线性代数2_3逆矩阵[1]1
线性代数教学课件第二章矩阵第三节逆矩阵
解 A | A | A1 1 A1 ,
2
| (3A)1 2A | | 1 A1 A1 | | 2 A1 |
3
3
(
2 )3 3
|
A1
|
8 | 27
A |1
8 2 27
16 27
.
18
(5) 设 A, B,C 为同阶方阵, AB AC .若 A 可逆,则B C .
对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.
(6) 若A可逆,则有 | A1 | | A |1 . 证 AA1 E , | A | | A1 | 1 , 因此 | A1 | | A |1 .
17
例9 设 A 为 3 阶方阵，且| A | 1 , 求行列式 2
14
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
15
三、逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆,则A1亦可逆,且( A1 )1 A . (2) 若A可逆,数k 0,则kA可逆,且 (kA)1 1 A1.
可逆时,
求 A1
解 A 可逆的充分必要条件是 A ad bc 0
又
A*
A11 A12
A21 A22
d c
ab
所以当 A ad bc 0 时,
对角元互换位置, 非对角元变号
A1
1 A
A*
ad
华中科技大学线性代数2-3
因此
A
1
A
1
.
1 A
.
3 若 A 可逆, 数
A
1
0 , 则 A 可逆, 且
1
A
1
.
4 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且
AB 1
B
1
A
1
.
1
证明 AB B 1 A 1
AB
1 A 2E A 3E E 4 A 2E
且
1 4
A 2E
3E A 4
1
A 3 E 1,
1 4
故 A 2 E 可逆 .
.
A
2E
1
A 3E
例4
设三阶矩阵
A , B 满足关系 :
练习 1.设 A 可逆， （ 证明 A 亦可逆，并求 A ） 1 。
A
A
*
1
A A A A
1
1 1
A A
(A )
1
1
A
1
1
A E
T
(| A| A
)
1
1 |A|
A.
T 1
2. 试化简
解
T T
( I A B) (A )
1 T
判断题： 1、n阶方阵A可逆的充要条件是| A | ≠0 因为A可逆的 A 0
2
√
2、若A2不可逆，则A一定不可逆 √ A 0 , A不可逆 因为若A2不可逆,则 A 0 3、设A为n阶方阵，且 A 0 ，若存在B，使 AB=O成立，则有B=O。 √ 因为若 A 0 ，则A可逆 则有A-1AB= A-1O成立 ，即B=O 4、设A为n阶方阵，且 A可逆，若AB=AC，则 √ 有B=C.
《线性代数》逆矩阵
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．
线性代数 2-3可逆矩阵
A O 例13 (02考研): 设A,B为n阶方阵, C , O B *
则C的伴随矩阵C ＝( D )
( A) (C ) AA O
A B O
O BB O BA
B B ( B) O
X A1CB 1
3 2 1 1 3 3 1 2 1 3 5 3 2 0 10 4 2 2 5 2 10 4 3 1 1 1 1
x1 y1 3 y2 2 y3 3 5 x2 y1 3 y2 y3 2 2 x3 y1 y2 y3
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例11(05考研):设A,B,C 均为n阶矩阵, 若B＝E＋AB, 解：
C＝A＋CA，求B－C. 由 B＝E＋AB 得: ∴(E－A)B＝E 由C＝A＋CA得: B－AB＝E ∴ B＝(E－A)-1 C－CA＝A
解:
1
0
2
即AX＝B
∴A可逆
A 1 2 3 1 0 0 1 1
X＝A-1B
即： x1 1
2 x 1 2 3 2 x 0 1 1 3 0
1
1 1 2 4 1 5 0 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 3
A B 2B (2)4 B 16 ( 3) 48
B A 3 A (3) A 27 2 54
3
机动
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线性代数第一讲 逆矩阵
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A1
1 A* | A|
1 2 3 例 2 求方阵 A 2 2 1 的逆阵 3 4 3 解 由|A|20 得知A1存在 因为 2 6 4 A* 3 6 5 2 2 2
定理：AA*A*A|A|E
An1 An2 Ann
A A 当 A 0时, AA A A A E A A E , A A 按逆矩阵的定义得 A 1 A . A
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补充例题
逆矩阵的定义 对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得 ABBAE 则称矩阵A是可逆的 并称B为A的逆矩阵 简称逆阵 逆阵的唯一性 如果矩阵A是可逆的 那么A的逆阵是唯一的
所以
1 2 2 6 4 3 3 5 1 A* 1 3 6 5 3 1 A 2 | A| 2 2 2 2 2 1 1 1
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补充例题
例3 设
1 2 3 1 3 A 2 2 1 B 2 1 C 2 0 5 3 3 4 3 3 1 求矩阵X使其满足AXBC
推广
A1 A2 Am A A A .
