3.3 逆矩阵
第一章 第三讲 逆矩阵及初等矩阵_2-20_
定义 3.2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 由于矩阵有三种初等变换，所以初等矩阵也有三种类型： (1) E 的第 i , j 行(列)互换得到的矩阵，记 E (i, j )
1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 i 1 E (i, j ) = ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 0 j 1 ⋱ 1 i j
列 列
以 3 阶初等矩阵为例：
1 0 0 E (23(k )) = 0 1 k 0 0 1
的逆矩阵就是
1 0 0 E (23(− k )) = 0 1 − k 0 0 1
显然有
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 k 0 1 − k = 0 1 0 = E3 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 ⋯ 0 = E, ⋮ ⋮ 1 ⋯ an ⋯ 0 ⋯ 0 = E, ⋮ ⋮ ⋯ an ⋯
0 a2 ⋮ 0
所以 A 可逆，且
1 a 1 0 −1 A = ⋮ 0
−1
⋯ ⋯ ⋮ ⋯
0 0 . ⋮ 1 an
我们知道矩阵 A 经过初等变换到 B ， A 和 B 之间不能用等号连接，因为 B 完全是另外 一个矩阵。当引入了初等方阵的概念后， A 和 B 之间就存在了某种等式关系.先看下面的例 子. 设
1 1 1 6 A = 1 0 −1 −2 1 −2 1 0
，令对 A 进行如下初等行变换得到的矩阵为 B ，即
−1 −1
（3）在矩阵方程 AX = B 中，若 A 可逆，则有 A AX = A B 即 X = A 方阵的逆矩阵具有以 方阵的逆矩阵具有以下 逆矩阵具有以下运算性质： (1) 可逆阵 A 的逆矩阵仍可逆，且 ( A ) = A ； 1 (2) λ ≠ 0 时，数乘 λ A 仍可逆，且 ( λ A ) = A ； λ (3) 若 A 、 B 为同阶可逆矩阵，则 AB 仍可逆，且 ( AB ) = B A ； (4) 可逆阵 A 的乘方仍可逆，且 ( A ) = ( A ) ； (5) 可逆阵 A 的转置仍可逆，且 ( A ) = ( A ) ； 这里只证（3） ，其它性质由同学自证。 因为 ( AB ) B A = A ( BB ) A = AEA = AA = E ，及 B A ( AB ) = B ( A A ) B = B EB = BB = E ，故结论成立。
矩阵的逆及其应用
１
即 Ａ· （ Ａ＋ ２Ｅ） ＝ Ｅ，所以，Ａ 可逆，且 Ａ －１ ＝ （ Ａ ＋
４
４
２Ｅ） ．
７ 结 语
逆矩阵在矩阵中占有重要地位．本文归纳总结了 ５ 种求
逆矩阵的方法：定义法，伴随矩阵法，分块矩阵法，初等变换
法，恒等变形法，通过分析例题，提高学生分析问题、解决问
题的能力．
【 参考文献】
［１］ 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等
将给出几种求逆矩阵的方法以及逆矩阵的应用，通过对如
何求解逆矩阵的方法进行总结来帮助学生解决学习逆矩阵
过程中所存在的困惑．
２ 可逆矩阵的概念
定义 ３．１ 设 Ａ 是 ｎ 阶方阵，如果存在 ｎ 阶方阵 Ｂ，使
得 ＡＢ ＝ ＢＡ ＝ Ｅ，就称 Ａ 是可逆矩阵或非退化矩阵，简称 Ａ
可逆或非退化，而 Ｂ 称为 Ａ 的一个逆矩阵． 否则，就称矩阵
Ａ ．
｜Ａ｜
用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵既
方便，又有规律可循．因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要
将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可．但
是当矩阵是三阶、四阶及以上时，则慎重选择此方法，因为
计算量会很大．
１ ２
例 利用伴随矩阵法求矩阵
的逆矩阵．
３ ４
１ ２
解 令 Α ＝
．
Ｂ －１ ø
æ２ １
ç３ ２
例 若 Ｍ ＝
çç ０ ０
è０ ０
逆，请求 Ｍ 的逆．
－１
ç
－１
( ＡＣ Ｂ０ ) 可 逆， 且 ( ＡＣ Ｂ０ )
－１
÷
ｂ． 分 块 下 三 角 矩 阵
＝æ
( Ａ０ ＣＢ ) 可 逆， 且 ( Ａ０ ＣＢ )
3.3 逆矩阵
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
解 A 2 2 1 2 0, B
2 1 5 3
1 0,
3 4 3
A , B 都存在.
