高考数学复习典型题型专题讲解与练习54 空间向量及其线性运算

高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题54 空间向量及其线性运算题型一 空间向量共线的判定1．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（ ） A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对 【答案】A【解析】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以(1)OP n OA nOB =-+，即()OP OA n OB OA -=-， 即AP nAB =，所以AP 与AB 共线． 又AP ，AB 有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 故选：A.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A ．AB BC AC +=B ．AB BC AC -= C ．AB BC =D ．AB BC = 【答案】C【解析】对于空间中的任意向量，都有 AB BC AC +=，说法A 错误；若AB BC AC -=，则AC BC AB +=，而AC CB AB +=，据此可知BC CB =，即,B C 两点重合，选项B错误；AB BC=，则A、B、C三点共线，选项C正确；AB BC=，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；本题选择C选项.3．AB与CD共线是直线AB∥CD的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量共线的定义，可知若AB与CD共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则AB与CD共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知AB与CD共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B4．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断EF与AD BC+是否共线.【答案】证明见解析.【解析】解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AB、CD的中点.∴11,22GF AD EG BC ==.又∵E、F、G三点共面，∴1()2EF GF EG AD BC=+=+，即EF与AD BC+共线.5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.【答案】证明见解析.【解析】设1,,AB a AD b AA c ===， ∵112A E ED =，123A F FC =，∴11123A E A D =，1125A F AC =，而11A D AD b == ∴123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-. ∴1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--, ∴25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线. 题型二 由空间向量共线求参数值6．已知非零向量324a m n p =--，(1)82b x m n y p =+++，且m 、n 、p 不共面．若//a b ，则x y +=（ ）．A ．13-B ．5-C ．8D ．13 【答案】 B【解析】//a b 且0a ≠，∴b a λ=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=--，又m 、n 、p 不共面，∴138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得13x =-，8y =，5x y +=-.故选：B .7．在四面体ABCD 中,E,F 分别是棱BC,AD 的中点,设AB =a,AC =b,AD =c,且EF =xa+yb+zc,则x,y,z 的值分别为( ) A ．-12,-11,22B ．-11,22,-12C ．11,22,-12D ．12,-11,22【答案】A【解析】根据题意，画出图形如下图所示：由图可知1122EF EC CD DFBC CD AD =++=+- ()1122111222AC AB AD AC AD AB AC AD =-+--=-+111222a b c =--+ 所以111,,222x y z =-=-= 所以选A8．设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若122AB e ke =-，1233CB e e =+，12CD ke e =+，且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为_______．【答案】4或-1【解析】因为,,A B D 三点共线，所以存在实数λ使得12 2AB BD AB e ke λ==-，()1232BD CD CB k e e =-=--，()232k k λλ⎧=-⎨-=-⎩所以2340k k --=，解得1k =-或4. 题型三 空间向量共面的判定9．A ，B ，C 不共线，对空间内任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面 【答案】B【解析】因为311488OP OA OB OC =++， 所以()()()6OP OA OB OP OC OP -=-+-，86OP OA OB OC =++， 6AP PB PC=+，即1166AP PB PC =+， 故P ，A ，B ，C 四点共面， 故选：B10．已知空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，下列能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是（ ）A ．OP OA OB OC =++B ．111333OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =-++D ．以上都不对 【答案】B【解析】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-，则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面； 对于B 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=，P 、A 、B 、C 四点共面； 对于C 选项，1122OP OA OB OC =-++，1110122-++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面. 故选：B.11．,,,A B C D 是空间四点，有以下条件： ①11OD OA OB OC 23=++； ②111234OD OA OB OC =++；③111OD OA OB OC 235=++； ④111OD OA OB 236OC =++， 能使,,,A B C D 四点一定共面的条件是______ 【答案】④【解析】对于④111OD OA OB 236OC =++，1111236++=，由空间向量共面定理可知,,,A B C D 四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件. 故答案为：④12．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++.（1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； （2）判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】（1）,,MA MB MC 共面；（2）点M 在平面ABC 内. 【解析】（1）由题意，知：3OM OA OB OC =++，∴()()OA OM OM OB OM OC -=-+-，即MA BM CM MB MC =+=--， 故,,MA MB MC 共面得证.（2）由（1）知：,,MA MB MC 共面且过同一点M . 所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.13．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM=13BD ，AN=13AE.求证:向量MN CD DE ，，共面.【答案】证明见解析【解析】因为M 在BD 上，且13BM BD =，所以111333MB DB DA AB ==+. 同理1133AN AD DE =+. 所以MN MB BA AN =++ =1133DA AB ++BA +1133AD DE +=21213333BA DE CD DE +=+.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN CD DE ，，共面. 题型四 由空间向量共面求参数值14．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，都有1133OM xOA OB OC =++，则x 的值是A ．1B ．0C ．3D ．13【答案】D【解析】因为1133OM xOA OB OC =++，且,,,M A B C 四点共面，所以必有11133x ++=，解得13x =，故选D ． 15．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．【答案】18【解析】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++，31148t ++=，解得18t =. 故答案为: 1816．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA x P DB PB C →→→=-+，则实数x 的值为_________.【答案】13【解析】414131()363626PA PC PC P PB x DB PB x PB PD P P C B x D →→→→→→→→→→→=-+=-+-=--，又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴31126x --=，解得 x =13，故答案为：13题型五 空间共线向量定理的推论及应用17．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP =m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（ ）A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．O ，A ，B ，P 四点共面D ．P ，A ，B 三点共线 【答案】ACD【解析】解:因为1m n +=，所以1m n =-，所以OP =()1OA B n n O -⋅+⋅， 即OP OA -=n (OB OA -)， 即AP =n AB ，所以AP AB 与共线.又AP AB ，有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB. 因为OP =m OA +n OB ，故O ，A ，B ，P 四点共面. 故答案为：ACD18．已知M ，N 分别是四面体OABC 的校OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OB b =，OC c =，则OP =______(用{},,a b c 表示)【答案】111633OP a b c =++【解析】OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =．∴OP ON NP =+13ON NM =+1()3ON OM ON =+-2133ON OM =+2111()3232OB OC OA =⨯++⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++． 故答案为：111633OP a b c =++19．已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP =2OA OB OC λ++，则λ＝________.【答案】－2【解析】由四点共面的充分必要条件可得：211λ++=，解得：2λ=-.故答案为2-．20．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值.【答案】13,8x y =-=【解析】∵//a b ∴()324182m n p x m n yp λ⎡⎤--=+++⎣⎦，∴()13,82,24x y λλλ+==-=-，∴13,8x y =-=.题型六 空间共面向量定理的推论及应用21．已知O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点（ ）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B【解析】由空间向量共面定理的推论若aOA bOB cOC OP =++，满足1a b c ++=，则,,,A B C P 四点共面，311488OP OA OB OC =++，而3111488++=，故,,,A B C P 四点共面.故选：B.22．如图，正四面体ABCD 的棱长为1，BCD △的中心为O ，过点O 的平面a 与棱AB ，AC ，AD ，BD ，CD 所在的直线分别交于P ，Q ，R ，S ，T ，则111AP AQ AR ++=（）A ．52B ．3C ．133D ．4 【答案】B 【解析】因为O 为BCD △的中心，所以()13AO AB AC AD =++，设AP x =，AQ y =，AR z =，所以111333AO AP AQ AR x y z=++．因为O ，P ，Q ，R 四点共面，所以1111333x y z ++=，即1113x y z++=，1113AP AQ AR ++=. 故选：B.23．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M ，A ，B ，C 共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++【答案】D【解析】设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=， 只有选项D 满足.故选：D.24．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A。