2-2,3_矩阵的运算,逆矩阵(第五次)
2-2逆矩阵及其运算
线性代数第二节逆矩阵及其运算一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵线性代数（或称的逆）；其中为的倒数，a 11a a -=a ,111aa a a --==在数的运算中，对于数，有是否存在一个矩阵,.11AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A ，1A -使得一、逆矩阵的概念和性质0a ≠线性代数对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。
,AB BA E ==例1设,01011010A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。
定义1（可逆矩阵）线性代数例1 设,2110A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭解设是A 的逆矩阵,a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭则2110a b AB c d ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1001⎛⎫= ⎪⎝⎭221001a c b d ab ++⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求A 的逆矩阵线性代数,,,,212001a c b d a b +=⎧⎪+=⎪⇒⎨-=⎪⎪-=⎩,,,.0112a b c d =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-01120112-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1001⎛⎫= ⎪⎝⎭所以.10112A --⎛⎫= ⎪⎝⎭A BA B (待定系数法)线性代数注：不是每个非零矩阵都有逆矩阵。
0102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭例如11AA A A E --==不论一个怎样的矩阵的第一列全都是零。
因此，不可能有一个矩阵, 使,B 1A -BA线性代数定理1若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是惟一的.,,AB BA E AC CA E ====又B EB =()CA B =()C AB =.CE C ==所以A 的逆矩阵是惟一的,即B C=证明:设B 和C 是A 的逆矩阵，则有以后，把A 的逆矩阵记为。
2-3 逆矩阵
例 3 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵.
1 2 3 2 3 1 A 2 1 2 , B 1 3 5 . 1 3 3 1 5 11 1 2 3
解
A 2 1 2 4 0， A 可逆. 1 3 3 2 1 3 1 5 0，故 B 不可逆.
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3 2 6 4 1 2 1 1 1 A A 3 6 5 3 2 3 5 2 A 2 1 1 1 2 2 2
1 评析 本例采用的方法： A A . A
1
注 本例方法应用于二阶可逆矩阵，有 1 d b a b 1 A (可作为公式) A A c a c d 此结果可概括为“两调一除”：调换主对角元位置， 调换副对角元符号，除以A .
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B 1 3
5 11
A 中各元素的代数余子式： A11 3, A12 4, A22 0, A21 3,
A31 1,
A13 5, A23 1,
A33 3.
A32 4,
1 3 3 1 1 1 4 . A A 4 0 4 A 5 1 3
cof A的转置矩阵称为 A 的伴随矩阵，记作 A*，即
A11 A12 T A* (cofA) A 1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann
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1 2 例如，A 3 4
2 x z 2 y t 1 0 y 0 1 x
目录 上页 下页2x 源自 z 1 2y t 0 x0 y 1
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算指的是矩阵之间的加法、减法、乘法和除法运算。
1. 加法：两个矩阵的加法定义为将对应元素相加。
要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A +
B = [1+5 2+6
3+7 4+8]
= [6 8
10 12]
2. 减法：两个矩阵的减法定义为将对应元素相减。
同样要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A -
B = [1-5 2-6
3-7 4-8]
= [-4 -4
-4 -4]
3. 乘法：两个矩阵的乘法定义为将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算。
要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A *
B = [1*5+2*7 1*6+2*8
3*5+4*7 3*6+4*8]
= [19 22
43 50]
4. 除法：矩阵的除法没有直接定义，但可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现。
要求被除矩阵的逆矩阵存在且除数矩阵的行数等于被除矩阵的列数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A /
B = A * B^(-1)
其中 B^(-1) 是矩阵 B 的逆矩阵。
这些运算规定了矩阵之间的加减乘除运算法则，能够在很多领域中被广泛应用，如线性代数、图像处理、机器学习等。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。
矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。
1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。
加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。
例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。
A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。
例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。
除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。
如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。
2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。
例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。
矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。
如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。
逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。
3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。
2-2逆矩阵
A −1
2 6 −4 1 3 −2 1 ∗ 1 = A = −3 −6 5 = − 3 2 −3 5 2 . A 2 2 2 −2 1 1 −1
14
三、逆矩阵的求法及应用
用可逆矩阵求解矩阵方程 矩阵方程AX=B的矩阵 其中 的矩阵X,其中 例3：求满足矩阵方程 ：求满足矩阵方程 的矩阵
左乘方程AX=B两边得： 两边得： 用A-1左乘方程 两边得
15
三、逆矩阵的求法及应用
1 1 X = A −1 B = 2 9 2 2 1 −2 2 8 − 2 − 5 1 2
2 3 9 = 7 9 9 28 15 9
第二章 矩阵及其运算
第二节 逆矩阵 (Inverse matrix) 一、逆矩阵的定义及性质
二、方阵可逆的充要条件 三、逆矩阵的求法及应用 四、小结 思考题
1
一、逆矩阵的定义及性质
1、数 、
−1
在数的运算中，当数α≠０时， 在数的运算中，当数 ０
有
aa −1 = a −1a = 1,
1 的倒数， 则 a = 称为 a 的倒数， a
17 3 − 5 3 1 3
注: 1)上例中X≠BA-1; 1)上例中 2)若矩阵方程为XB=C 或 AXB=C,其中矩阵A与B是可逆 2)若矩阵方程为XB=C 若矩阵方程为 方阵, 方阵,则 X=CB-1或 X=A-1CB-1; 注：若Ａ不是可逆阵，或者不是方阵，矩阵方程不能 不是可逆阵，或者不是方阵， 用可逆矩阵求解
A11 = ( −1)
2
2 1 4 3
= 2,
A12 = ( −1)
3
2 1 3 3
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
2-2 逆矩阵
A A1 1 A1 2 A1 n A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
n1 n1 n2 n2 nn nn
A
A A
A E A
9
定理2.3 n阶 方 阵 A 可 逆 当 且 仅 当
且A
1
A 0
1 A
A , 其 中 A 为 矩 阵 A的 伴 随 矩 阵 .
证明 A 可 逆 ， 则 有 A ， 使 A A
1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0
0 1345 0 0 0
0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 4 0
0 0 1245 0 0
0 0 0 . 0 1 5
0 0 0 1235 0
0 0 0 1234 0
5 3 X 4 1
3 4 ; 5 2 1 1
2 ; 4
1 0X 1
1 1 3
1 4 0 0 1 2
3 5 . 1
24
解
1
1 1
5 3 X 4 1
1 1 2 , B 1 1 2
1 2 , 1 2
AB BA E ,
B 是 A 的一个逆矩阵
.
4
定理2.1 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 证明
设 B 、 C 都是 A 的逆矩阵，则 AB BA E ， AC CA E 从而 B EB ( CA ) B C ( AB ) CE C
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是数学中一个重要的概念，研究矩阵的运算公式对于理解线性代数和计算机图形学等领域都至关重要。
以下是矩阵的运算公式的详细介绍：1.矩阵的加法：对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为：C=A+B，其中C的元素等于A和B对应元素的和。
2.矩阵的减法：对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法定义为：C=A-B，其中C的元素等于A和B对应元素的差。
3.矩阵的数乘：对于一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘定义为：B=k*A，其中B的元素等于A的对应元素乘以k。
4.矩阵的乘法：对于两个矩阵A和B，它们的乘法定义为：C=A*B，其中C的元素等于A的行向量与B的列向量的内积。
5.矩阵的转置：对于一个矩阵A，它的转置定义为：B=A^T，其中B的行等于A的列，B的列等于A的行，且B的元素和A的对应元素相同。
6.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，它的逆定义为：A^{-1}，使得A*A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