1
1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
3 1 B , 5 2
1
【例3】设
解：
且
3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 1 1 1 2 2 11 1 10 A11 ( 1) 5 A12 ( 1) 2 4 1 4
判断A是否可逆，若 可逆， 求其逆。 =5≠0 ，A可逆。
AB A B E 1 0
A 0, B 0
由定理2· 1知，A、B均可逆
A 1 得 在等式AB=E的两边左乘
A ( AB) A E ( AB) B1 EB1
1 1
B A1
B 1 得 在等式AB=E的两边右乘
A B 1
【例4】已知n阶方阵A满足A3 +A2-A-E=0, 证明 A可逆，并求A-1
由已知 2A(A-E) A 解：ห้องสมุดไป่ตู้
3 3
3
A E +2A( E A) E
3
( A E )(A2 A E) ( E A)(2 A) E
( E A)(A2 A E) E
E 由推论知： A 可逆，且 ( E A)1 A2 A E
5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且
( AB)1 B1 A1
证明：
( AB)( B1 A1 ) A( BB1 ) A1 AEA1 AA1 E
状态转移矩阵的性质与计算
3. 约旦规范形及对应的转移矩阵:
2 0 0 A ~P1AP 0 1 1
0 0 1
e2t 0 0 eA ~t 0 et tet
0 0 et
约旦规范形法 (8/8)
4. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系, 得:
eAtPeA ~tP1
e2t (86t)et 9 1422e2 tet-((-2466tt))ee tt
1) Φ(0) eA0 I
2) eA(t+s) eAteAs, Φ(t+s) Φ(t)Φ(s), 式中t和s为两个独立 的标量自变量
证明: 由指数矩阵函数的展开式, 有
eAetAsIAt A 2!2t2... A k!ktk...IA sA 2!2s2... A k!ksk...
IA(ts)A2(t22tss2)... Ak(ts)k...
显然, 用此方法计算eAt一般不能写成封闭的和简洁的解析形 式, 只能得到数值计算的近似计算结果 ➢ 其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的 项数的多少 ➢ 如果级数收敛较慢, 则需计算的级数项数多, 人工计算 是非常麻烦的, 一般只适用于计算机计算 ➢ 因此, 该方法的缺点: ✓ 计算量大 ✓ 精度低 ✓ 非解析方法, 难以得到计算结果的简洁的解析表达 式
t 3t 2
1 3t
2 ...
...
约旦规范形法 (1/8)
2. 约旦规范形法
上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形 式矩阵的矩阵指数函数 ➢ 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦 矩阵,因此 ✓ 可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩 阵或约旦矩阵, ✓ 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计 算矩阵矩阵指数函数 ➢ 下面讨论之
矩阵求逆的方法
前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。
关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
单位矩阵matlab
单位矩阵在Matlab中的应用单位矩阵，也被称为恒等矩阵或单位阵，是一种特殊的方阵。
它在矩阵运算和线性代数中具有重要的作用。
在Matlab编程语言中，单位矩阵也具有广泛的应用。
本文将详细介绍单位矩阵在Matlab中的定义、生成、属性以及常见的应用场景。
1. 单位矩阵简介单位矩阵是一个n×n的方阵，其中主对角线上的元素全都为1，其他位置的元素全都为0。
例如3阶单位矩阵可以表示为：I = [1, 0, 0;0, 1, 0;0, 0, 1];单位矩阵在矩阵运算中是一个特殊的元素，它在许多情况下扮演者“乘法单位元”的角色。
在线性代数中，单位矩阵的性质极为重要，它是唯一一个使得矩阵与其相乘结果保持不变的矩阵。
2. 单位矩阵的生成与定义在Matlab中，单位矩阵可以通过多种方法生成。
下面列举了几种常用的生成方式：2.1 直接生成单位矩阵可以使用Matlab的内置函数eye(n)来直接生成一个n×n的单位矩阵，其中n为矩阵的维度。
例如，要生成一个3×3的单位矩阵，可以使用如下代码：I = eye(3);生成的结果I将是一个3×3的单位矩阵。
2.2 通过单位矩阵性质生成由于单位矩阵在矩阵乘法运算中扮演着乘法单位元的角色，因此可以利用这个性质生成单位矩阵。
例如，可以通过如下代码生成一个3×3的单位矩阵：A = magic(3); % 生成一个3×3的魔方矩阵I = A * inv(A);这种方法利用了魔方矩阵在与其逆矩阵相乘时得到单位矩阵的性质。
2.3 通过矩阵赋值生成可以直接通过矩阵赋值的方式生成单位矩阵。
例如，要生成一个4×4的单位矩阵，可以使用如下代码：I = zeros(4); % 先生成一个全部元素为0的4×4矩阵I(1:4+1:end) = 1; % 通过索引赋值，将主对角线上的元素设为1这种方法通过先生成全零矩阵，再逐个将主对角线上的元素设为1实现了单位矩阵的生成。
逆矩阵的性质及其若干求法
安阳师范学院本科学生毕业论文逆矩阵的性质及其若干求法作者戴丽丰系 (院) 数学与统计学院专业数学与应用数学年级 2010 级本科学号 100801071指导教师贾红艳论文成绩日期2014年06月学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或已经撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期：论文使用授权说明本人了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借读；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：导师签名：日期逆矩阵的性质及其若干求法戴丽丰（安阳师范学院 数学与统计学院, 浙江 金华 321000)摘 要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。