1
1 m
1 2
1 1
当A可逆, m为正整数时, A 亦可逆,且 若规定 A m
补充例题 首页
m
(A ) (A ) . m 1 m 1 m (A ) , 则 (A ) A .
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m 1
1 m
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A1 例 1 求二阶矩阵 A a b 的逆阵 c d d b 解 因为|A|adbc A* c a 所以当|A|0时 有
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
线性代数2.3- 逆矩阵
解
(1)
1 − 5 3 2 X = −1 4 1 4
−1
1 − 5 给方程两端左乘矩阵 , −1 4 E 1 − 5 1 − 5 1 − 5 3 2 X = 得 −1 4 −1 4 −1 4 1 4 1 − 5 3 2 − 4 − 5 3 2 − 17 − 28 ⇒X = = = . −1 4 1 4 − 1 − 1 1 4 − 4 − 6
A A21 A31 11 A 1 −1 ∴ A = = A A22 A32 12 A A A A23 A33 13
∗
1 − 3 3 1 4 . = −4 0 4 5 − 1 − 3 2 3 −1 5 = 0, 由于 B = − 1 3 1 5 − 11
−k
−1 T
).
−1 k
另外, 当 A ≠ 0时, 定义 A = E,
0
A
= (A
).
(k为正整数 )
当 A ≠ 0, λ , µ为整数时 , 有 A A =A
λ µ λ +µ
,
−1
(A )
λ µ
= Aλµ .
(5 ) 若A可逆 ,则有 A = A .
−1
证明
Q AA −1 = E
∴ A A −1 = 1
1 − 1 1 给方程两端左乘矩阵 1 1 0 , 3 2 1
一、概念的引入
在数的运算中， 在数的运算中，当数a ≠ 0 时， 有
aa −1 = a −1a = 1,
的倒数， 的逆）； 其中 a−1 = 1 为 a 的倒数， 或称 a 的逆）； （ a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中， 的1， 那么，对于矩阵 A ， ， 那么， 如果存在一个矩阵A−1, 使得
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定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 1 A1 — A*，其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
《线性代数》
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1 矩阵 A 可逆 |A|0； A1 — A* . |A|
1 0 1 例2．求矩阵 A 2 1 0 的逆矩阵. 3 2 5
1 0 1 解: 因为 |A| 2 1 0 20，所以A可逆. 3 2 5
那么,F 矩阵 是怎么得到 的呢？
.
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2. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE， 那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.
逆矩阵的唯一性 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有 ABBAE， AB1B1AE
1 1 3 A 2 1 4 1 2 4 可以验证， AB BA E
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4 2 1 B 4 1 2 3 1 1
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比较—逆矩阵与倒数
在数的运算中，当数a 0时， 有
2 3 2 A 1 1 0 , 1 2 1
1
x1 X x2 , x 3
2 b 2 . 4
计算得 A 1 0 ，故A可逆. 因而有 X A1b ，即
x1 2 2 3 2 1 4 3 2 18 x 1 1 0 2 1 5 3 2 20 2 . x 1 2 1 4 1 6 4 4 26 3
的矩阵形式为 AX a11 a12 其中 a21 a22 A an1 an 2
b
a1n a2 n ann
x1 x2 X x n
b1 b2 b b n
1 , 求A的逆阵. 0
又因为
AB
0 1 B 1 2
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1 A . 1 2
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
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例5. 利用逆矩阵求解方程组
2 x1 2 x2 3 x3 2 2 . x1 x2 x 2x x 4 2 3 1
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
的伴随矩阵A*.
