二阶、三阶矩阵逆矩阵的口诀
三阶矩阵的逆矩阵公式
三阶矩阵的逆矩阵公式
三阶矩阵的逆矩阵公式在线性代数中扮演着重要的角色，它可以帮助我们解决矩阵求逆的问题。
在矩阵求逆的过程中，我们需要首先确定矩阵是否可逆，即确定矩阵的行列式是否为非零值。
如果矩阵是可逆的，那么我们就可以使用逆矩阵公式来求解逆矩阵。
逆矩阵公式的推导过程相对复杂，但在实际应用中，我们可以直接利用公式来求解逆矩阵，而无需深入了解其推导过程。
三阶矩阵的逆矩阵公式可以表示为：若矩阵A可逆，则A的逆矩阵等于1/|A|乘以A的伴随矩阵。
其中|A|表示A的行列式，伴随矩阵是由A的各个元素的代数余子式构成的矩阵的转置。
通过这个公式，我们可以比较容易地求解三阶矩阵的逆矩阵，从而解决线性代数中的相关问题。
在实际应用中，逆矩阵的概念常常用于解决方程组、矩阵变换等问题，具有广泛的应用价值。
除了三阶矩阵的逆矩阵公式外，我们还可以通过其他方法来求解逆矩阵，比如高斯消元法、矩阵的初等变换等。
不同的方法有各自的适用范围和特点，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解逆矩阵。
总的来说，三阶矩阵的逆矩阵公式是线性代数中的重要内容，它为我们解决矩阵求逆问题提供了有效的工具和方法。
通过学习和掌握这个公式，我们可以更好地理解矩阵的性质和运算规律，为进一步
深入学习和应用线性代数奠定基础。
希望通过本文的介绍，读者对三阶矩阵的逆矩阵公式有更清晰的认识和理解。
D1.二阶矩阵求逆的口诀及其应用
二阶矩阵求逆的口诀及其应用矩阵求逆有很多应用, 是高等代数中的重要内容, 通常有两个方法: 伴随矩阵法与初等变换法.例1. 求A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--540320003的逆矩阵.解一(伴随矩阵法) 先求A 的行列式:|A |=540320003--=35432--=3(-10+12)=6≠0.再求A 的代数余子式:A 11=5432--=2,A 503012---==0,A 402013==0,A 540021--==0,A 500322-==-15,A 400323-==-12,A 320031-==0,A 300332--==9,A 200333==6.于是可求得A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-120000612091500026112325313323133222122321111A A A A A A A A A A . 解二(初等变换法) 将()AE 初等变换为()1-EA ,即可求得A 的逆:()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120000100010001120000010010001100010005403200011000100015403200033531131331AE∴A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1200002325311.显然,这两种方法都很繁.而二阶矩阵求逆在多次应用伴随矩阵法后,我们可以发现并归纳出如下口诀:二阶矩阵求逆,主对角线对调,副对角线变号,行列式除记牢.即: 若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-a c b d AAd c b a A 1,1则. 例如:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12243521543223251. 应用这口诀于对角分块矩阵上去,可以简化某些高阶矩阵求逆.∵ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111110000n n A A A A .(参见北京大学《高等代数》P180-182),∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------121112110000540320003A AA A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120000232531. 例2. 求⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100030000540032的逆矩阵. 解: ∵ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----103101311103,12543231311122325111A A , ∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------10000000120000001100030000540032131232512111211A A A A . 例3.求X =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111121002的逆矩阵.解: ∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A , 由 ().,1112,11,2⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==B C O A X B C A得 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==----6131613121313221323131311132313131121111,,CA B B A ∴ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-32316111121100X . 类似例3,也不难求出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=6131817500230012Y 的逆矩阵,求解留给读者.刊登于2000.10.“无锡教育”。