关键词：逆矩阵；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵；MATLAB1 引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.比如逆矩阵可以用来解线性方程组.逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值和它的伴随矩阵.当其阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.为了更便捷地求矩阵的逆,本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础. 2 预备知识 2.1 逆矩阵的定义设A 为n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA E ==(这里的E 是单位矩阵)成立，那么矩阵A 称为可逆矩阵，此时矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称为矩阵A 的逆.如果A 的逆矩阵不存在，那么A 称为不可逆矩阵.A 的逆矩阵记作1-A ，即如果AB BA E ==，那么1-=A B .2.2逆矩阵的性质性质1 如果矩阵A 可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.证明 设1B ，2B 都是A 的逆矩阵，则()()11121222B B E B AB B A B EB B =====， 所以A 的逆矩阵是唯一的.性质2 如果A 可逆，那么1-A 可逆，且A A =--11)(. 性质3 如果A 可逆，数0≠λ，那么A λ可逆，且111)(--=A A λλ.性质4 如果A 可逆，那么'A 可逆，且'11'()()A A --=.性质5 如果A ，B 都是n 阶可逆矩阵，那么AB 可逆，且111)(---=A B AB . 证明 因为111111()()()AB B A A BB A AEA AA E------====111111()()()B A AB B A A B B EB B B E------====所以AB可逆，且111)(---=ABAB.3 逆矩阵的求法3.1 用定义求逆矩阵设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵A，使A B B A E==，则称A矩阵是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵.例1已知n阶矩阵A满足2A A E-=，证明2A E+可逆，并求出它的逆矩阵1(2)A E-+.证：由220A A E--=，得(3)(2)40A E A E E-++=，则(2)(3)40A E A E E+-+=，即1(2)[(3)]4A E A E E+--=且1[(3)](2)4A E A E E--+=，由定义可知，2A E+可逆且11(2)(3)4A E A E-+=--.3.2 用伴随矩阵法求逆矩阵设A是n阶实矩阵，若0≠A,那么*11AAA⋅=-证明: 设()1>n阶矩阵111212212212nnn n nna a aaa aAa a a⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11220i j i j in jnA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若1220i ij i j ni njA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若这里的代数余子式，中元素是行列式ijijaAA由此可知，若令1121121222*12,nnn n nnA A AAA AAA A A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭那么=⋅=⋅AAAA**⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛AAAA⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=EEEEA≠A,由此可得，EAAAAAA=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅**11由矩阵定义可知：*11AAA⋅=-证毕.注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过EAA=-1来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.例 2 判定矩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323222321A阵是否可逆，若可逆，求1-A.解：12322240323A⎡⎤⎢⎥==-≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦A∴可逆1122223A==122233A=-=1322232A==-212323A=-=2213633A==-2312432A=-=3123222A==-3213422A=-=3312222A==-所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-2112112321212424622411*1AAA.3.3 用初等变换法求逆矩阵求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵SPPP,,21使sppp21A⋅E=()1用1-A右乘上式两端，得：sppp211-=A()2比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵1-A.用矩阵表示()A E−−−−→行初等变化()1E A-这是求逆矩阵的初等行变换法，或者1A EE A-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭列初等变换这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析.例 3用初等行变换求逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=31121112A的逆矩阵.解()A E=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡13111211112→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11121211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---21511211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21131211311→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32313111211311→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3231311343532111111→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131134353213132311，故=-1A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131343532313231.3.4 用分块矩阵求逆矩阵3.4.1分块矩阵的一般求法在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，并视每一小块是矩阵的元素，按照矩阵的运算法则进行计算，二小块之间的运算同样是按矩阵的运算法则进行运算，由此可以求出一个矩阵的逆矩阵.