解: 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为
A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33
1 2
A11 (1)
11
2 3 1 1
5 ， A12 (1)
1 3 0 1
1
同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1
1
《线性代数》
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3.2
3. 伴随矩阵
方阵可逆的充分必要条件 a12 a1n a22 a2n 的代数余子式构成的矩阵 an2 ann 特别注意 A21 An1 A*的元素 A22 An2 排列顺序 A2n Ann
，
B 1
3 1 ， 5 2
1 3 2 0 3 1
2 1 3 1 10 4 5 2 10 4
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.
《线性代数》
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1 2 例6．设A 2 2 3 4 求矩阵X 使AXBC。 解： XA1CB1
3 1 3 2 1 ， C 2 0 1 ， B 5 3 3 3 1 2 1 10 4 。 10 4
5 2 1 A11 A21 A31 又因为 A* A12 A22 A32 10 2 2 A13 A23 A33 7 2 1
，
5 2 1 5/2 1 1/2 1 1 所以 A1 — A* — 10 2 2 5 1 1 . |A| 2 7 2 1 7/2 1 1/2
4. (AB)*=B*A* 5. (kA)*=kn-1A* 6. 若A可逆，则(A-1)*=(A*)-1
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小结
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
A 1 1待定系数法; 2 利用公式A ; A
后面介绍 . 3初等变换法
a11 a 定义2 由矩阵 A 21 an1 A11 A12 A1n
称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即
A11 A12 * A = A1n
《线性代数》
A21 A22 A2n
An1 An2 ห้องสมุดไป่ตู้ Ann
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1 1 1 例1. 求 A 1 2 3 0 1 1
aa a a 1,
1 其中 a 为a 的倒数， （或称 a 的逆）； a
1
1
1
在矩阵的运算中， 单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1，那么，对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1 ,
使得
AA1 A1 A E ,
1 A 则矩阵 即为 A 的可逆矩阵或逆阵.
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2 1 , 求A的逆阵. 例1 设 A 1 0 解 利用待定系数法 a b 是 A 的逆矩阵, 则 设 B c d 2 1 a b 1 0 2a c 2b d 1 0 AB b 0 1 1 0 c d 0 1 a
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
《线性代数》
a 0, b 1, c 1, d 2.
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0 1 B 1 2
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例1
设
2 A 1
5 2 1 * 因此A的伴随矩阵 A 1 1 2 1 1 1
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4. (非)奇异矩阵 定义3 对于n阶矩阵A，若行列式|A|0，则称A是奇异的 (或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退 化的) .
5. 方阵可逆的充分必要条件
于是
B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
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2. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE， 那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵. 定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 . 由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
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3.5 用逆矩阵求解矩阵方程
例6． 设A
1 2 3
2 2 4
3 1 3 2 1 ， C 2 0 1 ， B 5 3 3 3 1
为什么？
.
求矩阵X 使AXBC . 解:
XA1CB1 1 3 2 A1 3/2 3 5/2 1 1 1 1 3 2 X 3/2 3 5/2 1 1 1
。
注：求解矩阵方程
(1) AX B X A B (2) XA B X BA
1 1 1
1
(3) AXB C X A CB
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3.6 伴随矩阵的常用性质
1. AA＊＝A＊A＝|A|E ; 2. 若|A|≠0, 则A＊＝|A|A-1 ;
3. 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n-1 .
逆矩阵
3.1 逆矩阵的概念
x1 x2 1
1 1 x1 3 解：将其写成矩阵方程 1 1 1 x 2 1 / 2 1 / 2 两边都左乘矩阵F得 ( F 1 / 2 1 / 2 ) 1 / 2 1 / 2 1 1 x1 1 / 2 1 / 2 3 1 / 2 1 / 2 1 1 1 / 2 1 / 2 1 x 2 x1 1 1 0 x1 1 0 1 2 2 x x 2 2 从而得方程组的解: x1 1 , x2 2
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第3节 逆矩阵(inverse matrix)
3.1 逆矩阵的定义 3.2 方矩阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质
3.4 用逆矩阵求解线性方程组
3.5 用逆矩阵求解矩阵方程 3.6 伴随矩阵的常用性质
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第 3节
1. 逆矩阵概念的引入 解方程组 x1 x2 3
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3.4 用逆矩阵求解线性方程组
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .