尔-斯托克斯方程
微元体受力分析（续）：
垂直于 y轴的两个平面
z
后面
压应力： pyy
切应力： yx、 yz
pyy
yx
前面压应切力应：力p：yyyyxzpxyyyyyyydzx yddyyy
x方向： （1）压力
p p dy
y
z
D
C
P
P
P x
dx
dydz
P x
dxdydz
E
p
pF
p p dx x
（2）体积力
A
B
Xρdxdydz
（3）流体加速度
ma dxdydz dux
dt
H
p p dz
G
p
0
z
x
y
理想流体微小平行六面体
ma F dxdydz dux Xdxdydz p dxdydz
后面： yxdxdz
前面： yxdxdz 底面： zx dxdy
yx
y
0
dydxdz
y
zx
yx
yx
y
dy
x
微小平行六面体在x方向受力分析
顶面： zxdxdy
zx
z
dzdxdy
3.4 实际流体动量传输方程——纳维尔-斯托克斯方程
体积力：同理想流体，x方向分量→Xρdxdydz
惯性力：ma( x方向)→ dxdydz dux
用矢量表示—— W 1 P Du
Dt
(3.39)
流体运动物理量的描述
1 u w 2 2 z x
1 v u 3 2 x y
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天津大学力学系 方一红
应变率张量及旋转张量分量的意义
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天津大学力学系 方一红
[例2]膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-1) 已知：设平面流场为
xx
u k x
yy
v 0 y
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天津大学力学系 方一红
[例2]膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-2) 说明x方向的线元以恒速率k 伸长，y方向的线元长度保持不变。 面积扩张率为
u v v k x y
说明面元的瞬时面积相对扩张率为常数。任何单位面积的流体面均以 恒速率k 扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当k < 0时为收缩流）。 （2）设 t = 0时，质点位于M（x, y），t = t’ 时位于M ’ (x’， y’ )。 按（B2.3.2a）式求质点轨迹方程
(x, y, z 为自变量，t为参数）
9
比较 • 拉格朗日法
分别描述有限质 点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映 参数的空间分布 不适合描述流体 元的运动变形特性
天津大学力学系 方一红
欧拉法
同时描述所有质 点的瞬时参数 表达式简单 直接反映参数 的空间分布 适合描述流体 元的运动变形特性
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天津大学力学系 方一红
3
天津大学力学系 方一红
Dv v v v v a u v w ( v )v Dt t x y z t
u u u u ax u v w t x y z v v v v ay u v w t x y z w w w w az u v w t x y z
30
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欧拉公式流体
欧拉公式流体是一种基于欧拉运动方程式的流体力学模型。
它可以用于描述一类外场类似于势场的流体流动问题。
欧拉公式流体的研究对于现代工程领域的流体力学应用具有重要的意义。
欧拉公式流体的成因是欧拉运动方程式。
欧拉方程式是一种描述流体力学的基本方程之一，可以用于描述三维空间内的体积受力、动量、压力和速度变化的运动。
欧拉方程式是一种标量方程式，可表示为：
∂ρ / ∂t + ∇·(ρu) = 0其中，ρ表示流体密度，t表示时间，u表示流体速度。
方程式的左侧代表密度与时间的变化率，右侧代表密度与速度的变化，这两个变化量在三维空间中是相关且相互影响的。
因此，欧拉流体也被称为密度受控的流体。
欧拉公式流体的应用也非常广泛。
例如，欧拉方程式可以用于研究一种特定类型的自由空气套利问题，即对于存在空气动力学效应的高速气动对象，如飞行器和火箭等，用欧拉方程式来建模和求解空气力学问题是有效的。
此外，欧拉公式流体也广泛应用于多物质、多相流、液体动力学和热去耗等领域的研究。
欧拉公式流体的基本特点是它能够有效地描述流体的压缩性。
在欧拉公式流体中，流体是不可压缩的，所以不
存在流体的压缩变化。
但是，在一些实际的应用问题中，由于流体存在着压缩变化，所以欧拉公式流体并不适用。
此时，需要使用另一种流体力学模型——纳维-斯托克斯方程式。
在欧拉公式流体的研究中，一些重要的流体物理量需要被建立。
例如，流体的速度是一个重要的物理量，可以被用于描述流体的速度和流向。
当流体流速较高时，欧拉公式流体会显示出接近于流体线的流动特性。
此外，流体的压力也是一个重要的流体物理量。
流体的压力可以展现出流体在设计条件下的相对应的流力。
在欧拉公式流体下，压力对于流体方程式的重要性是尤为突出的。
欧拉公式流体的模拟和预测也是一项重要的任务。
模拟是为了观察流体的运动行为以及动力学参数的变化，而预测是为了预测流体运动状态下的性能和效果。
目前，欧拉公式流体的模拟和预测主要通过计算机模拟和实验室实验方法进行。
在计算机模拟中，基于有限体积法、差分法、有限元法、谱方法等计算手段都可以被应用于欧拉公式流体的建模和计算。
在实验室中，使用激光光线测量、微观观察、高速摄影等技术也能够进行欧拉公式流体的实现。
总的来说，欧拉公式流体是一种基于欧拉运动方程式的流体力学模型。
它深入研究流体的运动方式和动力学行
为，在现代工程领域的研究和应用具有重要的意义。
未来，欧拉公式流体的应用和发展仍然是持续深入的问题。