特别地，我们有，若T为可逆矩阵，且A BTC D⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+=--------------11111111111111)()()()(BCADCABCADBCADBACABCADBAAT证明：设A、D分别为r阶、s阶的方阵，则：()()()()11111111100rsE A A B D C A B AB D CABA B ETC D E E D CA B CA D CA B---------⎛⎫+-⋅⋅--⎛⎫ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎝⎭---⎝⎭∴()()()()11111111111A AB D CA B AB D CABA BTC D D CA B CA D CA B-----------⎛⎫+---⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪---⎝⎭证毕由于这个公式太难记，因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆.3.4.2 准对角线型矩阵的求逆设A、B都是非奇异矩阵,且A为n阶方阵，B为m阶方阵，若矩阵=C⎪⎪⎭⎫⎝⎛BA，则1-C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--11BA.证明： A、B均为非奇异矩阵，则00≠≠BA且∴AC A BB==≠A∴可逆设A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=WZYX,nmEX Y AEZ W B⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中nmXA EYBZAWB E=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，又 A、B均为可逆矩阵，∴11X AYZW B--⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴---111BAC证毕.可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111AAAAAAAA3.4.3 准三角型矩阵求逆设A、C为非奇异矩阵，则1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛CBA=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11110CBCAA.证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-CAEBAECBA1两边求逆得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛------111110CACBAEBAE∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111110CBCAACAEBAECBA证毕.同理可证⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----111110CBCAACBA.此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.例 4 已知1252142112001100T⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪⎝⎭，求1T-.解将T分块如下：1252142112001100A BTC⎛⎫⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎝⎭，其中125212,,142111A B C-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求的1*1*11121112,1111||||322A A C CA C--⎛⎫-⎪⎛⎫====⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎪⎝⎭从而11111111126311112263120033110033A A BCTC-----⎛⎫---⎪⎪⎪⎪⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭3.5 matlab求逆矩阵法MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。
机器人学变换矩阵-概述说明以及解释
机器人学变换矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述机器人学是研究机器人的机械结构、运动规划、感知与控制等方面的学科。
作为人工智能和自动化领域的重要分支，机器人学在工业、医疗、农业、航空航天等领域有着广泛的应用。
本文旨在介绍机器人学中的一个重要概念——变换矩阵。
变换矩阵能够描述机器人在三维空间中的位置和姿态，是机器人学中的核心概念之一。
通过对变换矩阵的研究，可以帮助我们更好地理解机器人的运动规划、姿态表示以及感知与控制等问题。
在本文中，我们将从机器人学基础开始，介绍机器人学的概述和机器人的运动学知识。
然后，我们将详细讨论变换矩阵的应用，包括机器人姿态表示、运动规划以及感知与控制等方面。
最后，我们将介绍变换矩阵的计算方法，包括坐标系变换、旋转矩阵与平移矩阵以及变换矩阵的乘法与逆矩阵等内容。
通过本文的阅读，读者将能够了解机器人学中的变换矩阵的概念、应用和计算方法。
同时，我们也将对变换矩阵的未来发展进行展望，并总结本文的内容。
机器人学的研究对于推动自动化技术的发展具有重要的意义，希望本文能够为读者对机器人学的研究和应用提供一定的帮助和启示。
*（请注意，以上内容仅为示例，具体内容需要根据文章内容和结构进行编写）*文章结构是指文章按照一定的组织方式和逻辑顺序来呈现内容的方式。
本文的结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 机器人学基础2.1.1 机器人学概述2.1.2 机器人运动学2.1.3 机器人学中的变换矩阵2.2 变换矩阵的应用2.2.1 机器人姿态表示2.2.2 机器人运动规划2.2.3 机器人感知与控制2.3 变换矩阵的计算方法2.3.1 坐标系变换2.3.2 旋转矩阵与平移矩阵2.3.3 变换矩阵的乘法与逆矩阵3. 结论3.1 总结3.2 对变换矩阵的展望3.3 结束语本文的结构按照从前到后的逻辑顺序组织，首先通过引言部分引入了文章的背景和目的，然后在正文部分逐步介绍了机器人学的基础知识、变换矩阵的应用以及计算方法，最后在结论部分进行总结，并对变换矩阵的未来发展进行展望，并以结束语作为文章的结尾。
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1 1
7
6
即为矩阵方程的解.