求二_三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀 pdf
求二_三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀 pdf 求二的三阶矩阵是新学期的必考题型之一，而这个题型的难点就是不会读懂定义。
不读懂定义很容易就会混淆，甚至写错或者不会写出新定义。
所以一定要认真理解定义，这样才能真正理解定义。
当然还有很多同学不知道怎么理解定义，所以我将它归纳为几个口诀：二是二阶矩阵，要记好！二是二阶矩阵的二阶逆矩阵，二阶矩阵要会读懂定义！记住了哦！就可以在新学期把它牢牢记在心里了！如果不会读懂定义的话，那很容易就会错得很离谱！所以今天我们就一起来记忆这几个口诀吧！1.二是二阶矩阵下面我们来记忆口诀：二是二阶矩阵，要记好！二阶矩阵：先来认识一下，二阶矩阵分为二阶整列矩阵和二阶余数矩阵。
分别记住二阶矩阵的几个条件：1)同号矩阵两列中至少有一个同号；4)同号矩阵不同点：多个同号矩阵之间相同点都不是同号。
2.二阶矩阵的二阶逆矩阵二阶矩阵的二阶逆矩阵，也就是我们常说的二阶平面矩阵。
这里我们来记忆口诀，第一个口诀就是2、3、4……。
在第二个口诀里我们可以理解成3、4……中的2,在这里我们可以用以下的口诀来记忆:2、2……中的2——2,在这里我们可以理解成2阶逆矩阵。
第一个口诀:1、2——2,在这里我们可以理解成2阶逆矩阵。
2是什么意思呢？两个含义：第一，这两个含义是两个矩阵都是逆矩阵。
第二,2是两个矩阵的任意两点加起来相加形成多项矩阵。
3.二阶逆矩阵的正阶函数上面我们学习了两个关于逆矩阵的一些重要定义，下面我们来学习一下正阶函数吧。
我们都知道矩阵formula_2=(x, y),这就是为什么要记住它。
正阶函数是矩阵formula_2=(x+ y) f (x)的正阶函数。
其实就是一个二阶线性矩阵。
下面我们就来看一下它能解哪些二阶逆方程？这两个乘积就是二阶线性矩阵对应正阶函数。
而正阶函数有两个条件：一是正阶函数中不带零点，二是正阶函数中有一个点是0点。
4.二阶逆矩阵的正解方程这个口诀是对求二阶逆矩阵的方程进行总结的。
三阶矩阵求逆公式
三阶矩阵求逆公式三阶矩阵是一个3行3列的矩阵，可以表示为：A=[a₁₁a₁₂a₁₃][a₂₁a₂₂a₂₃][a₃₁a₃₂a₃₃]要求矩阵A的逆矩阵A⁻¹，需要满足以下条件：A×A⁻¹=I其中I是单位矩阵。
也就是说，当A乘以A⁻¹时，结果应该是一个单位矩阵。
单位矩阵是一个对角线上的元素都是1，其余元素都为0的矩阵：I=[100][010][001]接下来，我将介绍三阶矩阵求逆的步骤。
步骤1：计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)。
伴随矩阵adj(A)是由矩阵A的每个元素的代数余子式构成，代数余子式的定义如下：若M是一个3×3矩阵，M(i,j)表示矩阵M的元素aij则M(i,j)的代数余子式ij为：(-1)^(i+j) × Δij其中Δij是元素M(i,j)的伴随矩阵det(M(i,j))。
adj(A) = [A11 A21 A31][A12A22A32][A13A23A33]步骤2：计算矩阵A的行列式det(A)。
行列式的计算公式为：det(A) = A11 × (A22A33 - A23A32) -A12×(A21A33 - A23A31) + A13×(A21A32 - A22A31)。
步骤3：计算A的伴随矩阵adj(A)的转置adj(A)ᵀ。
将伴随矩阵adj(A)的行变为列，得到adj(A)的转置adj(A)ᵀ。
adj(A)ᵀ = [A11 A12 A13][A21A22A23][A31A32A33]步骤4：计算逆矩阵A⁻¹。
逆矩阵的计算公式为：A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)ᵀ。
至此，我们完成了三阶矩阵求逆的步骤。
需要注意的是，如果矩阵A的行列式det(A)等于0，那么矩阵A是不可逆的。
在求解逆矩阵的过程中，我们需要先计算行列式，若行列式为0，则无法继续求逆矩阵。
三阶方阵逆矩阵公式
三阶方阵逆矩阵公式
1、方阵的逆矩阵等于方阵的伴随矩阵与方阵对应的行列式的值的倒数的积；
即A^-1=A*/(|A|).
只有当|A|≠0时，方阵A才可逆。
这种方法并不简便。
2、利用初等变换求逆矩阵；
一般是将矩阵(A,E)化为(E,A^-
1)的形式；从而得到A逆矩阵；
3、也可以利用分块矩阵求逆矩阵；
但是，这种方法不能单独使用。
其实就是把一个高阶方阵分成若干个低阶方阵，然后利用前两种方法求出低阶方阵的逆矩阵。
这种方法不适用于三阶矩阵的逆矩阵。
因为三阶矩阵本身是很低阶的。
使用下面的示例来演示前两种方法。
例如，求以下三阶矩阵的逆矩阵:
解法1：(1)先求|A|，即A所对应的行列式，判断A有没有逆矩阵：
∴A有逆方阵.
(2)然后求A的伴随矩阵：
(3)最后代入公式求A的逆矩阵：
解法2：对(A,E)施行初等变换：即
（1）第三行乘以-1加到第一行得：
(2)第三行加到第二行得：
(3)第一行乘-2加到第三行得：
(4)第三行乘以负1交换到第二行得：
(5)第三行除以5，然后第三行分别乘以12和4，加到第二行和第一行，得：
看，两种方法得到的结果是一样的。
二阶三阶矩阵逆矩阵的口诀
二阶三阶矩阵逆矩阵的口诀SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。
经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。
针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。
2、知识储备1.1对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下： 1.3方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导：假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2*d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦==4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。
去一行，得一列，二变号，余不变，2313121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231312规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1:表格1第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei,fg,dhStep2：表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf,id,geStep3：由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。
二阶三阶矩阵逆矩阵的口诀
求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。
经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。
针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。
2、知识储备1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。
去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , geStep3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。
二阶矩阵求逆规律
二阶矩阵求逆规律矩阵求逆是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用。
求一个矩阵的逆，即找到与该矩阵相乘结果为单位矩阵的逆矩阵。
在二阶矩阵中，求逆的规律相对较简单，可以通过计算行列式和转置的方式来求解。
下面将介绍二阶矩阵求逆的规律及其相关参考内容。
假设我们有一个形如：A = [a b][c d]的二阶矩阵，我们要求它的逆矩阵。
首先，我们需要计算矩阵A的行列式：|A| = ad - bc根据矩阵的性质，如果行列式|A|不等于0，则矩阵A可逆。
这是因为如果|A|等于0，意味着矩阵A的行向量或列向量之间存在线性关系，无法找到一个与之相乘为单位矩阵的逆矩阵。
接下来，我们计算矩阵A的伴随矩阵（即将主对角线元素对调，非主对角线元素取负）：adj(A) = [ d -b][-c a]然后，我们用伴随矩阵adj(A)除以行列式|A|，即可得到逆矩阵：A^-1 = adj(A)/|A|根据上述规律，我们可以很容易地写出一个计算二阶矩阵求逆的程序或函数。
以下是一个Python代码示例：```pythondef invert_2d_matrix(matrix):a = matrix[0][0]b = matrix[0][1]c = matrix[1][0]d = matrix[1][1]det = a * d - b * cif det == 0:return "Matrix is not invertible"inverted_matrix = [[d, -b], [-c, a]]for i in range(2):for j in range(2):inverted_matrix[i][j] /= detreturn inverted_matrix# 测试代码A = [[1, 2], [3, 4]]inverse_A = invert_2d_matrix(A)print(inverse_A)```以上代码会输出矩阵A的逆矩阵。
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求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀
1、问题的提出
在各类理工科的课程中， 往往有求解矩阵逆矩阵的问题， 题目本
身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，
要费一些时间，
更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。
经过一些研究， 我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的 逆。
针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。
2、知识储备
1.1 对于 n 阶方阵，如果同时存在一个 n 阶方阵，使得 AB=BA=E
则称 A 阵可逆，并把方阵 B 成为方阵 A 的逆矩阵，记作 A -1
1.2 n 阶行列式 A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做
A 的伴随矩阵，如下：
A 11
A 21
... A n1
A
12 A
22
...
A
n 2
A*
....
A
1n
A
2n
...
A
nn
*
1.3 方阵 A 可逆的充分必要条件是
1A A 0，当 A 可逆时， A
A
3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀
记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式
推导： 假设 A
a b a,b,c, d R
，且 A 可逆，那么根据知识储备 1.2
A
d b
，
*
c d
c
a
d
b
*
c
a
所以呢， A 1A
A
A
4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀
记忆口诀：除以行列式，别忘记。
去一行，得一列 ，二变号，
余不变， 231312
1）整体要除以行列式，不能忘记
2）去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列
3）所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号
a b c
对于三阶矩阵 A d e f, A R33，且 A可逆
g h i
A 11
ei hf( bi hc)bf ce
fg id( cg ia )cd af（ 1）A
dh ge( ah gb)ae hd
先分析公式（ 1）的第一列，研究如下表格
表 1
123
1d e f
2g h i
公式（1）矩阵的第一列是表 1 所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）
Step1:表格1第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列
得到 ei,fg, dh
Step2：表格 1 中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列
得到 hf,id, ge
Step3：由 step1 得到的数据减去step2 得到的数据，得到公式（1）的第一列。
同样的道理，公式（ 1）的第二列，第三列求出
373
实例1求A2 5 2得逆矩阵
4 103
591
A12 3 0答案
021。