7.矩阵的行列式：对于一个方阵A，它的行列式定义为：，A，是A的元素的代数余子式之和。
8.矩阵的迹：对于一个方阵A，它的迹定义为：tr(A)，是A的主对角线上元素之和。
9.矩阵的转置乘法：对于两个矩阵A和B，它们的转置乘法定义为：C=A^T*B，其中C的元素等于A的列向量与B的列向量的内积。
10.矩阵的伴随矩阵：对于一个方阵A，它的伴随矩阵定义为：adj(A)，是A的代数余子式构成的矩阵的转置。
11.矩阵的秩：对于一个矩阵A，它的秩定义为：rank(A)，是A的线性无关的行或列的最大数量。
12.矩阵的特征值和特征向量：对于一个方阵A，它的特征值是满足方程det(A - λI) = 0的λ值，特征向量是对应于特征值的非零向量。
13.矩阵的奇异值分解（SVD）：对于一个矩阵A，它的奇异值分解定义为：A=U*Σ*V^T，其中U和V 是正交矩阵，Σ是一个对角线上元素非负的矩阵。
14.矩阵的广义逆矩阵：对于一个矩阵A，它的广义逆矩阵定义为：A^+，使得A*A^+*A=A，其中A*A^+和A^+*A均为投影矩阵。
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矩阵乘法的性质 (1) (AB)C=A(BC)； = ； (2) (A+B)C=AC+BC； + = + ； (3) C(A+B)=CA+CB； + = + ； (4) k(AB)=(kA)B=A(kB) . = =
应注意的问题 (1) AB≠BA ； ≠ (2) AC=BC ⇒ A=B； = / = ； (3) AB=O ⇒ A=O或B=O ； / = 或 = = (4) AA=A ⇒ A=E或A=O . = 或 = = /
2 3 1 −2 −3 例3．设 A= 1 −2 ， B = ，求AB及BA . 求 2 −1 0 3 1 8 −7 −6 解： AB = −3 0 −3 , BA= −9 4 . = 3 8 5 −7 −9 −2 4 2 4 例4．设 A= ， B= ，求AB及BA . 注意： 求 注意：左乘右乘的不同 −2 −3 −6 − − 1− −16 −32 0 0 解： AB= ， BA= 8 16 0 0
显然AC=BC，但A≠B . ， 显然 ≠
1 , 0
1 . 0
矩阵乘法不满足消去律. 注4： 矩阵乘法不满足消去律
对于任意矩阵A及相应的矩阵 及相应的矩阵O， ， 例7． 对于任意矩阵 及相应的矩阵 ，E，有 AO=O， OA=O； ， ； AE=A， EA=A， EE=E. ， ， 例8 . 设A = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
那么, 那么,F 矩阵 是怎么得到 的呢？ 的呢？
0 x1 1 = 1 x2 2
从而得方程组的解: 从而得方程组的解 x1 = 1 , x2 = 2.
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵 阶矩阵A，如果存在n阶矩阵 阶矩阵B， 定义1 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得 AB=BA=E， = = ， 那么矩阵A称为可逆矩阵， 称为可逆矩阵 称为A的逆矩阵. 那么矩阵 称为可逆矩阵，而B称为 的逆矩阵. 称为
定义5 阶方阵， 定义 设A 为n阶方阵，若AT=A，则称 为对称矩阵，如 阶方阵 ，则称A为对称矩阵， 果AT= - A，则称 为反对称矩阵 ，则称A为反对称矩阵. 显然： 为对称矩阵的充分必要条件是 为对称矩阵的充分必要条件是a 显然：A为对称矩阵的充分必要条件是 ij=aji ; A为反对称矩阵的充分必要条件是 aij=-aji . 为反对称矩阵的充分必要条件是 如：
则AA =
=A. 显然AA=A，但A≠E，A ≠ O . ， 显然 ≠ ，
线性方程组的矩阵表示（矩阵方程） 例9. 线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 +…+a a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2 +…+a … … … … … … … as1x1+as2x2+…+asnxn = bs +…+a a11 a21 A= … as1 a12 a22 … as2 … … … … a1n a 2n … asn x1 x2 x= … xn Ax = b b1 b2 b= … bs
A1 A2 L Ak = A1 A2 L Ak
显然
Ak = A
k
6. 方阵的行列式 定义7. 方阵A的 定义7. 方阵 的多项式
A ——方阵 ——方阵 f(x) ——多项式 ——多项式 f(x) = asxs + as−1xs−1 + … + a1x + a0 f(A) = asAs + as−1As−1 + … + a1A + a0E
1 2 1 0 1 1 例6 ．设 A = , B = , C = , 则 0 3 0 4 0 0
1 2 1 1 1 AC = = 0 0 3 0 0 1 0 1 1 1 BC = = 0 0 40 0
(A )(A 注: ① (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 ② (A − B)2 = A2 − AB − BA + B2 ③ (A + B)(A − B) = A2 − AB + BA − B2 )(A
5. 转置矩阵及对称方阵
定义4 矩阵A的行与列互换 矩阵， 定义 将m×n矩阵 的行与列互换，得到的 ×m矩阵，称 × 矩阵 的行与列互换，得到的n× 矩阵 为矩阵A的转置矩阵，记为 为矩阵 的转置矩阵，记为AT或A′. 即如果 ′
1 / 2 1 / 2 1 1 x1 1 / 2 1 / 2 3 1 1 / 2 − 1 / 2 1 − 1 x = 1 / 2 − 1 / 2 − 1 ⇒ 0 2 x1 1 ⇒ = x 2 2
逆矩阵的唯一性
如果矩阵A可逆， A的逆矩阵是唯一的 的逆矩阵是唯一的. 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 可逆 这是因为，如果 和 都是A的逆矩阵 的逆矩阵， 这是因为，如果B和B1都是 的逆矩阵，则有 AB=BA=E， AB1=B1A=E = = ， = 于是 B =BE =B(AB1) =( BA)B1 =EB1 =B1 .