推论1 若n阶方阵A, B 满足 AB=E, 则必有 BA=E 证 因为 AB=E, 由 A B AB E 1
知|A|≠0，于是有
A
1 A
A
1 A
A
A
E
BA
EBA
1 A
A
ABA
1 A
A
EA
1 A
A
A
E
推论2 若n阶方阵A, B 满足 AB=E 或 BA=E,
A32 0 , A33 1 ,
从而
5 9 1
A1
2
3
0
.
0 2 1
二、逆矩阵的应用
1.利用逆矩阵解线性方程组
例4
解线性方程组
3 -2
x1 x1
7 x2 5 x2
3x3 1, 2 x3 0,
-4 x1 10 x2 3 x3 2.
解
3
设 A 2
4
7 5 10
3
2 ,
3
x1
AB BA E
(1)
则称A是可逆的，并把B 称为A 的逆, 记为 A1.
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
则 B A1,且 A B 1
例7 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证 由A2 A 2E 0,
得AA E 2E
A
1 2
(
A
E
)
E
A
1(A 2
E)
1
A
0,
故A可逆.
且A1 1 A E .
2
注： 1 A E 不要写成 A E
计算得P1
2 4
1 1
0 1
,
15 0 B5 0 0
0
0 B
0 0 15
所以
1 0 0
A5PB 5 P 1Fra bibliotek2 6
0 1
01
往届期末考试题：
往届期末考试题：
往届期末考试题：
第三节 逆矩阵(Inverse of a matrix)
一、逆矩阵的定义及求法 在数的乘法中，如果常数a≠0，则存在a的逆a−1，使
a 1a aa 1 1
故一元线性方程ax=b 解为: x= a−1b.
对于方阵A，是否也存在着“逆”？ 即是否存在一个同阶方阵B, 使
AB BA E
定义 对于n 阶方阵A, 如果存在一个同阶方阵B, 使
注：分别在方程的左右两边同时用A-1 或B-1 左乘或（右乘）
例6 解矩阵方程
2
1
4
3
X
6
4
10 11
解
设
2
A
1
4
3
,
B
6 4
10 11
则矩阵方程写成 AX B
因 A 2, A可逆，
A1
1 A
A*
1 2
3 1
4 2
,
X
A1B
1 3
2
1
4 6
2
4
10 11
2 0
3 2
01
x2 x3
3.利用逆矩阵求解矩阵方程
含有未知矩阵的方程称为矩阵方程。共有如下三 类矩阵方程:
AX=B 若A可逆 A1AX A1B X A1B
XA=B 若A可逆 XAA1 BA1 X BA1
AXB=C
若A、B均
可逆
A1 AXBB1 A1CB1 X A1CB1
x
x2
,
x3
则方程组可表示为 Ax b.
1 b 0
2
因此线性方程组Ax=b是矩阵方程AX=B的特殊形式
由例3知 A 1 0, 且
5 9 1
A1
2
3
0
,
0 2 1
由 Ax b， 在等式左右两边同时左乘A-1，得：
A-1Ax= A-1b, 即x=A-1b
5 9 1 1 3
所以 A 0 .