2.3
逆矩阵
逆矩阵概念的引入 解方程组 x1 + x 2 = 3 x1 − x 2 = − 1 1 1 x1 3 解：将其写成矩阵方程 1 − 1 x = − 1 2
1/ 2 1/ 2 两边都左乘矩阵F得 两边都左乘矩阵 得 ( F = 1/ 2 −1/ 2 )
− 2 A T ( B T A) 2
= (−2) 4 AT ( B T A) 2
= 16 A ( B A)
T
2
= 16 A B
= −128.
2
A
Hale Waihona Puke 2练习1．设 A是3阶方阵，且｜A｜=－2，则｜A2｜=( 4 ． 阶方阵， 是 阶方阵 ｜ － ， |2A|=( -16 ), |－A|=( 2 ). － . 2．设 A,B都是 阶方阵，且｜A｜=2，B=-3E， ． 都是2阶方阵 都是 阶方阵， ｜ ， = ， ). 则 |ATB|=( 18 ). )
x1 x2 T = xy (y1 y2 ⋅ ⋅ ⋅ yn ) = ⋅⋅⋅ xn
x1y1 x2y1 … xny1
x1y2 x2y2 … xny2
… … … …
x1yn x2yn … xnyn
.
5. 转置矩阵及对称方阵
定义4 矩阵A的行与列互换 矩阵， 定义 将m×n矩阵 的行与列互换，得到的 ×m矩阵，称 × 矩阵 的行与列互换，得到的n× 矩阵 为矩阵A的转置矩阵，记为 为矩阵 的转置矩阵，记为AT或A′. 即如果 ′
注意!!! 注意!!!
例10．设 ．
1 0 − 1 A = 2 1 0 3 2 − 1
求 A⋅B 解: 因为
− 2 1 − 2 AB = − 4 5 1 −6 9 0
− 2 1 0 B = 0 3 1 0 0 2
1 −1 2 A = −1 3 4 , 2 4 −2
0 1 −2 B = −1 0 −4 2 4 0
分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵. 分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.
6. 方阵的行列式
定义6 阶方阵， 的元素构成的n阶行列式 定义6 设A是n阶方阵，由A的元素构成的 阶行列式 是 阶方阵 的元素构成的 称为方阵A的行列式，记为 或 称为方阵 的行列式，记为|A|或det A . 的行列式 显然， |E|=1 . 显然， |=1 |= 性质： 阶方阵， 为数 为数， 性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则 、 为 阶方阵 (1) |A|=|AT|; (2) |kA|=kn|A|; (3) |AB|=|A||B| . 一般地， 都是n阶方阵 阶方阵， 一般地，若A1,A2,…Ak都是 阶方阵，则
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵 阶矩阵A，如果存在n阶矩阵 阶矩阵B， 定义 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得 AB=BA=E， = = ， 那么矩阵A称为可逆矩阵， 称为可逆矩阵 称为A的逆矩阵. 那么矩阵 称为可逆矩阵，而B称为 的逆矩阵. 称为 定理1 如果矩阵A可逆 可逆， 的逆矩阵是唯一的. 定理 如果矩阵 可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的 即若AB= = = A的逆矩阵记为 −1 . 即若 =BA=E ，则B=A−1 . 的逆矩阵记为A 的逆矩阵记为 由于A， 位置对称 位置对称， 互逆， 由于 ，B位置对称，故A，B互逆，即B=A−1， A=B−1. 如 ， 互逆 = =
1 −1 3 A = 2 −1 4 −1 2 − 4
− 4 2 − 1 B = 4 −1 2 3 −1 1
可以验证， AB = BA = E 可以验证，
2. 方阵可逆的充分必要条件 a11 a12 ⋅⋅⋅ a1n A = a21 a22 ⋅⋅⋅ a2n 的代数余子式构成的矩阵 定义2 定义 由矩阵 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ an1 an2 ⋅⋅⋅ ann A11 A21 ⋅⋅⋅ An1 A12 A22 ⋅⋅⋅ A2n ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ A1n A2n ⋅⋅⋅ Ann
−2 1 −2 | AB |= −4 5 −6 9 1 = 24 0
由公式 AB = A B
则 A ⋅ B = 24
−2 1 0 | B |= 0 0 3 1 = −12 0 2