充分性 由本章第二节例知，A A * A * A A E .
因为 A 0 , 故有
A 1 A 1 A A E
A
A
所以，按逆矩阵的定义，即有 A1 1 A . A
注：当|A|≠0时， A称为非奇异矩阵(non-singular
matrix)，否则称为奇异矩阵(singular matrix).
证 (1) 由 AB A B 0,可知，AB可逆. 又
AB AB AB E,
所以
AB AB 1 AB E AB AB 1
A B B 1A1 B B 1 A A1
B 1 B A 1 A B A . |B| |A|
（2） 由
A A A E
可得 A A A1 A n1 E
2
22
又由A2 A 2E 0
A 2E A 3E 4E 0
A
2
E
1 4
A
3
E
E
A
2
E
1
A 2E 1 A 3E 1,
故A 2E可逆.
4
且 A 2E 1 1 A 3E
4
例7 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
例8
设
AB
2A
B,
B
0
4
0
,
2 0 2
证明A E可逆，并求 A E 1 .
思路：构造某个矩阵C,使得(A-E)C=E.
证 A B B A E B 2 A 2E 2E
2A E 2E A E 1 B 2E E
2
由推论知 A E 可逆，且
A E 1 1 B 2E
可逆矩阵就是非奇异矩阵．同时，定理也提供了 一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵法．
例2
设
A
a c
b
d
, 试问：a,b,c,d 满足什么条件时,
方阵A可逆？当其可逆时，求其逆.
解当
ab
A
ad bc 0
cd
时，A 可逆. 这时
A1
1 A
A
ad
1 bc
d
c
b a
.
3 7 3
例3 求方阵 A 2 5 2 的逆矩阵．
,
2
,
, 1)
n ,n ) E
所以 A1 diag( 1 , 1 , , 1 )
1 2
n
定理 方阵A可逆的充要条件是|A|≠0, 且当A可逆时，
A1 1 A* A
其中A*为矩阵A的伴随矩阵.
证 必要性 因为A可逆，即存在A−1，使 A A 1 E .
两边取行列式, 得
A A1 AA1 E 1 ,
解法2：由A2 A 2E 0 A 2E A2 ,
在等式左右同时求行列式，有：
A 2E A2 A 2
由前面的证明知A可逆，故|A|≠0，从而
|A+2E| ≠0. 故A 2E可逆.
且
(A
2 E )1
( A2 )1
( A1)2
1 2
A
E
2
由A 2E A2,
1 A 3E
4
2 0 2
4
10
3
3 7 3 解 | A | 2 5 2 1 0, 所以A−1存在，且
4 10 3
A1
1 A
A
1 A
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31
A32 A33
而
A11
5 10
2 3
5, A21
7 10
3 3
9, A31
7 5
3 2
1
A12 2 , A22 3 , A13 0 , A23 2 ,
在定义中, A, B 的地位是平等的, 即式(1)成立,
则B也可逆, 且有
B 1 A
例1 设 A d ia g (1 , , n ) , 且 1 2 n 0 ,求 A1 .
解 因为 diag(1 , 2 ,
,
n
)
diag(
1
1
,
1
2
,
diag( 1 , 1 ,
1 2
,
1
n
)
d
iag
(
1
3 A1 1 A1, A A* AAA A1 2AAE1 ,
3
( ) 所以 3 A 1 2 A 11 A1 11 4 A 1
3
3
(11)4 1 32
显然，方法二比方法一简单.
例11 设A, B均为n 阶可逆矩阵，证明 （1）( A B ) B A ; （2） ( A ) | A |n2 A.
3 A 1
1 3
A1
1 3
|
1 A
|
A
1 6
A
所以 | A* || A |41 23
( ) 3 A1 2 A 11 A 11 4 A
6
6
(11)4 23 (11)4 1
6
32
例10 设A为4阶方阵, |A|= 2, 求 | (3 A ) 1 2 A | .
解 方法二） 因为|A|=2, 所以A可逆，且
2 3
,
x
x2
,
x3
y1
y
y2
.
y3
则线性变换可写成矩阵形式 x Ay